บทที่6 การแปลงลาปลาส ใช้สอน

บทที่ 6 การแปลงลาปลาซ (The Laplace Transformation) บรรยายโดย ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี Power Point โดย อ.หทยั ชนก หวงั วงศเ์ จรญิ ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ วทิ ยาลยั เทคโนโลยสี ารสนเทศและการสอ่ื สาร มหาวทิ ยาลยั รังสติ

6.1 ผลการแปลงลาปลาซ(Laplace Transforms) การแปลงลาปลาซเป็ นเครอ่ื งมอื ทสี่ ําคญั ใน การชว่ ย หาคาํ ตอบของสมการเชงิ อนพุ นั ธ์ โดยเฉพาะอยา่ งยงิ่ การแกป้ ญั หาเกยี่ วกบั ปญั หาคา่ เรมิ่ ตน้ ซงึ่ วธิ นี จี้ ะทํา ใหไ้ มต่ อ้ งหาคําตอบทวั่ ไปกอ่ น ผลการแปลงลาปลาซเป็ นการแปลงฟังกช์ นั f(t) ของ ตวั แปรจรงิ t ใหเ้ ป็ นฟังกช์ นั F(s) ของตวั แปร s

บทนิยาม กาํ หนด f ( t ) โดย t 0 ผลการแปลงลาปลาซ ของ f ( t ) เขียนแทนดว้ ย £ [ f (t) ]   e st f ( t) dt 0 เม่ือ s เป็น ตวั แปรเสริม (parameter) ท่ีเป็นค่าจริง ซ่ึง £ [ f (t) ]  F(s) โดยที่ £–1[ F(s)]  f (t) โดยเรียก £–1[ F(s)] วา่ ผลการแปลงลาปลาซผกผนั ของ [ F(s)]

ตวั อย่างท่ี 1 ถา้ f (t) = 1 จงหา ผลการแปลงลาปลาซ ของ f (t) วธิ ีทาํ (นิยาม)  e st f(t) dt £ [ f (t) ]  0 £ [1]   st (1) dt e 0  a e st dt lim a 0

ตวั อย่างท่ี 2 ถา้ f (t ) = t จงหา £ [ f (t) ] วธิ ีทาํ (นิยาม)  £ [ f (t) ]  e st f (t) dt  0  £ [t]  e st ( t ) dt  0 a lim t est dt By Part a 0 

6.2 ตารางการแปลงลาปลาซ (Table of Laplace Transform) ยํ้าสตู รอกี ครัง้ £ [ f (t) ]  e st f ( t) dt  0 £ [ f (t) ]  F(s) £–1[ F(s)]  f (t)

ลาํ ดบั ที่ f (t) £ [ f (t) ] 1 2 1 1s 3 t n , n+ n! 4 eat sn1 5 sin at 1 6 cos at s a a 7 sinh at cosh at s2 sa2 s2 a a2 s2 sa2 s2  a2

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาผลการแปลงลาปลาซต่อไปน้ี (ใชต้ ารางการแปลง) £ [ t n ]  snn! 1 (1) £ [ t2]  2! s3 (2) £ [ t4 ]  4! s5 (3) £ [ e2t ]  s 1 2  (4) £ [ e3t ] £ [ e at ]  s 1 a 

ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลการแปลงลาปลาซต่อไปน้ี (ใชต้ าราง) (5) £ [ sin2t]  2 £ [sin at]  a s2 a2 s2 4 (6) £ [ cos3t]  s £ [cos at] s s2 9 s2 a2 (7) £ [ sinh5t]  5 £ [sinh at]  a s2 a2 s2  25 (8) £ [ cosht]  s £ [cosh at]  s s2 1 s2 a2

6.3 การแปลงลาปลาซผกผัน ทบทวนอกี รอบ ถา้ £ [ f (t) ]  F(s) แลว้ £–1[ F(s)]  f (t)

f (t) £ [ f (t) ] ลาํ ดบั ท่ี £–1[ F(s)] F(s) 1 2 1 1s 3 t n , n+ n! 4 eat sn1 5 sin at 1 6 s a a 7 cos at sinh at s2 sa2 cosh at s2 a a2 s2 sa2 s2  a2

จากตารางการแปลงลาปลาซผกผนั £–1  s 2 a a 2     £–1  s 2 s a 2     £–1 [ 1s ] £–1  s 2 a a 2  n!   £–1 [ ]  s n1 £–1  s  £–1 [ s 1 a ]  s 2 a 2   

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนั ต่อไปน้ี (1) £–1  s2 5 25   sin5t    [ ](2)£–1 s 1 4  e4t  (3) £–1  s2 s 4   cosh2t    [ ](4)£–1 6 s4

6.4 คณุ สมบตั ทิ ส่ี ําคญั ของการแปลงลาปลาซ

คุณสมบตั ขิ ้อท่ี 1 คุณสมบตั ิเชิงเสน้ (Linear property) £ [a f (t) + b g(t)]  a £ [ f (t)] + b £ [ g(t)] a และb เป็ นคา่ คงที่ ตวั อย่างที่ 5 จงหา (1) £ [t  3]

(2) £ [2t  3e2t ]

(3) £ [ 3cos2t  5et ]

(4) £[t3  2sinh3t]

ตวั อย่าง ผลการแปลงลาปลาซผกผนั ตวั อย่างที่ 6 จงหา ผลการแปลงลาปลาซผกผนั ต่อไปน้ี (1) £–1 [ s 5 1  s 2 3]  

(2) £–1 [ s 2 1 s ]  [£–1 1s  s 1 1]   แยกผลบวก เศษส่วนยอ่ ย

(3) £–1  s2 6 5   £–1 [ s 1 5  s 1 1]    4s   แยกผลบวก เศษส่วนยอ่ ย

คุณสมบัตขิ ้อที่ 2 คุณสมบตั ิการเลื่อนท่ีหน่ึง (First shifting property) ถา้ £ [ f (t) ]  F(s) แลว้ £ [eat f (t) ]  F(s  a) First shifting property £ [eat f (t) ]  £ [f (t)]s sa ตวั อย่างท่ี 7 (1) จงหา £ [e2tt3 ] วธิ ีทาํ

(2) จงหา £ [ e3t sin 2 t] วธิ ีทาํ

(3) จงหา £ [ e 2 t cosh 3t] วธิ ีทาํ

(4) จงหา £ [ e t sinh 5t] วธิ ีทาํ

(5) จงหา £ [ 2e 3t t4 ] วธิ ีทาํ

คุณสมบัตขิ ้อที่ 3 คุณสมบตั ิการเปลี่ยนสเกล(Scalting property) ถา้ £ [ f (t) ]  F(s) แลว้ £ [ f (at) ]  1a F ( as ) ตวั อย่างท่ี 8 ถา้ £ [ cos2 t ]  s (ss2224) จงหา £ [ cos2 3t ] £ [ cos2 3t ]  13 3s ([(3s3s)2)224] Ans.

คุณสมบตั ขิ ้อที่ 4 คุณสมบตั ิการคูณดว้ ย tn (Multiplication by tn ) ถา้ £ [ f (t) ]  F(s) dn dsn แลว้ £ [tn f (t) ]  (1)n  £ [f ( t)]  ตวั อย่างท่ี 9 (1) จงหา £ [ tcos3t] (2) จงหา £ [ t2 sin t]

ตวั อย่างท่ี 9 (1) จงหา £ [ tcos3t] £ [ tn f (t) ]  (1 )n dn  £ [f (t)]  dsn วธิ ีทาํ £ [cos3t]  s s2  9 £ [ t cos3t]

(2) จงหา £ [ t2 sin t] 1 วธิ ีทาํ £ [sin t]  s2  1 £ [ t2 sint]

คุณสมบัตขิ ้อท่ี 5 คุณสมบตั ิการเลื่อนท่ีสอง (Second shifting property) ถา้ £ [ f (t) ]  F(s) และ g(t)   f (t a) , ta  0 , ta  แลว้ £ [ g (t) ]  eas F(s) ตวั อย่างที่ 10 กาํ หนดให้ g(t)   (t  2)3 , t2  0 , t2 จงหา £[ g(t) ]

ตวั อย่างท่ี 10 กาํ หนดให้ g(t)   (t  2)3 , t2  0 , t2   eas £[ f (t)] จงหา £ [ g(t) ] วธิ ีทาํ

กจิ กรรม 6.1 การแปลงลาปลาซ หนา้ 38

กิจกรรม 6.1 การแปลงลาปลาซ (หนา้ 38) 1. จงหาผลการแปลงลาปลาซของf (t)  5sin(3t)  17e2t วธิ ีทาํ £ [f (t)]  5 £ [sin(3t)]  17 £ [e2t ]  5 ( 3 9)  17 ( s 1 2 ) s2   15  s 17 2 Ans.  s2  9

กิจกรรม 6.1 การแปลงลาปลาซ (หนา้ 38) 2. จงหาการแปลงลาปลาซของ f (t)  e4t sin(5t) วธิ ีทาํ £ [f (t)]  £ [ e4t sin(5t)] £ [ sin(5t)]  5 s2  25  £[ e4t sin(5t)]  5 Ans. (s  4)2  25

กิจกรรมเสริม 6.1 การแปลงลาปลาซ หนา้ 38 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟังกช์ นั f(t) ต่อไปน้ี 1. f (t)  t e8t 2. f (t)  t cos(3t) 3. f (t)  et sin(2t) 4. f (t)  2cos(3t)  sin(3t) 5. f (t)  6 e5t  e3t  5t3  9

กิจกรรมเสริม 6.1 การแปลงลาปลาซ หนา้ 38 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟังกช์ นั f(t) ต่อไปน้ี 6. f (t)  4cos(4t)  9sin(4t)  2cos(10t) 7. f (t)  3sinh(2t)  3sin(2t) 8. f (t)  e3t  cos(6t)  e3t cos(6t) 9. f (t)  t2sin(2t) 10. f (t)  e6t sin(4t)

6.5 การแปลงลาปลาซของอนุพันธข์ องฟังกช์ นั (Laplace transform of the derivative of any order n) ถา้ £ [f (t)]  F(s)

ตวั อย่างที่ 13 จงแกส้ มการปัญหาค่าเร่ิมตน้ f(t)  9 f(t)  0 , f (0)  0 และ f(0)  2 วธิ ีทาํ



ตวั อย่างท่ี 14 จงแกส้ มการปัญหาค่าเริ่มตน้ y  4 y/  3y  0 , y(0)  3 และ y/ (0)  1 วธิ ีทาํ



ตวั อย่างที่ 15 จงแกส้ มการปัญหาค่าเริ่มตน้ f(t)  2 f(t)  3f(t)  0 , f (0)  1 และf(0)  7 วธิ ีทาํ £ [ f(t)  2 f(t)  3f (t)]  £[0] £ [ f(t)]  2 £ [f(t)]  3 £[f (t)]  0 . . . (1) s2£ [f (t)]  s  7  2(s £[f(t)] 1)  3£ [f (t)]  0 s2£ [f (t)]  s  7  2s £ [f(t)]  2  3£ [f (t)]  0 ( s2 2s 3)£[f(t)]  s  5

£[f(t)]  s2s2s53 แยกผลบวก เศษส่วนยอ่ ย [f(t)]  £–1  s5  s2 2s3  £–1[ s2 3  s1 1] [f(t)]  [£–1 s2 3]  £–1[s1 1]  [f(t)]  2e3t  et Answer

กิจกรรมเสริม 6.3 การแกส้ มการเชิงอนุพนั ธ์โดยการแปลงลาปลาซ (1) y 2y  0 , y(0)   3 Ans. y(t)   3e2t (2) y y  0 , y(0)  4 Ans. y(t)  4et (3) y y  1 , y(0)  4 Ans. y(t)  1 3et

กิจกรรมเสริม 6.3 การแกส้ มการเชิงอนุพนั ธ์โดยการแปลงลาปลาซ (41) f(t)  9 f(t)  0 , f (0)  0 และf(0)  2 [f(t)]  23 sin3t AAnsn.s. ((52)) f(t)  2 f(t)  3f(t)  0 , f (0)  1 และf(0)  7 [f(t)]  2e3t  et AAnns.s. ((63)) 4f(t)  f(t)  0 , f (0)  1 และf(0)   2 [f (t)]  cos t  4 sin t AAnnss.. 2 2