บทที่4ผิวโค้ง

ผวิ โคง้ (Surface ) บรรยายโดย ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

4.1 ผวิ ทรงกลม (Sphere) ผวิ ทรงกลม คือ เซตของจุดใน 3 มิติ ที่อยหู่ ่างจากจุดคงที่จุดหน่ึง เป็ นระยะทางคงท่ี จุดคงที่ เรียกวา่ จดุ ศูนย์กลาง (Central) rP ระยะทางคงที่ เรียกวา่ รัศมี (Radius) C

4.1 ผวิ ทรงกลม (Sphere) ให้ C(a , b , c) เป็นจุดศูนยก์ ลาง และ r เป็นรัศมี ถา้ จุด P(x, y, z) เป็นจุดใดๆบนผวิ ทรงกลม จะไดร้ ูปทวั่ ไป ของสมการรูปมาตรฐานของทรงกลม คือ  x  a2 y  b2  z  c2  r2 ดงั รูป z y x

4.1 ผวิ ทรงกลม (Sphere) ถา้ ทรงกลมมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุดกาํ เนิด C(0 , 0 , 0) และรัศมี r ดงั รูป สมการรูปมาตรฐานทรงกลม คือ x2  y 2  z 2  r2

ตวั อยา่ งท่ี 4/1 จงหาสมการทรงกลม ซ่ึงมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี C(0 ,1 , 5) และรัศมี 2 หน่วย กาํ หนดจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี C(a,b,c)  C(0,1,5) และ r = 2 จากสมการทรงกลม คือ (x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  r 2 จะได้ (x  0)2  ( y 1)2  (z  5)2  22 x2  y 2  2 y 1 z 2 10z  25  4 x2  y 2  z 2  2 y 10z 1 25  4 จะไดร้ ูปทวั่ ไปของสมการทรงกลม คือ x2  y 2  z 2  2 y 10z  22  0

ตวั อยา่ งที่ 4/2 จงหาจุดศูนยก์ ลางและรัศมี ของทรงกลม 4x2  4y 2  4z 2  16x  24y  8z  31  0 นาํ 4 หารตลอด x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  31  0 4 จดั กลุ่มของ x, y และ z ดงั น้ี (x2  4x)  (y2  6y)  (z2  2z)   31 4 ใชว้ ธิ ีกาํ ลงั สองสมบูรณ์ จะได้ (x2  4x  4)  ( y 2  6 y  9)  (z 2  2z  1)   31  4  9  1 4 (x  2)2  ( y  3)2  (z 1)2  25 4 เทียบกบั สมการทรงกลม คือ (x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  r 2 ดงั น้นั จุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ 2,3,1 และรัศมี r  5 2

4.2 ผวิ ทรงกระบอก (Cylinders) ผิวทรงกระบอก คือ ผิวทีประกอบดว้ ยเส้นตรงทขี นานกัน เราเรยี กเสน้ ทีขนานกนั แตล่ ะเสน้ วา่ Generator ของผิวทรงกระบอก ดงั รูป ไดเรกตรกิ ซ์ วงกลม (dir ectr ix) วงรี พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา

4.2 ผวิ ทรงกระบอก (Cylinders) การเรียกช่ือของรูปทรงกระบอกสอดคลอ้ งกบั ไดเรกตริกซ์ มี 4 แบบ ดงั น้ี ไดเร กตร ิกซ ์ ชอื เรียกของรูปทรงกระบอก รูปวงกลม ทรงกระบอกกลม (circular cylinder) รูปวงรี ทรงกระบอกวงรี (elliptic cylinder) รูปพาราโบลา ทรงกระบอกพาราโบลา (parabolic cylinder) รูปไฮเพอรโ์ บลา ทรงกระบอกไฮเพอรโ์ บลา (hyperbolic cylinder)

4.2.1 ผวิ ทรงกระบอกกลม (Circular Cylinders) Generator ขนานกบั แกน z ตดั ระนาบ xy Generator ขนานกบั แกน y Generator ขนานกบั แกน x ตดั ระนาบ xz ตดั ระนาบ yz

4.2.1 ผวิ ทรงกระบอกกลม (Circular Cylinders) สมการรูปมาตรฐานเมอื a > 0 x2  y2  a2 x2  z2  a2 y2  z2  a2

4.2.1 ผวิ ทรงกระบอกกลม (Circular Cylinders) ตวั อยา่ งเช่น x2  y2  5 เรยี กวา่ ผิวทรงกระบอกกลม (Circular Cylinder) จะไดก้ ราฟดงั รูป

4.2.2 ผวิ ทรงกระบอกวงรี (Elliptic Cylinder) Generator ขนานกบั แกน z ตดั ระนาบ xy Generator ขนานกบั แกน y Generator ขนานกบั แกน x ตดั ระนาบ xz ตดั ระนาบ yz

4.2.2 ผวิ ทรงกระบอกวงรี (Elliptic Cylinder) สมการรูปมาตรฐานเมอื a, b, c > 0 x2  y2 1 a2 b2 x2  z2 1 y2  z2 1 a2 c2 b2 c2

4.2.2 ผวิ ทรงกระบอกวงรี (Elliptic Cylinder) ตวั อยา่ งเช่น x2  2z2  25 เรยี กวา่ ผิวทรงกระบอกวงรี (Elliptic Cylinder) ที่มี Generator ขนานกบั แกน y ตดั ระนาบ xz z 0 y x

4.2.3 ผวิ ทรงกระบอกพาราโบรา (Parabolic Cylinder) z x Generator ขนานกบั แกน z z y ตดั ระนาบ xy z y y x Generator ขนานกบั แกน y Generator ขนานกบั แกน x x ตดั ระนาบ xz ตดั ระนาบ yz

4.2.3 ผวิ ทรงกระบอกพาราโบรา (Parabolic Cylinder) สมการรูปมาตรฐานเมอื a, b, c > 0 y 2  ax x2  cz x2  by z 2  by z 2  ax y2  cz

4.2.3 ผวิ ทรงกระบอกพาราโบลา (Parabolic Cylinder) ตวั อยา่ งเช่น x2  z เรยี กวา่ ผิวทรงกระบอกพาราโบลา (Parabolic Cylinder) จะไดก้ ราฟดงั รูป เป็นกราฟผิวทรงกระบอกทีมี Generator ขนานกบั แกน y ตดั ระนาบ xz

4.2.4 ผวิ ทรงกระบอกไฮเพอรโ์ บลา (Hyperbolic Cylinder) z Generator ขนานกบั แกน z ตดั ระนาบ xy yz x Generator ขนานกบั แกน x z y ตดั ระนาบ yz x y Generator ขนานกบั แกน y ตดั ระนาบ xz x

4.2.4 ผวิ ทรงกระบอกไฮเพอรโ์ บลา (Hyperbolic Cylinder) สมการรูปมาตรฐานเมอื a, b, c > 0 x2 y2  y2  z2 1 a2 b2 b2 c2  1  x2  y2 1 x2  z2 1 a2 b2 a2 c2 y2  z2 1  x2  z2 1 b2 c2 a2 c2

4.2.4 ผวิ ทรงกระบอกไฮเพอรโ์ บลา (Hyperbolic Cylinder) ตวั อยา่ งเช่น x2  z2 1 4 9 เรยี กวา่ ผิวทรงกระบอกไอเพอร์โบลา (Hyperbolic Cylinder) จะไดก้ ราฟดงั รูป

4.3 ผวิ กาํ ลงั สอง (Quadric Surfaces) พจิ ารณาสมการกาํ ลงั สองของสามตวั แปร ในปริภูมิสามมิติ คือ Ax2  By2  Cz 2  Dxy  Exz  Fyz  Gx  Hy  Kz  L  0 สมการผิวกาํ ลงั สองทีจะนาํ มาพิจารณามี 6 แบบ คือ 1. ทรงรี (ellipsoid) 2. อีลปิ ตคิ ไฮเปอรโ์ บลอยดร์ ูปเดียว (elliptic hyperboloid of one sheet) 3. อีลปิ ตคิ ไฮเปอรโ์ บลอยดค์ ู่ (elliptic hyperboloid of two sheets) 4. อีลปิ ติคพาราโบลอยด์ (elliptic paraboloid) 5. ไฮเปอรโ์ บลคิ พาราโบลอยด์ (hyperbolic paraboloid) 6. กรวยอีลปิ ตคิ (elliptic cone)

4.3.1 ผวิ ทรงรี (Ellipsoid) กราฟของพ้นื ผวิ สมการรูปทวั่ ไป สมการรูปมาตรฐาน Ax2  By 2  Cz 2  D x2  y2  z 2 1 A, B,C, D  0 a2 b2 c 2 a,b,c  0 ตวั อยา่ งเช่น 9x2  y2  z2  9 จดั รูปใหม่ไดเ้ ป็ น ������ ������ ������ 1 จะไดก้ ราฟดงั รูป 9 9

4.3.2 ผวิ อลี ปิ ตคิ ไฮเปอรโ์ บลอยดร์ ูปเดยี ว (Elliptic Hyperboloid of One Sheet) สมการรูปทวั่ ไป สมการรูปมาตรฐาน กราฟของพ้ืนผวิ A, B,C, D  0 a,b,c  0 Ax2  By2  Cz 2  D x2  y2  z2 1 a2 b2 c2 Ax2  By2  Cz 2  D x2  y2  z2 1 a2 b2 c2  Ax2  By2  Cz 2  D  x2  y2  z2 1 a2 b2 c2

4.3.2 ผิวอลี ปิ ตคิ ไฮเปอรโ์ บลอยดร์ ูปเดยี ว (Elliptic Hyperboloid of One Sheet) ตวั อยา่ งเช่น x2  y2  z2 1 จะไดก้ ราฟดงั รูป 4 4

4.3.3 ผวิ อลี ิปตคิ ไฮเปอรโ์ บลอยดค์ ู่ (Elliptic Hyperboloid of Two Sheets) สมการรูปทวั่ ไป สมการรูปมาตรฐาน กราฟของพ้นื ผวิ A, B,C, D  0 a,b,c  0  Ax2  By 2  Cz 2  D  x2  y2  z2 1 a2 b2 c2  Ax2  By2  Cz 2  D  x2  y2  z2 1 a2 b2 c2 Ax2  By 2  Cz 2  D x2  y2  z2 1 a2 b2 c2

4.3.3 ผวิ อลี ิปตคิ ไฮเปอรโ์ บลอยดค์ ู่ (Elliptic Hyperboloid of Two Sheets) ตวั อยา่ งเช่น 4x2  y2  2z2  4  0 จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐานไดเ้ ป็ น  x2  y2  z2 1 จะไดก้ ราฟดงั รูป 1 4 2

4.3.4 ผิวอลี ปิ ตคิ พาราโบลอยด์ (Elliptic Paraboloid) กราฟของพ้ืนผวิ สมการรูปทวั่ ไป สมการรูปมาตรฐาน Ax2  By 2  Cz x2  y2  cz C,c  0 A, B  0, C  0 a2 b2 C, c  0 a,b 0, c  0

4.3.4 ผิวอลี ิปตคิ พาราโบลอยด์ (Elliptic Paraboloid) กราฟของพ้ืนผวิ สมการรูปทว่ั ไป สมการรูปมาตรฐาน Ax2  Cz 2  By x2  z2  by B,b 0 A,C  0, B  0 a2 c2 a,c 0, b  0 B, b  0

4.3.4 ผิวอลี ปิ ตคิ พาราโบลอยด์ (Elliptic Paraboloid) กราฟของพ้นื ผวิ สมการรูปทว่ั ไป สมการรูปมาตรฐาน By 2  Cz 2  Ax y2  z2  ax A, a  0 B,C 0, A  0 b2 c2 b,c  0, a  0 A, a  0

4.3.4 ผิวอลี ปิ ตคิ พาราโบลอยด์ (Elliptic Paraboloid) ตวั อยา่ งเชน่ (1) z  x2  4y2 จะไดก้ ราฟดงั รูป ตวั อยา่ งเชน่ (2) x2  2z2  6x  y 10  0 จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐานไดเ้ ป็น (x  3)2  z2  1 ( y  1) 2 2 จะไดก้ ราฟดงั รูป

4.3.4 ผิวอลี ปิ ตคิ พาราโบลอยด์ (Elliptic Paraboloid) ตวั อยา่ งเพมิ เตมิ 4 y2  z2   (x 4) x  4  4 y2 z2 y2  z2   1 (x  4) 4 4

4.3.4 ผิวอลี ิปตคิ พาราโบลอยด์ (Elliptic Paraboloid) ตวั อย่างเพมิ เตมิ z  8  x2  y2 x2 y2   z 8 x2  y2   (z  8)

4.3.5 ผวิ ไฮเปอรโ์ บลคิ พาราโบลอยด(์ hyperbolic Paraboloid) หรืออานม้า(Saddle) สมการรูปทวั ไป สมการรูปมาตรฐาน กราฟของพ้นื ผวิ คร่อมบนแกน Ax2  By 2  Cz x2  y2  cz A, B  0, C  0 a2 b2 a,b 0, c  0 คร่อมบนแกน

4.3.5 ผิวไฮเปอรโ์ บลิค พาราโบลอยด(์ hyperbolic Paraboloid) หรืออานม้า(Saddle) สมการรูปทว่ั ไป สมการรูปมาตรฐาน กราฟของพ้นื ผวิ คร่อมบนแกน Ax2  Cz 2  By x2  z 2  by A,C  0, B  0 a2 c 2 a,c 0, b  0 คร่อมบนแกน

4.3.5 ผวิ ไฮเปอรโ์ บลิค พาราโบลอยด(์ hyperbolic Paraboloid) หรืออานม้า(Saddle) สมการรูปทว่ั ไป สมการรูปมาตรฐาน กราฟของพ้ืนผวิ a คร่อมบนแกน By 2  Cz 2  Ax y2  z2  ax B,C 0, A  0 b2 c2 b,c  0, a  0 a คร่อมบนแกน

4.3.5 ผิวไฮเปอรโ์ บลคิ พาราโบลอยด(์ hyperbolic Paraboloid) หรืออานม้า(Saddle) ตวั อยา่ งเชน่ z  y2  x2 จะไดก้ ราฟดงั รูป ตวั อยา่ งเพมิ เตมิ x  y2  z2

4.3.6 ผิวกรวยอลี ิปตคิ (Elliptic Cone) กราฟของพ้นื ผวิ เมอื a, b, c > 0 สมการรูปทวั่ ไป สมการรูปมาตรฐาน Ax2  By 2  Cz 2  0 x2  y2  z2 a2 b2 c2 Ax2  By 2  Cz 2  0 x2  z2  y2 a2 c2 b2  Ax2  By 2  Cz 2  0 y2  z2  x2 b2 c2 a2

4.3.6 ผวิ กรวยอลี ปิ ตคิ (Elliptic Cone) ตวั อยา่ งเชน่ (1)  x2  y2  z2 0 จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐานไดเ้ ป็น 4 25 4 x2  z2  y2 จะไดก้ ราฟดงั รูป 4 4 25 ตวั อยา่ งเชน่ (2) 16y2  4z2  4x2 จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐานไดเ้ ป็น ������ ������ ������ จะไดก้ ราฟดงั รูป 44

แบบฝึ กหดั บทที 4

การบา้ น แบบฝึ กหดั บทที 4  ทาํ ขอ้ 3 (3.1 - 3.12) จงบอกช่ือของพ้นื ท่ีผวิ  เปิ ด Classroom การส่งงานแบบฝึกหดั บทท่ี 4  คลิก Google Form แลว้ ตอบคาํ ถาม  ทาํ ไดต้ ้งั แต่บดั น้ีจนถึงวนั อาทิตยท์ ี่ 21 กมุ ภาพนั ธ์ 2564 ไม่เกิน 4 โมงเยน็

การบ้าน แบบฝึ กหดั บทที 4 ตอบ ….. ตอบ …..

จบบทที 4