บทที่2อนุพันธ์ย่อย ครั้งที่ 2

2.3 อนพุ นั ธย์ อ่ ยของฟงั กช์ นั ปรยิ าย (Implicit Function) ฟังกช์ นั ปรยิ าย คอื ฟังกช์ นั ทไ่ี มส่ ามารถเขยี นอยใู่ นรปู z  f(x , y) หรอื ถา้ จัดได ้ ฟังกช์ นั กจ้ ะหาอนุพันธย์ อ่ ยไดย้ าก เชน่ xexy  yezx  zexy  0 z2  x2  y2 มวี ธิ กี ารหาอนุพันธย์ อ่ ยของฟังกช์ นั ปรยิ าย ได ้ 2 แบบ ดงั นี้ แบบที่ 1  ใชส้ ตู ร แบบท่ี 2  หาอนุพันธย์ อ่ ยแตล่ ะเทอม

แบบที่ 1  ใชส้ ตู ร กําหนด F(x , y , z) = 0 เมอ่ื z  f(x , y)

แบบที่ 2  หาอนุพันธย์ อ่ ยแตล่ ะเทอม ดําเนนิ ตามขนั้ ตอนดงั นี้ 1. ถา้ ตอ้ งการหา z ใหห้ าอนุพันธท์ งั้ 2 ขา้ งของสมการ x โดยมอง y เป็ นคา่ คงตวั 2. ยา้ ยพจนท์ มี่ ี z ไวท้ างซา้ ย และยา้ ยพจนท์ เ่ี หลอื ไปฝั่ง x ตรงขา้ ม 3. แกส้ มการจนกวา่ สมั ประสทิ ธห์ิ นา้ z จะมคี า่ เป็ นหนงึ่ x (ในกรณีของ z กท็ ําในลกั ษณะเดยี วกนั แตใ่ หม้ อง x เป็ นคา่ คงตวั )y

ตวั อยา่ งท่ี 2.3.1 กําหนดให z้  f (x, y) โดยท่ี z2  3x2  y2 จงหา z และ z x y แบบท่ี 1

ตวั อยา่ งท่ี 2.3.1 กําหนดให z้  f (x, y) โดยที่ z2  3x2  y2 จงหา z และ z x y แบบที่ 2

ตวั อยา่ งท่ี 2.3.2 กําหนดให z้  f (x, y) และ z โดยที่ x2 y3  e z  4  sin( yz) จงหา z เมอ่ื x  1, y  2 และ z  0 x y

2.4 อนพุ นั ธย์ อ่ ยอนั ดบั สงู ถา้ z = f(x, y) เป็ นฟังกช์ นั 2 ตวั แปร f และ f อนุพันธย์ อ่ ยอนั ดบั หนงึ่ ของ f x y  ( f ) ,  ( f ) ,  ( f ) และ  ( f ) x x y x x y y y อนุพันธย์ อ่ ยอนั ดบั สองของ f

สญั ลกั ษณท์ น่ี ยิ มใชแ้ ทนอนุพันธย์ อ่ ยอนั ดบั สองของ f มดี งั นี้  ( f )  2 f  f xx  f11 หรือ  ( z )  2z  z xx  z11 x x x 2 x x x 2  ( f )  2 f  f xy  f12 หรือ  ( z )  2z  z xy  z12 y x yx y x yx  ( f )  2 f  f yx  f21 หรือ  ( z )  2z  z yx  z 21 x y xy x y xy  ( f )   2 f  f yy  f22 หรือ  ( z )  2z  z yy  z 22 y y y 2 y y y2

หมายเหตุ ถ้า f (x, y) , xf , yf , y2fx และ x2fy เป็ นฟังก์ชันต่อเนื่องทจี่ ุด (x, y) ใดๆ แล้ว y2fx และ x2fy จะมคี ่าเท่ากนั

ในทํานองเดยี วกนั สามารถหาอนุพันธย์ อ่ ยของอนุพันธย์ อ่ ยอนั ดบั เรอื่ ยๆไป ดงั น้ี  2 f  3 f  f xyx  f121 x ( yx ) xyx  ( 2 f )  3 f  f xyy  f122 y yx y 2x  ( 2 f )  3 f  f yxx  f 211 x xy x 2 y  ( 2 f )  3 f  f yxy  f 212 y xy yxy

สัญลกั ษณ์ทใ่ี ช้แทนอนุพนั ธ์ย่อยอนั ดบั ทสี่ าม x ( 2f )  3f  f  f เทียบกบั x ท้งั 3 คร้ัง x2 x3 xxx 111 y ( 2f )  3f  f  f เทียบกบั y ท้งั 3 คร้ัง y2 y3 คร้ังท่ี 1 เทียบกบั x yyy 222 คร้ังที่ 2 เทียบกบั y คร้ังที่ 3 เทียบกบั x x ( y2fx )  x3yfx  fxyx  f121

y ( y2fx )  3f  f  f คร้ังท่ี 1 เทียบกบั x y2x คร้ังที่ 2, 3 เทียบกบั y xyy 122 คร้ังท่ี 1 เทียบกบั y คร้ังท่ี 2, 3 เทียบกบั x x ( x2fy )  3f  f  f x2y yxx 211 y ( x2fy )  y3xfy  fyxy  f212 คร้ังที่ 1 เทียบกบั y คร้ังที่ 2 เทียบกบั x คร้ังท่ี 3 เทียบกบั y เราจะเรียกอนุพนั ธ์ยอ่ ยท่ีมีอนั ดบั ต้งั แต่สองข้ึนไปวา่ อนุพนั ธ์ย่อยอนั ดบั สูง (Higher order Partial Derivative) ของ f

ตวั อยา่ งท่ี 2.4.1 จงหาอนุพันธย์ อ่ ยอนั ดบั สองของ f (x, y)  4x3 y 2  3y 4  xy  5y  8

ตวั อยา่ งที่ 2.4.2 กําหนดให ้f (x, y)  exy  6y2 จงหา 2 f และ 2 f yx xy

ตวั อยา่ งท่ี 2.4.3 กําหนดให ้ f (x, y)  x2y  x sin (y2 ) จงหา 3f และ 3f x 2y y2x

ตวั อยา่ งท่ี 2.4.3(ตอ่ ) กําหนดให ้ f (x, y)  x2y  x sin (y2 ) จงหา 3f และ 3f x 2y y2x

ตวั อยา่ งท่ี 2.4.4 กําหนดให ้ f (x, y, z, w)  x5y4z3w2 จงหา fyzzw

กิจกรรมวันนี้ ส่งในอัลบม้ั กลมุ่ ไลน์ แบบฝึกหัดบทท่ี 2 หนา้ 31-32 (ทาํ ข้อที่ตรงกับเดือนเกดิ ) เดือนเกิด แบบฝึกหัดบทท่ี 2 มกราคม และกุมภาพันธ์ 5 (5.3) มนี าคม และเมษายน 5 (5.4) พฤษภาคม และมิถุนายน 9 (9.1) กรกฎาคม และสิงหาคม 9 (9.2) กนั ยายน และตุลาคม 10 พฤศจกิ ายน และธันวาคม 11 ส่งได้ถงึ วนั อาทติ ย์ท่ี 31 มค 64 ไม่เกนิ 4 โมงเยน็

2.5 บทประยกุ ตอ์ นพุ นั ธย์ อ่ ย ความชนั ของเสน้ สมั ผัสของเสน้ โคง้ C1 : รอยตดั ระหวา่ งพ้นื ผวิ z = f(x, y) กบั ระนาบ y = b C2 : รอยตดั ระหวา่ งพ้นื ผวิ z = f(x, y) กบั ระนาบ x = a สมการเสน้ สมั ผัส คอื สมการเสน้ สมั ผัส คอื z  c  z (x  a) zc  z ( y  b) x (a,b) y (a,b) และ y  b เมอื่ c  f (a,b) และ x  a เมอื่ c  f (a,b)

ตวั อยา่ งท่ี 2.5.1 จงหาสมการเสน้ สมั ผัสของ เสน้ โคง้ ทเ่ี กดิ จากการตดั กนั ของพน้ื ผวิ z  2x2  3y 2 ดว้ ยระนาบ y  1 ณ จดุ (2, 1, 5)

ตวั อยา่ งที่ 2.5.2 จงหาสมการเสน้ สมั ผัสของ เสน้ โคง้ ทไี่ ดจ้ ากการตดั พนื้ ผวิ z  10  2x2  y 2 ดว้ ยระนาบ x  2 ณ จดุ (2, 1, 1)

คา่ สงู สดุ และตํา่ สดุ ของฟังกช์ นั สองตวั แปร บทนยิ าม 2.5.1 ให ้ f เป็ นฟังกช์ นั 2 ตวั แปร เรยี กวา่ มี คา่ สงู สดุ สมั พัทธ์ (relative maximum) ทจี่ ดุ (a,b) ซง่ึ f (a,b)  f (x, y) สําหรับทกุ ๆ จดุ (x,y) ซงึ่ อยใู่ นวงกลมทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (a,b) บทนยิ าม 2.5.2 ให ้ f เป็ นฟังกช์ นั 2 ตวั แปร เรยี กวา่ มี คา่ ตํา่ สดุ สมั พัทธ์ (relative minimum) ทจ่ี ดุ (a,b) ซงึ่ f (a,b)  f (x, y) สําหรับทกุ ๆ จดุ (x,y) ซง่ึ อยใู่ นวงกลมทมี่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (a,b)

บทนยิ าม 2.5.3 ให ้ f เป็ นฟังกช์ นั 2 ตวั แปร เรยี กวา่ มี คา่ สดุ ขดี สมั พัทธ์ (relative extremum) ถา้ f มี คา่ สงู สดุ สมั พัทธ์ หรอื คา่ ตํา่ สดุ สมั พัทธ์ ทจี่ ดุ (a,b) ถา้ f (a,b)  f (x, y) สําหรับทกุ ๆ จดุ (x,y) ทอี่ ยใู่ นโดเมนของ f เราเรยี กวา่ f มี คา่ สงู สดุ (maximum) หรอื คา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์ (absolute maximum) ท่ี (a,b) ถา้ f (a,b)  f (x, y) สําหรับทกุ ๆ จดุ (x,y) ทอี่ ยใู่ นโดเมนของ f เราเรยี กวา่ f มี คา่ ตํา่ สดุ (minimum) หรอื คา่ ตํา่ สดุ สมั บรู ณ์ (absolute minimum) ท่ี (a,b)

ข้นั ตอนการหาค่าสูงสุดและตา่ํ สุดของฟังก์ชันสองตวั แปร การหาค่าสูงสุดและตา่ํ สุดของฟังก์ชันสองตวั แปร z  f (x,y) ข้นั ตอนการหา 1. หา fx และ fy 2. หาจุดวกิ ฤต โดยให้ fx  0 และ fy  0 3. หาอนุพนั ธ์ย่อยอนั ดบั สอง จะได้ fxx , fyy และ fxy

ใช้ทฤษฎบี ทตรวจสอบจุดวกิ ฤต ทฤษฎบี ท 2.1 ให ้ f เป็ นฟังกช์ นั ทมี่ อี นุพันธย์ อ่ ยอนั ดบั ทสี่ องทม่ี ี ความตอ่ เนอื่ งบนบรเิ วณของวงกลมทมี่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางทจ่ี ดุ วกิ ฤต (a,b) และให ้ D  f xx (a,b) f yy (a,b)  [ f xy (a,b)]2 1. ถา้ D  0 และ fxx(a,b)  0 จะไดว้ า่ f มคี า่ ตํา่ สดุ สมั พัทธท์ ่ี (a,b) 2. ถา้ D  0 และ fxx (a,b)  0 จะไดว้ า่ f มคี า่ สงู สดุ สมั พัทธท์ ี่ (a,b) 3. ถา้ D  0 จะไดว้ า่ f มจี ดุ อานมา้ ที่ (a,b) 4. ถา้ D  0 สรปุ ผลไมไ่ ด ้

จุดอานมา้ (saddle point)

ตวั อยา่ งท่ี 2.5.3 จงหาจดุ สดุ ขดี สมั พัทธแ์ ละจดุ อานมา้ ของ f (x, y)  3x2  2xy  y2 8y

กราฟของ f (x, y)  3x2  2xy  y2 8y

ตวั อยา่ งท่ี 2.5.4 จงหาจดุ สดุ ขดี และจดุ อานมา้ ของ f (x, y)  4xy  x4  y 4



กราฟของ f (x, y)  4xy  x4  y4

จบบทท่ี 2