บทที่1 หน่วยและการแปลงหน่วย

MAT152 คณิตศาสตรส์ าํ หรับวทิ ยาศาสตรส์ ุขภาพ (Mathematics for Health Sciences) ผศ.ศิรวิ รรณ วาสกุ รี ภาควชิ าคณิตศาสตรแ์ ละสถิติ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั รงั สติ

เนือหาของวชิ านี Mathematics  บทที 1 หนว่ ยและการแปลงหนว่ ย  บทที 2 อตั ราสว่ น รอ้ ยละ  บทที 3 สมการและอสมการ  บทที 4 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการทิ มึ Calculus  บทที 5 ลมิ ิตและความตอ่ เนือง  บทที 6 อนพุ นั ธแ์ ละการประยกุ ต์  บทที 7 การอินทเิ กรตและการประยกุ ตท์ างดา้ นวิทยาศาสตรส์ ขุ ภาพ

บทที 1: หน่วยและการแปลงหน่วย (Unit and Unit Converter) ผศ.ศิรวิ รรณ วาสกุ รี ภาควิชาคณิตศาสตรแ์ ละสถิติ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั รงั สติ

มติ ิ (dimension) มติ ิ (Dimensions) คือ สงิ ทีบอกลกั ษณะของ สงิ ของ ซงึ เป็นความคดิ ความเขา้ ใจพืนฐานดา้ น การวดั เชน่ ความยาว เวลา มวล หรอื อณุ หภมู ิ เป็นตน้  Weight  Height  Temperature  distance

การวัด (Measure) การวัด (Measure) คอื ปฏบิ ตั กิ ารทงั ปวงทมี วี ัตถุประสงคเ์ พอื การตดั สนิ คา่ ของปริมาณ ผลลัพธข์ องการวัดจะแบง่ เป็ นสองส่วน คอื  ปรมิ าณทีวดั ได้ (รวมทงั ความไมแ่ นน่ อนของ คา่ ทีวดั ได)้ และ  หน่วยทีวดั

หน่วย (units) หน่วย (Units) คือ วิธีการแสดงขนาดของมิติ ใชร้ ะบตุ อ่ ทา้ ยปรมิ าณ หรอื 1.10 เมตร นาํ หนกั 55 กโิ ลกรมั หรอื 3.61 ฟตุ หรอื นาํ หนกั 55,000 กรมั หรอื นาํ หนกั 121.275 ปอนด์

ระบบหน่วยทสี าํ คัญ ระบบอังกฤษ (English System) ระบบเมตริก (Metric System) ก. ระบบ CGS (centimetre-gram-second systems) ข. ระบบ MKS (meter-kilogram-second) ค. ระบบ MK (force)s ระบบหน่วยระหว่างชาติ มชี ือยอ่ ว่า SI (Standard International Unit) การตวงวัดประจาํ บา้ น (Household measurement) ระบบอโพทคี ารี (Apothecary system)

ระบบอังกฤษ (English System) The English system of measurement การวดั ระยะทางสนั ๆจะวดั เป็น foot ซงึ หมายถงึ 1 ฝ่าเทา้ วดั ระยะทางทีไกลขนึ ดว้ ย กา้ ว (paces) โดยที 1 ไมล์ = 1,000 paces วดั ความจดุ ว้ ยสงิ ของใชใ้ กลต้ วั เชน่ cups, pails หรอื baskets

ตวั อย่างหน่วยทใี ช้ในระบบอังกฤษ  ขนาดของความยาว มหี น่วยวัดป็ น ฟุต (foot) , นิว (inch) , หลา (yard) เป็ นตน้ ขนาดของแรง, นาํ หนัก มหี น่วยวัดเป็ น ปอนด์ (pound), ออนซ์ (ounce) เป็ นตน้  ขนาดของปริมาตร มหี น่วยเป็ น ถว้ ย (cup), แกลลอน (gallon) เป็ นตน้  ขนาดของเวลา มหี น่วยเป็ น วนิ าที (second) เป็ นตน้

ระบบเมตริก (Metric System) ระบบเมตริกเป็ นระบบสมัยใหม่ มพี นื ฐานของการวัดมาจากระบบทศนิยม (decimal system) ซงึ ปรับการเขยี น ใหอ้ ยใู่ นรูปผลคูณของเลขฐาน 10 ระบบยอ่ ยของระบบเมตริก เช่น  ระบบ CGS (centimetre-gram-second systems) มีหน่วยพืนฐานเป็น เซนตเิ มตร กรมั และวนิ าที  ระบบ MKS (meter-kilogram-second) มีหนว่ ยพืนฐานเป็น เมตร กิโลกรมั และ วินาที  ระบบ MK (force)s มีหน่วยพืนฐานเป็น เมตร กิโลกรมั -แรง และวนิ าที

ระบบหน่วยระหว่างชาติ Standard International Unit หรือ SI พฒั นามาจากระบบ MKS เพอื ใหเ้ ป็ นหน่วยมาตรฐานในการ เปรียบเทยี บหน่วยทแี ตกตา่ งกันของประเทศตา่ งๆ ระบบหน่วยระหว่างชาติ หนว่ ยฐาน หนว่ ยอนพุ นั ธ์ หน่วยเสรมิ (Base Unit) (Derived Unit) (Supplementary Units

หน่วยฐาน (Base Unit) เป็นหน่วยวดั ทีหน่วยวดั อืนๆสามารถเปรยี บเทียบกลบั มาได้ กาํ หนดไว้ 7หน่วย ปรมิ าณ หนว่ ยพืนฐาน สญั ลกั ษณ์ ความยาว (Length) เมตร (metre) m มวล (Mass) กิโลกรมั (kilogram) kg เวลา (Time) วินาที (second) s กระแสไฟฟา้ (Electric Current) แอมแปร์ (ampere) A อณุ หภมู ิ (Temperature) เคลวิน (kelvin) K ปรมิ าณของสสาร โมล (mole) mol (Amount of Substance) ความเขม้ ของการสง่ สวา่ ง แคนเดลลา (candela) cd (Luminous Intensity)

หน่วยอนุพนั ธ์ (Derived units) นาํ หน่วยฐานหลายหน่วยมาเกยี วข้องกัน หน่วยอนุพนั ธม์ หี ลายหน่วยซงึ มชี ือและสัญลักษณท์ กี าํ หนดขนึ โดยเฉพาะ มิติ หรอื ปรมิ าณ(Quantity) ชือหนว่ ย (Unit) สญั ลกั ษณ์ (Symbol) พืนที ตารางเมตร ปรมิ าตร ลกู บาศกเ์ มตร m2 ความถี(Frequency) เฮิรท์ ซ m3 ความหนาแนน่ มวล กิโลกรมั ตอ่ ลกู บาศกเ์ มตร Hz หรอื s-1 ความเรว็ (Velocity) เมตรตอ่ วินาที kg/m3 ความเรง่ (Acceleration) เมตรตอ่ วนิ าทีกาํ ลงั สอง m/s m/s2

หน่วยเสริม ( Supplementary Units ) 1. เรเดียน ( Radian : rad ) เป็นหนว่ ยวดั มมุ ในระนาบ โดยทีมมุ 1 เรเดียน คือ มมุ ทีจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทีรองรบั ความยาวของสว่ นโคง้ ทีมีความยาวเทา่ กบั รศั มี 2. สเตอเรเดียน ( Steradian : sr ) เป็นหน่วยวดั มมุ ตนั โดยทีมมุ 1 สเตอ เรเดียน คือ มมุ ทีจดุ ศนู ยก์ ลางของทรงกลมทีรองรบั พืนทีผิวโคง้ ทีมีพืนทีเป็น สีเหลยี มจตั รุ สั ทีมีความยาวดา้ นเทา่ กบั รศั มี

ในการเขียนปรมิ าณทีมีคา่ มากหรอื นอ้ ยเกินไป สามารถ ใชค้ าํ นาํ หนา้ หนว่ ย (prefixes) เขา้ มา ชว่ ยในการเขียนได้

คาํ นาํ หน้าหน่วย (prefixes) คาํ นาํ หน้าหน่วย คอื คาํ ทีใชแ้ ทน ตวั คณู หรอื เลขสบิ ยกกาํ ลงั ดว้ ยจาํ นวนบวก หรอื จาํ นวนลบ จะใช้คาํ นาํ หน้าหน่วย เมือปรมิ าณมีคา่ มากหรอื นอ้ ยเกินไป ซงึ สามารถเขียน ปรมิ าณนนั ในรูปตวั เลขคณู กบั ตวั คณู ได้ จากนนั จงึ เปลยี น ตวั คณู ใหเ้ ป็น คาํ นาํ หนา้ หน่วย เช่น ระยะทาง 0.002 เมตร เขียนในรูปตวั เลขคณู กบั ตวั คณู ไดเ้ ป็น มิลล(ิ m) 2103 เมตร ดงั นนั 0.002 เมตร = 2 มลิ ลิเมตร

คาํ นาํ หน้าหน่วยทใี ช้แทนตัวคูณและสัญลักษณ์ แฟคเตอร์ คาํ นาํ หนา้ สญั ลกั ษณ์ แฟคเตอร์ คาํ นาํ หนา้ สญั ลกั ษณ์ 1018 (เอกซะ)Exa E 10-1 (เดซ)ิ Deci d 1015 (เพตะ)Peta P 10-2 (เซนติ)Centi c 1012 (เทระ)Tera T 10-3 (มิลล)ิ Milli m 109 (จิกะ)Giga G 10-6 (ไมโคร)Micro  106 (เมกะ)Mega M 10-9 (นาโน)Nano n 103 (กิโล)Kilo k 10-12 (ฟิ โก)Pico p 102 (เฮกโต)Hecto h 10-15 (เฟมโต)Femto f 101 (เดคา)Deck da 10-18 (อตั โต)Atto a เชน่ 1 กิโลกรมั = 1 x 103 กรมั = 1,000 กรมั 100 เซนตเิ มตร = 100 x 102 เมตร = 1 เมตร

การตวงวัดประจาํ บา้ น (Household measurement) เป็ นหน่วยทมี คี วามถกู ตอ้ งน้อยทสี ุดเมอื เทยี บกับหน่วยอนื เนืองจาก เครืองมอื ทใี ช้ตวงอาจมคี วามแตกตา่ งกัน เป็ นหน่วยทเี ข้าใจงา่ ยเพราะใช้เครืองมอื ทอี ยใู่ กล้ตวั ตวั อย่างของหน่วยวัดประจาํ บา้ น เช่น  หยด (drop ตวั ยอ่ gtt) ,  ชอ้ นชา (teaspoon ตวั ยอ่ tsp.),  ชอ้ นโต๊ะ (tablespoon ตวั ยอ่ tbsp)  ถว้ ยแกว้ (Glassful)

ระบบอโพทคี ารี (Apothecary system) เป็ นหน่วยทนี ิยมใช้ทางเภสัชกรรม เพอื ชังนาํ หนักและตวงปริมาตรยา หรือสารตา่ งๆ ตวั อย่างของระบบอโพทคี ารี เช่น Minim (ตวั ยอ่ min หรอื m ) Ounce (ตวั ยอ่ oz) , Grain (gr.) Fluid Ounce (f )

ระบบหน่วยทนี ิยมใช้ทางสายวทิ ยาศาสตร์ ในทางคลนิ ิกและสายวทิ ยาศาสตรก์ ารแพทย์ วทิ ยาศาสตรส์ ุขภาพ ระบบหน่วยทนี ิยมใช้คอื ระบบเมตริก (metric system) ซงึ มหี น่วยฐานที นิยมใช้ คอื ระยะทาง(Length) ใชห้ นว่ ย เมตร(meter) ตวั ยอ่ m นาํ หนกั (Weight) ใชห้ นว่ ย กรมั (gram) ตวั ยอ่ g ปรมิ าตร (Volume) ใชห้ นว่ ย ลติ ร(liter) ตวั ยอ่ L

หน่วยจากระบบอนื ๆทนี ิยมใช้ร่วมกัน หน่วย ศัพท์ สัญลักษณ์ หน่วย ศัพท์ สัญลักษณ์ (ตวั ยอ่ ทใี ช้) (ตวั ย่อทใี ช้) เมตร meter m กรมั หลา yard yd แกว้ gram g ฟตุ foot ft ควอต นิว inches in glass ไมล์ mile mi ออนซ์ หยด drop gtt ของเหลว quarts qt ไพน์ ถว้ ย minim m fluid dram fl dr fluid ounce fl oz ชอ้ นชา teaspoon tsp pint pt ชอ้ นโต๊ะ cup c tablespoo tbsp ปอนด์ n ลติ ร Liter L แกลลอน pound lb gallon gal

ตัวอยา่ งที 1 ฝึกเขียนปรมิ าณพรอ้ มหนว่ ยในรูปของตวั ยอ่ และ เขียนในรูปของตวั เลขคณู ดว้ ยตวั พหคุ ณู (ถา้ เขียนได)้ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี 1) สบิ กรมั = …………………… 6) หนงึ มิลลเิ มตร =……………..………… 2) สองมิลลลิ ติ ร = …………………..… 7) เจ็ดออนซ์ = …………………………… 3) หนงึ รอ้ ยไมโครกรมั =……………………..…… 8) หา้ ชอ้ นโต๊ะ =…………………..……… 4) สีลติ ร = ………………………… 9) สามชอ้ นชา =…………………….…… 5) สบิ หา้ เซนตเิ มตร = …………………………… 10) แปดปอนด์ =…………………………

การเปรียบเทยี บและการแปลงหน่วย

การเปรียบเทยี บหน่วย  การเปรียบเทยี บหน่วยในระบบเมตริก ความยาว/ระยะทาง นาํ หนัก/มวล ปริมาตร 1 เมตร = 100เซนตเิ มตร 1 กิโลกรมั = 1,000 กรมั 1 ลติ ร = 1000 มิลลลิ ติ ร 1 เซนตเิ มตร = 10 มิลลเิ มตร 1 กรมั = 1,000 มิลลกิ รมั 1 มิลลลิ ติ ร = 1 cc 1 มิลลกิ รมั = 1,000 ไมโครกรมั 1 มิลลลิ ติ ร = 1 cm3  การเปรียบเทยี บหน่วยตา่ งระบบ นาํ หนัก/มวล 1 ปอนด์ = 16 ออนซ์ (oz) ความยาว/ระยะทาง 1 ตนั = 2,000 ปอนด์ 1 ฟตุ (ft) = 12 นิว (inches) 1 กิโลกรมั = 2.205 ปอนด์ 1 หลา (yd) = 3 ฟตุ 1 เมตรกิ ตนั = 1,000 กิโลกรมั 1 ไมล์ = 5280 ฟตุ 1 เมตร = 3.281 ฟตุ 1 เซนติเมตร = 0.4 นิว

การเปรียบเทยี บหน่วย ปริมาตร Note: 1 ชอ้ นชา = 60 หยด mL และ cc (cubic centimeter ) 1 หยด = 0.06 มิลลลิ ติ ร สามารถใชแ้ ทนกนั ได้ แตจ่ ะนิยม 1 ชอ้ นโต๊ะ = 3 ชอ้ นชา ใช้ mL มากกวา่ 1 ถว้ ย = 8 ออนซ์ 1 ออนซ์ = 2 ชอ้ นโต๊ะ 1 ออนซ์ = 30 มิลลลิ ติ ร 1 ลติ ร = 1000 ลกู บาศกซ์ .ม.(cm3) 1 ลติ ร = 32 ออนซ์ 1 ลติ ร = 0.264 แกลลอน 1 แกลลอน = 4 ควอต 1 แกว้ = 8 ออนซ์ 1 cm3 = 1 มิลลลิ ติ ร

การเปรียบเทยี บหน่วยของอุณหภมู ิ R  C  F  32  K  273.5 4 5 9 5 เมอื R แทน องศาโรเมอร์ C แทน องศาเซลเซยี ส F แทน องศาฟาเรนไฮต์ K แทน เคลวนิ

การแปลงหน่วย การแปลงหน่วยในระบบเมตริกหรือระบบ SI วธิ ีการ : ใช้หลักการแก้สมการ โดยมขี ันตอนดงั นี 1. เขยี นปริมาณทตี อ้ งการพร้อมหน่วยในรูปสมการ โดยกาํ หนดคาํ ตอบ ทตี อ้ งการใหอ้ ยใู่ นรูปตวั แปร 2. แปลงคาํ นาํ หน้าใหอ้ ยใู่ นรูปตวั คูณ โดยใหเ้ หลือแตห่ น่วยฐาน 3. เมอื หน่วยฐานของทงั 2 ข้างของสมการเทา่ กันแล้ว ใหแ้ ก้สมการเพอื หาค่าของตวั แปร

ตวั อยา่ งที 2 : จงแปลงหน่วยในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 0.2 มลิ ลกิ รัม เทา่ กับ กกี รัม 100 ไมโครกรัม เทา่ กับกี มลิ ลิกรัม

ตวั อย่างที 2 : จงแปลงหน่วยในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี  0.05 ลติ ร เทา่ กบั กี มิลลลิ ติ ร  18 เซนตเิ มตร (cm) เทา่ กบั กีกิโลเมตร (km)

ตัวอย่างที 2 : จงแปลงหน่วยในแต่ละข้อต่อไปนี 2 เมตร (m) เทา่ กับ กไี มโครเมตร (m)

การแปลงหน่วย กรณีทราบความสัมพนั ธร์ ะหว่างหน่วยทตี า่ งกัน ในบางครังเรามคี วามตอ้ งการทจี ะเปลยี นหน่วยจากระบบหนึงไปยงั ระบบหนึง สามารถทาํ ไดโ้ ดย วธิ ีที 1 ใช้การเทยี บบญั ญัตไิ ตรยางศ์ วธิ ีที 2 สร้างเป็ นอัตราส่วนเปลยี นหน่วย (conversion ratio) โดยมวี ธิ ีดงั นี NOeldwUUnniittss   Conversion ratio  เช่น 1 ฟุต = 12 นิว 11เ2ขfยี itnนเป็ น conversion ratio เมอื ตอ้ งการเปลียน ฟุต เป็ น นิว ไดเ้ ป็ น หรือเทยี บบญั ญัตไิ ตรยางศ์ เช่น ถา้ ตอ้ งการทราบว่า 3 ฟุต เทา่ กับกนี ิว ก็ จะได้ 1 ฟุต = 12 นิว 3 ฟุต = 12 x 3 = 36 นิว 1

ตวั อย่างที 3 : จงแปลงหน่วยในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 3.1) เดก็ คนหนึงหนัก 20 กโิ ลกรัม จะมนี าํ หนักเทา่ กับกปี อนด์ 3.2) 15 ฟุต เทา่ กับ กหี ลา

ตวั อย่างที 3 : จงแปลงหน่วยในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 3.3) 3 ถว้ ย เทา่ กับ กชี ้อนชา 3.4) อุณหภมู ิ 100 K เทา่ กับกี C

โจทยป์ ัญหาของการแปลงหน่วย กรณีทเี ป็ นการเปลยี นหน่วยตา่ งระบบ ใหใ้ ชข้ อ้ มลู การเปรยี บเทียบหนว่ ยตา่ งระบบเพือชว่ ยในการเปลียนหน่วย โดยใชก้ ารเทียบบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ กรณีทเี ป็ นการเปลยี นหน่วยในระบบเมตริก พยายามเปลยี นโจทยใ์ หอ้ ยใู่ นรูปสมการ จากนนั เปลียนคาํ นาํ หนา้ เป็นตวั คณู เพือใหห้ นว่ ย 2 ขา้ งของสมการเทา่ กนั แลว้ แกส้ มการ

ตวั อย่างที 4 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.1 ถา้ ผปู้ ่วยมีอณุ หภมู ิรา่ งกาย 102° F ดงั นนั จะบนั ทกึ ขอ้ มลู วา่ ผปู้ ่วยมีอณุ หภมู ิรา่ งกาย เทา่ กบั กีองศาเซลเซยี ส

ตวั อย่างที 4 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.2 ในการสอบถามผปู้ ่วยก่อนการเจาะเลือดถงึ เครอื งดืมทีผปู้ ่วยไดด้ มื ตงั แตเ่ ชา้ ซงึ ผปู้ ่วยใหข้ อ้ มลู วา่ ไดด้ ืมนาํ สม้ ครงึ ถว้ ย กาแฟ 2 ถว้ ย และ นาํ เปลา่ ประมาณ 3/4 ถว้ ย ดงั นนั ปรมิ าณเครอื งดมื ทงั หมดทีผปู้ ่วยคนนีดืมไปรวมแลว้ ประมาณกีมลิ ลลิ ติ ร

ตวั อยา่ งที 4 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.3 วตั ถชุ ินหนงึ เคลือนทีดว้ ยอตั ราเรว็ 36 ไมล/์ ชวั โมง เทา่ กบั กีเมตร/วนิ าที

ตวั อยา่ งที 4 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.4 ถา้ ยาขวดหนงึ มีขนาดบรรจุ 8 ออนซ์ และแพทยก์ าํ หนดใหผ้ ปู้ ่วยตอ้ งทานยาชนิดนี 2 ชอ้ นชาทกุ ๆ8 ชวั โมง จงหาวา่ ผปู้ ่วยจะตอ้ งทานยาชนิดดงั กลา่ วกีวนั ยาจงึ จะหมด พอดี

ตวั อย่างที 4 จงหาคาํ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี 4.5 ถา้ ตอ้ งการลดนาํ หนกั ใหไ้ ด้ 20 กิโลกรมั ภายใน 60 วนั แลว้ จะตอ้ งลดนาํ หนกั โดย เฉลียประมาณวนั ละกีปอนด์