บทที่6อนุพันธ์ของเวกเตอร์

ตวั อย่างท่ี 6.6.8 กาํ หนดให้ f (x, y, z)  2x2 yz3 จงแสดงวา่    (f )  0 f   (2x2 yz3 )iˆ   (2x2 yz3 ) ˆj   (2x2 yz3 ) kˆ x y z  4xyz3 iˆ  2x2 z3 ˆj  6x2 yz 2 kˆ   (f )  iˆ ˆj kˆ    x y z 4 xyz 3 2x2z3 6x2 yz 2  (6x2 z 2  6x2 z 2 )iˆ  (12xyz 2 12xyz 2 ) ˆj  (4xz3  4xz3 ) kˆ  0

คุณสมบตั ขิ องตวั ดาํ เนินการเดล ให้ F และ G เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอรท์ ีหาอนพุ นั ธไ์ ด้  และ  เป็น ฟังกช์ นั สเกลาร์ และ c เป็นคา่ คงตวั 1. คุณสมบตั ิของเกรเดียนตข์ องฟังกช์ นั สเกลาร์ มีดงั น้ี 1.1 (c)  c 1.2 (  )     1.3 ()     1.4 (  )     ,   0  2

คุณสมบัตขิ องตวั ดาํ เนินการเดล 2. คณุ สมบตั ขิ องไดเวอรเ์ จนซข์ องฟังกช์ นั เวกเตอร์ มีดงั นี 2.1   (F  G )    F    G 2.2   (F)  (  F)  F  () 2.3   ()  2  2  2  2 x 2 y 2 z 2

คุณสมบัตขิ องตวั ดาํ เนินการเดล 3. คณุ สมบตั ขิ องเคริ ล์ ของฟังกช์ นั เวกเตอร์ มีดงั นี 3.1   (F  G )    F     G 3.2   (F)         F F 3.3   (F  G )  G  (  F)  F  (  G ) 3.4   (F  G )  F(  G )  G (  F)  (G  )F  (F  )G 3.5 (F  G )    (  G )    (  F )  (F  )G  (G  )F F G 3.6   (  F)  (  F)  2F 3.7      0 3.8   F  0

สรุป • เรียกว่า ตวั ดาํ เนินการเดล โดยที   i   j   k  vector x y z • เมอื  เป็ นสเกลาร์ ดงั นัน  เรียกว่า เกรเดยี นซ์ หรือ grad  ดงั นัน    i   j   k    i   j     x y z  x y z vector

• เมือ F  f1i  f2j  f3k dเปiv็นFเวกหเตรอือร์ ดงั นFนั มีผลลพั ธ์ 2 แบบ คือ แบบที 1: ไดเวอรเ์ จนต์ หรอื   F   i   j   k    f1i  f2 j  f3 k   x y z   f1  f2  f3 scalar x y z แบบที 2 : เคิรล์ หรอื curlF หรอื  F i j k curl F   F     vector x y z f1 f2 f3