บทที่3เวกเตอร์และเรขา3มิติPart3

3.9 มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น บทนิยาม 3.9.1 มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น คือ มุมระหวา่ งเวกเตอร์ แสดงทิศทางของเสน้ ตรงท้งั สอง หมายเหตุ โดยทวั่ ไปถา้  เป็นมุมระหวา่ งเวกเตอร์แสดงทิศทางของเสน้ ตรง L1 กบั L2 แลว้ มุมระหวา่ งเส้นตรง L1 กบั L2 กค็ ือ  หรือ 

ตวั อย่างที่ 3.9.1 จงหามุมระหวา่ งเสน้ ตรง L1 กบั L2 เมื่อกาํ หนด 1 z x L1 : 2x 1  y  3 L2 : 4  y 1  z

3.10 สมการระนาบในสามมติ ิ ทฤษฎบี ท 3.10.1 ระนาบท่ีผา่ นจุด P0(x0, y0, z0) และต้งั ฉากกบั เวกเตอร์   N  aˆi  bˆj  ckˆ (เรียก N วา่ เวกเตอร์แนวฉาก หรือเวกเตอร์ปกติของระนาบ) มีสมการเป็ น a(x  x0 )  b ( y  y0 )  c (z  z0 )  0 สมการทว่ั ไปของระนาบ จะอยใู่ นรูป ax  by  cz  d  0 เมื่อ a,b,c,d เป็นค่าคงท่ี และไม่เป็นศูนยพ์ ร้อมกนั ท้งั หมด โดยที่ d   ax0  by0  cz0

ตวั อย่างท่ี 3.10.1 จงหาสมการระนาบที่ผา่ นจุด (1,1, 3) และต้งั ฉากกบั  เสน้ ตรง N  3iˆ  ˆj  kˆ

ตวั อย่างท่ี 3.10.2 xจงหาส9มกา2รtที่,ผา่yนจุดP0(24,1,t-,2)z และต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง L:  113t

3.11 มุมระหว่างระนาบสองระนาบ ให้  เป็นมุมระหวา่ งระนาบ a1x + b1y + c1z + d1 = 0 และ ระนาบ a2x + b2y + c2z + d2 = 0 โดยท่ีระนาบที่หน่ึงมีเวกเตอร์ N1  a1ˆi  b1ˆj  c1kˆ ระนาบท่ีสองมีเวกเตอร์ N2  a2ˆi  b2ˆj  c2kˆ จะได้ cos   N1  N2 N1 N2 ถา้ ระนาบสองระนาบต้งั ฉากกนั จะได้ N1  N2  0

ตวั อย่างท่ี 3.11.1 จงหามุมระหวา่ งระนาบ x  y  6 z  5  0 และระนาบ x  y  6 z  2  0

ตวั อย่างท่ี 3.11.2 จงหาค่า m ที่ทาํ ใหร้ ะนาบ (4m  3)x  (m  3) y  (m  4)z 7  0 ต้งั ฉากกบั ระนาบ 2x4y 3z 7  0

จบบทที 3