Lecture Linear programing

7 โปรแกรมเชงิ เสน้ (Linear Programming)

7 โปรแกรมเชิงเสน้ (Linear Programming) โปรแกรมเชิงเสน้ เปน็ เทคนิคหรือเครอื่ งมือทนี่ ิยมนํามาใช้ในการแกป้ ัญหาตา่ งๆ เช่น ปญั หาดา้ นการบรหิ าร การควบคุมการผลติ สนิ คา้ วิศวกรรม การทหาร การแพทย์ เปน็ ต้น เปน็ การวางแผนใหไ้ ดค้ า่ สูงสดุ และคา่ ตาํ่ สดุ เช่น ตอ้ งการกําไรสูงสดุ หรอื ต้นทนุ ต่าํ สดุ ภายใต้ทรพั ยากรทมี่ ีอยอู่ ย่างจาํ กดั เทคนิคของโปรแกรมเชิงเสน้ คอื การนําเอาข้อจาํ กัดตา่ งๆ เงื่อนไขตา่ งๆ ทรพั ยากรทีม่ ีอยู่ และเป้าหมายทต่ี ้องการมาเขยี นเป็นตวั แบบ(Model) ใหอ้ ยู่ในรปู ของสมการ หรอื อสมการ จากนั้นนําตวั แบบทีไ่ ดไ้ ปแกป้ ญั หาดว้ ยวิธีทางคณิตศาสตร์ เพ่อื ใหไ้ ด้คําตอบทส่ี อดคล้อง กบั เป้าหมายท่ีต้องการ และเงือ่ นไข ขอ้ จํากัดตา่ งๆ

7 โปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming) ก่อนเรยี นโปรแกรมเชิงเส้น ทบทวน วิธเี ขียนกราฟสมการ และอสมการ

วธิ ีการเขียนกราฟของสมการ หาจุดตดั แกน โดยการกาํ หนดให้ ตวั แปรหน่ึงเป็นศูนย์ แลว้ แกส้ มการเพื่อ หาค่าของตวั แปรอีกตวั ท่ีเหลือ กาํ หนดจุดบนแกนแลว้ ลากเส้นเช่ือม ระหวา่ งจุดตดั บนแกนท้งั สอง เช่น การเขียนกราฟของสมการ 2x + 3y = 12 หาจุดตดั แกน y และ หาจุดตดั แกน x ให้ x = 0 ให้ y = 0 จะได้ 3y = 12 จะได้ 2x = 12 y= 4 x= 6 จะไดว้ า่ จุด (0, 4) จะไดว้ า่ จุด (6, 0) คือ จุดตดั บนแกน y คือ จุดตดั บนแกน x

จากจุดตดั บนแกน y คอื จุด (0, 4) และ จุดตดั บนแกน x คอื จุด (6, 0) y จุดทกุ จุดท่อี ยู่บนเส้นตรงจะทาํ ให้ สมการ 2x + 3y = 12 เป็ นจริง 5 ? 2x + 3y = 12 x 4 (0, 4) A (3, 2) 3 ?(4.5 , 1) พกิ ดั y 2 (6, 0) 1 2 3 4 5 67 01 พกิ ดั x

พจิ ารณากราฟของอสมการ ถา้ อสมการมีเครื่องหมายน้อยกว่า (< ) ใหแ้ รเงาพ้นื ที่ทาง ด้านซ้าย ของเสน้ กราฟ ถา้ อสมการมีเคร่ืองหมายมากกว่า ( > ) ใหแ้ รเงาพ้ืนที่ทาง ด้านขวา ของเสน้ กราฟ y 2x + 3y = 12 5 4  2x + 3y > 12 3 2 2x + 3y < 12 x 1 0 1 2 3 4 5 6 7

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี x + 2y  6 จุดตดั แกนy คอื จุด (0, 3) และ x0 จุดตดั แกนx คอื จุด (6, 0 ) y0 พิจารณาสมการ x + 2y = 6

x + 2y  6 จุดตดั แกน คอื จุด (0, 3) และ จุด (6, 0 ) x0 y0 y 5 x + 2y  6 x 4 (6, 0) 3 (0, 3) 4 567 2 1 0 123

ตวั อย่างที่ 2 จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี x+y  5 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 5 ) และ จุด (5 , 0) 2x + y  3 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 3 ) และ จุด ( 1.5, 0) x 0 y y0 5  (0, 5) x+y 5 2x + y  3 4 3 (0, 3) 2 2xx++yy<>53 1  (1.5 , 0) (5,0) x 0 1 23 4 56

ตวั อย่างท่ี 3 จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี 2x + 3y  12 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 4 ) และ จุด (6 , 0) y 6x + 5y  30 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 6 ) และ จุด ( 5, 0) 7 x  0;y 0 6 (0, 6) 5 2x + 3y  12 6x + 5y  30 4 (0, 4) 3 2 A(3.75, 1.5) 1  (5, 0) (6, 0) x 0 1 234 5 6 7

ตวั อย่างที่ 3 จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี 2x + 3y  12 หาพกิ ดั ของจุด A y 6x + 5y  30 2x + 3y = 12 … (1) x  0;y 0 และ 6x + 5y = 30 … (2) 7 (1)  3 6x + 9y = 36 … (3) 6 (0, 6) (3)  (2) 4y = 6 5 2x + 3y  12 จาก(1) y = 46 6x + 5y  30 y = 1.5 *** 4 (0, 4) 2x + 3(1.5) = 12 2x = 12  4.5 = 7.5 3 2 A(3.75, 1.5) จะไดว้ า่ x = 72.5 x = 3.75 *** 1 พกิ ดั ของจุด A คอื ( 3.75, 1.5 ) x  (5, 0) (6, 0) 0 1 234 5 6 7

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี *** จุดตดั แกนคือ จุด (0, 4) และจุด (8, 0) x + 2y  8 2x + y  6 x=6 จุดตดั แกนคือ จุด (0, 6) และจุด (3, 0) x =y0 0 x  6 x=6 6  (0, 6) 0 y  5 5 A (0.5, 5) B(6, 5) y=5   0 x 6 4 (0, 4) D(1.3 , 3.3) x + 2y  8 3 2x + y  6 2 1 C(6, 1) (3, 0) (8, 0) x y = 0 0 1 234 5 6 7 8

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี *** จุดตดั แกนคือ จุด (0, 4) และจุด (8, 0) x + 2y  8 2x + y  6 x=6 จุดตดั แกนคือ จุด (0, 6) และจุด (3, 0) x =y0 0 x  6 x=6 6  (0, 6) 0 y  5 5 A (0.5, 5) B(6, 5) y=5   0 x 6 4 (0, 4) D(1.3 , 3.3) x + 2y  8 3 2x + y  6 2 1 C(6, 1) (3, 0) (8, 0) x y = 0 0 1 234 5 6 7 8

6 การบ้าน ทาํ ทุกข้อลงในกระดาษ A4 แล้วนํากระดาษมาสง่ ในหอ้ งเรียน วันจันทร์หน้า (30 พย 63)

แบบฝึ กหดั 1. จงเขียนกราฟของอสมการ x  4 y 2. จงเขียนกราฟใหส้ อดคลอ้ งกบั ทุกอสมการต่อไปน้ี 2.16 3x  y  6 2.2 2x  y  6 x  2y  6 x  3y  9 0x7 , 0y5 2.3 x + 3y  6 การบ้าน 4x + 2y  8 ทําทกุ ขอ้ ลงในกระดาษ A4 x+y8 แลว้ นํากระดาษมาส่งในหอ้ งเรยี น x0 , y0 วนั จันทรห์ น้า (30 พย 63)

6 โปรแกรมเชงิ เสน้ (Linear Programming) (ตอ่ )

การแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น ( Linear Programming ) วเิ คราะห์โจทย์ กาํ หนดตวั แปรทตี่ ้องการตดั สินใจ สร้างฟังก์ชันจุดประสงค์ สร้างตวั แบบ สร้างฟังก์ชันข้อจาํ กดั ทางคณิตศาสตร์ ข้อจาํ กดั ของตวั แปรทต่ี ้องการตดั สินใจ พจิ ารณาพ้นื ที่ที่เป็นไปได้ เขียนกราฟ หาจุดมุมของพ้นื ที่ที่เป็นไปได้ ของขอ้ จาํ กดั ท้งั หมด พจิ ารณาคาํ ตอบท่ีดีที่สุด

การสร้างตวั แบบทางคณิตศาสตร์ ข้นั ท่ี 1 กาํ หนดตวั แปรที่ตอ้ งการตดั สินใจ ( Dicision variables )  พิจารณาขอ้ มลู จากโจทยป์ ัญหาที่กาํ หนดเพอ่ื ระบุตวั แปรท่ีตอ้ งการตดั สินใจ เช่น ถา้ บริษทั วางแผนในการผลิตสินคา้ 2 ชนิด จากทรัพยากรที่มีอยู่ ในท่ีน้ีตวั แปรที่ตอ้ งการตดั สินใจ คือ จาํ นวนสินคา้ ที่จะตอ้ งผลิตในแต่ละชนิด ดงั น้นั อาจกาํ หนดตวั แปรท่ีตอ้ งการตดั สินใจ ไดด้ งั น้ี x1 หรือ x แทน จาํ นวนสินคา้ ชนิดที่ 1 ท่ีตอ้ งการผลิต x2 หรือ y แทน จาํ นวนสินคา้ ชนิดท่ี 2 ท่ีตอ้ งการผลิต

ข้นั ท่ี 2 สร้างฟังกช์ นั จุดประสงค์ ( Objective function )  สร้างฟังกช์ นั ตามจุดประสงคข์ องบริษทั ผผู้ ลิต  โดยทว่ั ไปนิยมกาํ หนดให้ Z แทน ฟังกช์ นั จุดประสงค์  เนน้ ศึกษาอยู่ 2 แนวทาง คือ  เพื่อใหบ้ รรลุจุดประสงค์ ดา้ นสูงสุด (Maximize) Maximize Z = (สมการที่แสดงความสมั พนั ธก์ บั จาํ นวนสินคา้ ท่ีผลิต)  เพอ่ื ใหบ้ รรลุจุดประสงค์ ดา้ นต่าํ สุด(Minimize) Minimize Z = (สมการท่ีแสดงความสมั พนั ธ์กบั จาํ นวนสินคา้ ที่ผลิต) เช่น โรงงานไมแ้ ปรรูปแห่งหน่ึงสามารถผลิตโตะ๊ ได้ 7 ตวั และเกา้ อ้ีได้ 22 ตวั ต่อ 1 วนั ถา้ ให้ x แทนราคาโตะ๊ และ y แทนราคาเกา้ อ้ี ดงั น้นั ฟังกช์ นั จุดประสงคข์ องรายไดแ้ ต่ละวนั คือ …………………………………...

ข้นั ที่ 3 สร้างฟังกช์ นั ขอ้ จาํ กดั ( Constraint function ) จะพิจารณาจากเง่ือนไขในการจดั การกบั ทรัพยากรท่ีมีอยู่ ถา้ เรามีทรัพยากรอยา่ งจาํ กดั • จะใชค้ วามสมั พนั ธ์นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั (  ) (สังเกตจากคาํ ว่า “ไม่เกิน” หรือ “ไม่มากกว่า” หรือ “อย่างมาก”) ถา้ เรามีทรัพยากรอยา่ งไม่จาํ กดั • จะใชค้ วามสมั พนั ธ์ มากกวา่ หรือเท่ากบั (  ) (สังเกตจากคาํ ว่า “ไม่นอ้ ยกวา่ ” หรือ “อยา่ งนอ้ ย” หรือ “มากกวา่ ”) ถา้ เรามีทรัพยากรจาํ นวนท่ีแน่นอนและตอ้ งการใชใ้ หห้ มด • จะใชค้ วามสมั พนั ธ์เท่ากบั ( = )

ข้นั ท่ี 4 ขอ้ จาํ กดั ของตวั แปรที่ตอ้ งการตดั สินใจ ( Non – negative Constraint หรือ sign restriction)  ถา้ ตวั แปรที่ตอ้ งการตดั สินใจเกี่ยวขอ้ งกบั จาํ นวนสินค้าทจี่ ะผลติ ค่าของตวั แปรเหล่าน้ีจะ เป็ นลบไม่ได้ ดงั น้นั การกาํ หนดค่าของตวั แปรท่ีตอ้ งการตดั สินใจควรกาํ หนดดงั น้ี x0 และ y  0

การแกป้ ัญหาโปรแกรมเชิงเสน้ ดว้ ยกราฟ กรณีท่ีตวั แปรท่ีตอ้ งตดั สินใจมีเพียง 2 ตวั ข้นั ตอน  เขียนกราฟของอสมการขอ้ จาํ กดั ท้งั หมดของปัญหา  พิจารณาพ้นื ท่ีท่ีสอดคลอ้ งทุกอสมการ(พ้ืนท่ีท่ีเป็นไปได)้  หาจุดมุมของพ้ืนท่ีท่ีเป็นไปได้  พจิ ารณาเลือกจุดท่ีเป็นคาํ ตอบท่ีดีที่สุด ซ่ึงจะตอ้ งตรวจสอบโดยแทนค่า (x, y) ในฟังกช์ นั จุดประสงค์  สรุปคาํ ตอบท่ีได้

คาํ สงั่ จงหาคาํ ตอบที่ดีท่ีสุดสาํ หรับปัญหาโปรแกรมเชิงเสน้ ต่อไปน้ี (โดยวธิ ีกราฟ) ตวั อย่างท่ี 1 บริษทั ผลิตผา้ เชด็ ตวั แห่งหน่ึง ไดผ้ ลิตผา้ เชด็ ตวั ออกจาํ หน่าย 2 ชนิด คือ ชนิด ก. และ ชนิด ข. ชนิด ก. ใชเ้ วลาตดั ผนื ละ 5 นาที และใชเ้ วลาเยบ็ ผนื ละ 10 นาที ชนิด ข. ใชเ้ วลาในการตดั ผนื ละ 8 นาที และใชเ้ วลาเยบ็ ผนื ละ 8 นาที โดย บริษทั มี เวลาสําหรับการตดั 3 ชั่วโมง 20 นาที และ เวลาสําหรับการเยบ็ 4 ช่ัวโมง ถา้ บริษทั ไดก้ าํ ไรจากการขายผา้ เชด็ ตวั ชนิด ก. ผนื ละ 50 บาท และชนิด ข. ผนื ละ 60 บาท บริษทั ควรจะผลติ ผ้าเช็ดตวั ท้งั สองชนิดนีอ้ ย่างละเท่าไรจงึ จะได้กาํ ไรสูงสุด ข้นั ตอนการผลติ ตดั เยบ็ กาํ ไร ผ้าเช็ดตวั (นาที) (นาที) (บาท/ผนื ) ชนิด ก 5 10 50 ชนิด ข 88 60 ข้อจาํ กดั ≤ 200 ≤ 240

ข้นั ตอนการผลติ ตดั เยบ็ กาํ ไร ผ้าเช็ดตวั (นาที) (นาที) (บาท/ผนื ) ชนิด ก ( x ผนื ) 5x 10 x 50 x ชนิด ข ( y ผนื ) 8y 8y 60 y ข้อจาํ กดั ≤ 200 ≤ 240 ตวั แบบของการโปรแกรมเชิงเส้น ตวั แปรทตี่ ้องการตดั สินใจ : ให้ x , y แทน จาํ นวนผา้ เชด็ ตวั ชนิด ก และ ชนิด ข ท่ีบริษทั ผลิตและขายได้ ฟังก์ชันจุดประสงค์ : บริษทั ต้องการ Z แทน ฟังก์ชันจุดประสงค์ของกาํ ไร กาํ ไรสูงสุด ดงั น้ัน Maximize Z = 50x + 60y

ข้นั ตอนการผลติ ตดั เยบ็ กาํ ไร ผ้าเช็ดตวั (นาที) (นาที) (บาท/ผนื ) ชนิด ก ( x ผนื ) ชนิด ข ( y ผนื ) 5x 10 x 50 x 8y 8 y 60 y ข้อจาํ กดั ≤ 200 ≤ 240 ฟังก์ชันข้อจาํ กดั : นําข้อจาํ กดั ท้งั หมด ไปเขยี นกราฟ ขอ้ จาํ กดั ในการตดั 5x + 8y ≤ 200 ขอ้ จาํ กดั ในการเยบ็ 10x + 8y ≤ 240 ข้อจาํ กดั ของตวั แปร : x ≥0 y≥0

5x + 8y ≤ 200 จุดตดั แกนคือ จุด (0, 25) และจุด (40, 0) 10x + 8y ≤ 240 จุดตดั แกนคือ จุด (0, 30) และจุด (24, 0) x ≥ 0 และ y ≥ 0 5x + 8y ≤= 200 y 10x + 8y =≤ 240 30 (0, 30) 25 (0, 25) .20 (8, 20) 15 10 5 x (0, 0) (24, 0) (40, 0)  0 5 10 15 20 25 30 35 40

จะไดจ้ ุดมุมท่ีน่าจะเป็นคาํ ตอบท่ีดีท่ีสุด 3 จุด ไดแ้ ก่ จุด (0, 25) , จุด(8, 20) และ จุด(24, 0) นาํ ไปแทนค่าในฟังกช์ นั จุดประสงค์ ไดด้ งั น้ี จุดมุม (x, y) Maximize Z = 50x + 60y ( 0, 25 ) 50(0) + 60(25) = 1,500 ( 8, 20 ) !!! 50(8) + 60(20) = 1,600 Max ( 24, 0 ) 50(24) + 60(0) = 1,200 สรุป บริษทั จะได้ กาํ ไรสูงสุด 1,600 บาท เมื่อผลิตผา้ เชด็ ตวั ชนิด ก จาํ นวน 8 ผนื และชนิด ข จาํ นวน 20 ผนื

ตวั อย่างที่ 2 โรงงานแห่งหน่ึงไดท้ าํ การผลิตและขายสินคา้ 2 ชนิด คือ ชนิด A และ ชนิด B โดยมีความตอ้ งการที่จะไดก้ าํ ไรในสินคา้ ชนิด A หน่วยละ 500 บาท ชนิด B หน่วยละ 850 บาท และในการผลิตสินคา้ ชนิด A น้นั ตอ้ งผา่ นการคดั เลือกวสั ดุที่ใชห้ น่วยละ 2 วนั ประกอบหน่วยละ 3 วนั ส่วนชนิด B ตอ้ งผา่ นการคดั เลือกวสั ดุท่ีใชห้ น่วยละ 4 วนั ประกอบหน่วยละ 6 วนั โดยทางโรงงานไดก้ าํ หนดเวลาในการคดั เลือกวสั ดุที่จะใช้ ท้งั หมดไม่มากกว่า 12 วนั และประกอบไว้ อย่างน้อย 9 วนั โรงงานจะตอ้ งวางแผนในการ ผลิตและขายสินคา้ ท้งั สองชนิดน้ีอยา่ งไรจึงจะไดก้ าํ ไรสูงสุด ข้นั ตอนการผลติ คดั เลอื ก(วนั ) ประกอบ(วนั ) กาํ ไร สินค้า (บาท/หน่วย) 2 3 ชนิด A 4 6 500 ชนิด B ≤ 12 ≥9 850 ข้อจาํ กดั

ข้นั ตอนการผลติ คดั เลอื ก(วนั ) ประกอบ(วนั ) กาํ ไร สินค้า (บาท/หน่วย) ชนิด A ( x หน่วย ) 2x 3 x 500 x ชนิด B ( y หน่วย ) 4y 6 y 850 y ขอ้ จาํ กดั ≤ 12 ≥9 ตวั แบบของการโปรแกรมเชิงเส้น ตวั แปรทตี่ ้องการตดั สินใจ : ให้ x , y แทน จาํ นวนสินคา้ ชนิด A และ ชนิด B ที่บริษทั ผลิตและขาย ฟังก์ชันจุดประสงค์ : บริษทั ต้องการ กาํ ไรสูงสุด Z แทน ฟังก์ชันจุดประสงค์ของกาํ ไร ดงั น้ัน Maximize Z = 500x + 850y

ข้นั ตอนการผลติ คดั เลอื ก(วนั ) ประกอบ(วนั ) กาํ ไร สินค้า (บาท/หน่วย) 2x 3x ชนิด A ( x หน่วย ) 4y 6y 500 x ชนิด B ( y หน่วย ) ≤ 12 ≥9 850 y ขอ้ จาํ กดั 2x + 4y ≤ 12 นําข้อจาํ กดั ท้งั หมด ฟังก์ชันข้อจาํ กดั : 3x + 6y ≥ 9 ไปเขยี นกราฟ ข้อจาํ กดั ในการคดั เลอื ก x≥0 ข้อจาํ กดั ในการประกอบ y ≥0 ข้อจาํ กดั ของตวั แปร :

2x + 4y ≤ 12 จุดตดั แกนคอื จุด ( 0, 3 ) และจุด( 6, 0 ) 3x + 6y ≥ 9 จุดตดั แกนคอื จุด ( 0, 1.5 ) และจุด ( 3, 0 ) x≥0; y≥ 0 2x + 4y ≤ 12 y 3x + 6y ≥ 9 5 (3,0) (6,0) x 8 4 23 4 56 7 3 (0, 3) (0, 12.5) 1 01

จะไดจ้ ุดมุมท่ีน่าจะเป็นคาํ ตอบท่ีดีที่สุด 4 จุด ไดแ้ ก่ จุด(0, 3) , จุด(0, 2), จุด(6, 0) และ จุด(3, 0) นาํ ไปแทนค่าในฟังกช์ นั จุดประสงค์ ไดด้ งั น้ี จุดมุม (x, y) Maximize Z = 500x + 850y ( 0, 3 ) 500(0) + 850(3) = 2,550 ( 0, 2 ) 500(0) + 850(2) = 1,700 ( 3, 0 ) 500(3) + 850(0) = 1,500 ( 6, 0 ) !!! 500(6) + 850(0) = 3,000 Max สรุป โรงงานจะไดก้ าํ ไรสูงสุด 3,000 บาท เม่ือผลิตสินคา้ ชนิด A เพียงอยา่ งเดียวจาํ นวน 6 หน่วย

ตวั อย่างท่ี 3 โรงงานแห่งหน่ึงทาํ การผลิตผลิตภณั ฑโ์ ลหะ 2 ชนิด โดยผลิตภณั ฑแ์ ต่ละ ชนิดจะตอ้ งผา่ นข้นั ตอนในการผลิต 3 ข้นั ตอน และเสียตน้ ทุนในการผลิตแต่ละหน่วย ดงั ตารางต่อไปน้ี ข้นั ตอนการผลติ ข้นั ตอนท่ี 1 ข้นั ตอนที่ 2 ข้นั ตอนท่ี 3 ต้นทุน โลหะภณั ฑ์ (ชวั่ โมง) (ชวั่ โมง) (ชว่ั โมง) (บาท/หน่วย) ชนิดที่ 1 1 2 1 60 ชนิดท่ี 2 1 1 2 70 ข้อจาํ กดั ≤ 10 ≥8 ≥ 10 • ข้นั ตอนท่ี 1 มีเวลาในการผลิตไม่มากกว่า 10 ช่ัวโมง/วนั • ข้นั ตอนที่ 2 มีเวลาในการผลิตไม่น้อยกว่า 8 ช่ัวโมง/วนั • ข้นั ตอนท่ี 3 มีเวลาในการผลิตไม่น้อยกว่า 10 ช่ัวโมง/วนั โรงงานจะตอ้ งผลิตผลิตภณั ฑโ์ ลหะท้งั สองชนิดน้ีเป็นจาํ นวนเท่าไร จึงจะเสียต้นทุนในการ ผลติ ตา่ํ สุด และเสียตน้ ทุนเป็นเงินเท่าไรถา้ ตอ้ งการผลิตใหไ้ ด้ อย่างน้อยชนิดละ 2 หน่วย

ข้นั ตอนการผลติ ข้นั ตอนที่ 1 ข้นั ตอนที่ 2 ข้นั ตอนที่ 3 ต้นทุน โลหะภณั ฑ์ (ชั่วโมง) (ชั่วโมง) (ช่ัวโมง) (บาท/หน่วย) ชนิดท่ี 1 (x หน่วย) 1x 2x 1x 60 x ชนิดท่ี 2 (y หน่วย) 1y 1y 2y 70 y ข้อจาํ กดั ≤ 10 ≥ 8 ≥ 10 ตวั แบบของการโปรแกรมเชิงเส้น ตวั แปรทต่ี ้องการตดั สินใจ : ให้ x , y แทน จาํ นวนโลหะภณั ฑ์ ชนิดที่ 1 และชนิดท่ี 2 ที่บริษทั ผลิตและขาย ฟังก์ชันจุดประสงค์ : บริษทั ต้องการ Z แทน ฟังก์ชันจุดประสงค์ของต้นทุน ให้มตี ้นทุนตา่ํ สุด ดงั น้ัน Minimize Z = 60x + 70y

ข้นั ตอนการผลติ ข้นั ตอนท่ี 1 ข้นั ตอนท่ี 2 ข้นั ตอนท่ี 3 ต้นทุน โลหะภณั ฑ์ (ชั่วโมง) (ช่ัวโมง) (ช่ัวโมง) (บาท/หน่วย) ชนิดที่ 1 ( x หน่วย ) 1 x 2x 1x 60 x 2y 70 y ชนิดที่ 2 ( y หน่วย ) 1 y 1y ≥ 10 ข้อจาํ กดั ≤ 10 ≥ 8 ฟังก์ชันข้อจาํ กดั : x + y ≤ 10 นําข้อจาํ กดั ท้งั หมด ขอ้ จาํ กดั ในข้นั ตอนท่ี1 ไปเขยี นกราฟ ขอ้ จาํ กดั ในข้นั ตอนท่ี2 2x + y ≥ 8 ขอ้ จาํ กดั ในข้นั ตอนที่3 x + 2y ≥ 10 ข้อจาํ กดั ของตวั แปร : x≥2 y≥2

x + y ≤ 10 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 10) และจุด (10, 0) 2x + y ≥ 8 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 8) และจุด (4, 0) x + 2y ≥ 10 จุดตดั แกนคอื จุด (0, 5) และจุด (10, 0) x ≥ 2 และ y ≥ 2 10 (0y, 1x0)= 2 x + y ≤ 10 8 (0, 8) A(2, 8) 2x + y ≥ 8 6 (0, 5) x + 2y ≥ 10 4 (2, 4)D 2 C(6, 2)  B(8, 2) y = 2 (4, 0) (10, 0) 0 x 2 46 8 10 12 14 16

จะไดจ้ ุดมุมท่ีน่าจะเป็นคาํ ตอบที่ดีที่สุด 4 จุด ไดแ้ ก่ จุด(2, 8) , จุด(6, 2), จุด(2, 4) และ จุด(8, 2 ) แทนค่าในฟังกช์ นั จุดประสงค์ ไดด้ งั น้ี จุดมุม (x, y) Minimize Z = 60x + 70y Min ( 2, 8 ) 60(2) + 70(8) = 680 ( 6, 2 ) 60(6) + 70(2) = 500 ( 2, 4 ) !!! 60(2) + 70(4) = 400 ( 8, 2 ) 60(8) + 70(2) = 620 สรุป โรงงานจะมีตน้ ทุนต่าํ สุด 400 บาท เมื่อผลิตโลหะภณั ฑช์ นิดท่ี1 จาํ นวน 2 หน่วย และผลิตโลหะภณั ฑช์ นิดท่ี2 จาํ นวน 4 หน่วย

ตวั อย่างท่ี 4 ตารางต่อไปน้ีแสดงอาหารเสริมสาํ หรับทารก 2 ชนิด โดยท้งั 2 ชนิด มีสารอาหารท่ีจาํ เป็นอยู่ 3 ชนิด คือ คาร์โบไฮเดรต โปรตีน และ วติ ามิน โดยมีปริมาณ ต่าํ สุดของสารอาหารที่จาํ เป็น และราคาต่อหน่วยของอาหารแต่ละชนิด ดงั ตารางต่อไปน้ี สารอาหาร คาร์โบไฮเดรต โปรตนี วติ ามนิ ราคา อาหารเสริม (มิลลิกรัม) (มิลลิกรัม) (มิลลิกรัม) (บาท/หน่วย) ชนิดท่ี 1 2 4 2 7 ชนิดท่ี 2 4 3 1 6 ปริมาณตา่ํ สุด 20 24 14 จงหาวา่ ผปู้ กครองของเดก็ ทารกควรจะเลือกอาหารเสริมท้งั 2 ชนิดน้ีเป็นจาํ นวนเท่าไร จึงจะทาํ ใหท้ ารกไดร้ ับสารอาหารท่ีจาํ เป็นครบตามตอ้ งการ และเสียค่าอาหารนอ้ ยท่ีสุด โดยทารกที่รับประทานอาหารเสริมท้งั 2 ชนิดน้ี จะไดร้ ับปริมาณสารอาหารที่จาํ เป็นอยา่ ง ละกี่มิลลิกรัม

สารอาหาร คาร์โบไฮเดรต โปรตนี วติ ามนิ ราคา อาหารเสริม (มิลลิกรัม) (มิลลิกรัม) (มิลลิกรัม) (บาท/หน่วย) ชนิดท1่ี ( x หน่วย ) 2 x 4x 2x 7x ชนิดท2่ี ( y หน่วย ) 4 y 3y 1y 6y ปริมาณตา่ํ สุด 20 24 14 ตวั แบบของการโปรแกรมเชิงเส้น ตวั แปรทต่ี ้องการตดั สินใจ : ให้ x , y แทน จาํ นวนอาหารเสริมชนิดท่ี 1 และชนิดที่ 2 ทใี่ ห้ทารกบริโภค ฟังก์ชันจุดประสงค์ : ผู้ปกครองต้องการ จ่ายค่าอาหารน้อย Z แทน ฟังกช์ นั จุดประสงคข์ องค่าอาหารที่ผปู้ กครองตอ้ งจ่าย ทสี่ ุด ดงั น้ัน Minimize Z = 7x + 6y

สารอาหาร คาร์โบไฮเดรต โปรตนี วติ ามนิ ราคา อาหารเสริม (มลิ ลกิ รัม) (มลิ ลกิ รัม) (มลิ ลกิ รัม) (บาท/หน่วย) ชนิดท1ี่ (x หน่วย) 2x 4x 2x 7x ชนิดท2่ี (y หน่วย) 4y 3y 1y 6y ปริมาณตาํ่ สุด ≥ 20 ≥ 24 ≥ 14 ฟังก์ชันข้อจาํ กดั : 2x + 4y ≥ 20 นําข้อจาํ กดั ท้งั หมด ขอ้ จาํ กดั คาร์โบไฮเดรต 4x + 3y ≥ 24 ไปเขยี นกราฟ ขอ้ จาํ กดั โปรตีน 2x + y ≥ 14 ขอ้ จาํ กดั วติ ามิน x ≥ 0 และ y ≥ 0 ข้อจาํ กดั ของตวั แปร :

2x + 4y ≥ 20 y จุดตดั แกนคอื จุด( 0, 5 ) และจุด ( 10, 0 ) จุดตดั แกนคอื จุด( 0, 8 ) และจุด ( 6, 0 ) 4x + 3y ≥ 24 จุดตดั แกนคอื จุด( 0, 14) และจุด ( 7, 0 ) 2x + y ≥ 14 x ≥ 0 และ y ≥ 0 14 (0, 14) 12 10 8  (0, 8) 2x + 4y ≥ 20 4x + 3y ≥ 24 6 2x + y ≥ 14 (0, 5) 4 2 (6, 2) (6, 0) (7, 0) (10, 0) x 02 46 8 10 12 14 16

จะไดจ้ ุดมุมท่ีน่าจะเป็นคาํ ตอบที่ดีที่สุด 3 จุด ไดแ้ ก่ จุด(0,14) , จุด(6, 2) และ จุด(10, 0) นาํ ไปแทนค่าในฟังกช์ นั จุดประสงค์ ไดด้ งั น้ี จุดมุม (x, y) Minimize Z = 7x + 6y (0, 14 ) 7(0) + 6(14) = 84 (6, 2 ) !!! 7(6) + 6(2) = 54 Min (10, 0) 7(10) + 6(0) = 70 สรุป ผปู้ กครองจะเสียค่าอาหารนอ้ ยท่ีสุด 54 บาท เมื่อเลือกอาหาร เสริมชนิดที่1 6 หน่วย และชนิดท่ี2 2 หน่วย โดยทารกท่ีรับประทานอาหารเสริมท้งั 2 ชนิดน้ี จะไดร้ ับ ปริมาณโปรตีน 30 มิลลิกรัม

ส่วนประกอบ คาร์โบไฮเดรต โปรตีน วติ ามิน อาหารเสริม (มิลลิกรัม) (มิลลิกรัม) (มิลลิกรัม) ชนิดที่1 (6 หน่วย) 2(6) =12 4(6) = 24 2(6) = 12 ชนิดที่2 (2 หน่วย) 4(2) = 8 3(2) = 6 1(2) = 2 ปริมาณสารอาหารที่ไดร้ ับ = 20 = 30 = 14  ทารกท่ีรับประทานอาหารเสริมท้งั 2 ชนิดน้ี ตามปริมาณที่ผปู้ กครอง ตดั สินใจจะไดร้ ับปริมาณสารอาหารท่ีจาํ เป็น ดงั น้ี คาร์โบไฮเดรต 20 มิลลิกรัม โปรตีน 30 มิลลิกรัม วติ ามิน 14 มิลลิกรัม

การบ้านทําลงในกระดาษ A4 ถ่ายรปู ส่งใน Classroom รหัสนกั ศกึ ษาทล่ี งทา้ ยดว้ ยเลขค่ี ใหท้ าํ ข้อ 1 หน้า 53 รหสั นักศึกษาทลี่ งทา้ ยด้วยเลขคู่ ใหท้ าํ ข้อ 2 หนา้ 54 การเรยี น การวดั ผลและการสอบปลายภาค MAT116 1. เข้าหอ้ งเรยี น Online อีกครง้ั ในวนั องั คารที่ 7 เมย 63 เวลา 15.00 น. 2. สอบปลายภาค Online วนั อังคารที่ 21 เมย 63 เวลา 15.00-16.00 น. 3. คะแนนสอบปลายภาค 20 คะแนน เนอื้ หาท่ีสอบคอื Relation, Function, Linear Programing และ Applications 4. การวดั ผลจากคะแนนเกบ็ 60 สอบกลางภาค 20 สอบปลายภาค 20 5. คะแนนเกบ็ 60 จะประกาศใหท้ ราบกอ่ นสอบปลายภาค