บทที่8อินทิกรัลสองชั้น ตอนที่ 2

8.3 การหาพืน้ ท่ี โดยการใช้อนิ ทกิ รัลสองช้ัน

8.3 การหาพืน้ ทโ่ี ดยการใช้อนิ ทกิ รัลสองช้ัน ให้ A แทนพืนทีทีปิดลอ้ มรอบดว้ ยเสน้ โคง้ 2 เสน้ โคง้ y1  f(x) และ y2  g(x) โดยที g(x)  f(x) เมือ a  x  b จะได้ A  ab fg((xx))dy dx

8.3 การหาพืน้ ทโี่ ดยการใช้อนิ ทกิ รัลสองช้ัน ถา้ A แทนพ้นื ท่ีท่ีปิ ดลอ้ มรอบดว้ ยเส้นโคง้ 2 เสน้ โคง้ x1  f(y) และ x2  g(y) โดยท่ี g(y)  f(y) เม่ือ c  x  d จะได้  A d g(y) dx dy c f (y)

ตวั อยา่ ง 8.3.1 จงหาพ้นื ท่ีระหวา่ งเสน้ โคง้ y  x2  2x และ y  6x  x2 จาก x  0 ถึง x  4 โดยอินทิกรัลสองช้นั Y (4, 8) 02 6X

ตวั อยา่ ง 8.3.1(ต่อ) Y y  x2  2x (4, 8) 02 y  6x  x2 6X

ตวั อยา่ ง 8.3.2 จงหาพ้ืนท่ีระหวา่ งเสน้ โคง้ x = y2 + 1 และ x = y + 3 โดยอินทิกรัลสองช้นั Y X (5, 2) 01 3 (2, -1)

ตวั อยา่ ง 8.3.2(ต่อ) Y x  y3 (5, 2) 01 3 X (2, -1) x  y2 1

ตวั อยา่ ง 8.3.3 จงหาค่าของ  xydA เมื่อ R เป็นบริเวณท่ีลอ้ มรอบ R ดว้ ยเสน้ โคง้ y  x และเสน้ ตรง 2y  x, x  2, x  4 Y 2y  x (4, 2) y  x 0 X x2 x4

ตวั อยา่ ง 8.3.3 (ต่อ)

8.4 การหาปริมาตร โดยใช้อนิ ทกิ รัลสองช้ัน

8.4 การหาปริมาตรโดยใช้อนิ ทกิ รัลสองช้ัน ถา้ f(x, y) ≥ 0 แลว้ ปริมาตร V ของรูปทรงตนั ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้นื ผวิ z = f(x, y) เหนือบริเวณ R หาไดจ้ าก V  f (x, y) dA R ในกรณีท่ีบริเวณ R เป็นรูป ส่ีเหล่ียมมุมฉาก จะได้ db bd    V  f (x, y)dx dy  f (x, y)dy dx ca ac

8.4 การหาปริมาตรโดยใช้อนิ ทกิ รัลสองช้ัน กรณีที่บริเวณ R เป็นบริเวณทว่ั ไป สามารถหาปริมาตรโดยกระทาํ ได้ 2 แบบ คือ 1. ถา้ R  {(x, y) | a  x  b,g1(x)  y  g2 (x)} โดยที่ g1 และ g2 เป็ น ฟังกช์ นั ซ่ึงมีความต่อเน่ืองบน [a,b] แลว้ b g2(x)  V  f (x, y)dydx a g1(x)

2. ถา้ R  {(x, y) | c  y  d,h1(y)  x  h2 (y)} โดยที่ h1 และ h2 เป็ น ฟังกช์ นั ซ่ึงมีความต่อเน่ืองบน [c,d] แลว้ d h2(y)  V  f (x, y) dx dy c h1(y)

ตวั อย่างท่ี 8.4.1 จงหาปริมาตรทรงตนั ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยผวิ z  6  xy วธิ ีทาํ และระนาบ x  2 , x  2 , y  3 , y  0 และระนาบ xy z = 6  xy

ตวั อย่างที่ 8.4.1 (ต่อ)

ตวั อยา่ ง 8.4.2 จงหาปริมาตรของรูปทรงตนั ในอฐั ภาคท่ี 1 ซ่ึงอยเู่ หนือ บริเวณ 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 และปิ ดลอ้ มดา้ นบนดว้ ยระนาบ z=4xy z 4 z4x y 10 R 2 4 y 4 x

ตวั อยา่ ง 8.4.2 (ต่อ)

ตวั อยา่ ง 8.4.3 จงหาปริมาตรของรูปทรงสี่หนา้ (Tetrahedron) ซ่ึง ลอ้ มรอบดว้ ยระนาบ xy ระนาบ yz ระนาบ xz และระนาบ 3x  6y  4z 12  0 z 3 3x  6 y  4z 12  0 0 2 y R 4 y  2  x x 2

ตวั อยา่ ง 8.4.3 (ต่อ)

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ัน ในระบบพกิ ดั เชิงข้วั

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั จากความสัมพนั ธ์ระหว่างพกิ ดั ฉากกบั พกิ ดั เชิงข้วั คือ x  r cos  ; y  r sin  และ x2  y2  r2 เปลย่ี น f(x, y) ให้เป็ นระบบพกิ ดั เชิงข้วั จะได้ f(x, y)  f (rcos , rsin )  F(r, ) และให้ dA  rdrd โดยที่ dA อาจเป็ น dxdy หรือ dydx กไ็ ด้ ดงั น้ัน อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั คือ  f (x, y)dA  f(r cos , r sin ) rdrd   F(r, )dA

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั บทนิยาม 8.5.1 ถา้ f เป็นฟังกช์ นั เชิงข้วั ต่อเน่ืองบนบริเวณ D โดยที่ a  r  b (a, b  0) ;      (0      2) แลว้  F(r, ) dA    b f (r cos , rsin) rdrd a D

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั หมายเหตุ ในการเปล่ียนอินทิกรัลสองช้นั ในระบบพกิ ดั ฉาก f (x, y)dA D ใหเ้ ป็นระบบพิกดั เชิงข้วั ทาํ ไดโ้ ดยการเปล่ียน x  r cos และ y  r sin แลว้ ให้ dA  r dr d และมี D เป็นบริเวณของการอินทิเกรตในระบบพกิ ดั เชิงข้วั จะได้ f (x, y)dA  f (r cos , r sin ) rdrd DD

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั • ในการหาพ้ืนที่บางอยา่ ง ถา้ เปล่ียนขอบเขตมาเป็นระบบเชิงข้วั จะหาไดง้ ่ายกวา่ อยา่ งเช่นพ้ืนที่ในรูปต่อไปน้ี

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ถา้ f(r, ) เป็นฟังกช์ นั ที่ต่อเนื่องในระบบพิกดั เชิงข้วั ซ่ึงมีขอบเขตอยใู่ น บริเวณ D • เมื่อ D  {(r, ) | g1()  r  g2 () ,     } จะไดว้ า่  g2 ()  f (r, ) dA    f (r,) r dr d D  g1 ()

8.5 อนิ ทกิ รัลสองช้ันในระบบพกิ ดั เชิงข้วั • เมื่อ D  {(r, ) | a  r  b , h1(r)    h2 (r)} จะไดว้ า่ b h2(r) f (r,) dA    f(r,) r d dr D a h1 (r)

การเปลี่ยนอินทิกรัลสองช้นั ในระบบพิกดั ฉากเป็นพกิ ดั เชิงข้วั • จาก f (x, y) dA ในระบบพกิ ดั ฉาก เม่ือจะเปล่ียนเป็นระบบพกิ ดั เชิงข้วั ทาํ ไดด้ Dงั น้ี (1) นาํ ขอบเขตของ x และ y ในบริเวณ D มาสร้างกราฟ (2) พิจารณาขอบเขตใหม่ในรูปของ r และ  (3) เปล่ียน x , y ในฟังกช์ นั f(x, y) ใหเ้ ป็น r และ  โดยอาศยั ความสมั พนั ธ์ x  r cos  , y  rsin , x2  y2  r2 dA  r dr d  r d dr

ตวั อยา่ ง 8.5.1 จงหา (x2  y2 1) dA โดยที่ D เป็ นบริเวณ D ภายในวงกลม x2 + y2 = 4 Y 2 2 0 D 2X 2

ตวั อยา่ ง 8.5.1 (ต่อ)

ตวั อยา่ ง 8.5.2 จงหา ex2y2dA เมื่อ D เป็นบริเวณที่กาํ หนด D y โดย 1  r  3 และ 0     4  r4 x 0 13 Y    4 D 0 1 3X

ตวั อยา่ ง 8.5.2 (ต่อ)

ตวั อยา่ ง 8.5.3 จงใชพ้ กิ ดั เชิงข้วั หาค่า 1 1x2 3   (x 2  y2 ) 2 dydx 1 0 Y y  1 x2 1 0 1 X

ตวั อยา่ ง 8.5.3 (ต่อ)

Activity วนั น้ีไม่มีการบา้ น ดีใจไหม 5555 องั คารหนา้ หยดุ สงกรานต์