บทที่8อินทิกรัลสองชั้น ตอนที่ 1

อนิ ทกิ รัลสองช้ัน Double Integral F(x,y) dA R บรรยายโดย ผศ.ศิริวรรณ วาสุกรี

อนิ ทกิ รัลหนึ่งช้ัน อนิ ทกิ รัลสองช้ัน อนิ ทกิ รัลไม่จาํ กดั เขต  f (x, y)dA  f (x)dx  F(x)  c R อนิ ทกิ รัลจาํ กดั เขต  d b f (x, y)dxdy ca  b f (x)dx  F(b)  F(a) a  b d f (x, y)dydx ac

8.1 อนิ ทกิ รัลสองช้ัน (Double Integrals) พจิ ารณาอนุพนั ธ์ย่อยเทยี บกบั x พจิ ารณาอนุพนั ธ์ย่อยเทยี บกบั y  (x 3  x 2 y2 )  3x 2  2xy2 x ทาํ นองเดยี วกนั  x (x3  x 2y2  y)  3x 2  2xy2  (x3 x2y2 c (y)) 3x 2  2xy2  (3x 2 y  2 xy3  c (x))  3x2  2xy2 x y 3    เม่ือ c(y) เป็ นฟังก์ชันของ y หาอนุพนั ธ์ได้ เม่ือ c(x) เป็ นฟังก์ชันของ x หาอนุพนั ธ์ได้ อินทิกรัลยอ่ ยไม่จาํ กดั เขตเป็นกระบวนการ อินทิกรัลยอ่ ยไม่จาํ กดั เขตเป็นกระบวนการ ยอ้ นกลบั ของอนุพนั ธ์ยอ่ ย เทียบกบั x จะได้ ยอ้ นกลบั ของอนุพนั ธย์ อ่ ย เทียบกบั y จะได้  (3x2  2xy2 )dx  x3  x2y2  c(y) (3x 2  2xy2 ) dy  3x 2 y  2 xy3  c(x) 3

8.1 อนิ ทกิ รัลสองช้ัน (Double Integrals) • อนิ ทกิ รัลย่อยจาํ กดั เขตเทยี บกบั x จะเขยี นอยู่ในรูป h(y)f (x, y)dx g(y) เมื่อ g(y) และ h(y) เป็ นฟังก์ชันของ y • ถ้าต้องการหาอนิ ทกิ รัลจาํ กดั เขตเทยี บกบั y อกี คร้ัง เมื่อลมิ ติ ของ y อยู่ระหว่าง y = c ถงึ y = d เขยี นแทนด้วย  [ ]  d h(y) f(x, y)dx dy  d h(y) f(x, y)dx dy c g(y) c g(y) เรียกว่า “อนิ ทกิ รัลสองช้ัน” (Double Integral) เทยี บกบั x และ y

8.1 อนิ ทกิ รัลสองช้ัน (Double Integrals) • อนิ ทกิ รัลย่อยจาํ กดั เขตเทยี บกบั y จะเขยี นอยู่ในรูป h(x)f (x, y)dy g(x) เมื่อ g(x) และ h(x) เป็ นฟังก์ชันของ x • ถ้าต้องการหาอนิ ทกิ รัลจาํ กดั เขตเทยี บกบั x อกี คร้ัง เมื่อลมิ ติ ของ x อยู่ระหว่าง x = a ถงึ x = b เขยี นแทนด้วย  [ ]  b h(x) f(x, y)dy dx  b h(x) f(x, y)dy dx a g(x) a g(x) เรียกว่า “อนิ ทกิ รัลสองช้ัน” (Double Integral) เทยี บกบั y และ x

อนิ ทกิ รัลสองช้ันบนบริเวณรูปส่ีเหลย่ี มมุมฉาก ทฤษฎบี ท 8.1.1 ถา้ f (x, y) เป็นฟังกช์ นั ที่ต่อเนื่องบนบริเวณ ส่ีเหล่ียมมุมฉาก R  {(x, y) | a  x  b,c  y  d} แลว้ db bd     f (x, y)dA  f (x, y)dx dy  f (x, y)dy dx R ca ac

แบบท่ี 1 หาอินทิกรัลเทียบกบั x ก่อน แบบที่ 2 หาอินทิกรัลเทียบกบั y ก่อน ลิมิตของ x อยรู่ ะหวา่ ง x  a ถึง x  b ลิมิตของ x อยรู่ ะหวา่ ง x  a ถึง x  b  d b f (x, y)dx  dy  b d f (x, y)dy dx c  a  a  c ลิมิตของ y อยรู่ ะหวา่ ง y  c ถึง y  d ลิมิตของ y อยรู่ ะหวา่ ง y  c ถึง y  d จากการสลบั ลาํ ดบั ของการอินทิเกรต เมื่อลิมิตของ x และ y เป็นจาํ นวนจริง จะไดค้ ่าเท่ากนั cd abf(x,y)dx dy  ab cd f(x,y)dy dx

ตวั อย่างที่ 8.1.1 จงหา (1 6x2y)dA โดยท่ี R เป็นบริเวณรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ R สี่เหลี่ยมผนื ผา้ R  {(x, y) | 0  x  2,1  y  1} แบบท่ี 1 (1 6x2y)dA R

ตวั อย่างที่ 8.1.1 จงหา (1 6x2y)dA โดยท่ี R เป็นบริเวณรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ R สี่เหลี่ยมผนื ผา้ R  {(x, y) | 0  x  2,1  y  1} แบบท่ี 2 (1 6x2y)dA R

อนิ ทกิ รัลสองช้ันบนบริเวณทวั่ ไป ทฤษฎบี ท 8.1.2 ถา้ f(x, y) เป็นฟังกช์ นั ที่ต่อเน่ืองบนบริเวณ R 1. ถา้ R  {(x, y) | a  x  b,g1(x)  y  g2 (x)} โดยท่ี g1 และ g2 เป็ น ฟังกช์ นั ซ่ึงมีความต่อเนื่องบน [a,b] แลว้ b g2(x)   f (x, y)dA  f (x, y) dy dx R a g1(x)

อนิ ทกิ รัลสองช้ันบนบริเวณทว่ั ไป ทฤษฎบี ท 8.1.2 ถา้ f(x, y) เป็นฟังกช์ นั ท่ีต่อเนื่องบนบริเวณ R 2. ถา้ R  {(x, y) | c  y  d,h1(y)  x  h2 (y)} โดยที่ h1 และ h2 เป็นฟังกช์ นั ซ่ึงมีความต่อเนื่องบน [c,d] แลว้ d h2(y)   f (x, y)dA  f (x, y) dxdy R c h1(y)

หมายเหตุ • การใส่ลิมิตของตวั แปร ตอ้ งใส่ลิมิตที่อินทิกรัลช้นั ในก่อนโดยสงั เกต บริเวณ R วา่ ควรจะอินทิเกรตเทียบกบั x หรือ y ก่อน โดยใหล้ อง เขียนลูกศรผา่ นบริเวณ R • โดยทวั่ ไปการเลือกอินทิเกรตเทียบกบั ตวั แปรใดก่อนน้นั ตอ้ งดูท้งั บริเวณ R และฟังกช์ นั f(x, y)

ตวั อย่างท่ี 8.1.2 จงหา 3103y (x2  y2 )dx dy วธิ ีทาํ

ตวั อย่างที่ 8.1.3 จงหาค่าของ 351y x y y dx dy พร้อมท้งั เขียน ln บริเวณของการอินทิเกรต

ตวั อย่างที่ 8.1.3 (ต่อ)

ตวั อย่างท่ี 8.1.4 จงหาค่าอินทิกรัล x3yey2 dA เมื่อ R คือบริเวณ R ซ่ึงลอ้ มรอบดว้ ยเส้นโคง้ y  x2 และเสน้ ตรง y 1, x 1, x  2

ตวั อย่างที่ 8.1.4 (ต่อ)

8.2 การเปลยี่ นลาํ ดบั การอนิ ทเิ กรต Change order of Integration ในกรณีที่ ลิมิตของ x และ y เป็นจาํ นวนจริง การหาอินทิกรัล สองช้นั สามารถเปลี่ยนลาํ ดบั ของการอินทิเกรตไดท้ นั ที ค่าที่ ไดเ้ ท่ากนั 34 43 1 0 xy dy dx  0 1 xy dx dy

ในกรณีที่ ลิมิตของ x หรือ y ไม่เป็นจาํ นวนจริง เน่ืองจากอยู่ ในรูปของฟังกช์ นั จะเปล่ียนลาํ ดบั ทนั ทีไม่ได้ ตอ้ งพิจารณาลิมิตของ x หรือ y ก่อนการเปล่ียนลาํ ดบั 1x x1 0 0 f(x,y) dy dx  0 0 f(x,y) dx dy แลว้ จะเปลี่ยนลาํ ดบั ไดอ้ ยา่ งไร??? ใหพ้ ิจารณา ดงั น้ี

1. เขียนกราฟของฟังกช์ นั จากลิมิตของ x และ y เช่น 1x 0 0 f(x,y) dy dx ลิมิตของ y อยรู่ ะหวา่ ง y  0 ถึง y  x ลิมิตของ x อยรู่ ะหวา่ ง x  0 ถึง x  1

2. ถา้ ตอ้ งการเปล่ียนลาํ ดบั โดยใหช้ ้นั ในเป็นการอินทิเกรตเทียบกบั x และ ช้นั นอกเป็นการอินทิเกรตเทียบกบั y จะตอ้ งหาลิมิตของ x ก่อน โดย ลากเสน้ แนวนอนหรือขนานกบั แกน x ตดั กบั บริเวณท่ีจะอินทิเกรต แลว้ พจิ ารณาวา่ เสน้ แนวนอนเร่ิมตน้ เขา้ และออกตรงตาํ แหน่งส่วน โคง้ ใด ท้งั สองตาํ แหน่งน้ีจะเป็นลิมิตของ x

จากกราฟจะได้ ลิมิตของ x อยรู่ ะหวา่ ง x = y ถึง x = 1 สาํ หรับ ลิมิตของ y ใหพ้ ิจารณาบริเวณภายในท้งั หมดของกราฟบนแกน y ลิมิตของ y อยรู่ ะหวา่ ง y  0 ถึง y  1 เขียนในรูปอินทิกรัลสองช้นั คือ 11 f (x,y) dx dy 0 y

3. การหาค่าอินทิกรัลสองช้นั ที่เกิดจากการเปล่ียนลาํ ดบั จะเขียนอยใู่ นรูปดงั น้ี 1x f (x,y) dy dx  11 f (x,y) dx dy 0 0 0 y ข้อควรระวงั การเขียนลิมิตของการอินทิเกรต ลิมิตช้นั นอกเป็นจาํ นวนจริงเท่าน้นั ส่วนลิมิตช้นั ในเขียนอยใู่ นรูปของฟังกช์ นั ซ่ึงแลว้ แต่วา่ จะเป็นลิมิตของ x หรือ y ถา้ เป็นลิมิตของ x กเ็ ขียนในรูปฟังกช์ นั ของ y และถา้ เป็นลิมิตของ y กเ็ ขียนในรูปฟังกช์ นั ของ x

 ตวั อยา่ ง 8.2.1 จงหาค่าของอินทิกรัล 22 cosy dy dx y  0x Y y=x x=0 0X

ตวั อยา่ ง 8.2.1 (ต่อ)  ดงั น้นั 22 cosy dy dx y  0x

ตวั อยา่ ง 8.2.2 จงหาค่าของอินทิกรัล 1y   x2exy dx dy 00 Y x=y x=0 y=1 0 y=0 X

ตวั อยา่ ง 8.2.2 (ต่อ) 1y ดงั น้นั   x2exy dx dy 00

ตวั อยา่ ง 8.2.3 จงเปลี่ยนลาํ ดบั การอินทิเกรต พร้อมท้งั หาค่าอินทิกรัล 1y   dx dy 0y

ตวั อยา่ ง 8.2.3 (ต่อ)

กิจกรรมวนั น้ี สาํ หรับรหสั ตวั ทา้ ยเลข 0 และ 1 สาํ หรับรหสั ตวั ทา้ ยเลข 2 และ 3 ส่งในอลั บ้มั ไลน์ สาํ หรับรหสั ตวั ทา้ ยเลข 4 และ 5 ไม่เกินวนั อาทิตยท์ ี่ 4 เมย 64 สาํ หรับรหสั ตวั ทา้ ยเลข 6 และ 7 สาํ หรับรหสั ตวั ทา้ ยเลข 8 และ 9