บทที่7อินทิกรัลเชิงเวกเตอร์

อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ (Vector Integration) บรรยายโดย ผศ.ศิริวรรณ วาสุกรี

7.1 อนิ ทกิ รัลสามญั ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ ให้ F(t)  f1(t)i  f2 (t)j  f3(t)k เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ของตวั แปรสเกลาร์ t เม่ือ f1(t), f2 (t) และ f3(t) เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วงในช่วงหน่ึงของ t แลว้ อินทิกรัลสามญั ของฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ มีนิยามดงั น้ี

7.1 อนิ ทกิ รัลสามญั ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ 1. อินทิกรัลไม่จาํ กดั เขตของ F(t) คือ  F(t)dt  i  f1(t)dt  j f2 (t)dt  k f3(t)dt 2. ถา้ มีอินทิกรัลฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ S(t) โดยที่ F(t) dddtSS(t()t) แลว้ F ( t )    F(t)dt   d S(t) เม่ือ c เป็นเวกเตอร์คงตวั ใด ๆ ท่ีไม่ข้ึนกบั t  F(t)dt  S(t)  c

7.1 อนิ ทกิ รัลสามญั ของฟังก์ชันเชิงเวกเตอร์ 3. อินทิกรัลจาํ กดั เขต ระหวา่ ง t  a ถึง t  b คือ จาก  F(t)dt  S(t)  c จะได้ ab F(t)dt  S(t)|ab  S(b)  S(a)

ตวั อยา่ งท่ี 7.1.1 กาํ หนดให้ F(t)  (t  t2 )i  2 t3j  3k จงหา 1.  F(t)dt วธิ ีทาํ     F(t)dt  ˆi (t  t2 )dt  ˆj 2t3dt  kˆ 3dt  ˆi ( t2  t3 )  ˆj( 2t 4 )  kˆ (3t)  c 2 3 4  ( t2  t3 )ˆi  t4 ˆj  3t kˆ  c 2 3 2

ตวั อยา่ งท่ี 7.1.1 กาํ หนดให้ F(t)  (t  t2 )i  2 t3j  3k 2 F จงหา 1 2. ( t)dt วธิ ีทาํ จาก  dt  ( t2  t3 )ˆi  t4 ˆj  3t kˆ  c F(t) 2 3 2 จะได้ 2  ( t2  t3 )ˆi  t4 ˆj  3t kˆ  2 F(t) dt  2 3 2  1 1 2  ( 4  83)ˆi  16 ˆj  6kˆ   ( 1  13)ˆi  1 ˆj  3kˆ  F(t ) dt 2 2 2 2 1    2 ˆi  8ˆj  6kˆ    1 ˆi  1 ˆj  3kˆ  3 6 2   5 ˆi  15 ˆj  3kˆ 6 2

ตวั อยา่ งท่ี 7.1.2 กาํ หนดให้ A  t3i  2tj  4k และ B  t3(i  j  k) จงหา  A  B dt  ˆi ˆj kˆ วธิ ีทาํ AB  t3  2t 4 t3 t3 t3  (2t4  4t3) ˆi  (t6  4t3) ˆj  (t6  2t4 ) kˆ    [(2t4  4t3)ˆi  (t6  4t3)ˆj  (t6  2t4 )kˆ ] dt (A  B)dt   ( 2t5  4t4 )ˆi  ( t7  4t 4 )ˆj  ( t7  2t5 )kˆ  c 5 4 7 4 7 5  ( 2t5  t 4 )ˆi  ( t7  t 4 )ˆj  ( t7  2t5 )kˆ  c 5 7 7 5

7.2 อนิ ทกิ รัลตามเส้น อนิ ทกิ รัลตามเส้นในระนาบ อินทกิ รัลตามเส้น มลี กั ษณะการหาเหมอื นกบั อินทกิ รัลจาํ กดั เขต จะ แตกต่างกนั กค็ อื ฟังก์ชันที่นาํ มาหาอินทิกรัลจะเป็นฟังก์ชันตามเส้นโค้ง

7.2 อนิ ทกิ รัลตามเส้น ถา้ สมการของเสน้ โคง้ c กาํ หนดในรูปสมการอิงตวั แปรเสริม ดงั น้ี x = x(t) และ y = y(t) ; a  t  b เม่ือ x(t) และ y(t) เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ีหาอนุพนั ธ์ได้ แลว้ อินทิกรัลตามเสน้ โคง้ c เขียนแทนดว้ ย cf(x,y)dx g(x,y)dy

7.2 อนิ ทกิ รัลตามเส้น  สามารถกระจายในรูปผลบวกของอินทิกรัลจาํ กดั เขต ไดด้ งั น้ี cf(x,y)dx  g(x,y)dy  cf(x,y)dx  cg(x,y)dy  สามารถกระจายในรูปของสมการอิงตวั แปรเสริม ดงั น้ี x = x(t) และ y = y(t) dx = x/(t) dt และ dy = y/(t) dt จะได้ c f(x,y)dx  g(x,y)dy  c f(x(t),y(t)) x/ (t)dt  c g(x(t),y(t)) y/ (t)dt  c F(t) x/ (t)dt  c G(t) y/ (t)dt

ตวั อยา่ งที่ 7.2.1 จงหาค่าของ cyy 2dx  x2 dy เม่ือเสน้ โคง้ c กาํ หนดโดย 1. = 2x จาก (0,0) ถึง (1,2) วธิ ีทาํ

ตวั อยา่ งที่ 7.2.1 (ต่อ)  x2dy เมื่อเสน้ โคง้ 2dx จาก (0,0) ถึง (1,3) จงหาค่าของ c=y 3x2 c กาํ หนดโดย 2. y วธิ ีทาํ

ตวั อยา่ งท่ี 7.2.2 จงหาค่าของ c dx  dy กาํ หนดโดย x = 2 cos t และ y = 2 sin t เม่ือ  t  2 วธิ ีทาํ

อินทิกรัลตามเสน้ ของฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ บทนิยาม 7.2.1 ถา้ F(x, y, z)  f1(x, y, z)i  f2(x, y, z)j  f3(x, y, z)k เป็นฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ที่ต่อเนื่องบนเสน้ โคง้ c แลว้ อินทิกรัลตามเสน้ ของ F บน c เขียนแทนดว้ ย c F  dr โดยที่ r(t)  x(t)i  y(t)j  z(t)k และ dr  dxi  dyj  dzk นน่ั คือ c F  dr  c f1(x, y,z)dx  f2 (x, y,z)dy  f3(x, y,z)dz

อินทิกรัลตามเสน้ ของฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ จากสมการอิงตวั แปรเสริม x = x(t) , y = y(t) และ z = z(t) จะได้ dx = x/(t)dt , dy = y/(t)dt และ dz = z/(t)dt นน่ั คือ  F  dr  f1(x,y,z)dx  f2 (x,y,z)dy  f3 (x,y,z)dz cc  F  dr  f1(x(t),y(t),z(t)) x/ (t)dt  f2 (x(t),y(t),z(t)) y/ (t)dt  f3(x(t),y(t),z(t)) z/ (t)dt cc

อินทิกรัลตามเสน้ ของฟังกช์ นั เชิงเวกเตอร์ ถา้ ให้ F แทนแรง แลว้ c F  dr จะเป็นงาน (Work) ท่ีกระทาํ โดยแรง F ตามเสน้ โคง้ c ดงั น้นั W  c F  dr

ตวั อยา่ งที่ 7.2.3 ให้ F(x, y, z)  yzi  xzj  xyk และเสน้ โคง้ C กาํ หนดโดย r(t)  ti  t2j + t3k ; 0  t  1 c F  dr จงหาค่าของ วธิ ีทาํ



ตวั อยา่ งที่ 7.2.4 จงหางานซ่ึงเกิดจากการเคลื่อนอนุภาคจากจุด (-2 , 4) ไปยงั จุด (1,1) ตามเสน้ โคง้ y = x 2 ดว้ ยแรง F(x, y)  x3yi  (x  y)j วธิ ีทาํ



คาํ วา่ “ อินทิกรัลตามเสน้ ” หมายถึง อินทิกรัลท่ีมี dr เป็นตวั แปรของการอินทิเกรต หรือกล่าวอีกนยั หน่ึงวา่ เป็นการอินทิเกรตตามแนวเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ดงั น้นั อินทิเกรตตามเสน้ จึงมีไดอ้ ีก 2 แบบ คือ c F  dr และ c dr เมื่อ  เป็นฟังกช์ นั สเกลาร์ของ x , y และ z

ในกรณีท่ีเสน้ โคง้ c เป็นเสน้ โคง้ ปิ ด (Closed Curve) สามารถเขียนสญั ลกั ษณ์ไดโ้ ดยการเติมเคร่ืองหมายวงกลมบน เครื่องหมายอินทิกรัล ดงั น้ี F  dr  อยา่ งไรกต็ ามอินทิกรัลตามเสน้ ที่เราเขียนโดยไม่มีเคร่ืองหมายวงกลม บนเคร่ืองหมายอินทิกรัล c F  dr ถือเป็นสญั ลกั ษณ์กวา้ งๆ กจ็ ะใชไ้ ดท้ ้งั เสน้ โคง้ ปิ ดและเสน้ โคง้ เปิ ด

ตวั อยา่ งท่ี 7.2.5 จงหาค่าของ r  dr ตามเสน้ รอบวงของวงกลม x2 + y 2 = a2 ,z = 0 ซ่ึงมี x = a cos t และ y = a sin t ; 0  t  2 เป็นสมการอิงตวั แปรเสริม วธิ ีทาํ

ตวั อยา่ งที่ 7.2.6  2xyz2 , F(x, y, z)  xyi  zj  x2 k ถา้ (x, y, z) เมื่อ c เป็นเสน้ โคง้ x = t2 , y = 2t และ z = t3 จาก t = 0 ถึง t = 1 จงหา 1.  dr c



ตวั อยา่ งท่ี 7.2.6 (ต่อ) , F(x, y, z)  xyi  zj  x2 k ถา้ (x, y, z)  2xyz2 เมื่อ c เป็นเสน้ โคง้ x = t2 , y = 2t และ z = t3 จาก t = 0 ถึง t = 1 จงหา 2.  F  dr c



การบา้ น สง่ ใน google form ที Classroom นะคะ

การบา้ น แบบฝึกหดั บทที 7 ทําคนละ 2 ขอ้ สง่ ใน google form ที Classroom กําหนดสง่ ไมเ่ กนิ วนั อาทติ ยท์ ี 28 มนี าคม 2564 รหสั เลขทา้ ย 0 และ 9 ทําขอ้ 1.1 และ 2.1 รหสั เลขทา้ ย 1 และ 8 ทําขอ้ 1.2 และ 2.2 รหสั เลขทา้ ย 2 และ 7 ทําขอ้ 2.3 และ 3 ที Classroom รหสั เลขทา้ ย 3 และ 6 ทําขอ้ 1.1 และ 4 รหสั เลขทา้ ย 4 และ 5 ทําขอ้ 1.2 และ 2.3