ติวก่อนสอบFinalครั้งที่ 2

MAT 132 ตวิ กอ่ นสอบ ภาค 2/2563 Final ครังที 2

การเตรยี มตวั สอบ การสอบครังที 2 คะแนน 20% เป็ นการสอบออนไลน์ สอบวนั ที 20 พฤษภาคม 2564 เวลา 9.30 – 11.00 น. รวม 1.30 ชวั โมง ขอ้ สอบแบบปรนัย จํานวน 16 ขอ้ ขอ้ ละ 1.25 คะแนน

หวั ขอ้ ตวิ วนั นี • การอนิ ทเิ กรตทลี ะสว่ น • การอนิ ทเิ กรตฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ยิ กกําลงั • การอนิ ทเิ กรตฟังกช์ นั กําลงั สองสมบรู ณ์ • การแทนคา่ ดว้ ยฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ • การแยกเศษสว่ นยอ่ ย • การหาพนื ทรี ะหวา่ งเสน้ โคง้

การอนิ ทเิ กรตทลี ะสว่ น Integration by Parts

การอนิ ทเิ กรตทลี ะสว่ น มวี ธิ ที ําได ้ 2 วธิ ี คอื  วธิ ที ี 1 โดยใชส้ ตู ร udv  uv  vdu วธิ ที ี 2 โดยใชต้ าราง TIBP แบง่ เป็ น 2 กรณี 1. กรณีหาอนุพันธข์ อง u จนมคี า่ เป็ น 0 2. กรณีหาอนุพันธข์ อง u ไปเรอื ยๆไมเ่ ป็ น 0  x2 sin x dx  exsin x dx หาอนุพันธข์ อง u หาอนิ ทกิ รัลของ v หาอนุพันธข์ อง u หาอนิ ทกิ รัลของ v

Example 1 Find x cos5x dx ใชต้ าราง TIBP ใชส้ ตู รการอนิ ทเิ กรตทลี ะสว่ น VS หาอนุพันธข์ อง u หาอนิ ทกิ รัลของ v  udv  uv   vdu

Example 2 Find x3n x dx VS ใชต้ าราง TIBP ใชส้ ตู รการอนิ ทเิ กรตทลี ะสว่ น หาอนุพันธข์ อง u หาอนิ ทกิ รัลของ v  udv  uv   vdu

Example 3 Find x3e3x dx ใชต้ าราง TIBP หาอนุพันธข์ อง u หาอนิ ทกิ รัลของ v

Example 4 Find e4xcos x dx ใชต้ าราง TIBP หาอนุพันธข์ อง u หาอนิ ทกิ รัลของ v

การอนิ ทเิ กรต ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ยิ กกําลงั

มี 3 รปู แบบ ดงั นี รปู แบบที 1 sinm u cosnu du รปู แบบที 2 tanm u secnu du รปู แบบที 3 cotm u cscnu du

Example 5 Find sin53x cos4 3x dx

Example 6 Find tan4x sec4x dx

Example 7 Find cot x csc3x dx

การอนิ ทเิ กรต ฟังกช์ นั กําลงั สอง

ถา้ ตวั ถกู อนิ ทเิ กรตอยใู่ นรปู ax2 +bx+c , ax2 +bx+c จะตอ้ งจัดรปู แบบใหม่ คอื u2 +a2 , u2  a2 , a2  u2 u2 +a2 , u2  a2 , a2  u2 จะใชว้ ธิ กี ําลงั สองสมบรู ณเ์ พอื การอนิ ทเิ กรต

Example 8 Find t2 1 dx  2t+2

Example 8 ตอ่

Example 9 Find 9x2 +6x+5 dx

Example 9 ตอ่

การอนิ ทเิ กรต โดยการแทนคา่ ดว้ ย ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ

รปู แบบที 1 รปู แบบที 2 รปู แบบที 3 a2  u2 u2  a2 a2  u2 u  a sin  u  a sec  u  a tan 

Example 10 Find 1 dx x2 x2  25

Example 10 ตอ่

Example 11 Find dx x 16  9x2

Example 11 ตอ่

การอนิ ทเิ กรต โดยการแยกเศษสว่ นยอ่ ย

ใชว้ ธิ หี ารยาว ใชว้ ธิ แี ยกเป็ นเศษสว่ ยยอ่ ยๆ

Example 12 Find 4x 1 dx x2

Example 13 Find 5x2 9 dx x(x2  9)

Example 13 ตอ่

การหาพนื ที ระหวา่ งเสน้ โคง้

การหาพนื ทรี ะหวา่ ง f(x) กบั แกน x การหาพนื ทรี ะหวา่ ง g(y) กบั แกน y b d A   f (x)dx A   g(y)dy a c b d A   f (x)dx A   g(y)dy a c

Example 14 จากรปู จงหาพนื ทสี ว่ นทแี รเงา

Example 15 จงหาพนื ทภี ายใตเ้ สน้ โคง้ x  y2  3y  2 กบั แกน y

การหาพนื ทรี ะหวา่ ง f(x) และ g(x) การหาพนื ทรี ะหวา่ ง f(y) และ g(y) b d A  [f (x)  g(x)] dx A  [f (y)  g(y)] dy a c

Example 16 จากรปู จงหาพนื ทสี ง่ ทแี รเงา

ขอใหท้ กุ คนโชคดนี ะคะนะ เตอื นคะ่ เวลาทําขอ้ สอบใน Google Form ตรวจสอบรหสั และกลมุ่ กอ่ น Submit นะคะ