บทที่3เวกเตอร์และเรขา3มิติ ครั้งที่ 1

เวกเตอรแ์ ละ เรขาคณติ วเิ คราะหใ์ นสามมติ ิ (VECTOR AND THREE-DIMENSIONAL ANALYTIC GEOMETRY) บรรยายโดย ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

3.1 ระบบพกิ ดั ฉากในสามมติ ิ  เสน้ ตรง 3 เสน้ ตดั และตงั้ ฉากซง่ึ กนั และกนั ทจ่ี ดุ O เราเรยี กจดุ นว้ี า่ “จดุ กําเนดิ ”  และเรยี กเสน้ ตรง 3 เสน้ นัน้ วา่ แกน X แกน Y และแกน Z ซงึ่ เป็ น แกนพกิ ดั ฉาก

ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ ประกอบดว้ ยระนาบสามแผน่ ตงั้ ฉากซงึ่ กนั และกนั เรยี กวา่ “ระนาบพกิ ดั ” (Coordinate Planes) ไดแ้ กร่ ะนาบ xy , ระนาบ xz และระนาบ yz

การวางแกนพกิ ดั จะใชร้ ะบบมอื ขวา ดงั รปู  แกน x ตดั กบั แกน y เรยี กวา่ ระนาบ xy เมอื่ z = 0  แกน x ตดั กบั แกน z เรยี กวา่ ระนาบ xz เมอ่ื y = 0  แกน y ตดั กบั แกน z เรยี กวา่ ระนาบ yz เมอื่ x = 0

เสน้ ทขี่ นานกบั แกน x จะตงั้ ฉากกบั ระนาบ yz เสน้ ทขี่ นานกบั แกน y จะตงั้ ฉากกบั ระนาบ xz เสน้ ทขี่ นานกบั แกน z จะตงั้ ฉากกบั ระนาบ xy ระยะทข่ี นานกบั ระนาบ yz จะตงั้ ฉากกบั แกน x ระยะทขี่ นานกบั ระนาบ xz จะตงั้ ฉากกบั แกน y ระยะทข่ี นานกบั ระนาบ xy จะตงั้ ฉากกบั แกน z

วธิ เี ขยี นจดุ ในระนาบ 3 มติ ิ  จดุ ในปรภิ มู ิ 3 มติ ิ แทนดว้ ย R3   x, y, z / x, y, zR ซง่ึ (x,y,z) คอื พกิ ดั ของจดุ ใดๆ โดยท่ี x , y และ z คอื ระยะบอก ทศิ ทางจากระนาบ yz ระนาบ xz และระนาบ xy ตามลําดบั

ตวั อยา่ งท่ี 3.1.1 จงแสดงขนั้ ตอนการเขยี นจดุ ซงึ่ มพี กิ ดั (3,6,5)  จากจดุ (0, 0, 0) นับระยะไปบนแกน x ทางคา่ บวกเป็ นระยะ 3 หน่วย ไดพ้ กิ ดั บน แกน x คอื (3, 0, 0)  จากจดุ (3, 0, 0) นับระยะไปตามแนวขนานกบั แกน y ทางคา่ บวกเป็ นระยะ 6 หน่วย ไดพ้ กิ ดั คอื (3, 6, 0)  จากจดุ (3, 6, 0) นับระยะขน้ึ ไปตามแนวขนานกบั แกน เป็ นระยะ 5 หน่วย จะได ้ พกิ ดั (3, 6, 5) ตามตอ้ งการ z o (3,6,5) (3,0,0) y x (3,6,0)

ตวั อยา่ งท่ี 3.1.2 จงแสดงขนั้ ตอนการเขยี นจดุ ซงึ่ มพี กิ ดั (2,  5,  3)  จากจดุ (0, 0, 0) นับระยะไปบนแกน x ทางคา่ ลบเป็ นระยะ 2 หน่วย ไดพ้ กิ ดั บน แกน x คอื (-2, 0, 0)  จากจดุ (-2, 0, 0) นับระยะไปตามแนวขนานกบั แกน y ทางคา่ ลบเป็ นระยะ 5 หน่วย ไดพ้ กิ ดั คอื (-2, -5, 0)  จากจดุ (-2, -5, 0) นับระยะลงไปตามแนวขนานกบั แกน z เป็ นระยะ 3 หน่วย จะ ไดพ้ กิ ดั (-2, -5, -3) ตามตอ้ งการ z (-2,-5,0) (-2, 0, 0) y o (-2, -5, -3) x

3.2 ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ ทฤษฎบี ท 3.1 ให ้ P1(x1,y1,z1) และ P2(x2,y2,z2) เป็ นจดุ 2จดุ ใดๆ ระยะทางระหวา่ ง P Pจดุ ทงั้ สอง เขยี นแทนดว้ ย 1 2 คอื P1P2  x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2

ตวั อย่างท่ี 3.2.1จงหาระยะทางระหวา่ งจุด P1(6,-1,4) และจุด P2(1,3,-5) จาก P1P2  x2  x1 2  y2  y1 2  z2  z1 2

ตวั อย่างท่ี 3.2.2 จงใชส้ ูตรระยะทางแสดงวา่ เส้นตรงท่ีเชื่อมจุดท้งั สาม เป็นสามเหล่ียมมุมฉาก (-5,2,-4) , (3,2,5) และ (3,2,-4) P1P2  (3  5)2  (2  2)2  (5  4)2  64  0  81  145 P1P3  (3  5)2  (2  2)2  (4  4)2  64  0  0  8 P2P3  (3  3)2  (2  2)2  (4  5)2  0  0  81  9 เพราะวา่ ( 145)2  82  92 นน่ั คือ P1P2 2  P1P3 2  P2P3 2 145  64  81 145  145 ดงั น้นั จุด P1, P2, P3 เป็นจุดมุมของ สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีจุด P3 เป็นมุมฉาก

ตวั อย่3าง.23.2ร.3ะยะจงทลางงจุดระPห1(ว-5า่ ,ง2จ, 4ุด)สแอลงะจPุด2 (4, 0, -2) พร้อมท้งั หาระยะห่าง ระหวา่ งจุดท้งั สอง P1 (-5, 2, 4) P2 (4, 0, -2)

3.3 จดุ กงึ่ กลาง ให้ P(x,y,z) เป็นจุดก่ึงกลางของเสน้ ตรงจากจุด P1(x1,y1,z1) และ P2(x2,y2,z2) พกิ ดั ของจุด P(x,y,z) คือ x  x1  x2 , y  y1  y2 , z  z1  z2 2 22 P2(x2, y2, z2) P(x, y, z) P1(x1, y1, z1)

ตวั อย่างท่ี 3.3.1 จงหาจุดก่ึงกลางของส่วนของเสน้ ตรงท่ีเชื่อมระหวา่ งจุด P1 (2,-4,7) และ P2 (-6,0,-3)

ถา้ จุด P(x,y,z) แบ่งส่วนของเสน้ ตรงเชื่อมจุด P1(x1,y1,z1) และ P2(x2,y2,z2) ออกเป็นอตั ราส่วน P1P  r1 จะไดพ้ ิกดั ของจุด P(x,y,z) คือ PP2 r2 x  r2 x1  r1x2 r1  r2 y  r2 y1  r1 y2 r1  r2 z  r2 z1  r1z2 r1  r2

ตวั อย่างท่ี 3.3.2 กาํ หนด P1 (2,-3,-1) และ P2 (-5,10,8) P1P  47 จงหาจุด P ซ่ึงแบ่งส่วนของเสน้ ตรงออกเป็นอตั ราส่วนคือ PP2 x  r2x1  r1x2  7(2)  4(5)  14  20   6 r1  r2 47 11 11 y  r2y1  r1y2  7(3)  4(10)   21 40  19 r1  r2 47 11 11 z  r2z1  r1z2  7(1)  4(8)   7  32  25 r1  r2 47 11 11 ดงั น้นั จุด P คือ จุด   6 ,19 , 25   11 11 11 

กจิ กรรมทําตอนนี้  นักศึกษาเปดิ แบบฝกึ หดั บทท่ี 3  แบ่งกลุ่มประมาณ 3 -5 คน ใหช้ ่วยเขยี นคําตอบ แสดงวธิ ที ํา  ดูข้อที่ได้รบั มอบหมายตามรหสั นกั ศกึ ษา  โจทย์อยูใ่ น  คลกิ ลิงคเ์ ขา้ ใช้ Jamboard ที่ Chat เฉพาะข้อของเรา แล้วช่วยกันทาํ ใหเ้ วลา 10 นาที รหัส รหัส รหัส รหัส ทําขอ้ รหัส รหัส รหัส รหัส รหัส ทําขอ้ 5903144 6300655 6302215 6302698 1(1.1) 6303064 6303289 6304050 6304288 6304456 6(6.1) 6001390 6300924 6302313 6302724 1(1.4) 6303218 6303407 6304113 6304369 6304560 6(6.2) 6003755 6301648 6302454 6302739 2(2.1) 6303226 6303587 6304184 6304425 6304668 6(6.3) 6101545 6301701 6302551 6302811 2(2.2) 6303288 6303600 6304186 6304438 6304837 6(6.4) 6206136 6301810 6302565 6302815 2(2.3) 6206139 6301850 6302609 6302833 2(2.4) 6300412 6301993 6302634 6302901 2(2.5) 6300559 6302126 6302695 6302941 2(2.6)