3Integration

LOGO Integration การอินทิเกรต Asst.Prof.Siriwan Wasukree

Contents 1 อินทิกรลั ไมจ่ าํ กดั เขต 2 อินทิกรลั จาํ กดั เขต 3 เทคนิคการอินทิเกรต 4 การประยกุ ตอ์ ินทิเกรต

3.1 อินทิกรลั ไมจ่ าํ กดั เขต การอนิ ทเิ กรต หมายถงึ ขบวนการยอ้ นกลบั ของการหาอนุพนั ธ์ หรอื ขบวนการหา ฟังกช์ นั ทท่ี ราบอนุพนั ธอ์ ยา่ งมรี ะบบ เรยี กวา่ ปฏยิ านุพนั ธ์ (Antiderivative) หรอื การอนิ ทเิ กรต (Integration) บทนิยามที่ 3.1.1 กาํ หนดให้ F(x) เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ เราจะเรยี ก F(x) วา่ เป็นปฏยิ านุ พนั ธข์ องฟังกช์ นั f(x) กต็ ่อเมอ่ื F/ (x)  f (x) สาํ หรบั ทกุ คา่ ของ x ในโดเมนของ f

อินทิกรลั ไมจ่ าํ กดั เขต ความหมายของสญั ลกั ษณ์ 2 1 f (x)dx 3 1 สญั ลกั ษณ์ คือเคร่อื งหมายอินทิกรลั 2 ฟังกช์ นั f(x) คือตวั ถกู อินทิเกรต 3 และ dx คือดิฟเฟอเรนเชียลของ x โดยท่ี x เป็นตวั แปรของการอินทิเกรต เราเรียก กระบวนการหาอินทิกรลั ไม่จาํ กดั เขตว่า การอินทิเกรต

อินทิกรลั ไม่จาํ กดั เขต ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอนุพนั ธแ์ ละอนิ ทเิ กรต

3.1.1 การอินทิเกรตฟังกช์ นั พีชคณิต ให้ u, v และ w เป็นฟังกช์ นั ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ และ c เป็นคา่ คงท่ี 1. du  u  c 2.  kdu  k  du เม่อื k เป็นค่าคงตวั 3. (du  dv  dw)  du  dv  dw 4.  undu  unn11  c , n  1

ตวั อยา่ ง 3.1.1.1 จงหา 3x2dx

ตวั อยา่ ง 3.1.1.3 จงหา ( 3  6x2 ) dx x2

ตวั อยา่ ง 3.1.1.4 จงหา ( x3  x2  x ) dx 3 x2

ตวั อยา่ ง 3.1.1.6 จงหา (x2 1) x dx

การใชส้ ตู ร  undu  un 1 c , n  1 n1 เรยี กวา่ การอนิ ทเิ กรตโดยการเปลย่ี นตวั แปร u ตวั อยา่ ง 3.1.1.8 จงหา (4  2t2)7t dt

ตวั อยา่ ง 3.1.1.9 จงหา  x2  2x (x 1) dx  un du  un 1  c n

1  un du  un 1  c n ตวั อยา่ ง 3.1.1.10 จงหา  x2 (x3  5)3 dx

• แบบฝึกหดั ท่ี 3.1.1 Do Activity ทาํ ไวย้ งั ไมต่ อ้ งสง่ ถา้ มขี อ้ สงสยั ถามครไู ดต้ ลอดนะคะ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ • Integration – Pauls Online Math Notes • Calculus, all content – Khan Academy

กจิ กรรมตน้ ชวั่ โมง สง่ ในอลั บมั้ กลุม่ ไลน์ แบบฝึ กหดั ท่ี 3.1.1 หน้า 62 (ทาํ ข้อที่ตรงกบั วนั เกิด) ทาํ คนละ 2 ข้อ ให้เวลาทาํ 10 นาที เสรจ็ แล้ว จดั 2 ข้อให้เป็นไฟลเ์ ดียวกนั ส่งในอลั บมั้ ชื่อ “ ทาํ ข้อตรงกบั วนั เกิด” ก่อนสง่ อยา่ ลมื เขยี น รหสั ชอ่ื นามสกุล วนั เกิด แบบฝึ กหดั 3.1.1 วนั อาทติ ย์ ขอ้ 11, 12 วนั จนั ทร์ ขอ้ 13, 14 วนั องั คาร ขอ้ 15, 16 วนั พธุ ขอ้ 17, 18 วนั พฤหสั บดี ขอ้ 19, 20 วนั ศุกร์ ขอ้ 21, 22 วนั เสาร์ ขอ้ 23, 24

ทบทวนการเปลี่ยนตวั แปร u un 1 จากสตู ร  undu  n1 c , n  1

3.1.2 การอินทิเกรตฟังกช์ นั ท่ีให้ผลในรปู ฟังกช์ นั ลอการิทึม ให้ u เป็นฟังกช์ นั ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ และ c เป็นคา่ คงท่ี 5.  du  n | u | c u หมายเหตุ การวธิ กี ารเขยี น  du อาจเขยี น  1 du หรอื  u1 du กไ็ ด้ u u

ตวั อยา่ ง 3.1.2.2 จงหา  x dx x2 1  du  n | u | c u

ตวั อยา่ ง 3.1.2.4 จงหา  x3 1 dx x4  4x  du  n | u | c u

ตวั อยา่ ง 3.1.2.5 จงหา  x dx nx  du  n | u | c u

• แบบฝึกหดั ท่ี 3.1.2 Do Activity ทาํ ไวย้ งั ไมต่ อ้ งสง่ ถา้ มขี อ้ สงสยั ถามครไู ดต้ ลอดนะคะ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ • Integration – Pauls Online Math Notes • Calculus, all content – Khan Academy

3.1.3 การอินทิเกรตฟังกช์ นั ชี้กาํ ลงั ให้ u เป็นฟังกช์ นั ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ และ c เป็นคา่ คงท่ี 6.  eudu  eu  c 7.  audu  au  c , a>0 , a  1 na

ตวั อยา่ ง 3.1.3.1 จงหา  e3xdx  eudu  eu  c

ตวั อยา่ ง 3.1.3.3 จงหา  ex3 3x2dx  eudu  eu  c

ตวั อยา่ ง 3.1.3.4 จงหา  e2x1dx  eudu  eu  c

ตวั อยา่ ง 3.1.3.6 จงหา  e x dx x  eudu  eu  c

ตวั อยา่ ง 3.1.3.7 จงหา  23x dx  audu  au  c na

ตวั อยา่ ง 3.1.3.8 จงหา  x2 7x3 dx  audu  au  c na

• แบบฝึกหดั ท่ี 3.1.3 Do Activity ทาํ ไวย้ งั ไมต่ อ้ งสง่ ถา้ มขี อ้ สงสยั ถามครไู ดต้ ลอดนะคะ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ • Integration – Pauls Online Math Notes • Calculus, all content – Khan Academy

3.1.4 การอินทิเกรตฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ให้ u เป็นฟังกช์ นั ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ และ c เป็นคา่ คงท่ี 8.  sin u du   cos u  c 12.  sec u du  n | sec u  tan u | c 13.  csc u du  n | csc u  cot u | c 9.  cos u du  sin u  c 14.  sec2 u du  tan u  c 15.  csc2 u du   cot u  c 10.  tan u du  n | sec u | c 16.  sec u tan u du  sec u  c 17.  csc u cot u du   csc u  c  n | cos u | c 11.  cot u du  n | sin u | c  n | csc u | c

ตวั อยา่ ง 3.1.4.1 จงหา  cos 2x dx  cos u du  sin u  c

ตวั อยา่ ง 3.1.4.2 จงหา  tan t dt 2  tan u du  n | sec u | c  n | cos u | c

ตวั อยา่ ง 3.1.4.3 จงหา  sec2 5x dx  sec2 u du  tan u  c

ตวั อยา่ ง 3.1.4.4 จงหา  sin(1 2x) dx  sin u du   cos u  c

ตวั อยา่ ง 3.1.4.5 จงหา  csc(3) cot(3) d  csc u cot u du   csc u  c

ตวั อยา่ ง 3.1.4.6 จงหา  ex sec(ex ) tan(ex ) dx  sec u tan u du  sec u  c

• แบบฝึกหดั ท่ี 3.1.4 Do Activity ทาํ ไวย้ งั ไมต่ อ้ งสง่ ถา้ มขี อ้ สงสยั ถามครไู ดต้ ลอดนะคะ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ • Integration – Pauls Online Math Notes • Calculus, all content – Khan Academy

3.1.5 การอินทิเกรตฟังกช์ นั ที่อย่ใู นรปู ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติผกผนั ให้ u เป็นฟังกช์ นั ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ และ c เป็นคา่ คงท่ี 18.  1 du  arc sin u  c a2  u2 a 19. 1 du  1 arc tan u c a a a2  u2 20. u 1 du  1 arc sec u  c u2  a2 a a

ตวั อยา่ ง 3.1.5.1 จงหา x2 dx 1 x6 1 du  arc sin u  c a a2  u2

ตวั อยา่ ง 3.1.5.2 จงหา  4 dx 2 x 1 du  1 arc tan u c a2  u2 a a

ตวั อยา่ ง 3.1.5.3 จงหา x dx x2 9 u 1 du  1 arc sec u c u2  a2 a a

• แบบฝึกหดั ท่ี 3.1.5 Do Activity ทาํ ไวย้ งั ไมต่ อ้ งสง่ ถา้ มขี อ้ สงสยั ถามครไู ดต้ ลอดนะคะ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ • Integration – Pauls Online Math Notes • Calculus, all content – Khan Academy

3.1.6 การอินทิเกรตฟังกช์ นั ท่ีอย่ใู นรปู กาํ ลงั สอง ให้ u เป็นฟังกช์ นั ทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้ และ c เป็นคา่ คงท่ี และ 21. u 1 du 1 ℓn u a c a 2a u a 22. 1 du  1 n au c a2  u2 2a au 23.  1 du  n(u  u2  a2 )  c 24.  u2  a2 1 du  n | u  u2  a2 | c u2  a2 a2  u2 du  u a2  u2  a2 arc sin u  c 25. 2 2 2 26. u2  a2 du  u u2  a2  a2 n | u  u2  a2 | c 2 2 u a2 27. u2  a2 du  2 u2  a2  2 n | u  u2  a2 | c

ตวั อยา่ ง 3.1.6.1 จงหา 36 1 2 dx  9x 1 du  1 n a u c 2a a u a2  u2

ตวั อยา่ ง 3.1.6.2 จงหา  dx x2  25  1 du  n | u  u2  a2 | c u2  a2

ตวั อยา่ ง 3.1.6.3 จงหา  4dz 9 16z2  u 1 du 1 ℓn u a c a 2a u a

• แบบฝึกหดั ท่ี 3.1.6 Do Activity ทาํ ไวย้ งั ไมต่ อ้ งสง่ ถา้ มขี อ้ สงสยั ถามครไู ดต้ ลอดนะคะ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ • Integration – Pauls Online Math Notes • Calculus, all content – Khan Academy

กจิ กรรมตน้ ชวั่ โมง สง่ ใน Google form ท่ี Classroom แบบฝึ กหดั ท่ี 3.1.2-3.1.6 ทาํ คนละ 2 ข้อ ให้เวลาทาํ 10 นาที ส่งใน google form ท่ี Classroom รหสั เลขทา้ ย 0 และ 9 จงหา และ รหสั เลขทา้ ย 1 และ 8 จงหา และ รหสั เลขทา้ ย 2 และ 7 จงหา และ ที Classroom รหสั เลขทา้ ย 3 และ 6 จงหา และ รหสั เลขทา้ ย 4 และ 5 จงหา และ

3.2 อินทิกรลั จาํ กดั เขต บทนิยามที่ 3.1.2 กาํ หนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ทต่ี ่อเน่ืองบนชว่ ง [a, b] และให้ F(x) เป็นปฏยิ านุพนั ธข์ องฟังกช์ นั f(x) บนชว่ ง [a, b] โดยท่ี F/ (x)  f (x) ดงั นนั้ อนิ ทกิ รลั จาํ กดั เขตของ f(x) เขยี นแทนดว้ ย b a f (x)dx และ จะได้ bb  f (x)dx  F(x) a a  F(b)  F(a)

3.2 อินทิกรลั จาํ กดั เขต คณุ สมบตั ิของอินทิกรลั จาํ กดั เขต a 1.  f (x)dx  F(a)  F(a)  0 a ba 2.  f (x)dx    f (x)dx ab bb 3.  kf (x)dx  k f (x)dx เมอ่ื k เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ aa b bbb 4. [f (x)  g(x)  h(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx   h(x)dx a aaa b cb 5. ถา้ c เป็นจาํ นวนจรงิ อยใู่ นชว่ ง[a, b] แลว้  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx a ac