บทที่1ฟังก์ชันหลายตัวแปร

ฟังก์ชันหลายตวั แปร (Function of Several Variables) บรรยายโดย ผศ.ศิริวรรณ วาสุกรี วทิ ยาลยั นวตั กรรมดิจิทลั เทคโนโลยี 1 ภาควชิ าคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั รังสิต

เกร่ินนํา ฟังกช์ นั ท่ีไดเ้ รียนมาแลว้ ในวชิ าคณิตศาสตร์วศิ วกรรม 1 (MAT 136) เป็นฟังกช์ นั ของตวั แปรเพยี งหน่ึงตวั เท่าน้นั คือ y  f (x) หมายถงึ y เป็ นฟังก์ชันของ x เพยี งหน่ึงตวั แปร การหาลิมิต การหาอนุพนั ธ์ การอินทิเกรต 2

เกร่ินนํา การศึกษาฟังกช์ นั ท่ีมีหลายตวั แปร มลี กั ษณะคล้ายกบั ฟังก์ชันทมี่ หี น่ึงตวั แปร ค่าของฟังกช์ นั หลายตวั แปรน้นั ขนึ้ อยู่กบั ค่าของตวั แปรต้งั แต่สองตวั ข้ึนไป 3

1.1 บทนิยามของฟังก์ชันหลายตวั แปร (Definition of Function of Several Variables) ถา้ ความสมั พนั ธ์ที่จบั คู่กนั ระหวา่ งคู่อนั ดบั (x, y) กบั z โดยมีลกั ษณะการจบั คู่ (x, y) หน่ึงคู่กบั ค่า z หน่ึงค่า แลว้ เราเรียก ความสมั พนั ธ์ในลกั ษณะน้ีวา่ ฟังก์ชัน 4

ให้ f แทนฟังกช์ นั 2 ตวั แปร เขียนแทนดว้ ย z  f(x , y) เรียกฟังกช์ นั น้ีวา่ ฟังก์ชันค่าจริงของ 2 ตวั แปร หรือ ฟังก์ชัน 2 ตวั แปร โดยมี f : R2  R ให้ f แทนฟังกช์ นั 3 ตวั แปร เขียนแทนดว้ ย w  f(x , y , z) เรียกฟังกช์ นั น้ีวา่ ฟังก์ชันค่าจริงของ 3 ตวั แปร หรือ ฟังก์ชัน 3 ตวั แปร โดยมี f : R3  R ในทาํ นองเดียวกนั ถา้ ให้ f แทนฟังกช์ นั n ตวั แปร 5 เขียนแทนดว้ ย z  f(x1 , x2 , x3 , . . . , xn) เรียกฟังกช์ นั น้ีวา่ ฟังก์ชันค่าจริงของ n ตวั แปร หรือ ฟังก์ชัน n ตวั แปร หรือฟังก์ชันหลายตวั แปร โดยมี f : Rn  R

บทนิยาม 1.1.1 ถา้ f(x , y) และ g(x , y) เป็นฟังกช์ นั สองตวั แปรบนโดเมน แลว้ กฎผลรวม (f + g)(x , y)  f(x , y) + g(x , y) กฎผลต่าง (f  g)(x , y)  f(x , y)  g(x , y) กฎผลคูณ (f  g)(x , y)  f(x , y)  g(x , y) กฎผลหาร ( gf )(x , y)  f (x , y) เม่ือ g(x , y)  0 g(x , y) 6

ตวั อย่างที่ 1.1.1 ให้ f (x , y)  x2  2x2y  y2  2 จงหาค่าของ f(1 , 3) และ f(3 , 1) วธิ ีทาํ 7

ตวั อย่างที่ 1.1.2 ให้ g(x , y)  xy 25x2  y2 จงหาค่าของ g(3 , 0) วธิ ีทาํ 8

ตวั อย่างที่ 1.1.3 ให้ f (x , y , z)  5exy cos (yz) จงหาค่าของ f(0 , 4 , 0) วธิ ีทาํ 9

ตวั อย่างท่ี 1.1.4 ให้ F(x , y , z)  ln(x2  y2  z2 ) จงหาค่าของ F(0 , 0 , e) วธิ ีทาํ 10

ตวั อย่างท่ี 1.1.5 ให้ f (x , y)  x2  3y2 จงหา f (xh , y) f(x , y) 1. h  , h 0 วธิ ีทาํ f (x  h, y)  f (x, y)  [(x  h)2  3y2 ] [x2  3y2 ] hh  x2  2xh  h2  3y2  x2  3y2 h  2xh  h2  h(2x  h) hh  2x  h 11

ตวั อย่างที่ 1.1.5 ให้ f (x , y)  x2  3y2 จงหา f (x , y k) f (x , y) 2.  k  , k 0 วธิ ีทาํ f (x, y  k)  f (x, y)  [x2  3(y  k)2 ] [x2  3y2 ] kk  x2  3(y2  2yk  k2 )  x2  3y2 k  x2  3y2  6yk  3k2  x2  3y2 k  6yk  3k2  k(6y  3k) k k  6y  3k 12

ทบทวนลมิ ติ ของฟังก์ชัน 1 ตวั แปร ถ้า lim f (x)  lim f (x)  L แล้ว limf (x) จะหาค่าได้ x a  x a  xa และ limf (x)  L xa 13

1.2 ลมิ ติ ของฟังก์ชัน 2 ตวั แปร (Limit of Function of Two Variables) การศึกษาลมิ ติ ของฟังก์ชัน 2 ตวั แปร จะต้องพจิ ารณาลมิ ติ ของฟังก์ชัน f(x, y) ทจ่ี ุด x เข้าใกล้ a และ จุด y เข้าใกล้ b เขยี นสัญลกั ษณ์แทน ด้วย xylimab f (x,y) หรือ (x,yl)im(a,b)f (x,y) โดยทว่ั ไปจะนิยมใช้สัญลกั ษณ์ (x,yl)im(a,b)f (x,y) มากกว่า เพราะ (x, y) เข้าใกล้ (a, b) มลี กั ษณะการเขยี นเหมอื นการ แทนค่าฟังก์ชัน ซึ่งจะสะดวกกว่า

การหาค่าลมิ ติ ของฟังก์ชัน 2 ตวั แปร จะต้องพจิ ารณาลกั ษณะของ ฟังก์ชันทมี่ ที ศิ ทางแตกต่างกนั ทเ่ี ข้าใกล้จุด (a, b) เป็ นจาํ นวนมาก ดงั น้ันค่าของลมิ ติ ของฟังก์ชัน 2 ตวั แปรจึงขนึ้ อยู่กบั จุด x และ y ที่ เข้าใกล้ a และ b ตามลาํ ดบั ดงั รูป 15

พจิ ารณาค่าของฟังก์ชัน f(x, y) = 2xy เมอื่ x มคี ่าเข้าใกล้ 2 และ y มคี ่าเข้าใกล้ 1 ก. ตามเส้นตรง x = 2 x y f(x, y) = 2xy x y f(x, y) ) = 2xy 2 0.9 3.6 2 1.1 4.4 2 0.99 3.96 2 1.01 4.04 2 0.999 3.996 2 1.001 4.004 ข. ตามเส้นตรง y = 1 x y f(x, y) = 2xy x y f(x, y) = 2xy 1.9 1 3.8 2.1 1 4.2 1.99 1 3.98 2.01 1 4.02 1.999 1 3.998 2.001 1 4.002 16

พจิ ารณาค่าของฟังก์ชัน f(x, y) = 2xy เมอื่ x มคี ่าเข้าใกล้ 2 และ y มคี ่าเข้าใกล้ 1 x y f(x, y) x y f(x, y) 1.9 0.95 3.61 2.2 1.1 4.84 1.99 0.995 3.9601 2.1 1.05 4.41 1.999 0.9995 3.996001 2.01 1.005 4.0401 จากทุกตาราง พบว่าค่าของฟังก์ชัน f(x, y) = 2xy จะมคี ่าเข้าใกล้ 4 เมอ่ื x มคี ่าเข้าใกล้ 2 และ y มคี ่าเข้าใกล้ 1 แต่เราไม่สามารถสรุปได้ว่า การ พสิ ูจน์ว่าผลสรุปข้างต้นเป็ นจริง เพราะว่าเราไม่ได้แสดงว่า x มคี ่าเข้าใกล้ 2 และ y มคี ่าเข้าใกล้ 1 ทุกเส้นทาง

หมายเหตุ แม้ว่าเราไม่สามารถสรุปได้ว่าลมิ ติ ของ f(x, y) หาค่าได้ ขณะที่ (x, y) มคี ่าเข้าใกล้ (a, b) โดยการพจิ ารณาเส้นทางทแ่ี ตกต่างกนั บางเส้น แต่เราสามารถ สรุปได้ว่าลมิ ติ หาค่าไม่ได้ ถ้าเราได้ค่าลมิ ติ ทแ่ี ตกต่างกนั ขณะที่ (x, y) มคี ่าเข้าใกล้ (a, b) ตามเส้นทางทแี่ ตกต่างกนั

บทนิยาม 1.2.1 ให้ f(x , y) เป็นฟังกช์ นั 2 ตวั แปร ลิมิตของฟังกช์ นั f(x , y) เม่ือ (x , y) มีค่าเขา้ ใกล้ (a , b) เท่ากบั จาํ นวนจริง L เขียนแทนดว้ ย (x,yl)im(a,b)f (x,y)  L หมายเหตุ เช่นเดียวกนั นิยามของลิมิตของฟังกช์ นั 3 ตวั แปรหรือมากกวา่ เราสามารถนิยามไดเ้ ช่นเดียวกบั บทนิยาม 1.2.1 19

ตวั อย่าง 1.2.1 จงหาแสดงว่า lim x2  y2 หาค่าไม่ได้ x( x, y)(0,0) 2 y 2 20

ตวั อย่าง 1.2.2 จงหาแสดงว่า lim 2xy หาค่าไม่ได้ x( x, y)(0,0) 2 y 2 21

ทฤษฎบี ท 1.2.2 ถ้า lim f (x,y) และ lim g(x,y) หาค่าได้ท้งั คู่ แล้ว (x,y)(a, b) (x,y)(a, b) 1. lim k f (x, y)  k lim f (x, y) เม่ือ k เป็ นจาํ นวนจริงใดๆ (x, y)(a, b) (x, y)(a, b) 2. lim [f (x, y)  g(x, y)]  lim f (x, y)  lim g(x, y) (x, y)(a, b) (x, y)(a, b) (x, y)(a, b) 3. lim [f (x, y)  g(x, y)]   lim f (x, y)  lim g(x, y) (x, (x, (x, y)(a, b) y)(a, b) y)(a, b) 4. lim  f (x, y)   lim f (x, y) เมื่อ lim g(x, y)  0  g(x, y)  (x, y)(a, b) (x, y)(a, b) (x, y)(a, b) 22 lim g(x, y) (x, y)(a, b)

ทฤษฎบี ท 1.2.2 5. lim | f (x, y) |  lim f (x, y) (x, y)(a, b) (x, y)(a, b) 6. ถา้ m และ n เป็นจาํ นวนเตม็ แลว้ m m lim [f (x, y)] n   lim f (x, y) n (x (x, y)(a, b) , y)(a , b) เมื่อ lim f (x,y) เป็ นจาํ นวนจริงใดๆ (x, y)(a, b) 7. ถา้ P(x, y) เป็ นพหุนามของ x และ y แลว้ lim P(x,y)  P(a,b) (x, y)(a, b) หมายเหตุ ทฤษฎีบทขา้ งตน้ ยงั คงเป็นจริงสาํ หรับฟังกช์ นั 3 ตวั แปรหรือหลายตวั แปร 23

ตวั อย่างที่ 1.2.3 จงหา lim (x2  xy  y2 ) ( x ,y )( 3, 4 ) วธิ ีทาํ 24

ตวั อย่างท่ี 1.2.4 จงหา ( x ,y )lim(1, 2 ) 5x 2 y x 2  xy2 วธิ ีทาํ 25

ตวั อย่างที่ 1.2.5 จงหา lim x2  xy  2y2 วธิ ีทาํ xy (x,y)(0,0) 26

ตวั อย่างท่ี 1.2.6 จงหา lim xy  y  2x  2 x 1 ( x ,y )(1, 1) วธิ ีทาํ lim xy  y  2x  2  lim (xy  y)  (2x  2) (x, y)(1,1) x 1 (x, y)(1,1) x 1  lim y(x 1)  2(x 1) (x, y)(1,1) x 1  lim (x 1)(y  2) (x, y)(1,1) x 1  lim (y  2) (x, y)(1,1)  1 2  1 27

ตวั อย่างที่ 1.2.7 จงหา (x,y)lim(2, 2) x2  xy x y วธิ ีทาํ lim x2  xy  lim x2  xy  x  y (x,y)(2, 2) x  y (x,y)(2, 2) x  y x  y  lim (x2  xy)( x  y ) (x,y)(2, 2) ( x )2  ( y )2  lim x(x  y)( x  y) x y (x,y)(2, 2)  lim x ( x  y ) (x,y)(2, 2)  2( 2  2)  4 2 28

ตวั อย่างพเิ ศษ จงหา lim 83 , →, วธิ ีทาํ 29

1.3 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชันสองตวั แปร (Continuity of Function of Two Variables) บทนิยาม 1.3.1 ฟังกช์ นั f(x,y) ต่อเนื่องที่จุด (a, b) ถา้ สอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขต่อไปน้ี 1. f(a , b) หาค่าได้ 2. (x,y)lim(a, b) f (x,y) หาค่าได้ 3. (x,y)lim(a, b) f (x,y)  f (a, b) หมายเหตุ : ถา้ f ต่อเนื่องที่ทุกๆ จุดบนโดเมนของ f แลว้ f จะเป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ือง 30

ตวั อย่างที่ 1.3.1 ให้ f(x, y) = 3x + 2y จงพจิ ารณาวา่ f ต่อเน่ืองท่ีจุด (1, 2) หรือไม่ วธิ ีทาํ 31

ตวั อย่างท่ี 1.3.2 ให้ f(x, y)  x4  y4 จงพิจารณาวา่ x2  y2 วธิ ีทาํ f ต่อเนื่องที่จุด (0, 0) หรือไม่ 32

ตวั อย่างท่ี 1.3.3 x2  4y2 ; (x, y)  (2,1) ให้  f (x, y)   x  2y  A ; (x, y)  (2,1) จงหาจาํ นวนจริง A ท่ีทาํ ใหฟ้ ังกช์ นั f ต่อเน่ืองจุด (2, 1) วธิ ีทาํ 33

จบบทที่ 1 34

แนวทางการส่งงานใน Google form - เข้า Classroom ต้องใช้อเี มล @rsu.ac.th เท่าน้ัน - รหัสห้อง ggipkju - ส่งงานใน google form ไปทหี่ ัวข้อ การส่งงาน - จะใช้ปากกาเขยี นใน iPad หรือคอมพวิ เตอร์กไ็ ด้ ถ้าใครไม่มปี ากกาเขยี นใน iPad สามารถเขยี นลงในกระดาษรายงาน แล้วถ่ายภาพให้ชัดๆ ส่งใน google form - การเขยี นลงกระดาษควรใช้ปากากาหมกึ สีเข้มหรือปากกาเจล เขยี นให้ชัดๆ หากไม่ ชัด จะให้ส่งใหม่ - ส่งได้ต้งั แต่บดั นีจ้ นถงึ วนั อาทติ ย์ท่ี 17 มค 64 ไม่เกนิ 4 โมงเยน็ หลงั จากน้ัน นับเป็ นการส่งงานช้า คะแนนจะถูกหักไปตามเวลาทสี่ ่งช้า 35

กิจกรรมวนั น้ี ทาํ ใน Google form อยทู่ ่ี Classroom (ทาํ ข้อที่ตรงกับวันเกดิ ) 1. lim เกดิ วันจันทร์ (รกั งา่ ยหน่ายเร็ว เจ้าช้เู งียบ) ,→ , 2. lim เกดิ วันองั คาร (คนทมี่ ุทะลุ ใจเร่ารอ้ น มีเสนห่ )์ เกดิ วนั พธุ (มอี ุดมการณ์วาดฝันสวยงาม มีเสน่ห์ทีค่ วามจรงิ จัง) , →, 3. lim , →, 4. lim เกิดวันพฤหสั (ชอบดิ้นรนและตอ่ สูด้ ว้ ยลาํ แข้งของตัวเอง) , →, 5. lim เกดิ วันศุกร์ (เป็นคนทรี่ ้อนแรง มเี สนห่ ์และเจรจาปากหวาน) , →, 6. lim เกิดวันเสาร์ (คนหย่ิงและทรนง แขง็ นอกออ่ นใน) , →, 7. lim เกิดวนั อาทติ ย(์ ไม่ยอมแพ้อะไรงา่ ยๆ เลือดรอ้ นคกุ ร่นุ อยูข่ ้างใน ข้ีใจน้อย) , →, ส่งได้ถงึ วนั อาทติ ย์ที่ 17 มค 64 ไม่เกนิ 4 โมงเยน็