บทที่2อนุพันธ์ย่อย ครั้งที่ 1

อนพุ นั ธย์ อ่ ย ( PARTIAL DERIVATIVES ) บรรยายโดย ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

หวั ขอ้ บรรยาย 2.1 อนพุ นั ธย์ อ่ ย 2.2 กฎลกู โซส่ าํ หรบั อนพุ นั ธย์ อ่ ย 2.3 อนพุ นั ธย์ อ่ ยของฟงั กช์ นั ปรยิ าย 2.4 อนพุ นั ธย์ อ่ ยอนั ดบั สงู 2.5 บทประยกุ ตอ์ นพุ นั ธย์ อ่ ย

2.1 อนพุ นั ธย์ อ่ ย (PARTIAL DERIVATIVES) อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั สองตวั แปร z  f (x , y) เทียบกบั x โดยให้ y เป็นค่าคงตวั ซ่ึงจะเรียกช่ือใหม่วา่ อนุพนั ธ์ย่อยของ f เทยี บกบั x และเพื่อใหเ้ ห็นความแตกต่างระหวา่ งอนุพนั ธก์ บั อนุพนั ธ์ยอ่ ย เราจึงใชส้ ญั ลกั ษณ์ xf หรือ xz แทนอนุพนั ธย์ อ่ ยของ f เทียบกบั x

อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั สองตวั แปร z  f (x , y) เทียบกบั y โดยให้ x เป็นค่าคงตวั ซ่ึงจะเรียกช่ือใหม่วา่ อนุพนั ธ์ย่อยของ f เทยี บกบั y เราจึงใชส้ ญั ลกั ษณ์ yf หรือ yz แทนอนุพนั ธย์ อ่ ยของ f เทียบกบั y

บทนยิ าม 2.1 ให ้ z  f(x , y) เป็ นฟังกช์ นั 2 ตวั แปร อนุพันธย์ อ่ ยของ f เทยี บกบั x คอื f  lim f (x  h, y)  f (x, y) เมอื่ ลมิ ติ หาคา่ ได ้ x h h0 ในทํานองเดยี วกนั อนุพันธย์ อ่ ยของ f เทยี บกบั y คอื f  lim f (x, y  k)  f (x, y) เมอ่ื ลมิ ติ หาคา่ ได ้ y k k 0

ตวั อย่าง 2.1.1 กาํ หนดให้ f (x, y)  3x2  2xy2 จงหา f x

ตวั อย่าง 2.1.1 กาํ หนดให้ f (x, y)  3x2  2xy2 จงหา f y

สรปุ ในการหาอนุพันธย์ อ่ ยของฟังกช์ นั 2 ตวั แปร z  f(x , y) มอี ยดู่ ว้ ยกนั 2 แบบ คอื อนุพันธย์ อ่ ยของ f เทยี บกบั x โดยให ้ y เป็ นคา่ คงตวั และ อนุพันธย์ อ่ ยของ f เทยี บกบั y โดยให ้ x เป็ นคา่ คงตวั ซงึ่ การหาอนุพันธย์ อ่ ยทงั้ 2 แบบน้ี ใชห้ ลกั เกณฑแ์ ละสตู ร เหมอื นกบั การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั 1 ตวั แปร

สญั ลกั ษณ์ท่ีนิยมใชแ้ ทนอนุพนั ธ์ยอ่ ยของ z  f(x , y) ตารางที่ 2.1 อนุพนั ธย์ อ่ ยของ f เทียบกบั x อนุพนั ธ์ยอ่ ยของ f เทียบกบั y xf , xz xf (x , y) yf , yz yf (x , y) fx f1 Dx (x , y) D1(x , y) fy f2 Dy (x , y) D2 (x , y)

ตารางที่ 2.2 อนุพนั ธย์ อ่ ยของ f เทียบกบั x อนุพนั ธ์ยอ่ ยของ f เทียบกบั y ท่ี ที่จุด (a, b) จุด (a, b) f (a, b) , f , f (a, b) , f , x x y y (a,b) (a,b) f x (a,b) , D1(a,b) f y (a,b) , D2 (a,b)

ตวั อยา่ งที่ 2.1.2 จงหา z และ z เมอื่ กําหนด x y 1. z  x3 y 2  2xy  4 y3 2. z  x2  3xy  2x  3y  7

ตวั อยา่ งที่ 2.1.3 ให ้ f (x, y)  3x2  2xy  5y จงหาคา่ ของ f x (1,4) และ f y (1, 4)

ตวั อยา่ งที่ 2.1.4 จงหา f และ f x y เม่ือกาํ หนดฟังกช์ นั สองตวั แปรต่อไปน้ี 1. f (x, y)  exy  ln y  cos(x2 y) 2. f (x, y)  x  2 y arctan(x) 3. f (x, y)  exy sin(by)

ตวั อยา่ งท่ี 2.1.4 จงหา f และ f เมอ่ื กําหนด x y 1. f (x, y)  exy  ln y  cos(x2 y)

ตวั อยา่ งท่ี 2.1.4 (ตอ่ ) จงหา f และ f เมอ่ื กําหนด x y 2. f (x, y)  x  2 y arctan(x)

ตวั อยา่ งท่ี 2.1.4 (ตอ่ ) จงหา f และ f เมอ่ื กําหนด x y 3. f (x, y)  exy sin(by)

ตวั อยา่ งที่ 2.1.5 ให ้ G(x, y)  x  y2 จงหาคา่ ของ G x (5,2)

ตวั อยา่ งที่ 2.1.5 ให ้ G(x, y)  x  y2 จงหาคา่ ของ G y (5,2)

ตอ่ ไปจะหาอนุพันธย์ อ่ ยของฟังกช์ นั 3 ตวั แปร กําหนดโดย w  f(x , y , z) มที งั้ หมด 3 แบบ ไดแ้ ก่ 1. หาอนุพันธย์ อ่ ยเทยี บกบั x ใหม้ อง y , z เป็ นคา่ คงท่ี 2. หาอนุพันธย์ อ่ ยเทยี บกบั y ใหม้ อง x , z เป็ นคา่ คงท่ี 3. หาอนุพันธย์ อ่ ยเทยี บกบั z ใหม้ อง x , y เป็ นคา่ คงท่ี ในทํานองเดยี วกนั หาอนุพันธย์ อ่ ยของฟังกช์ นั n ตวั แปร มี ทงั้ หมด n แบบ (ดไู ดจ้ ากเอกสาร)



ตวั อยา่ งท่ี 2.1.6 จงหา wx , wy และ wz เม่ือกาํ หนดฟังกช์ นั สามตวั แปรต่อไปน้ี 1. w  f (x, y, z)  x2  xyz  xe3z 2. w  f (x, y, z)  e xyz  ln( xy ) z

ตวั อยา่ งที่ 2.1.6 จงหา w , w และ w เมอื่ กําหนด x y z 1. w  f (x, y, z)  x2  xyz  xe3z

ตวั อยา่ งที่ 2.1.6 จงหา w , w และ w เมอื่ กําหนด x y z 2. w  f (x, y, z)  exyz  ln( xy ) z

ตวั อยา่ งท่ี 2.1.7 กําหนดให ้ f (r, s,t)  rst(r 2  s3  t 4 ) จงหาคา่ ของ fs (1, 1, 2)

ตวั อยา่ งท่ี 2.1.8 กําหนดให ้ f (x, y, z)  x2  y2  2z 2 จงแสดงวา่ yz f  xz f  xy f x y z

ตวั อยา่ งที่ 2.1.9 กําหนดให ้ f (x, y, z)  x2 sin( yz) จงหา f , f และ f x y z

2.2 กฎลกู โซ่ ( Chain Rule) สาํ หรบั อนพุ นั ธย์ อ่ ย กฎลกู โซ่ เป็ นวธิ ที จ่ี ะชว่ ยใหก้ ารหาอนุพันธย์ อ่ ยของ ฟังกช์ นั ซบั ซอ้ น ไดส้ ะดวกมากขนึ้ รปู แบบของฟังกช์ นั จะมคี วามสมั พันธก์ นั ดงั น้ี ให ้ z  f(x , y) เป็ นฟังกช์ นั ของ x และ y และ x  g(r , s) , y  h(r , s) เป็ นฟังกช์ นั ของ r และ s เมอื่ z , x และ y เป็ นฟังกช์ นั ทสี่ ามารถหาอนุพันธไ์ ด ้

บทนยิ าม 2.2.1 กําหนดให ้ z  f(x , y) และ x  g(r , s) , y  h(r , s) โดยท่ี z , x และ y เป็ นฟังกช์ นั ทสี่ ามารถหาอนุพันธไ์ ด ้ แลว้ กฎลกู โซส่ ําหรับอนุพันธย์ อ่ ย คอื z  z x  z y r x r y r และ z  z x  z y s x s y s z z x y x x y y r s r s

ตวั อยา่ งท่ี 2.2.1 กําหนดให ้ f (x, y)  x2  xy  y 2 โดยที่ x  2r  s และ y  r  2s จงหา f และ f r s z xy r sr s

ตวั อยา่ งที่ 2.2.2 กําหนดให ้ z  xe y โดยที่ x  rs  sert และ y  9  rt จงหา z เมอื่ r   2 , s  5 และ t  0 r z xy r st r t

ในทํานองเดยี วกนั และ z  k(r, s) กําหนดให ้ w  f(x , y , z) โดยที่ x  g(r, s) , y  h(r, s) จะไดก้ ฎลกู โซ่ คอื w  w x  w y  w z และ w  w x  w y  w z r x r y r z r s x s y s z s

ตวั อยา่ งท่ี 2.2.3 กําหนดให ้ w  e xyz โดยท่ี x  r 2s3 , y  r  s และ z  rs2 จงหา w เมอื่ r  1 และ s  1 s

กิจกรรมวนั นี้ ทาํ ใน Google form อยทู่ ่ี Classroom แบบฝึกหัดบทที่ 2 หน้า 31 (ทาํ ข้อที่ตรงกับเลขทา้ ยของรหัสนกั ศึกษา) รหัสตัวทา้ ย แบบฝึกหดั บทท่ี 2 เลข 0, 2 2.1, 4.2 เลข 4, 6 1.4, 4.1 ส่งได้ถงึ วนั อาทติ ย์ที่ 24 มค 64 เลข 8 1.2, 3.2 ไม่เกนิ 4 โมงเยน็ เลข 1, 3 1.3, 2.2 เลข 5, 7 2.3, 3.3 เลข 9 1.1, 3.1 สําหรับใบงานแต่ละบท สามารถทาํ ไปได้เร่ือยๆ จะได้ไม่ลมื แต่ยงั ไม่ต้องส่งตอนนี้ ครูจะแจ้งอกี คร้ังว่าให้ส่งเมอื่ ไหร่ เน่ืองจากการเรียนออนไลน์แต่ละสัปดาห์ ครูจะมกี จิ กรรมให้ทาํ หลงั เรียนจบทุกคร้ัง เป็ นการสะสมคะแนนเกบ็ ไว้