Lecture บทที่6อนุพันธ์

ตวั อยา่ ง 16 : ถา้ y  3x3  2x จงหา y

ตวั อยา่ ง 17 : ถา้ y  sin(3x)  x lnx  e2x จงหา y

การประยกุ ตข์ องอนพุ นั ธ์ (Application of Derivatives)

อตั ราการเปล่ียนแปลง (Rate of Change) จากกราฟ เมื่อ x เปล่ยี นไปเป็น x+h โดยที่ h  0 จะไดว้ า่ f(x) เปลี่ยนไปเป็น f(x+h) • อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกบั x คอื f(x  h)  f(x) h • อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทยี บกับ x คือ dy   im f(x  h)  f(x) dx h h 0

อตั ราการโต (Growth Rate) กําหนดให้ N(t) แทน ขนาดของประชากร ณ เวลา t เมอ่ื เวลาผ่านไป h ดังนั้น ประชากร ณ เวลา t + h แทนดว้ ย N(t+h) • อัตราการเปลยี่ นแปลงของประชากรโดยเฉลยี่ ในช่วงเวลา (t, t+h) คอื • อตั ราการเปลย่ี นแปลงของประชากรขณะใดขณะหนงึ่ หรอ อัตราการโต คือ N(t h) N(t) N(t)  tim0 N  him0  h  t

ตัวอย่าง 18 : N(t)  11090e0t กาํ หนดให้ N(t) ขนาดของประชากร ณ เวลา t ซึ่งมีสมการเป็นดงั นี้ เมือ่ t แทน เวลา หนว่ ยเปน็ ปี จงหา 1.อตั ราการเปลยี่ นแปลงของประชากรโดยเฉลย่ี ในชว่ งเวลา [0, 20] 2.อัตราการเปลยี่ นแปลง ณ ปที ี่ 10

ตวั อยา่ ง 18 : N(t )  1000 1 9et 2. อตั ราการเปลย่ี นแปลง ณ ปที ี่ 10

ตัวอยา่ ง 19 : • กาํ หนดให้ x แทน จาํ นวนประชากรของเมืองหน่งึ (หน่วยเป็น พันคน) L แทน ระดบั คาร์บอนมอนอกไซดโ์ ดยเฉลยี่ ของเมืองนี้ (หนว่ ย ppm) t แทน เวลา (หน่วย ป)ี L  10  52 x  100100 x 2 ซ่ึงตัวแปร x และ L มีความสัมพันธ์กนั ดงั สมการ 21 t2 ถ้าค่าประมาณของประชากรในเมอื งนี้ คือ x  752  23t  จงหา 1. อัตราการเปลย่ี นแปลงของประชากรเทียบกับเวลา ณ ปที ี่ 2 2. อัตราการเปลย่ี นแปลงของระดบั คารบ์ อนมอนอกไซด์เทยี บกบั เวลา ณ ปีที่ 2

ตวั อย่าง 19 : L  10  52 x  100100 x2 x  752  23t  21 t2 2. อัตราการเปลยี่ นแปลงของระดบั คารบ์ อนมอนอกไซดเ์ ทยี บกบั เวลา ณ ปที ี่ 2

ค่าสูงสดุ และ ค่าต่าํ สดุ ของฟังกช์ นั

คา่ สูงสดุ และค่าตํา่ สุดของฟงั กช์ ัน จดุ สงู สุดสมั พัทธ์ E C A D B จดุ เปลี่ยนเวา้ จุดต่ําสุดสัมพทั ธ์

วิธีการตรวจสอบค่าสงู สดุ และค่าตาํ่ สุดของฟงั ก์ชนั ขน้ ตอนท่ี 1 หาจุดวกิ ฤต หา f (x) โดยให้ f (x) = 0 แก้สมการหาค่า x เรยี กว่าค่าวกิ ฤต สมมตุ ิเปน็ x = x0 ข้นตอนท่ี 2 ตรวจสอบจดุ วิกฤต หา f (x0) จะสรุปผลได้ ดังน้ี f (x0) < 0 Max f (x0) > 0 Min f (x0) = 0 สรุปไมไ่ ด้

ตวั อยา่ ง 20 : จงหาค่าสงู สดุ และคา่ ตํา่ สุดสมั พทั ธ์ของฟงั ก์ชนั f(x) = 10 + 40x – x2

ตวั อย่าง 20 : f(x) = 10 + 40x – x2

ตวั อย่าง 21 : จf(งx)ห=าค31่าxส3งู +สดุ 21แxล2ะ–ค่า6ตxํา่ +สุด8สมั พทั ธ์ของฟงั กช์ ัน

ตวั อยา่ ง 21 : f(x) = 31 x3 + 21 x2 – 6x + 8

ตัวอย่าง 22 : ถา้ ในการทดลองของงานวจิ ยั หน่ึง พบว่า นํ้า0ห.1น7ักtข2องห0.น0ทู04ด8ลtอ3งห(หลังนจ่วายกกผรา่ ัมน)ไป t วนั เปน็ ไปตามสมการ f(t)  4.96  0.480t จงประมาณการณว์ า่ หนทู ดลองจะมนี าํ้ หนกั สงู สดุ หรือ ต่าํ สดุ เมือ่ ผา่ นไปก่วี นั และมคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

ตวั อยา่ ง 22 : f(t)  4.96  0.480t  0.17t2  0.0048t3

ตวั อยา่ ง 22 : f(t)  4.96  0.480t  0.17t2  0.0048t3