Lecture บทที่5ลิมิต

ลมิ ิตและความต่อเนอื่ ง Limit and Continuity บรรยายโดย: ผศ.ศิรวิ รรณ วาสุกรี MAT152

หวั ข้อบรรยาย 1. บทนาํ (Introduction) 2. ลิมิต (Limits) 3. ลมิ ติ ข้างเดียว (One – Sided Limits) 4. รปู แบบยังไม่กาํ หนด (Indeterminate Forms) 5. ลิมติ ท่ีอนนั ต์ (Limits at Infinity) 6. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน (Continuity of Functions) 7. โจทยป์ ระยุกต์

แนะนาํ เอกสารอา่ นเพม่ิ เตมิ  Step-by-Step Calculus  www.wolframalpha.com/examples/ mathematics/calculus-and-analysis/  Introduction to Calculus I and II by J.H. Heinbockel  Calculus Made Easy by Silvanus P. Thompson  เอกสารท่ีเกี่ยวกบั แคลคลู ัสทุกเลม่

บทนาํ (Introduction)

บทนาํ (Introduction) ทาํ ความเข้าใจค่าของฟงั ก์ชนั f(x) • เมอ่ื ฟังก์ชัน f (x)  x2  4 4.40.00400.511 x2 4 • แทนคา่ f(x) เม่ือ x เข้าใกล้ 2 3.999 3.99 3 1 1.99 1.999 22.0020.01 012.5 x x 1 1.99 1.999 2 2.0001 2.001 2.5 f(x) 3 3.99 3.999 หาคา่ ไม่ได้ 4.0001 4.001 4.5

ลิมิต (Limits)

นยิ ามของลมิ ติ f(x) x ถ้า f(x) เปน็ ฟังก์ชัน และ ให้ a และ L เป็นจํานวนจริงใดๆ y L a จะไดว้ ่า L เปน็ ลิมติ ของ f(x) เมอื่ x เข้าใกล้ a, ซึ่งเขยี นแทนดว้ ย lim f (x)  L xa

Convergent and Divergent ถา้ lim f (x)  L และ L เปน็ เลขจาํ นวนจรงิ ใดๆ จะเรยี กว่า ลิมิตหาคา่ ได้ (exists) xa และฟังกช์ นั f(x) ลเู่ ข้า (converges) สู่ L แต่ถ้า lim f (x)  L หาคา่ ไมไ่ ด้ หรือ L ไมใ่ ช่เลขจาํ นวนจริงใดๆ xa จะสรปุ วา่ ฟังก์ชนั f(x) ไม่ลู่เขา้ (diverges)

ตวั อยา่ งที่ 1 จงประมาณคา่ im x2  x  12 ด้วยการแทนคา่ 4 x4 x 

ลมิ ติ ข้างเดยี ว (One – sided Limits)

ลมิ ติ ข้างเดยี ว (One – sided Limits) ลิมิตด้านเดียวทางซ้าย lim f (x)  L xa ลิมิตด้านเดยี วทางขวา lim f (x)  L xa

ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งลมิ ติ ขา้ งเดยี วทางซา้ ยและลิมติ ข้างเดยี วทางขวา นิยาม lim f (x) หาค่าได้ และมคี า่ เท่ากบั M ก็ต่อเมอื่ x a (1) lim  M และ x a (2) lim  M x a

ตวั อยา่ งที่ 2 จงประมาณคา่ lim x2  4x 5 และ lim x2  4x 5 ด้วยการแทนคา่ x2  25 x2  25 x5 x5  lim x2  4x  5  0.6  lim x2  4x  5  0.6 x2  25 x2  25 x5 x5

ตวั อยา่ งท่ี 3 พิจารณากราฟของฟังก์ชนั f(x) ทกี่ ําหนดให้ แล้วหาลิมติ ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ จงหา 3.3) lim f (x) 3.1) lim f (x) x3 x3 3.4) f(3) 3.2) lim f (x) x3

คณุ สมบัติของลมิ ติ กาํ หนดให้ xlima f (x) และ lxima g(x) หาคา่ ได้ และ c  R 1. lim cf (x)  c lim f (x) xa xa 2. lim[ f (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x) xa xa xa 3. lim[ f (x)g(x)]  lim f (x)  lim g(x) xa xa xa

คณุ สมบตั ขิ องลิมิต 4. f (x)]  lim f (x) เมอื่ lim g(x)  0 lim[ xa xa xa g(x) lim g(x) xa 5. lim[ f (x)]n   lim f (x)n xa  xa  6. lim[n f (x) ]  n lim f (x) xa xa

คณุ สมบตั ขิ องลิมิต 7. xlima c  c 8. xlima x  a 9. lim f ( x)  f (a) xa

ตวั อยา่ งที่ 4 จ4ง.1ห)าคxา่ lลimมิ ติ2ใ(นxแต2ล่ ะข้อ3ตxอ่ ไปน้ี1) 4.2) xlim1 xx223

ตวั อย่างท่ี 5 กําหนดให้ f(x)  1 ; x0 จงหา  1 ; x0 lim f(x) x0  xlim0 f(x) xlim0 f(x) Note : if f(x) is “nice enough” we get (1) xlima f(x)  f(a) (2) xlima f(x)  f(a) (3) xlima f(x)  f(a)

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาค่าลมิ ิตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี 6.1) lim (2x2  3x  6) x 1 6.2) lim (2x2  3x  6) x2

ตวั อยา่ งที่ 7 กาํ หนดให้ f (x)   x 2x2 x 1 2 ; x0 จงหา xlim0 f(x)  ; x0  3 ; x0  xx42 

รูปแบบไม่กาํ หนด (Indeterminate Forms)

รปู แบบยงั ไมก่ ําหนด รปู แบบยงั ไมก่ าํ หนด หมายถงึ รปู แบบของฟงั ก์ชนั เม่อื หาคา่ ของลมิ ติ โดยการแทน คา่ ตัวแปรแล้วอยใู่ นรปู ดังต่อไปนี้ 00 , 0 , 1 , 00 ,  , 0 ,  -   การหาค่าลมิ ติ ในกรณีแบบนี้ ควรท่จี ะจดั รูปของฟังก์ชนั จนกระทัง่ อยู่ในรปู แบบที่ สามารถแทนคา่ ได้ ซึ่งวธิ ใี นการจัดรปู ฟังกช์ นั มหี ลากหลายวธิ ี เช่น (1) การแยกตัวประกอบ (2) การหารทัง้ เศษและสว่ นดว้ ยตัวแปรทีก่ าํ ลงั สูงที่สดุ (3) การคณู ด้วยตัวคอนจเู กต (Conjugate) เปน็ ต้น

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาค่าลิมิตในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 8.1) xlim4 xx2  416 8.2) xlim0 2(3 x )2  18  x

ตวั อย่างที่ 8 จงหาคา่ ลมิ ิตในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 8.3) xlim5 xx45 3

ตวั อยา่ งที่ 8 จงหาค่าลมิ ิตในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 8.4) xlim0 x1 x1 1

ลมิ ิตท่อี นนั ต์ (Limits at Infinity)

ลมิ ติ ท่ีอนนั ต์ จากการหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั f(x) ทส่ี ามารถเขียนได้ดังนี้ lim f (x) xa ดงั นั้น ถ้าเปลย่ี นจาก x เขา้ ใกล้ a ซึง่ เปน็ จาํ นวนจรงิ ใดๆ เปน็ x มีคา่ เข้าใกล้  (หรือ ) นนั่ คอื lim f (x) หรือ lim f (x) x x เราจะเรียกว่าเปน็ การหาลมิ ิตท่ีอนนั ต์ ซง่ึ ในการหาคา่ ลมิ ติ ยังสามารถใช้คุณสมบตั ิของลิมิต ช่วยในการหาได้

ลมิ ิตท่ีอนนั ต์ ข้อเท็จจริง เมือ่ r เป็นจาํ นวนตรรกยะ โดยท่ี r > 0 และ c  R จะไดว้ ่า im c 0 xr x เม่ือ r เป็นจาํ นวนตรรกยะ โดยท่ี r > 0 , c  R และ x < 0 จะไดว้ ่า im c  0 xr x  

ลมิ ติ ท่ีอนนั ต์ แนวทางในการหาลมิ ติ ทอี่ นนั ต์ เมื่อฟังกช์ นั f(x) เปน็ ฟงั กช์ ันพหนุ าม และตอ้ งการหาลมิ ติ ทอี่ นันต์ 1) พจิ ารณา x ทีย่ กกําลังสูงท่ีสุดจากตวั สว่ น 2) นํา x ทีย่ กกําลงั สงู ทสี่ ดุ หารตลอดทุกพจน์ทั้งตวั เศษและตัวสว่ น 3) ใชก้ ารหาลมิ ติ ทอี่ นนั ต์ โดยท่ี im c 0 และ im c 0 xr xr x x  

ตวั อย่างท่ี 9 จงหา xlim x x 1 

ตวั อย่างท่ี 10 จงหา xlim xx23  2x 1 3x 1

ลมิ ติ ท่ีอนนั ต์ แนวทางการหาลมิ ิตทอ่ี นนั ตข์ องฟงั ก์ชันตรรกยะ เมอื่ f(x) เป็นฟังก์ชนั ตรรกยะ f(x)  p(x) q(x) กําหนดให้ deg(p) แทน ดกี รีของพหุนาม p(x) และ deg(q) แทน ดกี รขี องพหุนาม q(x) ดังนนั้ 0 ; deg(p)  deg(q) p(x)  xlim f(x)  xlim q(x)   L0 ; deg(p)  deg(q) ; deg(p)  deg(q) does not exist เมอ่ื L  R ซง่ึ ไดม้ าจากอัตราสว่ นระหว่างสัมประสิทธขิ์ องพจนท์ ่ีมีดกี รสี ูงสุด ของ p(x) ตอ่ q(x) ซงึ่ เป็นจรงิ ทงั้ ในกรณที ี่ x เขา้ ใกล้ 

ตัวอย่างท่ี 11 จงหาคา่ ลมิ ติ ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 11.1) xlim 13xx52xx22  11.2) xlim x2 x2 1   2x  11.3) xlim 4 x3 2  x

ความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชัน (Continuity of Functions)

ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน ฟังกช์ นั f จะตอ่ เน่ืองทีจ่ ดุ x = a ถ้า 3 เงอ่ื นไขต่อไปน้เี ป็นจริง: 1. f(a) หาค่าได้ 2. lim f(x) หาค่าได้ xa 3. lim f(x) = f(a) xa

ตวั อยา่ งที่ 12 พิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั y  f(x) ท่กี ําหนดให้ จงตอบคําถามในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 12.1) ฟังกช์ นั y  f(x) ต่อเน่อื งทจ่ี ดุ x  0 หรือไม่ พรอ้ มอธิบายเหตผุ ลประกอบ

ตวั อยา่ งที่ 12 พิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั y  f(x) ท่กี ําหนดให้ จงตอบคําถามในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 12.2) ฟงั ก์ชัน y  f(x) ตอ่ เนื่องทจี่ ดุ x  3 หรือไม่ พรอ้ มอธบิ ายเหตผุ ลประกอบ

ตวั อยา่ งที่ 12 พิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั y  f(x) ท่กี ําหนดให้ จงตอบคาํ ถามในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ 12.3) ฟงั ก์ชนั y  f(x) ต่อเน่อื งทจ่ี ดุ x  2 หรอื ไม่ พรอ้ มอธบิ ายเหตผุ ลประกอบ

ตวั อยา่ งที่ 13  2 x 2xx26 ; x  2  ; x  2 ฟังก์ชัน f( x )   ต่อเน่ืองที่จดุ x  -2 หรอื ไม่   7

ตวั อย่างท่ี 14 ฟงั กช์ ัน f(x)  x 2 1 ; x0 ต่อเน่ืองที่จดุ x  0 หรอื ไม่  ; x0  x

ตวั อย่างที่ 15 กําหนดใหฟ้ ังก์ชัน f(x)  Ax 2 A ; x3 ต่อเนือ่ งทจ่ี ดุ x  3 ดังนนั้ จงหาคา่ A  ; x3  4

โจทยป์ ระยุกต์ (Continuity of Functions)

การเตบิ โตแบบลอจสิ ตกิ (Logistic Growth) • Logistic growth เป็นลักษณะตวั แบบของปรมิ าณทมี่ กี ารเพ่ิมข้ึนอย่างรวดเร็วในชว่ งแรกและต่อมาเรม่ิ ช้าจนเกอื บจะหยุดน่งิ • การเพิม่ ประชากรแบบลอจสิ ตกิ จะมีลักษณะเปน็ รปู ตวั เอส (S - shape) โดยมีปัจจยั จาํ กดั ท่ชี ว่ ยควบคุม ปริมาณในระดบั สูงสุดให้อยูร่ ะดบั คงท่แี ละอย่ใู นระดบั นเ้ี ป็น ตวั อยา่ งของประชากร ปริมาณ หรือ ปรากฏการณท์ ี่จะมลี กั ษณะการเตบิ โตแบบลอจสิ ตกิ

การเพิ่มของประชากรของแมวน้าํ • ตวั อยา่ งการเพ่ิมของประชากรของแมวนาํ้ • ท่ีมา : http://schoolbag.info/biology/living/286.html

ตัวอย่าง logistic growth • ตวั อย่างของปริมาณหรือปรากฏการณ์ทจ่ี ะมลี กั ษณะแบบ logistic growth เช่น • การเกดิ เทคโนโลยีใหมๆ่ • การแพรก่ ระจายของเชอ้ื โรค หรอื • ยอดขายสนิ คา้ แปลกใหม่ • ขนาดของประชากร หรอื ความหนาแนน่ ประชากร เปน็ ตน้

logistic growth ถา้ N(t) แทน ขนาดของสง่ิ มชี ีวติ ชนิดหนงึ่ ซึง่ มลี กั ษณะการเติบโตแบบลอจสิ ตกิ หากตอ้ งการ ศึกษาถงึ ปรมิ าณของสิ่งมชี วี ติ ชนดิ น้ี ในระยะยาว จงึ หมายถงึ การหาลมิ ติ ของฟงั กช์ นั N(t) เม่ือ t หรอื เขียนแทนด้วย im N(t) t

ตัวอยา่ งท่ี 16 กาํ หนดให้ N(t) ขนาดประชากรของสิง่ มชี วี ิตชนิดหนงึ่ ณ เวลา t ซึง่ มคี วามสัมพนั ธ์ 50 N(t)  1 3et เมอ่ื t  0 จงหาขนาดของประชากรเมอ่ื t

จบการบรรยาย บทที่ 5

• Name • Phone • Email • Website