บทที่3เวกเตอร์และเรขา3มิติ ครั้งที่ 2

3.4 เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ เวกเตอร์ หมายถึงปริมาณที่มีท้งั ขนาดและทิศทาง สญั ลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนเวกเตอร์ โดยทว่ั ไปนิยมใช้  ,  ,  , a ,  , c , . . . A B C b

บทนิยามท่ี 3.1 ให้ x , y , z เป็นจาํ นวนจริง เราเรียก x , y , z วา่ เวกเตอร์ในสามมิติ และเซตของเวกเตอร์ในสามมิติ เขียนแทนดว้ ย R3 นนั่ คือ R3  (x,y,z) / x,y,z R

ให้ A เป็นจุดในสามมิติ มีพิกดั เป็น  a1 , a2 , a3 เวกเตอร์ใน R3 หมายถึงเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ ท่ีจุดกาํ เนิด และมีจุดปลายท่ีจุด A  a1 , a2 , a3  ดงั รูป เราใช้ OA แทนเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ ท่ี O และจุดปลายท่ีจุด A

3.4.1 พชี คณติ ของเวกเตอร์ ให้  และ  A  a1, a2 , a3  B  b1,b2 ,b3  1. การเท่ากนั A  B กต็ ่อเมื่อ a1  b1, a2  b2 และ a3  b3 2. การบวก  A  B  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3   B 3. นิเสธของ B เขียนแทนดว้ ย กาํ หนดโดย   b1 ,  b2 ,  b3  B 4. การลบ    (B)  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  A AB  5. เวกเตอร์ศูนย์ เขียนแทนดว้ ย 0 กาํ หนดโดย  0  0, 0, 0 6. ให้ c เป็นสเกลาร์ จะได้  cA  ca1 ,ca2 ,ca3 

ตวั อย่างท่ี 3.4.1 ให้  2 , 3,  1 และ  6 , 2 , 4 จงหา 1. 3. AA B 4. B4AA  3B 2. 3B

3.4.2 ขนาด หรือ นอร์มของเวกเตอร์ A ) ขนาดของเวกเตอร์ หรือ นอร์มของเวกเตอร์  (a1 ,a2 , a3A) คือระยะทางจากจุด O ถึงจุด A(a1 ,a2 ,a3 เขียนแทนดว้ ย กาํ หนดโดย A  a12  a22  a32 ถา้ กาํ หนดจุด และP(x1, y1, z1) Q(x2 , y2 , z2 ) แลว้ PQ   x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 จะได้ PQ  (x2  x1)2  ( y2  y1)2  (z2  z1)2

3.4.3 เวกเตอร์หน่ึงหน่วย (Unit Vector) เวกเตอร์ท่ีมีขนาดหน่ึงหน่วย เรียกวา่ เวกเตอร์หน่ึงหน่วย ให้ A เป็นขนาดของเวกเตอร์ A เมื่อ A  0 เวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศทางของ A คือ AA เวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศทางตรงขา้ มของ A คือ  AA

3.4.3 เวกเตอร์หน่ึงหน่วย เวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศทางบนแกน x เขียนแทนดว้ ย i  1 , 0 , 0 เวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศทางบนแกน y เขียนแทนดว้ ย j  0 , 1 , 0 เวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศทางบนแกน z เขียนแทนดว้ ย k  0 , 0 , 1 ให้ เวกเตอร์ A  a1, a2 , a3 เราเขียนในรูปของ i , j และ k ไดด้ งั น้ี A  a1i  a2 j  a3 k

ตวั อย่างที่ 3.4.2 ให้ A  i  2j 3k และ B  4i  j จงหา 1. A 3. A  B 2.  4. 2A  3B A

ตวั อย่างท่ี 3.4.3 จงหาเวกเตอร์หน่ึงหน่วยในทิศทางของ A  2i  4j3k

3.5 มุมกาํ หนดทศิ ทางและโคไซน์กาํ หนดทศิ ทาง ให้  , และ  เป็นมุมของเสน้ ตรง Lใน 3 มิติ ซ่ึงเรียกวา่ มุมกาํ หนดทศิ ทาง (Direction Angles) Z โคไซนข์ องมุม  คือ cos  L โคไซนข์ องมุม โคไซนข์ องมุม  คือ cos  Y  คือ cos   X โคไซนข์ องมุมท้งั 3 คือ cos cos และ cos  ซ่ึงเราเรียกวา่ โคไซน์กาํ หนดทศิ ทาง (Direction Cosines)

ให้ P1 x1 , y1 , z1  และ P2 x2 , y 2 , z 2  เป็นจุดอยบู่ นเสน้ ตรง L โดยที่ P1P2  (x2  x1 , y 2  y1 ,z 2  z1 ) จะได้ cos   x2 x1 , cos   y 2 y1 และ cos   z 2 z1 P1P2 P1P2 P1P2 โดยที่ P1P2  x2  x1 2 y 2  y1 2 z 2  z1 2

พิจารณา x2  x1 2 cos 2 cos 2 cos 2  P1P2 2  y2  y1 2  z2  z1 2 P1P2 2 P1P2 2  x2  x1 2  y 2  y1 2  z 2  z1 2 P1P2 2  P1P2 2 1 P1P2 2 ดงั น้นั จะได้ cos 2  cos 2  cos 2  1

ถา้ ให้ cos แทนดว้ ย  (แลมดา้ ) cos แทนดว้ ย  (มิว) cos  แทนดว้ ย  (นิว) ดงั น้นั จะได้ 2 2  2  1

ตวั อย่างที่ 3.5.1 จงหาDirection Angles และ Direction Cosines ของเสน้ ตรงที่ลากจากจุด P1 (6 ,1,3) ไปยงั จุด P2 (2 ,  5 , 5)

3.6 ผลคูณเชิงสเกลาร์หรือผลคูณจุด บทนิยามที่ 3.6.1 ให้ A  a i  a j a k และ B  b i  b j b k 12 3 12 3 ผลคูณเชิงสเกลาร์หรือผลคูณจุดระหวา่ ง A กบั B คือ A B  a1b1  a2b2  a3b3

ทฤษฎบี ท 3.6.2 ให้ A  0 และ B  0 และ  เป็นมุมระหวา่ ง A กบั B ในสามมิติ แลว้ A B  A B cos

คุณสมบัตขิ องผลคูณเชิงสเกลาร์ ให้  และ  เป็นเวกเตอร์ใดๆ ซ่ึงต่างไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ A, B C และ m เป็นสเกลาร์ จะไดว้ า่   1. AB  BA 2.      A(B  C) (A B)  (AC) 3.      m(A B) (mA)  B A (mB) 4.  2 A A  A 5. iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1 6. iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0 7.  ต้งั ฉากกบั  กต็ ่อเม่ือ  A B AB  0

ตวั อย่างท่ี 3.6.1 ถา้ A   2i  j  3k และ B  3i  2j  k จงหา 1. A B 2. 3A (2A  4B)

ตวั อย่างท่ี 3.6.2 จงหามุมระหวา่ งเวกเตอร์ A  2i 3j k และB  5i  2j 4k

ภาพฉายเชิงเวกเตอร์ บทนิยามที่ 3.6.3 ให้ w เป็นภาพฉายเชิงเวกเตอร์ ของ A บน B จะได้ w   ABB  BB w    A cos   A B และ w  ABB B เภมา่ือพฉายwเชิงเเวปก็ นเตนออรร์ข์มอหงรื อAควบานมยBาวของ

ตวั อย่างท่ี 3.6.3 จAงหาภ2าพi ฉายjเชิงkเวกเตบอนร์ wB ของ3i  j  4k

3.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์หรือผลคูณไขว้ บทนิยาม 3.7.1 ให้   a ˆi  a ˆj  a kˆ และ   b ˆi  b ˆj  b kˆ A 1 B 1 3 2 3 A คือ 2 กบั B ผลคูณเชิงเวกเตอร์หรือผลคูณไขวร้ ะหวา่ ง ˆi ˆj kˆ  ˆi a2 a3  ˆj a1 a3  kˆ a1 a2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 A  B  a1 a2 a3 b1 b2 b3  (a 2b3  a3b2 ) ˆi  (a1b3  a3b1) ˆj (a1b2  a 2b1) kˆ

ทฤษฎบี ท 3.7.2 ให้ A  0 และ B  0 และ  เป็นมุมระหวา่ ง A กบั B ในสามมิติ แลว้    sin  nˆ AB  A B เม่ือ nˆ คือเวกเตอร์หน่ึงหน่วยซ่ึงต้งั ฉากกบั  และ  A B

ตวั อย่างท่ี 3.7.1 กาํ หนดให้ A  3i  j  2k และ B  i  2j  k จงหา A  B , B  A และ A  B

ตวั อย่างท่ี 3.7.1 (ต่อ) กาํ หนดให้ A  3i  j  2k และ B  i  2j  k จงหา A  B

ตวั อย่างท่ี 3.7.2 กาํ หนดให้   2iˆ  3 ˆj  4kˆ ,   iˆ  ˆj  2kˆ A B และ   5iˆ  3 ˆj  kˆ จงหา      C A (B C)

คุณสมบตั ขิ องผลคูณเชิงเวกเตอร์ ให้  และ  เป็ นเวกเตอร์ในสามมิติ และ m เป็นสเกลาร์ แลว้ A, B C 1.   A B   (B  A) 2.     A (B  C)  (A B)  (AC) 3.      m(A B) (mA)  B A (mB) 4.   ˆj A A  0 kˆ ˆi 5. iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ   0 6. iˆ  ˆj  kˆ , ˆj  kˆ  iˆ และ kˆ  iˆ  ˆj

3.8 สมการเส้นตรงในสามมติ ิ บทนิยามที่ 3.8.1 ให้ L เป็นเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด P1 (x1 , y1 ,z1 )  และขนานกบั เวกเตอร์ V  aiˆ  bˆj  ckˆ ถา้ ให้ P(x,y,z) เป็นจุดใดๆบนสน้ ตรงน้ี   aˆi  bˆj  ckˆ L V P1(x1, y1, z1) P(x, y, z)

จะไดส้ มการเส้นตรงในสามมิติ คือ 1. x  x1  at , y  y1  bt และ z  z1  ct เม่ือ t เป็นตวั แปรเสริม (Parameter) เรียกสมการนีว้ ่า สมการองิ ตวั แปรเสริม

2. x ax1  y y 1  z z 1 b c เม่ือ a  0 , b  0 และ c  0 เรียกสมการนีว้ ่า สมการสมมาตร หมายเหตุ สมการสมมาตร (Symmetric Equation) ถา้ a  0 เขียนเป็ น y  y1  z  z1 , x  x1 ถา้ b  0 b c ถา้ c  0 เขียนเป็ น x  x1  z  z1 , y  y1 a c เขียนเป็ น x  x1  y  y1 , z  z1 a b

ตวั อย่างที่ 3.8.1 เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงผา่ นจุด P1(2, 4,5) และ P2 (1,3,1) จงหาสมการอิงตวั แปรเสริม และ สมการสมมาตรของเส้นตรงเสน้ น้ี

ตวั อย่างที่ 3.8.2 จงหาสมการอิงตวั แปรเสริม และ สมการสมมาตร ของเสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด A(1,2,1) และ B(3, 2,1)

การบา้ นวนั น้ี  แบบฝึกหดั บทท่ี 3  ทาํ สง่ ในอลั บมั้ ทอ่ี ยใู่ นกลุม่ ไลน์  ดขู อ้ ทไ่ี ดร้ บั มอบหมายตามรหสั นกั ศกึ ษา  รอครแู จง้ ในกลุม่ ไลน์