บทที่9อินทิกรัลสามชั้น

อTนิ r iทpกิleรัลI nสtาeมgชr a้ันl บรรยายโดย ผศ.ศิริวรรณ วาสุกรี

9.1 อนิ ทกิ รัลสามช้ันบนบริเวณรูปทรงส่ีเหลย่ี มมุมฉาก การอินทิเกรตสามช้นั มีลกั ษณะคลา้ ยกบั การอินทิเกรตสองช้นั ต่างกนั ท่ี การอินทิเกรตสองช้นั เป็นการอินทิเกรตภายในพ้นื ที่ แต่การอินทิเกรต สามช้นั เป็นการอินทิเกรตบนแท่งปริมาตร

พืน้ ฐานของอนิ ทกิ รัล 2 ช้ัน และ 3 ช้ัน อินทิกรัล 2 ช้นั f (x, y)dA เป็นการหาค่า R อินทิกรัลภายใตฟ้ ังกช์ นั 2 ตวั แปร ที่อยใู่ นบริเวณ R อินทิกรัล 3 ช้นั  f (x, y, z)dV เป็นการหาค่า G G อินทิกรัลภายใตฟ้ ังกช์ นั 3 ตวั แปร ที่อยใู่ นบริเวณ G

การหาอินทิกรัลสามช้นั ทฤษฎบี ท 9.1.1 ถา้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนบริเวณ G เมื่อ G  {(x, y, z) | a1  x  a 2 , b1  y  b2 ,c1  z  c2} แลว้ a2 b2 c2    f (x, y,z)dV  f (x, y, z) dzdydx G a1 b1 c1

การหาอินทิกรัลสามช้นั การหาอินทิกรัลสามช้นั สามารถสลบั อนั ดบั ของ dV ไดท้ ้งั หมด 6 แบบ คือ dx dy dz  f (x, y, z) dV dx dz dy dy dx dz dy dz dx dz dy dx dz dx dy

ตวั อยา่ ง 9.1.1 จงหาค่าของ xy2z3 dV เมื่อ G มีบริเวณเป็น G z – 1  x  2 , 0  y  3 และ 0  z  2 2 G -1 3 y 2 x

ตวั อยา่ ง 9.1.1 (ต่อ)

9.2 อนิ ทกิ รัลสามช้ันบนบริเวณทวั่ ไป บทนิยาม 9.2.1 ให้ G เป็นทรงตนั ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้นื ผวิ ดา้ นบน z  g2(x, y) และพ้นื ผวิ ดา้ นล่าง z  g1(x, y) และให้ R เป็นภาพฉายของทรงตนั บน ระนาบ xy ดงั ภาพ จะไดว้ า่ g2 (x, y)    f (x, y,z)dV   f (x, y,z)dz dA  G R g1(x, y) 

9.2 อนิ ทกิ รัลสามช้ันบนบริเวณทว่ั ไป บทนิยาม 9.2.1(ต่อ) ให้ G เป็นทรงตนั ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้ืนผวิ y  g1(x,z) และพ้นื ผวิ y  g2 (x,z) โดยที่ g1(x,z)  g2 (x,z) สาํ หรับทุกๆ จุด (x, z) ท่ีอยใู่ นบริเวณ R โดยท่ี R เป็นภาพฉายของทรงตนั บนระนาบ xz ดงั ภาพ จะไดว้ า่ g2 (x,z)    f (x, y,z)dV   f (x, y,z)dy dA  G R g1(x, z) 

9.2 อนิ ทกิ รัลสามช้ันบนบริเวณทว่ั ไป บทนิยาม 9.2.1 (ต่อ) ให้ G เป็นทรงตนั ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้ืนผวิ x  g1(y,z) และพ้นื ผวิ x  g2 (y,z) โดยที่ g1(y,z)  g2 (y,z) สาํ หรับทุกๆ จุด (y, z) ท่ีอยใู่ นบริเวณ R โดยท่ี R เป็นภาพฉายของทรงตนั บนระนาบ yz ดงั ภาพ จะไดว้ า่ g2 (y, z)   f (x, y, z) dx dA    f (x, y,z)dV  G R g1(y, z) 

ตวั อย่าง 9.2.1 จงหาค่าของ  zdV เม่ือ G เป็นรูปทรงตนั ที่อยใู่ น G อฐั ภาค (Octant) ที่ 1 ซ่ึงถูกปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้ืนผวิ ทรงกระบอก y2  z2  1 ระนาบ x = 0 และระนาบ y = x วธิ ีทาํ รูปทรงตนั G และภาพฉาย R ของ G บนระนาบ xy แสดงดงั รูป

ตวั อย่าง 9.2.1 (ต่อ) ลิมิตของ z คือ ลิมิตของ x คือ ลิมิตของ y คือ

ตวั อย่าง 9.2.1 (ต่อ) ดงั น้นั  zdV G

ตวั อย่าง 9.2.2 จงใส่ลิมิตของการอินทิเกรตของอินทิกรัลในรูปของ  f (x,y,z)dV โดยไม่ตอ้ งอินทิเกรต เม่ือ G คือบริเวณที่ปิ ดลอ้ มดว้ ย G พาราโบลอยด์ z  5x2  5y2 และ z  6  7x2  y2 วธิ ีทาํ เขียนกราฟของบริเวณ G และภาพฉาย R ของ G บนระนาบ xy ดงั รูป

ตวั อย่าง 9.2.2 (ต่อ) สามารถหารอยตดั ระหวา่ งพาราโบลอยด์ ท้งั สองได้ โดยให้

ตวั อย่าง 9.2.2 (ต่อ) ลิมิตของ z คือ ลิมิตของ y คือ ลิมิตของ x คือ ดงั น้นั  f (x, y,z)dV  G

9.3 การหาปริมาตรโดยใช้อนิ ทกิ รัลสามช้ัน ถา้ f(x, y, z) คือ ความหนาแน่นของวตั ถุ G ที่จุด (x, y, z) ใดๆ จะไดว้ า่ f (x, y,z)dV คือ มวลของ G G และถา้ f(x, y, z) = 1 ทุก (x, y, z)G จะไดว้ า่  dV คือ ปริมาตรของ G G

ตวั อย่าง 9.3.1 จงหาปริมาตรของรูปทรงตนั ซ่ึงลอ้ มรอบดว้ ยระนาบ z = x +y , y = 2x , z = 0 , y = 2 และ x = 0 ลิมิตของ z คือ ลิมิตของ y คือ ลิมิตของ x คือ

ตวั อย่าง 9.3.1 (ต่อ)

ตวั อย่าง 9.3.2 จงหาปริมาตรของรูปลิ่มซ่ึงปิ ดลอ้ มดว้ ยทรงกระบอก x   cos y ,    y   ดา้ นบนปิ ดดว้ ยระนาบ z   2x และดา้ น 2 2 ล่างปิ ดดว้ ยระนาบ xy ลิมิตของ z คือ ลิมิตของ x คือ ลิมิตของ y คือ

ตวั อย่าง 9.3.2 (ต่อ)

กจิ กรรมวนั นี้ กาํ หนดรูปทรงปริซึม จงเขียนปริมาตรของรูปน้ีในเทอมของ อินทิกรัลสามช้นั ท้งั 6 แบบ ฉายบนระนาบ xy   1. V  2 1 1y dzdydx 0 00   2. V  1 2 1y dzdxdy 00 0

กจิ กรรมวนั นี้ กาํ หนดรูปทรงปริซึม จงเขียนปริมาตรของรูปน้ีในเทอมของ อินทิกรัลสามช้นั ท้งั 6 แบบ ฉายบนระนาบ yz   3. V  1 1z 2 dxdydz 00 0   4. V  1 1y 2 dxdzdy 00 0

กจิ กรรมวนั นี้ กาํ หนดรูปทรงปริซึม จงเขียนปริมาตรของรูปน้ีในเทอมของ อินทิกรัลสามช้นั ท้งั 6 แบบ ฉายบนระนาบ xz   5. V  2 1 1z dydzdx 0 00   6. V  1 2 1z dydxdz 00 0

กาํ หนดรูปทรงปริซึม จงหาปริมาตรของรูปน้ีในเทอมของอินทิกรัลสามช้นั ท้งั 6 แบบ ฉายบนระนาบ xy   1. V  2 1 1y dzdydx เกดิ เดือน มค. และ ธค. กจิ กรรมวนั นี้ 0 00 ทาํ คนละ 1 ข้อ ตามเดือนเกดิ   2. V  1 2 1y dzdxdy เกดิ เดือน กพ. และ พย. ส่งในอลั บ้มั กลุ่ม 00 0 ไลน์ ฉายบนระนาบ yz ส่งไม่เกนิ วนั เสาร์   3. V  1 1z 2 dxdydz เกดิ เดือน มคี . และ ตค. ท่ี 24 เมย 64 00 0 เวลา 20.00 น.   4. V  1 1y 2 dxdzdy เกดิ เดือน เมย. และ กย. 00 0 เกดิ เดือน พค. และ สค. ฉายบนระนาบ xz   5. V  2 1 1z dydzdx 0 00   6. V  1 2 1z dydxdz เกดิ เดือน มยิ . และ กค. 00 0

จบ เร่ือง การอินทิเกรตสามช้นั สปั ดาห์หนา้ เรียนคร้ังสุดทา้ ย เร่ือง ลาํ ดบั และอนุกรม