ภาคตัดกรวย วงกลม

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเบญจมราชูทิศ จงั หวดั จนั ทบุรี เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ค30201

1.วงกลม ภาคตัด 2.พาราโบลา กรวย 3.วงรี 4.ไฮเพอรโ์ บลา

ภาคตัดกรวย ภาคตัดกรวยเป็นรปู ในระนาบท่ีเกดิ จากการตดั กันของ ระนาบกบั กรวย ภาคตดั กรวยที่ศกึ ษาเปน็ การใช้ระนาบตดั กรวย ตรง โดยระนาบไม่ผา่ นจดุ ยอดของกรวย ดงั รปู

o เมือ่ ใช้ระนาบตดั กรวยส่วนเดียว โดยให้ ขนานกบั ฐานของกรวย จะได้ภาคตดั กรวยท่ีเรียกวา่ วงกลม (Circle) o เมอื่ ใชร้ ะนาบตดั กรวยสว่ นเดียว โดยระนาบ ขนานกับเสน้ ประกอบของกรวย จะได้ภาค ตัดกรวยท่เี รียกว่า พาราโบลา (Parabola)

o เมอ่ื ใช้ระนาบตัดกรวยส่วนเดียว โดยระนาบ ไมข่ นานกับเสน้ ประกอบรปู กรวยจะได้ภาค ตัดกรวยท่เี รียกวา่ วงรี (Ellipse) o เมอ่ื ใช้ระนาบตดั กรวยท้งั สองส่วน โดยระนาบ ขนานกบั แกนของกรวย จะไดภ้ าคตดั กรวยท่ี เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา(Hyperbola)

1. วงกลม บทนิยาม วงกลม (circle) คอื เซตของจดุ ทกุ จดุ บนระนาบ ซงึ่ ทุกๆจดุ เหล่านี้มรี ะยะห่างจากจุดคงที่หน่งึ เป็นระยะทางเทา่ กนั เรียกจดุ คงที่ว่า จุดศนู ย์กลางของวงกลม (center of circle) และเรยี ก ระยะทางทเ่ี ทา่ กนั ว่า รัศมขี องวงกลม (radius) A r จุด A คอื จุดศนู ย์กลางของวงกลม r คือ รศั มีของวงกลม

รูปแบบของสมการวงกลม มี 2 รูปแบบ คือ - สมการวงกลมรูปมาตรฐาน - สมการวงกลมรูปทว่ั ไป

สมการวงกลมรูปมาตรฐาน สมการวงกลมท่ีมีจดุ ศนู ย์กลาง อยูท่ ่ี (h, k) และรศั มี r หน่วย คอื สมการวงกลมท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (0, 0) และรศั มี r หน่วย คอื (x − h)2 + (y − k)2 = r2 x2 + y2 = r2 Y Y P(x, y) r P(x, y) r X (0, 0) C(h, k) X C(0, 0)

สมการวงกลมรปู ทว่ั ไป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 สมการรูปทัว่ ไปของวงกลมคอื มีจุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่ D ,− E (-2 2) มีรศั มี r = (− D )2+(− E )2 −F 2 2 1 D2 + E2 −4F หรอื r = 2 *** รศั มี คือระยะทางหรอื ความยาว อย่าลืมใส่ “หน่วย” นะจ๊ะ

ข้อสาคญั !! ถ้าต้องการหาสมการวงกลม จะต้องทราบ จุดศูนย์กลาง รัศมี

มาทบทวนสตู รกาลงั สองสมบรู ณก์ นั เถอะ!! กาลงั สองสมบูรณ์ (น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2 (น − ล)2 = น2 - 2นล + ล2

ตวั อย่างที่ 1 จงหาจดุ ศนู ย์กลางและรศั มีของวงกลม สมการวงกลมรปู ทั่วไป จาก หนา้ 12 ข้อ 9.1 (1) x2 + y2 + 6y – 7 = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 วิธีทา D ,− E (-2 2) มจี ุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่ มีรศั มี r = (− D )2+(− E )2 −F 2 2 หรือ 1 D2 + E2 −4F r= 2 *** รศั มี คอื ระยะทางหรอื ความยาว อย่าลืมใส่ “หน่วย” นะจะ๊

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาจุดศูนยก์ ลางและรศั มีของวงกลม จาก หน้า 12 ขอ้ 9.3 4x2 + 4y2 + 12x - 16y - 11 = 0 วธิ ีทา สมการวงกลมรูปมาตรฐาน (x − h)2 + (y − k)2 = r2 สูตรกาลงั สองสมบรู ณ์ (น + ล)������ = น������ + 2นล + ล������ (น − ล)������ = น������ - 2นล + ล������

แบบฝึกเสรมิ ประสบการณ์ จงหาจุดศนู ยก์ ลางและรศั มีของวงกลม 1. x2 + y2 - 3x + 4y + 6 = 0 (ใช้วธิ จี ดั ให้อยูใ่ นสมการวงกลมรูปมาตรฐาน) 2. 2x2 + 2y2 - 6x + 4y + 3 = 0 (ใชว้ ิธจี ัดให้อยใู่ นสมการวงกลมรปู มาตรฐาน) 3. 4x2 + 4y2 - 12x - 16y - 11 = 0 (ใชส้ ตู ร)

ตวั อยา่ งที่ 1 = จาก หนา้ 10 ข้อ 2 จงหาความสมั พนั ธซ์ ่งึ มกี ราฟเปน็ วงกลมมจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ท่ี (-1, 2) และผา่ นจดุ (4, 3) ขอ้ สาคญั !! คาถาม รัศมหี าไดจ้ ากสตู รไหน ? ถา้ ต้องการหาสมการวงกลม จะตอ้ งทราบ r (4, 3) PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 จุดศนู ยก์ ลาง และ รศั มี (-1, 2) x1+ x2 y1+ y2 P(x , y) = 2 , 2

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาความสมั พันธ์ซ่งึ มีกราฟเป็นวงกลมมจี ดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่ (3, 4) และเส้นรอบวง 12π หน่วย จาก หนา้ 10 ขอ้ 3 คาถาม เส้นรอบวงหาได้ 12π จากสูตรไหน ? (3, 4) πr2 2πr ขอ้ สาคญั !! ถ้าต้องการหาสมการวงกลม จะต้องทราบ จดุ ศนู ยก์ ลาง และ รัศมี

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาความสัมพนั ธซ์ ่ึงมกี ราฟเปน็ วงกลมมรี ศั มี 2 หนว่ ย และ สมั ผัสเสน้ ตรง y = 5 ทีจ่ ุด (3, 5) จาก หน้า 10 ข้อ 4 ข้อสาคญั !! ถ้าตอ้ งการหาสมการวงกลม (3, 5) จะตอ้ งทราบ y = 5 จดุ ศนู ย์กลาง และ รศั มี 2 -1 >>>> (3, 4) -1 >>>> (3, 3)

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาความสมั พนั ธ์ซง่ึ มีกราฟเป็นวงกลมมีจดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (3, 2) และสัมผัสกับเส้นตรง 3x – 4y + 10 = 0 จาก หน้า 10 ขอ้ 5 คาถาม หารัศมไี ด้จากสูตร ข้อสาคญั !! r ไหน ? ถา้ ตอ้ งการหาสมการวงกลม (3, 2) จะต้องทราบ d= Ax1+By1+C d= C1 A−2+C2B2 จุดศนู ยก์ ลาง และ รัศมี A2+ B2

แบบฝกึ เสรมิ ประสบการณ์ จงหาความสัมพันธข์ องสมการวงกลมตอ่ ไปนี้ 1. จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ท่ี (1, 2) และผา่ นจุด (-3, 2) 2. จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-5, -1) และเส้นรอบวงยาว 14π หน่วย 3. จุดปลายของเสน้ ผ่านศนู ย์กลางของวงกลม คอื (1, 2) และ (4, 5)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาสมการวงกลมท่ีผ่านจุด A(5, 3) และ B(6, 2) และจุด ศนู ยก์ ลางอยบู่ นแกน x คาถาม ในขอ้ น้จี ะตอ้ งหา คาถาม รศั มีหาไดจ้ ากสูตรไหน ? A(5, 3) จุดศูนย์กลางหรอื รัศมีกอ่ น PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 จุดศูนยก์ ลาง x1+ x2 y1+ y2 B(6, 2) P(x , y) = 2 , 2 รศั มี C(h, 0) คาถาม หาจดุ ศนู ยก์ ลางได้ ข้อสาคญั !! อย่างไร หาได้จาก AC = AB ใช่หรอื ไม่ ถา้ ต้องการหาสมการวงกลม จะต้องทราบ ไมใ่ ช่ ใช่ จุดศูนย์กลาง และ รัศมี

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาสมการวงกลมทผี่ ่านจดุ A(1, -2) และ B(4, 3) และจุด ศนู ยก์ ลางอยู่บนแกน y จาก หน้า 11 ขอ้ 6 คาถาม ในขอ้ น้จี ะต้องหา คาถาม รัศมีหาได้จากสตู รไหน ? จดุ ศนู ย์กลางหรอื รัศมีก่อน B(4, 3) PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 จดุ ศูนย์กลาง รัศมี P(x , y) = x1+ x2 , y1+ y2 2 2 C(0, k) คาถาม หาจุดศนู ยก์ ลางได้ อยา่ งไร หาไดจ้ าก A(1, -2) AC = AB ใช่หรือไม่ ขอ้ สาคญั !! ไมใ่ ช่ ถ้าต้องการหาสมการวงกลม ใช่ จะตอ้ งทราบ จุดศนู ย์กลาง และ รศั มี

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาสมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ A(2, 3) และ B(3, 6) และจดุ ศนู ย์กลางอยู่บนเสน้ ตรง 2x + y – 2 = 0 จาก หนา้ 11 ขอ้ 7 B(3, 6) คาถาม จุดศูนยก์ ลาง C(h, k) อย่บู น ข้อสาคญั !! A(2, 3) เสน้ ตรง 2x + y – 2 = 0 แสดงวา่ เมอ่ื แทน (h, k) สมการ 2x + y – 2 = 0 ถ้าต้องการหาสมการวงกลม สมการจะเปน็ จรงิ ใช่หรือไม่ ? จะตอ้ งทราบ จรงิ ไม่จรงิ จดุ ศูนยก์ ลาง และ รัศมี C(h, k) 3x – 4y + 10 = 0