ฟิสิกส์ทั่วไป 1 บรรยายครั้งที่ 11

ตวั อยา่ ง: จานกลมหมุนรอบแกนล่ืนดว้ ยความเรว็ เชงิ มมุ i ดงั แสดงในรปู จานกลมมีโมเมนตค์ วามเฉื่อยรอบแกนหมนุ น้ีเท่ากับ I1 ถา้ จานกลมน้ีตกลงบนจานกลมอีกอนั หนง่ึ ที่อยู่น่งิ บนแกนหมุนเดยี วกัน เพราะความเสียดทานบนพื้นผวิ จานกลมท้งั สองจงึ หมนุ ดว้ ยความเรว็ เชงิ มมุ เดียวกันเทา่ กบั ถา้ จานกลมอันที่สองมีคา่ โมเมนตค์ วามเฉือ่ ย I2 หาคา่ f f แกนลนื่Li  Lf  constIii  I f  f  constI1i  I1 f  I2 ff  I1i I1  I2

ตัวอย่าง1 มจาีลนกั มษวณละเหMมือนแลจาะนมแีรรศั กมที กุ Rประหกมานุ รรเอรบ่มิ แตกน้ นดว้ ยzกาดรว้ไมยคห่ วมาุนมเรตว็ กเลชงิงมมาุมยังจานi.ท่ี1 จานอกี ใบ และมแี รง เสยี ดทานระหวา่ งจานทง้ั สองและสดุ ทา้ ยแล้วจานท้ังสองหมุนด้วยความเร็วเชงิ มมุ f zz i f

 ไมม่ ที อร์กภายนอกมากระทา Li  I1 1  1 MR 2i z 2 2  โมเมนตมั เชิงมมุ ย่อมคงตัว 1 เริ่มต้น: โมเมนตมั ทง้ั หมดเกดิ เนอ่ื งจากจาน 1หมุน 0 z สุดทา้ ย: โมเมนตมั ท้งั หมดเกิดเน่ืองจากจาน 1และจาน2 หมุนLf  I1 1  I2 2  MR2f 2 1 f

 ดงั นั้น Li = Lf 1 MR 2 i  MR2f 2 z f  1 i 2 z Li Lf f f

ตวั อย่าง2 นกั เรียนน่งั บนแท่นหมนุ และแขนแต่ละข้างถือตุ้มนา้ หนกั โดยมี จโมู่ๆเมเขนาดตงึค์ แวขามนเเฉข่อืา้ มยราแวนมIบiตแัวลทะาเใขหา้โหมมเุนมนดว้ตย์คคววาามมเฉเร่อื ว็ ยเชรวงิ มมุมลดลงi. มีคา่ เป็น If. จงหาความเร็วเชงิ มมุ สุดท้าย f i f Ii If

 ไมม่ ีทอร์กภายนอกมากระทา f  Ii i If  โมเมนตัมเชิงมุมย่อมคงตัว  เร่ิมตน้ : Li = Iii f  สุดทา้ ย: Lf = If f i Ii IfLi Lf

โจทย1์ นกั เรยี นนัง่ บนแท่นหมุนและแขนแต่ละข้างถอื ต้มุ นา้ หนกั โดยมโี มเมนต์ความ เคฉว่อื ายมรเรว็วมเIชiงิ มแลุมะเพเขิ่มาขหึ้นมเุนปดน็ ว้ ยค2วาจมงเรห็วาเวชา่ ิงพมลมุ งั งาน1จจลู่ๆนเข์ ขอางดรงึ ะแบขบนเเปขน็้าทอายใ่าหงไ้เขรามี (a) เพ่ิมขน้ึ (b) ลดลง (c) คงที่ 1 2 I1 I2 LL

เฉลย1 (ใช้ L = I) K  1 I 2  L2 2 2IL is conserved: K เพ่มิ ข้ึนI2 < I1 K2 > K1 2 1 I1 I2LL

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการเคล่อื นท่แี บบการเล่อื น และ แบบการหมนุ

Falling weight & pulleyมวล m ผกู ตดิ กับเชือกเบาแล้วนาไปคลอ้ งผา่ นเพลาท่มี ีรัศมี R Iซ่ึงเพลาดงั กล่าวติดกับล้อ โดยมคี า่ โมเมนต์ความเฉื่อยของรวม  Rของล้อและเพลามคี า่ เทา่ กบั I เป็นเวลานานเทา่ ใดทม่ี วล mจะเคลอื่ นทไ่ี ด้ระยะ L นบั ตั้งแตจ่ ากสภาพหยุดน่ิง T m a mg L

สาหรับมวลทีถ่ กู แขวนใชส้ มการ F = ma  Img - T = ma Rสาหรับล้อและเพลา ใชส้ มการ  = I TR  I a = TR = I R Tพจิ ารณาโดยท่ี a = R m แก้สมการหาค่าเพอ่ื หา a a mg La   mR 2  g  mR 2    I 

 จากการเคลือ่ นท่ี 1มติ ิ เราสามารถหาเวลาที่  I Rเคลือ่ นทีเ่ ป็นระยะทาง L t  2L aL  1 at 2 2จะไดว้ า่ t  2L  mR2  I  T g mR 2 m a mg L

Atwoods Machine with Massive Pulley:มวล2อนั ถูกแขวนอย่ทู ่รี อกทีม่ ีมวล แสดงดังรูป จงหา yความเรง่ ของระบบดงั กลา่ ว M x R(สำหรับdisk I  1 MR 2 ) 2 สาหรับมวลที่ถูกแขวนใชส้ มการ F = ma-m1g + T1 = -m1a T1 T2 a m2สาหรบั ล-อ้mแ2ลgะเ+พลTา2ใ=ช้สmมก2าaร  = I m1 a m2gT1R - T2R  I a  1 MRa Ia R 2 R m1g

มตี วั แปรท่ไี มท่ ราบค่าคอื T1, T2, a y xโดยมี 3 สมการ  ทาการแก้สมการหาค่า a M-m1g + T1 = -m1a (1) -m2g + T2 = m2a (2) (3) R T1 - T2  1 Ma T1 T2 a 2 m2 m1a   m1 m1  m2  a m2g   m2 M 2  g m1g

ฝึกทกั ษะ : ทรงกลมตันมวล 50 กรัม กลงิ้ ไปตามพนื้ ราบดว้ ยอตั ราเรว็ 8 เมตร/ วนิ าที กลิ้งมาถงึ ฐานของพนื้ เอียง ซ่งึ เอียงทามมุ 30กบั แนวราบ ถา้ ไมค่ ิด พลงั งานสูญหายไปเน่ืองจากความเสียดทาน จงหา(ก) พลงั งานทง้ั หมดของทรงกลมมคี า่ เท่าใด?(ข) ทรงกลมกล้งิ ขึน้ ไปตามพื้นเอยี งไดส้ ูงจากพ้นื ราบตามแนวดงิ่ เทา่ ใด? v 30 E  KE  KERกาหนดให้ E  1 mv2  1 I2m  0.05kg v  8m / s 22  30 I  2 mR2 กล้งิ โดยไม่ไถล v  R 5 E  1 mv2  1 ( 2 mR2 )( v )2 2 25 R หา E  ? E  7 mv2  2.24J 10

ฝึกทกั ษะ : ทรงกลมตนั มวล 50 กรัม กลง้ิ ไปตามพ้ืนราบดว้ ยอตั ราเรว็ 8 เมตร/วนิ าที กลง้ิ มาถงึ ฐานของพ้ืนเอยี ง ซง่ึ เอียงทามมุ 30กับแนวราบ ถา้ ไมค่ ดิ พลงั งานสญู หายไปเน่อื งจากความเสียดทาน จงหา(ก) พลงั งานทง้ั หมดของทรงกลมมคี า่ เทา่ ใด?(ข) ทรงกลมกล้ิงขึ้นไปตามพ้ืนเอียงได้สูงจากพื้นราบตามแนวด่ิงเทา่ ใด? 2 E1  E2 v 30 h KE  KER  PE 1 7 mv2  mgh 10 h  7 v2  4.57m 10g

ฝกึ ทักษะ : ถ้าตอ้ งการให้วตั ถทุ รงกระบอกตนั กลิ้งจากหยดุ น่ิงลงมาตามพื้นเอียงท่ีมีมุมเอียงเท่ากับ  กับแนวระดับโดยไม่ไถลสัมประสทิ ธ์คิ วามเสยี ดทานจะต้องมีคา่ เทา่ ไรการเคลอื่ นทเี่ ชงิ เสน้ N fmg sin   f  maf  mg sin   ma(1) mgการเคลอื่ นท่ีเชงิ มุม fR  I  1 mR2 (2) 2รวมสมการ R(1) และ (2) mR(g sin   a)  mR( 1 R ) 2

ถ้าต้องการให้วัตถุทรงกระบอกตันกลิ้งจากหยุดน่ิงลงมาตามพื้นเอียงท่ีมีมุมเอียงเทา่ กับ กับแนวระดับโดยไม่ไถล สัมประสิทธ์คิ วามเสียดทานจะตอ้ งมีคา่ เทา่ ไรN g sin   a  1 R (3) f 2 mg เมอ่ื วตั ถกุ ล้ิงอยา่ ง f  N  a  R เดียว g sin   a  1 a  a  2 g sin  23 นาไปแทนค่าใน (1) f  mg sin   m( 2 g sin  ) 3   mg sin   N  mg sin f 3 3  mg sin  mg cos 3   tan 3

ฝึกทักษะ: ลูกแก้วมวล M และรัศมี R กล้ิงโดยไม่ไถลลงทางลาดดา้ นซ้ายท่ีความสูง h1 ดังรูป หลังจากน้ันลูกแก้วก็กลิ้งขึ้นทางลาดที่ไม่มแี รงเสียดทานสงู h2 หาความสูง h21 E2  1 MvC2M  1 I 2 2 2 1 1 3 E2  2 MvC2M  2 I 2 2 E2  1 MvC2M  1 I 2 2 2E1  Mgh1E3  Mgh2 E2  1 MvC2M  1 (2 MR2 ) vC2M 2 25 R2

1 E1  Mgh1 3 E2  1 MvC2M  1 I 2 2 2 2 E3  Mgh2E2  1 MvC2M  1 I 2 Mgh1  7 MvC2M 2 2 10 1 MvC2M  1 (2 MR2 ) vC2M 2 25 R2 vC2M  10 gh1 1 1 7  2 MvC2M  5 MvC2M  7 MvC2M 10

1 E1  Mgh1 3 E2  1 MvC2M  1 I 2 2 2 2 E3  Mgh2vC2M  10 gh1 7ไม่มกี ารหมุนเมื่อขึน้ เนินทส่ี อง เพราะไมม่ แี รงเสยี ดทาน1 MvC2M  Mgh22h2  vC2M  5 h1 2g 7

ฝึกทกั ษะ : พน้ื เอียงไมม่ ีความเสยี ดทานและเชือกกย็ ดึ ติดกบั จดุศนู ยก์ ลางมวลของกล่องแต่ละอัน รอกมโี มเมนต์ความเฉือ่ ย I และรศั มี R(ก) หาทอรค์ ลัพธท์ ก่ี ระทากบั ระบบ (กลอ่ งทงั้ สอง, เชอื ก, และรอก) เทยี บกับจดุ ศูนย์กลางของรอก(ข) เขยี นโมเมนตมั เชิงมมุ ของระบบเทียบกบั จุดศูนยก์ ลางของรอก เมื่อกลอ่ งทง้ั สองเคลอื่ นทด่ี ้วยอตั ราเรว็ v(ค) หาความเร่งของกลอ่ งจากคาตอบในข้อ (ก) และ ขอ้ (ข)

(ก) หาทอรค์ ลพั ธท์ ีก่ ระทากบั ระบบ (กลอ่ งทง้ั สอง, เชอื ก, และรอก) เทียบกบั จุดศูนย์กลางของรอก T  L  L1  L2  LpulleyT  L  m1vR  m2vR  I m1g m2g รอกหมุนสามารถใชv้  R  (m2g sin  )R  m1gR L  m1vR  m2vR  I v R L  (m1  m2  I )vR R2

ข) เขยี นโมเมนตัมเชงิ มมุ ของระบบเทยี บกับจดุ ศนู ย์กลางของรอก เมื่อกล่องทง้ั สองเคล่อื นที่ด้วยอัตราเรว็ vค) หาความเรง่ ของกล่องจากคาตอบในข้อ (ก) และ ขอ้ (ข) ext dL  dt แทนคา่ จากข้อ ก) และ ข)gR(m2 sin   m1)  (m1  m2  I )R dv R2 dt a  g(m2 sin   m1) (m1  m2  I ) R2

กล่องมวล 4 กิโลกรมั หอ้ ยอยกู่ ับเชอื กเบาซง่ึ รอ้ ยผ่านรอกท่ีไมม่ คี วามเสยี ดทานและเชอื กผกู ติดกบั กลอ่ งมวล 6 กิโลกรัม ซ่งึ กล่องนอ้ี ยบู่ นโตะ๊ ทมี่ สี มั ประสทิ ธ์ความเสียดทานจลน์เท่ากบั 0.2 ถ้าดันกลอ่ งใหส้ ปริงหดไปเป็นระยะ 30เซนติเมตร หาอตั ราเร็วของกลอ่ งทั้งสอง หลงั จากทปี่ ลอ่ ยกลอ่ ง 6 กิโลกรัม และกล่อง 4 กโิ ลกรมั หลน่ ลงไปเป็นระยะ 40 เซนตเิ มตร โดยคา่ นจิ ของสปรงิ เท่ากับ180 N/m สปริงไมไ่ ด้ผกู ติดกบั มวล 6 kg





การบา้ นครง้ั ท่ี 5 การหมุน1. จากสงิ่ ทีก่ ําหนดใหต้ ามรปู ถา้ เชือกเบา และมวลทั้งสองเริ่มเคลื่อนที่จากสภาพนิง่ ที่ระดับความสูงตา่ งกนั 3.0 เมตร ถ้ารอกคือจานโลหะตนั จงหาอตั ราเรว็ ของมวลทั้งสองขณะเคล่อื นท่มี าอยใู่ นแนวระดบั เดียวกัน

2. ระบบประกอบดว้ ยอนภุ าค 4 ตัว วางอยดู ังรูป ถา้ จุดตดั แกน X , แกน Y อยทู ี่จดุ กึง่ กลางของระบบพอดี และใหแกน Z เปนแกนหมุน ระบบหมนุ รอบจดุ แกนหมนุ ดวยอตั ราเร็วเชงิ มุม 6.0 เรเดียน/วินาที จงหา (ก) โมเมนตของความเฉ่อื ยของระบบอนภุ าค (ข)พลงั งานจลนของระบบ