คณิต

โครงงานคณิตศาสตร์ เร่อื ง จตั ุรสั มหศั จรรยจ์ ากเรอื นยนั ต์ลา้ นนา นายนนท์ปวธิ โดย นายเอกรินทร์ ถ่นิ มกุ ดา นายทิวากร อ่ินคา ศรีโม ครูที่ปรกึ ษา นายอาหน่งึ ชูไวย นางสาววรารตั น์ ใจพลแสน รายงานฉบับน้ีเปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภท การสรา้ งทฤษฎหี รือคาอธิบาย ระดับ มัธยมศกึ ษาตอนปลาย โรงเรยี นเทิงวิทยาคม ต.เวียง อ.เทงิ จ.เชียงราย 57160 สานักงานเขตพืน้ ทก่ี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 36 (เชยี งราย – พะเยา) เนื่องในงานแขง่ ขนั ทกั ษะความสามารถทางวชิ าการของนักเรียน ประจาปกี ารศกึ ษา 2560

ก โครงงานประเภทการสรา้ งทฤษฎีหรอื คาอธิบาย เรือ่ ง จัตุรัสมหัสจรรย์จากเรือนยนั ต์ล้านนา คณะผศู้ ึกษา 1. นายนนท์ปวธิ ถนิ่ มกุ ดา ครทู ป่ี รึกษา 2. นายเอกรินทร์ อน่ิ คา 3. นายทวิ ากร ศรีโม 1. นายอาหนงึ่ ชูไวย 2. นางสาววรารตั น์ ใจพลแสน สถานศกึ ษา โรงเรียนเทิงวทิ ยาคม อาเภอเทิง จังหวัดเชียงราย 57160 ปีการศกึ ษา 2560 บทคดั ยอ่ การศึกษาในครั้งน้ี มีจุดมุ่งหมายเพ่ือศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวางตาแหน่งของตัวเลข เรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลัก การสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ช่อง และศึกษาสมบัติเชิง พชี ณติ และแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวน ผลการศึกษาพบว่า สามารถวางตาแหน่ง ของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง ได้เสมอ ซึ่งพบว่า n  4m 3 และ m  n2  3 ผลบวกและผลคูณของตัวเลขบางแนวจะมีค่าเป็นค่าคงท่ีเท่ากัน 4 เสมอ และสามารถสลบั ตาแหน่งของตัวเลขในแต่ละตาแหนง่ ได้ และสาหรับวงที่ k ใดๆ k  n 1 2

ข กติ ตกิ รรมประกาศ การศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เรื่อง จัตุรัสมหัสจรรย์จากเรือน ยันต์ล้านนา เล่มน้ี สาเร็จลุล่วงโดยได้รับความอนุเคราะห์อย่างดีจากครูอาหนึ่ง ชูไวย และครูวรารัตน์ ใจพล แสน ซ่ึงได้กรุณาให้คาปรึกษาแนะนาแนวคิดวิธีการและสละเวลาอันมีค่าแก้ไขข้อบกพร่องของเนื้อหา และ สานวนภาษาดว้ ยความเอาใจใสอยา่ งดยี ิ่ง คณะผศู้ กึ ษาขอกราบขอบพระคุณเป็นอยา่ งสงู ณ โอกาสน้ี ขอขอบพระคุณคณะผู้บริหารโรงเรียนเทิงวิทยาคมทุกท่าน หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ และคณะครูในกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเทิงวิทยาคมทุกท่านที่ให้การสนับสนุนการดาเนิน การศึกษาโครงงานเล่มน้ีจนสาเร็จดว้ ยดี คุณค่าและสารัตถประโยชน์ อันพึงมาจากโครงงานคณิตศาสตร์เล่มน้ีในครั้งน้ี คณะผู้ศึกษาขอน้อม เป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่ บิดา มารดา ตลอดจนครูอาจารย์ทุกท่าน ท่ีประสิทธ์ิประสาทวิชาความรู้แก่คณะ ผศู้ ึกษาตลอดมา คณะผู้ศกึ ษา

สารบญั ค เรอ่ื ง หน้า บทคดั ย่อ ก กติ ติกรรมประกาศ ข บทที่ 1 บทนา 1 1 ที่มาและความสาคัญของโครงงาน 1 จุดประสงคข์ องการศึกษา 2 ขอบเขตของการศกึ ษา 2 นยิ ามศัพทเ์ ฉพาะ 3 กรอบแนวคิดการศึกษา 4 บทท่ี 2 เอกสารและงานวิจัยท่เี กี่ยวขอ้ ง 13 บทท่ี 3 วิธีการดาเนินโครงงาน 13 ขนั้ ตอนการดาเนนิ การศกึ ษาโครงงาน 15 บทที่ 4 ผลการศกึ ษา 21 บทที่ 5 สรปุ ผลการศกึ ษาและขอ้ เสนอแนะ 21 ผลการศกึ ษาจากการดาเนนิ โครงงาน 22 ข้อเสนอแนะจากการดาเนินการศกึ ษาโครงงาน บรรณานกุ รม ภาคผนวก ภาคผนวก ก ประวตั ิผจู้ ัดทา ภาคผนวก ข ประมวลภาพการดาเนินการศึกษา

สารบัญตาราง ง ตาราง หนา้ ตารางที่ 1 ตารางการดาเนนิ งาน 13 15 ตารางท่ี 2 ตารางแสดงวิธีการสงั เกต หาจานวนคาเพ่ือใช้วางตาแหนง่ ของตวั เลขเรยี งกนั ตงั้ แต่ 1 16 ถงึ m โดยท่ี m เป็นจานวนเตม็ คี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง 19 ตารางท่ี 3 ตารางความพันธ์ของค่า n,m 20 ตารางที่ 4 ตารางแสดงวธิ ีการวางตัวเลขลงในแนวทแยงมุมของ ตารางขนาด nn ชอ่ ง ซึง่ n ต้องเป็นจานวนเต็มคีบ่ วก เพ่ือใสต่ วั เลขเรยี งกนั ตงั้ แต่ 1 ถึง m โดยท่ี m ตอ้ งเปน็ จานวนเตม็ คี่บวกดว้ ย ตารางท่ี 5 ตารางความพนั ธ์ของคา่ n,m และ k เม่ือ n 1,3,5,...

ภาพ สารบัญภาพ จ ภาพที่ 1 ภาพที่ 2 กรอบแนวคิดการศึกษา หนา้ ภาพท่ี 3 ยันต์รอดทง้ั เจด็ 3 ภาพท่ี 4 4 ภาพท่ี 5 กลการลงยนั ต์รอดทง้ั เจ็ดแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 ฉบบั แยกมุมทั้งส่ี 5 กลการลงยนั ต์รอดทง้ั เจด็ แบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 ฉบับสมบูรณ์ 5 ภาพท่ี 6 ความสัมพนั ธ์ของตาแหน่งท่ีของกลการลงยันต์รอดทัง้ เจ็ดแบบ 7 พยางค์ ในตาราง 6 ขนาด 5 x 5 ภาพที่ 7 ความสมั พนั ธข์ องผลบวกของตาแหน่งทีข่ องกลการลงยันต์รอดทงั้ เจด็ แบบ 7 พยางค์ ใน 8 ตารางขนาด 5 x 5 ภาพที่ 8 ความสมั พนั ธข์ องผลคูณของตาแหน่งท่ีของกลการลงยันต์รอดทัง้ เจ็ดแบบ 7 พยางค์ ใน 10 ตารางขนาด 5 x 5 ภาพท่ี 9 ความสมั พนั ธ์ของการสลับตาแหน่งทขี่ องกลการลงยันต์รอดทั้งเจ็ด 11 ภาพท่ี 10 แบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 ภาพท่ี 11 ระบบจานวนเต็ม 11 ตาแหน่งการลงยันต์รอดทั้ง 7 17 ตาแหนง่ การใสต่ ัวเลขเรยี งกันตงั้ แต่ 1 ถึง m โดยท่ี m ตอ้ งเปน็ จานวนเต็มค่บี วก 18

1 บทที่ 1 บทนา ท่มี าและความสาคัญ คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวันของทุกคน โดยคนส่วนใหญ่มักมีความคิดว่า คณิตศาสตร์เป็นเรื่องยากต่อการทาความเข้าใจและไม่อยากศึกษาต่อ อันเนื่องจากความคิดที่ว่า คณิตศาสตร์ เป็นเรอื่ งของหลกั การทฤษฎมี คี วามซับซ้อน และไมน่ า่ สนใจ ดินแดนล้านนาเป็นถ่ินที่มีพระพุทธศาสนาเจริญรุ่งเรืองมาแต่อดีต ดังปรากฏหลักฐานในตานานหรือ พงศาวดารต่างๆและจะเห็นได้จากโบราณสถานตามวัดวาอารามที่ปรากฏในเมืองสาคัญของล้านนาทั้งนี้ก็ เพราะ พระพุทธศาสนาได้มีบทบาทสาคัญท้ังทางด้านการเมืองการปกครองและวิถีชีวิตของคนล้านนา การนับ ถือศาสนาของชาวล้านนามีพื้นฐานมาจากไสยศาสตร์อันเนื่องด้วยศาสนาพราหมณ์ แล้วมารับเอา พระพทุ ธศาสนา ตา่ งกรรมตา่ งวาระ จงึ เกดิ การผสมผสานจนแนบแน่น การปฏิบัติพธิ กี รรมทางศาสนาจึงปนเป กนั ระหวา่ งศาสนาพุทธ และพราหมณ์ ความเชื่อทางศาสนาของคนล้านนาเป็นไปในทานองเดียวกันกับคนไทย โดยทั่วไป กล่าวคือเชื่อเร่ืองกฎแห่งกรรม อานิสงส์ผลบุญอันเป็นเรื่องของศาสนาพุทธโดยตรง และเชื่อในไสย ศาสตร์ตลอดจนสิ่งศักด์ิสิทธ์ต่างๆ ตามคตินิยมของพวกพราหมณ์ “ยันต์” เป็นเคร่ืองรางของขลังอย่างหนึ่งซ่ึง เช่ือถือสืบๆ กันมาแต่โบราณกาล ว่ามีประสิทธิคุณให้สัมฤทธ์ิผลแก่ผู้ที่เช่ือถือท่ัวไป จะมากหรือน้อยแล้วแต่ กรณียันต์ต่างๆโดยมากเม่ือถอดคาถาท่ีลงในยันต์น้ันๆ ออกมาแปลดูแล้วจะพบว่าเป็นคาส่ังให้ประพฤติชอบ ปฏิบัติ มีศีลธรรมบ้างเป็นคาอวยพรให้อยู่ดีมีสุข ปราศจากโรคภัยอันตรายบ้าง เป็นคาขอพร โดยขอคุณ พระรัตนตรัยช่วยปกห่มคุ้มครองให้เจริญรุ่งเรืองบ้าง จะเห็นได้ว่าครูบาอาจารย์แต่เก่าก่อนนั้น เป็นผู้รู้ล้าลึก และฉลาดในการ “อนุเคราะหค์ น” ยันต์รอดท้ังเจ็ด สหวสทสน (สะหะวะสะทะสะนะ) เป็นยันต์ที่มีคาถา 7 พยางค์ มาจากบท รัตนสูตรบทที่ 14 คนล้านนาโบราณสามารถนามาเขียนกลการลงยันต์แบบม้าข้ามค่ายในตารางขนาด 5 x 5 ได้ โดยมเี อกลกั ษณก์ ารลงยันต์แบบเฉพาะตวั คือ การลงจากสี่มุมของตารางโดยแต่ละลาดับพยางค์จะลงลาดับ ละ 4 ครั้ง ซึ่งลาดับพยางค์ตัวที่ 1-6 จะลงตัวละ 4 ครั้ง ยกเว้นพยางค์ลาดับที่ 7 จะลงซ้ากันในตาแหน่งตรง กลางของตาราง เพียง 1 คร้ัง ด้วยเหตุนี้คณะผู้ศึกษาจึงมีความสนใจศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยบูรณาการกลวิธีการลงยันต์รอดท้ัง 7 (ประยุกต์ผลจากการศึกษาของชุมนุมรักษ์ล้านนา โรงเรียนเทิง วิทยาคม, 2559) และปรับเปล่ียนให้เข้ากับวิธีการทางคณิตศาสตร์โดยอาศัยหลักการและแบบรูปเชิง คณิตศาสตรเ์ ปน็ แนวทางในการศกึ ษา ในหวั ข้อ “จัตุรสั มหัศจรรยจ์ ากเรือนยันต์ล้านนา” วัตถปุ ระสงค์ 1. เพ่ือศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนา แบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง

2 2. เพื่อศึกษาสมบัติเชิงพีชณิตและแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวนจากการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลกั การสังเกตจากกลการลงเรือนยนั ตล์ ้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง ผลท่ีคาดว่าจะไดร้ บั 1. ไดค้ วามรู้เกย่ี วกบั รปู แบบความสัมพันธ์ของการวางตาแหน่งของตัวเลขเรยี งกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดย ที่ m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55ช่อง 2. ไดท้ ราบสมบัตเิ ชงิ พีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวนจากการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศยั หลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยนั ต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง 3. ได้พัฒนาเจตคติทม่ี ีต่อวิชาคณติ ศาสตร์ ขอบเขตการศกึ ษา ขอบเขตการศกึ ษาด้านเนือ้ หา การศึกษาคน้ ควา้ ในเร่ืองน้ี มงุ่ ศึกษาศึกษารูปแบบความสัมพนั ธ์ของการวางตาแหนง่ ของตัวเลขเรียง กันตัง้ แต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็นจานวนเตม็ คีบ่ วก ลงในตารางขนาด nn ชอ่ ง โดยอาศยั หลักการสังเกต จากกลการลงเรือนยันตล์ า้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ช่อง ขอบเขตด้านระยะเวลา เดอื นกรกฎาคม 2560 – เดือนตุลาคม 2560 นิยามศัพทเ์ ฉพาะและสญั ลักษณ์ทใี่ ชใ้ นการศึกษา ยนั ต์ หมายถงึ ตารางหรอื ลายเสน้ เป็นตัวเลข อักขระหรือรูปภาพท่ีเขียน สักหรอื แกะสลกั ลงบน แผน่ ผ้า ผิวหนงั ไม้ โลหะ ขนาดตารางจัตรุ สั ขนาด nn ที่ n  เรือนยนั ต์ หมายถึง ในท่นี ้จี ะเริม่ ศึกษายันต์รอดทั้ง 7 ขนาด 5x5 จานวน 25 ช่อง และศึกษาการลง ตาราง หมายถงึ แบบจตุรภทั ร จากมุมท้ัง 4 ของเรือนยันตด์ ้วยการลงแบบเวียนขวา หรือเวียนซา้ ย ตารางสาหรบั ลงยันต์ ตารางขนาด nn ชอ่ ง ท่ีใช้ศกึ ษาศกึ ษารปู แบบความสัมพนั ธ์ของการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกนั ตงั้ แต่ 1 ถึง m โดยที่ m,n เป็นจานวนเตม็ ค่บี วก

3 กรอบแนวคดิ การศึกษา ศกึ ษากลการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในเรอื นยันต์ขนาด 5 x 5 ได้รปู แบบกลการลงยันต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในเรือนยนั ต์ขนาด 5 x 5 ศกึ ษาความสัมพนั ธ์ของตาแหนง่ ที่ของคาในคาถา ขอ้ คน้ พบจากการศกึ ษา จากกลการลงเรือนยันต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ใน ตารางขนาด 5 x 5 ได้ความสัมพนั ธ์ของตาแหน่งทข่ี องคาในคาถาจาก กลการลงเรอื นยันตล์ ้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตาราง ขนาด 5 x 5 ศกึ ษารปู แบบการจาลองการลงยันต์ขนาด m พยางค์ บนตารางเรอื นยันต์ ขนาด m,n เป็นจานวนเต็มค่บี วก ได้รปู แบบการจาลองการลงยนั ต์ขนาด m พยางค์ บนตารางเรอื นยันต์ขนาด nn ที่ m,n เป็นจานวนเต็มค่บี วก ภาพท่ี 1 กรอบแนวคิดการศกึ ษา

4 บทที่ 2 เอกสารท่เี ก่ยี วข้อง ในการดาเนนิ การศึกษาโครงงาน เรื่อง จัตรุ ัสมหัศจรรย์กับเรือนยนั ตล์ ้านนา คณะผศู้ ึกษาได้ค้นควา้ เอกสารท่ีเกี่ยวข้องโดยลาดับเนื้อหาที่เปน็ สาระสาคัญดังต่อไปนี้ 1. กลการลงยันต์รอดท้ัง 7 และความสัมพันธเ์ ชิงพีชคณิตของตาแหน่งท่ขี องลาดับการลงยนั ต์ 2. ระบบจานวนเต็ม 3. แบบรูปและความสมั พันธ์ ซง่ึ แตล่ ะหวั ขอ้ มรี ายละเอยี ด ดงั น้ี 1. กลการลงยันต์รอดท้ัง 7 รปู แบบกลการลงเรอื นยนั ตล์ า้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 จากการศกึ ษายันต์รอดทง้ั 7 ในตารางขนาด 5 x 5 ดังภาพท่ี 2 (ยันต์รอดทงั้ 7) อักขระในยนั ตร์ อดทั้ง 7 ส ห ว ส ท ส น ตัวเลขแทนลาดับ 1234567 หมายเหตุ อักขระที่เหมือนกันในตาแหน่งท่ี 1, 4 และ 6 เปน็ ขอ้ ความของคาถารอดทัง้ 7 ซึ่งเป็นต้นจดุ เรมิ่ ตน้ ของการศึกษาในคร้งั น้เี ท่านั้น สสวสส สสวสส 14361 สทหทส สทหทส 65254 วหนหว วหนหว 32723 สทหทส สทหทส 45256 สสวสส สสวสส 16341 ภาพท่ี 2 ยนั ต์รอดทงั้ เจ็ด สามารถถอดกลการลงยนั ต์แบบมา้ ข้ามค่ายวนขวาตามลาดบั ตวั เลขตาแหน่งที่ของการลงยนั ต์ได้ดังน้ี 1 61 62 5 73 72 54 43

5 4 3 5 4 37 27 26 5 1 16 ภาพที่ 3 กลการลงยันต์รอดทัง้ 7 ในตารางขนาด 5 x 5 ฉบบั แยกมุมท้ังสี่ จากภาพท่ี 3 พบว่า กลการลงยนั ต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 นี้ ต้องลงซ้าทีละมุม มุมละ 7 ตาแหน่ง จนครบทั้งส่ีมุม และแต่ละตาแหน่งไม่ซ้ากันยกเว้นตาแหน่งที่ 7 ซ่ึงอยู่ตาแหน่งตรงกลางของตาราง พอดีจะซา้ กันเสมอ รูปแบบความสัมพันธ์ของตาแหน่งที่ของคาในคาถาจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ใน ตารางขนาด 5 x 5 จากกลการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 ดังภาพที่ 4 ซึ่งสามารถเขียนรวมได้ ดังนี้ 14361 65254 32723 45256 16341 ภาพท่ี 4 กลการลงยันต์รอดท้ังเจ็ดแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 ฉบบั สมบูรณ์ จากภาพท่ี 4 พบว่า ตาแหน่งท่ีขอการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 มีความสัมพันธ์กัน ดังภาพที่ 5 ต่อไปนี้ 14361 14361 14361 65254 65254 65254 32723 32723 32723 45256 45256 45256 16341 16341 16341 14361 14361 14361 65254 65254 65254 32723 32723 32723 45256 45256 45256 16341 16341 16341

6 14361 65254 32723 45256 16341 ภาพที่ 5 ความสมั พันธ์ของตาแหนง่ ทข่ี องกลการลงยันต์รอดท้งั เจ็ดแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 จากภาพท่ี 4 และ 5 ถา้ ให้ k เปน็ จานวนเต็มใดๆ พบวา่ 1. ผลบวกของตวั เลขตามแนวทึบสจี ะมีค่าเป็นคา่ คงท่เี ท่ากนั เสมอ 14361 1+k 4+k 3+k 6+k 1+k 65254 6+k 5 2 5 4+k 32723 3+k 2 7 2 3+k 45256 4+k 5 2 5 6+k 16341 1+k 6+k 3+k 4+k 1+k 14361 14361 65254 6 5+k 2+k 5+k 4 32723 3 2+k 7 2+k 3 45256 4 5+k 2+k 5+k 6 16341 16341

14361 7 65254 1 4+k 3 6+k 1 32723 6+k 5+k 2+k 5+k 4+k 45256 3 2+k 7 2+k 3 16341 4+k 5+k 2+k 5+k 6+k 1 6+k 3 4+k 1 14361 65254 1 4 3+k 6 1 32723 6 5 2+k 5 4 45256 3+k 2+k 7+k 2+k 3+k 16341 4 5 2+k 5 6 1 6 3+k 4 1 14361 65254 14361 32723 6 5 2+k 5 4 45256 3 2+k 7+k 2+k 3 16341 4 5 2+k 5 6 16341

14361 8 65254 32723 1+k 4 3 6 1+k 45256 6 5+k 2 5+k 4 16341 3 2 7+k 2 3 4 5+k 2 5+k 6 1+k 6 3 4 1+k 14361 14361 65254 6 5+k 2 5+k 4 32723 3 2 7+k 2 3 45256 4 5+k 2 5+k 6 16341 16341 ภาพที่ 6 ความสัมพันธข์ องผลบวกของตาแหน่งท่ีของกลการลงยันต์รอดท้งั เจ็ดแบบ 7 พยางค์ ใน ตารางขนาด 5 x 5 2. ผลคณู ของตัวเลขตามแนวเสน้ ประจะมีค่าเปน็ ค่าคงทเ่ี ท่ากนั เสมอ 14361 1k 4k 3k 6k 1k 65254 6k 5 2 5 4k 32723 3k 2 7 2 3k 45256 4k 5 2 5 6k 16341 1k 6k 3k 4k 1k

14361 9 65254 14361 32723 6 5k 2k 5k 4 45256 3 2k 7 2k 3 16341 4 5k 2k 5k 6 16341 14361 65254 1 4k 3 6k 1 32723 6k 5k 2k 5k 4k 45256 3 2k 7 2k 3 16341 4k 5k 2k 5k 6k 1 6k 3 4k 1 14361 65254 1 4 3k 6 1 32723 6 5 2k 5 4 45256 3k 2k 7k 2k 3k 16341 4 5 2k 5 6 1 6 3k 4 1

14361 10 65254 32723 14361 45256 6 5 2k 5 4 16341 3 2k 7k 2k 3 4 5 2k 5 6 16341 14361 1k 4 3 6 1k 65254 6 5k 2 5k 4 32723 3 2 7k 2 3 45256 4 5k 2 5k 6 16341 1k 6 3 4 1k 14361 14361 65254 6 5k 2 5k 4 32723 3 2 7k 2 3 45256 4 5k 2 5k 6 16341 16341 ภาพท่ี 7 ความสัมพันธข์ องผลคูณของตาแหนง่ ทขี่ องกลการลงยนั ต์รอดทั้งเจด็ แบบ 7 พยางค์ ใน ตารางขนาด 5 x 5

11 3. สามารถสลับตาแหน่งตวั เลข 1-7 ตามกลการลงยันตไ์ ด้ และมสี มบตั ิตามข้อ 1. และ 2. 25472 36513 47624 76365 17476 21517 43134 54245 65356 56367 67471 71512 27452 31563 42674 51735 62146 73257 32621 43732 54143 76467 17571 21612 12623 23734 34145 53715 64126 75237 ภาพที่ 8 ความสัมพนั ธข์ องการสลับตาแหนง่ ทข่ี องกลการลงยนั ต์รอดทง้ั เจ็ด แบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 2. ระบบจานวนเต็ม 2.1 จานวนเตม็ แบ่งได้ 3 ประเภท จานวนเต็ม จานวนเต็มลบ จานวนเต็มศูนย์ จานวนเตม็ บวก ภาพที่ 9 ระบบจานวนเต็ม 2.2 คา่ สมั บูรณ์ คือ ผลตา่ งของจานวนนบั ใดๆกบั 0 เช่น | 3 | = 3 , | -10 | = 10 2.3 การบวกจานวนเตม็ การบวกจานวนเตม็ ชนิดเดยี วกนั ใหน้ าตัวเลขมาบวกกันแล้วผลบวกจะเป็นจานวนเตม็ ชนิดนนั้ เช่น 3+ 2 = 5 หรือ (-3) + (-2) = -5 การบวกจานวนเต็มตา่ งชนดิ ให้นาตัวเลขมาลบกนั แล้วผลบวกมเี ครอ่ื งหมายเหมือนจานวนเตม็ ซึ่งมีคา่ สมั บรู ณ์ มากกว่า เช่น 3 + (-1) = 2 หรอื (-3) + 1 = -2

12 2.4 การลบจานวนเต็ม ทาไดโ้ ดยเปลี่ยนจากลบเปน็ การบวกด้วยจานวนตรงขา้ ม โดยท่ีตวั ต้งั ยงั คงมคี ่าเทา่ เดิม ฃเช่น 3 – 9 คือ 3 + (-9) = -6 -12 – 8 คือ -12 + (-8) = -20 -12 –(-15) คือ -12 + 15 = 3 2.5 การคูณจานวนเต็ม ก า ร คู ณ จ า น ว น เ ต็ ม ช นิ ด เ ดี ย ว กั น ใ ห้ น า ค่ า สั ม บู ร ณ์ ข อ ง จ า น ว น ท้ั ง ส อ ง ม า คู ณ กั น ผ ล คู ณ เ ป็ น จานวนเตม็ บวกเสมอ เช่น 3 × 6 = 18 หรือ (-3) × (-6) = 18 การคณู จานวนเต็มตา่ งชนดิ กันใหน้ าค่าสัมบรู ณข์ องจานวนท้ังสองมาคูณกัน ผลคูณเป็นจานวนเต็มลบ เสมอ เชน่ 3 × (-6) = -18 หรือ (-3) × 6 = -18 2.6 การหารจานวนเตม็ การหารจานวนเต็มชนิดเดียวกันให้นาค่าสัมบูรณ์ของจานวนท้ังสองมาหารกันผลหารเป็น จานวนเตม็ บวกเสมอ เชน่ 6 ÷ 3 = 2 หรือ (-6) ÷ (-3) = 2 การหารจานวนเต็มต่างชนิดกันให้นาค่าสัมบูรณ์ของจานวนท้ังสองมาหารกันผลหารเป็น จานวนเต็มลบเสมอ เช่น (-6) ÷ 3 = -2 หรือ -6 ÷ (3) = -2 3. แบบรูปและความสัมพนั ธ์ แบบรปู เป็นการแสดงความสัมพนั ธ์ของสิ่งต่างๆ ที่มีลักษณะสาคัญบางอย่างร่วมกันอย่างมีเง่ือนไข ซ่ึง สามารถอธิบายความสัมพันธ์เหล่านั้นได้โดยใช้การสังเกต การวิเคราะห์ หาเหตุผลสนับสนุนจนได้บทสรุปอัน เปน็ ท่ยี อมรับได้ แบบรูปนับเป็นปัจจัยพื้นฐานอันหนึ่งในการช่วยคิดแก้ปัญหาต่าง ๆในชีวิตประจาวันโดยท่ีเรา ได้เคยพบเห็นและได้ผ่านการใช้กระบวนการคิดวิเคราะห์ด้วยเหตุด้วยผลกับแบบรูปในลักษณะต่างๆ กัน มาแล้ว แบบรูปที่จะกล่าวถึงน้ีเป็นแบบรูปในลักษณะต่างๆ เพื่อให้เห็นรูปแบบของการจัดลาดับ และ การกระทาซา้ อย่างตอ่ เนือ่ งเพอ่ื จะไดใ้ ช้การสังเกต การวเิ คราะห์ การให้เหตุผลในการบอกความสัมพันธ์ของสิ่ง ต่างๆทพี่ บเห็นไดอ้ ยา่ งถกู ต้องจนถึงขัน้ สรุปเปน็ กฎเกณฑ์ โดยท่ัวไปในคณติ ศาสตร์จะพบเห็นการใชแ้ บบรูปในเร่อื งของจานวน รูปภาพ รูป เรขาคณิตจากแบบรูป ของจานวนเราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร และสมบัติของการเท่ากันสร้างสมการเพ่ื อใช้ แก้ปัญหาได้ จากเงอ่ื นไขขา้ งต้น สรปุ ได้วา่ แบบรูป (Patterns) หมายถึง รูปร่าง หรือลักษณะของสิ่งต่างๆ ท่ีนามาประกอบกันตามความสัมพันธ์ ระหว่างส่ิงเหลา่ น้ัน

13 บทที่ 3 วธิ กิ ารดาเนนิ การศกึ ษา 1. ตารางการดาเนนิ งาน ตารางท่ี 1 ตารางการดาเนินงาน ท่ี วัน เดือน ปี กจิ กรรม การดาเนินการศกึ ษา ผ้รู บั ผดิ ชอบ 1 3-10 ก.ค. 2560 2 11-20 ก.ค. 2560 คดั เลอื กหวั ข้อโครงงาน คณะผู้ศกึ ษาทกุ คน 3 21-31 ก.ค. 2560 4 1-31 ส.ค. 2560 ส่งหวั ขอ้ โครงงานปรึกษาครทู ่ีปรกึ ษา คณะผู้ศึกษาทุกคน 5 1-15 ก.ย. 2560 กาหนดแนวทางและขอบเขตของการศึกษา คณะผู้ศกึ ษาทกุ คนและ 6 16-30 ก.ย. 2560 ร่วมกับครทู ีป่ รึกษา ครทู ีป่ รกึ ษา 7 1-10 ต.ค.2560 ทบทวนความรเู้ บ้ืองตน้ เกยี่ วกับกลการลง คณะผู้ศึกษาทกุ คนและ 8 11-21 ต.ค. 2560 9 21-31 ต.ค. 2560 ยนั ต์รอดทง้ั 7 ครูทป่ี รึกษา ศกึ ษารูปแบบความสัมพนั ธ์ของการวาง คณะผู้ศึกษาทกุ คนและ ตาแหน่งของตวั เลขเรยี งกันต้งั แต่ 1 ถงึ m ครูที่ปรกึ ษา โดยที่ m เป็นจานวนเต็มคีบ่ วก ลงในตาราง ขนาด nn ชอ่ ง โดยอาศยั หลักการสังเกต จากกลการลงเรือนยนั ต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง ศกึ ษาสมบัตเิ ชงิ พชี ณิตและแบบแบบรูปเชงิ คณะผู้ศกึ ษาทกุ คนและ เรขาคณิตของตาแหนง่ ของแต่ละจานวนจาก ครทู ่ีปรึกษา การวางตาแหน่งของตวั เลขเรียงกนั ตงั้ แต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เปน็ จานวนเต็มค่ีบวก ลง ในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัย หลกั การสังเกตจากกลการลงเรอื นยันต์ ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง สรปุ การศกึ ษารวบรวมขอ้ ค้นพบความรู้ คณะผู้ศกึ ษาทกุ คน ทฤษฎี หลกั การ แนวคิด ระเบียบวิธี และ ผลลพั ธจ์ ากการศึกษาต่อครูท่ีปรึกษา เพอื่ รับการวิพากษ์และแก้ไขจากครทู ป่ี รึกษา จดั พิมพ์รูปเลม่ โครงงาน คณะผู้ศกึ ษาทกุ คน จดั ทาบอร์ดนาเสนอโครงงานและแผ่นพบั คณะผู้ศึกษาทุกคน แนะนาโครงงาน

14 ลาดับการดาเนินการศกึ ษา การดาเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เร่ือง จัตุรัสมหัศจรรย์กับเรือนยันต์ ล้านนา ในครั้งนี้ คณะผู้ศกึ ษาไดผ้ ลการศกึ ษาแบ่งเป็น 2 ตอน ตามลาดบั ดังน้ี ตอนที่ 1 รปู แบบความสัมพนั ธ์ของการวางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกนั ตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็น จานวนเตม็ คีบ่ วก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55ชอ่ ง โดยแบง่ เปน็ 6 ประเดน็ สาคญั ดงั นี้ ประเดน็ ท่ี 1 การหาจานวนช่องและจานวนคา ประเด็นที่ 2 การพิจารณาคา่ n ประเด็นที่ 3 การหาชดุ ท่ีของ n และ m ประเด็นท่ี 4 วิธีการใสต่ วั เลขลงในตาราง ประเดน็ ท่ี 5 การหาคา่ k ประเด็นที่ 6 ความพนั ธข์ องค่า n,m และ k เมื่อ n 1,3,5,... ตอนที่ 2 สมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวนจากการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลกั การสงั เกตจากกลการลงเรอื นยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง

15 บทท่ี 4 ผลการดาเนนิ การศกึ ษา จากผลการดาเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เร่ือง จัตุรัสมหัศจรรย์กับ เรือนยันตล์ ้านนา ในครัง้ นี้ คณะผู้ศึกษาไดผ้ ลการศึกษาแบ่งเปน็ 2 ตอน ตามลาดบั ดงั น้ี ตอนท่ี 1 รปู แบบความสัมพันธ์ของการวางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็น จานวนเตม็ คีบ่ วก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง ตอนที่ 2 สมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวนจากการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศยั หลกั การสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ช่อง ซง่ึ แตล่ ะตอนมรี ายละเอยี ดดงั ตอ่ ไปนี้ ตอนท่ี 1. การศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวางตาแหนง่ ของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถงึ m โดยที่ m เปน็ จานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลง เรือนยนั ตล์ า้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55ช่อง จากการสงั เกตการแทนตัวเลขลงในตาราง (ดังภาพท่ี 2 หนา้ 4) พบวา่ ประเด็นท่ี 1 การหาจานวนช่องและจานวนคา ตารางท่ี 2 ตารางแสดงวธิ กี ารสังเกต หาจานวนคาเพ่ือใช้วางตาแหนง่ ของตวั เลขเรยี งกนั ตัง้ แต่ 1 ถงึ m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง จานวนตวั เลข จานวนครงั้ ของการลงตวั เลข รวมจานวนครง้ั คร้งั ท่ี 1 คร้งั ที่ 2 ครั้งที่ 3 ครัง้ ที่ 4 4(7) – 3 คร้งั 7 ตัว (1, 2, ..., 7) m ตัว (1, 2, ..., m ) 7 (7-1) (7-1) (7-1) 4m  3 m m1 m1 m1 จากตารางที่ 2 ทาให้ได้ว่า --------------> (1) n2  4m  3 หรือ และจาก (1) ทาให้ไดว้ ่า n  4m  3 m  n2  3 --------------> (2) 4

ประเดน็ ที่ 2 การพิจารณาคา่ n 16 เราทราบวา่ จานวนเต็มคู่ x จานวนเต็มคู่ ไดผ้ ลลพั ธ์เปน็ จานวนเต็มคู่ จตั ุรัสมหศั จรรยช์ ุดท่ี l ซง่ึ จานวนเต็มคู่ x จานวนเตม็ คี่ ได้ผลลพั ธเ์ ป็น จานวนเตม็ คู่ เปน็ ตารางขนาด nn จานวนเตม็ ค่ี x จานวนเต็มคู่ ได้ผลลพั ธเ์ ป็น จานวนเต็มคู่ จะมีจานวน m ตวั ใส่เลข จานวนเตม็ คี่ x จานวนเต็มคี่ ได้ผลลัพธ์เปน็ จานวนเต็มค่ี 1, 2,3,..., m จาก (1) ไม่ว่า m จะเป็นจานวนเต็มคูห่ รอื จานวนเต็มคี่ 4m-3 ย่อมเป็นจานวนเต็มคี่ และ n2 ย่อมเป็นจานวนเตม็ คด่ี ้วย จตั รุ ัสมหัศจรรย์ชุดท่ี 1 ซึง่ เป็นตารางขนาด 11 ประเด็นท่ี 3 การหาชดุ ทข่ี อง n และ m จะมีจานวน 1 ตัว ใส่เลข 1 จัตรุ ัสมหัศจรรย์ชดุ ที่ 2 ตารางท่ี 3 ตารางแสดงความพันธข์ องค่า n และ m ซ่งึ เปน็ ตารางขนาด 33 จะมจี านวน 3 ตวั ใส่เลข คา่ n n2 ค่า m  n2  3 (n, m) 1, 2,3 4 จตั รุ ัสมหัศจรรยช์ ดุ ที่ 3 n1  1 12  2 m1  1 3  4  1 (n1, m1)  (1,1) ซ่งึ เปน็ ตารางขนาด 55 4 4 จะมจี านวน 7 ตัว ใส่เลข n2  3 32  9 m2  9 3  12  3 (n2, m2 )  (3,3) 1, 2,3,...,7 4 4 จัตุรสั มหศั จรรย์ชดุ ท่ี 4 n3  5 52  25 m3  25  3  28  7 (n3, m3)  (5, 7) ซ่ึงเปน็ ตารางขนาด 77 4 4 จะมีจานวน 13 ตัว ใสเ่ ลข n4  7 72  49 m4  49  3  52  13 (n4, m4 )  (7,13) 1, 2,3,...,13 4 4 จัตุรสั มหศั จรรย์ชุดที่ 5 n5  9 92  81 m5  81 3  84  21 (n5, m5)  (9, 21) ซ่งึ เป็นตารางขนาด 99 4 4 จะมีจานวน 21 ตัว ใส่เลข 1, 2,3,..., 21

ตารางที่ 3 (ต่อ) ตารางแสดงความพนั ธ์ของค่า n และ m 17 ค่า n n2 คา่ m  n2  3 (n, m) จตั ุรสั มหัศจรรย์ชดุ ท่ี l ซง่ึ เป็นตารางขนาด nn 4 จะมีจานวน m ตวั ใส่เลข n6  11 112  121 m6  121 3  124  31 (n6, m6 )  (11,31) 1, 2,3,..., m 4 จัตุรัสมหศั จรรยช์ ดุ ท่ี 6 ซงึ่ เปน็ ตารางขนาด 1111 จะมีจานวน 31 ตวั nl  2l 1 2l 12 ml  l2  l 1 จตั ุรสั มหศั จรรยช์ ดุ ที่ l ซง่ึ เป็นตารางขนาด nn (nl , ml )  (2l 1,l2 l 1) จะมจี านวน m ตวั ใส่เลข 1, 2,3,..., m คา่ n ค่าลาดับของ n   1,3,5,...,2l 1 ค่า m คา่ ลาดับของ m   1,3,7,...,l2  l 1 ประเดน็ ที่ 4 วิธีการใส่ตัวเลขลงในตาราง 7-2(3) 4 3 6 7-2(3) 6 7-2(1) 2 7-2(1) 4 32723 4 7-2(1) 2 7-2(1) 6 7-2(3) 6 3 4 7-2(3) ภาพท่ี 10 ตาแหนง่ การลงยันต์รอดทงั้ 7

18 หลกั การลง 1. จากตตวั เลขทเ่ี รยี งกนั ตั้งแต่ 1 ถงึ m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก และตารางขนาด nn ชอ่ ง ให้ใส่ ตวั เลขที่มีคา่ มากท่ีสุด (m) ไวต้ าแหน่งตรงกลางสดุ ของตาราง 2. ใหพ้ ิจารณาตามภาพท่ี 11 (หนา้ 17) ตารางขนาด nn ชอ่ ง ซง่ึ n ต้องเปน็ จานวนเต็มคบ่ี วก เพอ่ื ใสต่ ัวเลขเรยี งกนั ตั้งแต่ 1 ถงึ m โดยที่ m ต้องเปน็ จานวนเตม็ คบ่ี วก ต้องมีความสัมพนั ธ์กับค่า m ดงั สมการ n2  4m 3 ดงั น้ี 3. ตัวเลขท่ีเหลอื ให้ลงตามแนวการหมุน 90 องศาในทิศทางเดียวกันตลอดทั้ง 4 ครง้ั m  2  k (k 1)  m  2  k (k 1)   2  2  m  2(1 2) m  2(1 2) m  2(1) m  2(1) m m  2(1) m  2(1) m  2(1 2) m  2(1 2) m  2  k (k 1)  m  2  k (k 1)  2   2  ภาพท่ี 11 ตาแหนง่ การใสต่ วั เลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m ตอ้ งเป็นจานวนเตม็ คบี่ วก

19 พจิ ารณาเฉพาะแนวสีเหลอื งแนวเดียว ดงั ตารางท่ี 4 ตารางท่ี 4 ตารางแสดงวิธกี ารวางตัวเลขลงในแนวทแยงมุมของ ตารางขนาด nn ช่อง ซง่ึ n ตอ้ งเปน็ จานวนเต็มค่ีบวก เพื่อใส่ตวั เลขเรียงกนั ตัง้ แต่ 1 ถงึ m โดยท่ี m ตอ้ งเปน็ จานวนเตม็ ค่ีบวกดว้ ย วงที่ k วิธีการหา 1 2 k1  m  2(1) 3 4 k2  m  2(1 2) 5 k3  m  2(1 2  3) 6 k4  m  2(1 2  3  4) 7 k5  m  2(1 2  3 4  5)  m  2  5(1 5)   m  5(1 5)  2  k6  m  2(1 2  3  4  5  6)  m  2  6(1 6)   m  6(1 6)  2  k7  m 2(1 2  3  4  5  6  7)  m  2 7(1 7)   m  7(1 7) 2  kl kl  m  2(1 2  3  ...  l)  m  2  l (1 l)   m  l(1 l) 2  ประเด็นที่ 5 การหาคา่ k จาก 1.1 n2  4m  3 หรอื n  4m  3, n 1,3,5,... 1.2 m  n2  3 4 1.3 วิธีการใส่ค่าตัวเลขในแนวทแยงมุมจากในออกนอกทั้ง 4 แนว มีสูตร คือ m , m  2(1) , m  2(1 2) , m  2(1 2  3) , ... , m  2(1 2  3 ... k) หรอื m  2  k (k 1)   2  เมือ่ k คือ ลาดบั ทขี่ องชนั้ นอกสดุ และไดส้ มการหาคา่ k  n 1หรือ n  2k 1 2 ซึ่งทาใหไ้ ด้ว่า k  4m  3 1 หรอื m  2k 12  3 24

20 ตารางท่ี 5 ตารางความพันธ์ของค่า n,m และ k เมอื่ n 1,3,5,... คา่ m  n2  3 คา่ m k  n 1 ค่า k 4 2k 12  3 2 n k  4m  3 1 m 2 4 k  4(1)  3 1  0  0 1 m  (1)2  3  1 m  2(0) 12  3  4  1 k  (1) 1  0 22 2 4 44 k  4(3)  3 1  2  1 22 3 m  (3)2  3  3 m  2(1) 12  3  12  3 k  (3) 1  1 2 k  4(7)  3 1  4  2 4 44 22 5 m  (5)2  3  7 m  2(2) 12  3  28  7 k  (5) 1  2 k  4(13)  3 1  6  3 4 2 22 44 k  4(21)  3 1  8  4 7 m  (7)2  3  13 m  2(3) 12  3  52  13 k  (7) 1  3 22 4 2 44 k  4(31)  3 1  10  5 22 9 m  (9)2  3  21 m  2(4) 12  3  84  21 k  (9) 1  4 4 2 44 11 m  (11)2  3  31 m  2(5) 12  3  124  31 k  (11) 1  5 4 2 44 ตอนที่ 2. การศึกษาสมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละ จานวนจากการวางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงใน ตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศยั หลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตาราง ขนาด 55 ช่อง จากตอนท่ี 1 พบว่า 2.1 ผลบวกแตล่ ะ ชนั้ k มคี า่ เทา่ กนั เสมอ 2.2 ผลบวกในแนวทแยงแตล่ ะ ชน้ั k มีคา่ เทา่ กันเสมอ 2.3 ผลบวกในแนวนอนแตล่ ะ ชน้ั k มีคา่ เทา่ กันเสมอ 2.4 ผลบวกในแนวตง้ั แต่ละ ชนั้ k มคี า่ เทา่ กันเสมอ 2.5 ผลคูณแต่ละ ชน้ั k มีคา่ เทา่ กนั เสมอ 2.6 ผลคณู ในแนวทแยงแตล่ ะ ชั้น k มีค่าเท่ากนั เสมอ 2.7 ผลคณู ในแนวนอนแตล่ ะ ชัน้ k มีค่าเทา่ กันเสมอ 2.8 ผลคูณในแนวตง้ั แตล่ ะ ชั้น k มีคา่ เทา่ กันเสมอ 2.9 แนวการวางของแต่ละตวั เลขยกเว้นตาแหนง่ กลางของตารางจัตรุ ัส มแี นวเป็นสีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั

21 บทที่ 5 สรุปผลการศกึ ษาและข้อเสนอแนะ จากผลการดาเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เรื่อง จัตุรัสมหัศจรรย์กับ เรอื นยันตล์ ้านนา ในครง้ั นี้ คณะผูศ้ ึกษาได้ขอ้ สรปุ ของผลการศกึ ษาดงั นี้ วตั ถปุ ระสงค์ 1. เพื่อศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนา แบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ชอ่ ง 2. เพ่ือศึกษาสมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวนจากการ วางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตง้ั แต่ 1 ถงึ m โดยท่ี m เปน็ จานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง โดยอาศยั หลกั การสังเกตจากกลการลงเรอื นยนั ต์ลา้ นนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 55 ช่อง ผลการศึกษา 1. การวางตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยท่ี m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงใน ตารางขนาด nn มีความสมั พันธ์กับค่า m ดงั สมการ n2  4m 3 1.1 n2  4m  3 หรอื n  4m  3, n 1,3,5,... 1.2 m  n2  3 4 1.3 วธิ ีการใสค่ า่ ตวั เลขในแนวทแยงมุมจากในออกนอกทั้ง 4 แนว มีสูตร คือ m , m  2(1) , m  2(1 2) , m  2(1 2  3) , ... , m  2(1 2  3 ... k) หรือ m  2  k (k  1)   k(k 1)  2  เมอื่ k คือ ลาดบั ที่ของชัน้ นอกสดุ 1.4 k  n 1 หรือ n  2k 1 2 1.5 k  4m  3 1 หรือ m  2k 12  3 24 2. สมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของตาแหน่งของแต่ละจานวนจากการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันต้ังแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มค่ีบวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง คือ 2.1 ผลบวกแต่ละ ช้นั k มีคา่ เท่ากันเสมอ 2.2 ผลบวกในแนวทแยงแตล่ ะ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ

22 2.3 ผลบวกในแนวนอนแต่ละ ชั้น k มคี ่าเทา่ กนั เสมอ 2.4 ผลบวกในแนวตง้ั แตล่ ะ ชน้ั k มีค่าเทา่ กันเสมอ 2.5 ผลคณู แตล่ ะ ชั้น k มีค่าเทา่ กนั เสมอ 2.6 ผลคณู ในแนวทแยงแต่ละ ช้ัน k มีค่าเทา่ กันเสมอ 2.7 ผลคูณในแนวนอนแตล่ ะ ช้นั k มคี ่าเท่ากนั เสมอ 2.8 ผลคูณในแนวตง้ั แตล่ ะ ชนั้ k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.9 แนวการวางของแตล่ ะตัวเลขยกเว้นตาแหนง่ กลางของตารางจัตรุ ัส มแี นวเปน็ สี่เหล่ียมจัตุรสั ข้อเสนอแนะจากการดาเนินการศกึ ษาในครัง้ นี้และคร้งั ตอ่ ไป 1. ควรศึกษาสมบัติอื่นๆ จากตารางกลการลงยนั ต์ 2. ควรใชโ้ ปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วศิ วกรรมศาสตร์/สถิติ ชว่ ยหารปู แบบความสมั พันธ์ของการวาง ตาแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจานวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด nn ช่อง เพือ่ ใหเ้ หน็ รปู แบบการศกึ ษาทชี่ ัดเจนมากขึน้

บรรณานุกรม สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร.หนังสอื เรยี น สาระการเรียนรเู้ พิ่มเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4-6. พิมพ์ครงั้ ที่ 3. ครุ สุ ภาลาดพร้าว : กรงุ เทพฯ, 2553. สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร.หนังสือเรียน สาระการเรียนรเู้ พิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4-6. พิมพ์ครั้งท่ี 3. คุรสุ ภาลาดพร้าว : กรงุ เทพฯ, 2553. สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร.หนังสอื เรยี น สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ เลม่ 3 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4-6. พิมพ์ครง้ั ที่ 3. ครุ ุสภาลาดพรา้ ว : กรุงเทพฯ, 2553. สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร.หนังสือเรียน สาระการเรยี นรู้พนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4-6. พิมพค์ ร้ังที่ 3. คุรุสภาลาดพร้าว : กรงุ เทพฯ, 2552.

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก ประวตั ิผจู้ ัดทา

ประวัติผูศ้ กึ ษา ช่ือ นายนนท์ปวธิ ถนิ่ มุกดา วันเดอื นปเี กิด วันองั คาร ท่ี 21 เดอื นกันยายน พ.ศ. 2543 ท่ีอยู่ปจั จบุ นั บา้ นเลขท่ี 75 หมู่11 บ้านพระเนตร ตาบลต้า อาเภอขนุ ตาล ประวตั กิ ารศกึ ษา จังหวดั เชียงราย รหสั ไปรษณีย์ 57340 จบระดบั ช้ันปีการศึกษาท่ี 6 จากโรงเรียนอนุบาลบ้านพระเนตร ชือ่ จบระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 3 จากโรงเรยี นเทิงวทิ ยาคม วนั เดอื นปีเกดิ ปัจจบุ ันกาลังศกึ ษาอยูใ่ น ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5/2 โรงเรยี นเทงิ วทิ ยาคม ทอี่ ยู่ปัจจบุ ัน นายเอกรนิ ทร์ อน่ิ คา ประวัติการศึกษา วันพฤหัสบดี ที่ 20 เดือนเมษายน พ.ศ. 2543 บ้านเลขที่ 209 หมู่ 8 บ้านเวยี งหวาย ชื่อ ตาบลเมง็ ราย อาเภอพญาเม็งราย วนั เดอื นปเี กดิ จงั หวัดเชยี งราย รหัสไปรษณีย์ 57290 ทีอ่ ยู่ปจั จบุ นั จบระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 จากโรงเรียนกฤษณาทวีวิทย์ จบระดับชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 3 จากโรงเรยี นกฤษณาทวีวทิ ย์ ประวตั ิการศึกษา ปจั จบุ นั กาลังศกึ ษาอยใู่ น ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5/2 โรงเรียนเทิงวิทยาคม นายทวิ ากร ศรโี ม วนั อาทติ ย์ ที่ 18 เดอื นกรกฎาคม พ.ศ. 2543 บ้านเลขที่ 37 หมู่ 2 บ้านตบั เต่า ตาบลตบั เตา่ อาเภอเทงิ จงั หวัดเชยี งราย รหัสไปรษณีย์ 57160 จบระดบั ชน้ั ประถมศึกษาปีที่ 6 จากโรงเรียนอนุบาลตับเต่า (ไคร้สามัคคี วทิ ยา) จบระดบั ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จากโรงเรียนเทิงวิทยาคม ปจั จบุ ันกาลงั ศกึ ษาอยใู่ น ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5/1 โรงเรียนเทงิ วิทยาคม

ภาคผนวก ข ประมวลภาพการดาเนินการศกึ ษา



นายทวิ าก โรงเรยี นเท ได้รบั รางวัลระดับเหรียญท กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขท่ี สพม.๓๖-น.๑๖๓๗๒/๒๕๖๐ กร ศรโี ม ทิงวิทยาคม ทอง รองชนะเลศิ อนั ดับท่ี ๑ งทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณติ ศาสตร์ ระดบั ช้นั ม.๔ - ม.๖

นายนนทป์ ว โรงเรียนเท ได้รบั รางวัลระดบั เหรียญท กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสร้าง

เลขที่ สพม.๓๖-น.๑๖๓๖๙/๒๕๖๐ วิธ ถ่ินมุกดา ทงิ วทิ ยาคม ทอง รองชนะเลิศอนั ดบั ที่ ๑ งทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณติ ศาสตร์ ระดับชน้ั ม.๔ - ม.๖

นายเอกรนิ โรงเรียนเท ได้รบั รางวลั ระดบั เหรียญท กิจกรรม การประกวดโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขที่ สพม.๓๖-น.๑๖๓๗๐/๒๕๖๐ นทร์ อน่ิ คำ ทงิ วทิ ยาคม ทอง รองชนะเลิศอนั ดบั ที่ ๑ งทฤษฎหี รอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดบั ชน้ั ม.๔ - ม.๖

นางสาววรารตั โรงเรียนเท ครูผ้สู อนนกั เรียน ได้รับรางวัลระดบั กิจกรรม การประกวดโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขที่ สพม.๓๖-ค.๑๓๓๕๔/๒๕๖๐ ตน์ ใจพลแสน ทิงวิทยาคม บเหรียญทอง รองชนะเลศิ อนั ดบั ที่ ๑ งทฤษฎหี รือคำอธบิ ายทางคณิตศาสตร์ ระดบั ช้นั ม.๔ - ม.๖

นายอาหน โรงเรยี นเท ครูผสู้ อนนกั เรยี น ได้รบั รางวลั ระดับ กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสร้าง

เลขที่ สพม.๓๖-ค.๑๓๓๕๓/๒๕๖๐ นึ่ง ชูไวย ทงิ วิทยาคม บเหรียญทอง รองชนะเลศิ อนั ดบั ที่ ๑ งทฤษฎหี รือคำอธบิ ายทางคณิตศาสตร์ ระดบั ช้นั ม.๔ - ม.๖