กฏของเคอร์ชอฟฟ์

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 5 10 1 (Kirchhoff’s Law) สาระสาคญั กฎของเคอร์ชอฟฟ์ เป็นกฎท่ีใช้วิเคราะห์ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่มีความซับซ้อนหรือมีหลาย แหล่งจ่าย ด้วยวิธีการกาหนดทิศทางกระแสไหลเข้าและออกที่จุดใดๆ ในวงจรให้ครบทุกจุด หลังจากนั้นจะไล่วงจรในแต่ละลปู จนครบทุกลูปเพ่อื แกส้ มการในหาคาตอบ สาระการเรียนรู้ 10.1 การแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนต์ 10.2 กฎกระแสไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ 10.3 กฎแรงดนั ไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ 10.4 การเขยี นสมการแก้ปญั หาวงจรไฟฟ้าโดยใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์ 10.5 การแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้าโดยใชก้ ฎของเคอร์ชอฟฟ์ จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ จดุ ประสงค์ท่วั ไป เพ่ือให้นกั เรียนมีความรูแ้ ละเข้าใจเกี่ยวกบั การแกส้ มการโดยใช้ดีเทอรม์ ิแนนต์และการใช้กฎ ของเคอร์ชอฟฟ์ในการแกป้ ัญหาวงจรไฟฟ้า จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม ดา้ นความรู้ (ทฤษฎ)ี 1. อธบิ ายการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ ิแนนท์ได้ 2. อธบิ ายกฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟไ์ ด้ 3. อธบิ ายกฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ได้ 4. เขียนสมการโดยใชก้ ฎของเคอรช์ อฟฟ์ได้ 5. คานวณหาคา่ ตา่ ง ๆ ในวงจรไฟฟ้า โดยใชก้ ฎของเคอร์ชอฟฟไ์ ด้ ดา้ นคุณธรรม จริยธรรม 1. คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ 1.1 ความรบั ผิดชอบ 1.2 ความมีวนิ ัย 1.3 การตรงต่อเวลา 1.4 ความมีมนุษย์สัมพันธ์ 1.5 ความรู้และทักษะวิชาชพี 1.6 ความสนใจใฝ่หาความรู้ 2. การบูรณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง 2.1 ศกึ ษาขอ้ มูลอย่างเปน็ ระบบ 2.2 การมีสว่ นรว่ ม

หน่วยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 6 2.3 ความผกู พัน 2.4 รู้ รกั สามัคคี

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 7 การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าท่ีมีความซับซ้อน จะไม่สามารถใช้กฎของโอห์มมาแก้ปัญหาใน วงจรไฟฟ้าได้ จนกระทั่งได้มีนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันช่ือ กุสตาฟ โรเบิรต์ เคอรช์ อฟฟ์ (ค.ศ. 1824 - 1887) ได้ทาการทดลองเก่ียวกับวงจรไฟฟ้าและต้ังเป็นกฎ ซง่ึ เป็นกฎเก่ียวกับแรงดันและกฎเก่ียวกับ กระแส เรียกรวมกันว่า กฎของเคอรช์ อฟฟ์ 10.1 การแก้สมการโดยใช้ดเี ทอร์มิแนนต์ การแก้สมการท่ีมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าตั้งแต่สองตัวขึ้นไปนั้นจะมีความมีความยุ่งยากและ ซับซ้อนมาก แต่เมื่อเรานาหลักการของดีเทอร์มิแนนต์มาใช้งานจะสามารถแก้สมการได้เร็วข้ึน เน่ืองจากดีเทอร์มิแนนต์มีกฎเกณฑ์การแก้สมการที่แนน่ นอนชัดเจนเข้าใจง่าย แต่ต้องทาเป็นขั้นตอน ในที่นี้หลักการดีเทอร์มิแนนต์ที่ใช้ในการแก้สมการนั้น จะแยกการพิจารณาออกเป็น 2 ลักษณะ คือ การแก้สมการทไ่ี มท่ ราบค่าสองตัวแปรและการแก้สมการทไี่ มท่ ราบค่าสามตัวแปร 10.1.1 การแก้สมการทไ่ี ม่ทราบค่าสองตัวแปร โดยทั่วไป สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวแปรมีลักษณะดังนี้ ax  by  e ….……………………………………………….. (10.1) cx  dy  f ….……………………………………………….. (10.2) ในทีน่ ้ี x และ y เปน็ ตัวแปรทไ่ี ม่ทราบคา่ a , b , c ,d เป็นสมั ประสทิ ธ์ของตัวแปรท่ีไม่ทราบค่า e และ f เป็นคา่ คงท่ี ขั้นตอนการแกส้ มการโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 1. นาสมการ (10.1) และสมการ (10.2) เขยี นให้อยู่ในรปู เมตรกิ ซ์ a b  x   e c d  y  f  2. หาค่าตัวหารรว่ ม (Δ ) จากการนาสมั ประสทิ ธิ์ a , b , c ,d มาหาค่าดีเทอรม์ ิแนนต์ โดยมีกฎอยวู่ า่ “คูณทแยงลงเปน็ บวก คูณทแยงขึ้นเป็นลบ”  = a b c d  = ad - cb 3. หาคา่ ดเี ทอรม์ ิแนนต์ของคา่ เศษ Δx โดยนาค่าคงท่ี e , f แทนคา่ ลงในตาแหน่งตวั แปร x Δx = e b  f d Δx = ed - fb

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 8 4. หาคา่ ดเี ทอร์มิแนนต์ของค่าเศษ Δy โดยนาคา่ คงท่ี e , f แทนคา่ ลงในตาแหน่งตัว แปร y Δy = a e c f  Δy = af - ce 5. หาคา่ ตัวแปร x และ y จากสมการ x =Δx Δ y = Δy Δ ตวั อยา่ งท่ี 10.1 จงแกส้ มการหาคา่ ของ x และ y ตอ่ ไปนี้ (1) 3x +2y = 7 (2) 4x +5y = 8 วธิ ที า 1. เขียนสมการให้อย่ใู นรปู เมตริกซ์ 3 2  x   7 4 5  y  8 2. หาค่าตัวหารร่วม (Δ )  = 3 2 4 5  = 15 - 8 3. หาค่าของเศษ Δx =7 Δx = 7 2 8 5 Δx = 35 - 16 Δx = 19 4. หาคา่ ของเศษ Δy

หนว่ ยที่ 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 9 Δy = 3 7 (1) 4 8 (2) Δy = 24 - 28 Δy = -4 5. หาคา่ ตวั แปร x และ y x =Δx Δ 19 x = 7 x = 2.714 y = Δy Δ 4 y = 7 y = -0.571  x = 2.714 ตอบ  y = -0.571 ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า x และ y ลงในสมการ (1) และ (2) ดังน้ี (3×2.714) + (2×(-0.571)) = 7 8.142 + (-1.142) = 7 7 = 7 แสดงว่าถกู ต้อง (4×2.714) + (5×(-0.571)) = 8 10.856 + (-2.855) = 8 8 = 8 แสดงวา่ ถกู ต้อง ตัวอยา่ งท่ี 10.2 จงแก้สมการหาคา่ ของ x และ y ต่อไปนี้ 6x  4y  20 10x 12y  30 วธิ ที า 1. เขยี นสมการให้อย่ใู นรปู เมตริกซ์ 6 4  x   20 10 12  y  30 2.หาคา่ ตัวหารร่วม (Δ )

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 10  = 6 4 10 12  = 72 - 40 3. หาคา่ ของเศษ Δx  = 32 4. หาคา่ ของเศษ Δy Δx = 20 4 30 12 Δx = 240 - 120 Δx = 120 Δy = 6 20 10 30 Δy = 180 - 200 Δy = -20 5. หาคา่ ตวั แปร x และ y x =Δx Δ 120 x = 32 x = 3.75 y = Δy Δ 20 y = 32 y = -0.625  x = 3.75 ตอบ  y = -0.625 ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า x และ y ลงในสมการ (1) และ (2) ดังน้ี (6×3.75) + (4×(-0.625)) = 20 22.5 + (-2.5) = 20 20 = 20 แสดงวา่ ถูกต้อง (10×3.75) + (12×(-0.625)) = 30

หน่วยที่ 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 11 37.5 + (-7.5) = 30 30 = 30 แสดงวา่ ถูกต้อง 10.1.2 การแก้สมการทไ่ี ม่ทราบคา่ สามตัวแปร โดยทัว่ ไป สมการท่ีไม่ทราบค่าสามตวั แปรก็มลี กั ษณะแบบเดยี วกันกบั การแก้สมการท่ีไม่ ทราบค่าสองตัวแปร คอื ลกั ษณะดงั นี้ ax +by + cz = j …….………………………………………… (10.3) dx + ey + fz = k …….………………………………………… (10.4) gx +hy + iz = l …….………………………………………… (10.5) ในทีน่ ี้ x , y และ z เปน็ ตัวแปรท่ีไม่ทราบคา่ a , b , c ,d ,e ,f , g ,h , i เป็นสัมประสิทธข์ องตวั แปรท่ไี ม่ทราบคา่ j , k และ l เป็นค่าคงที่ ขน้ั ตอนการแก้สมการโดยใช้ดีเทอรม์ ิแนนต์ 1. นาสมการ (10.3) , (10.4) และสมการ (10.5) เขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปเมตรกิ ซ์ a b c x  j d  k  e f   y  =    g h i   z  l  2. หาคา่ ตัวหารรว่ ม (Δ ) จาการนาสัมประสิทธิ์ a , b , c ,d ,e ,f , g ,h , i มาหาคา่ ดีเทอรม์ ิแนนต์ โดยมีกฎอยูว่ ่า “คณู ทแยงลงเปน็ บวก คูณทแยงขึ้นเปน็ ลบ” และนาสองคอลัมน์แรก มาเขียนซา้ อกี ครงั้ ทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์ a b c a b  = d e f  d e  g h i  g h  = (aei+bfg+cdh) – (gec+hfa+idb) 3. หาค่าดีเทอร์มแิ นนต์ของค่าเศษ Δx โดยนาคา่ คงท่ี j , k และ l แทนคา่ ลงใน ตาแหน่งตวั แปร x และนาสองคอลัมน์แรกมาเขยี นซา้ อีกคร้ังทางดา้ นขวาของดีเทอร์มแิ นนต์ j b c j b Δx = k e f  k e  l h i  l h Δx = (jei+bfl+ckh) – (lec+hfj+ikb)

หนว่ ยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 12 4. หาคา่ ดีเทอร์มิแนนต์ของคา่ เศษ Δy โดยนาค่าคงที่ j , k และ l แทนคา่ ลงใน ตาแหนง่ ตวั แปร y และนาสองคอลมั น์แรกมาเขยี นซ้าอีกคร้ังทางดา้ นขวาของดเี ทอร์มแิ นนต์ a j c a j Δy = d k f  d k  g l i  g l Δy = (aki+jfg+cdl) – (gkc+lfa+idj) 5. หาคา่ ดเี ทอร์มแิ นนต์ของค่าเศษ Δz โดยนาคา่ คงที่ j , k และ l แทนคา่ ลงใน ตาแหนง่ ตัวแปร z และนาสองคอลัมน์แรกมาเขียนซ้าอีกครั้งทางด้านขวาของดเี ทอร์มิแนนต์ a b j a b Δz = d e k  d e  g h l  g h Δz = (ael+bkg+jdh) – (gej+hka+ldb) 6. หาค่าตัวแปร x , y และ z จากสมการ x = Δx Δ y = Δy Δ z = Δz Δ ตัวอยา่ งท่ี 10.3 จงแกส้ มการหาคา่ ของ x , y และ z ตอ่ ไปนี้ 5x + 2y + 4z = 2 (1) 2x + 4y + 6z =1 (2) 3x + 3y - 2z = 4 (3) วธิ ที า 1. เขยี นสมการให้อยใู่ นรูปเมตริกซ์

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 13 5 2 4  x 2 2 4  1 6   y  =   3 3 2  z  4 2. หาคา่ ตวั หารรว่ ม (Δ ) 5 2 4  5 2  = 2 4 6  2 4  3 3 2 3 3  = - 40 + 36 +24 – 48 - 90 + 8 3. หาค่าของเศษ Δx  = -110 2 2 4  2 2 Δx = 1 4 6  1 4  4 3 2 4 3 Δx = - 16 + 48 + 12 – 64 – 36 + 4 Δx = -52 4. หาค่าของเศษ Δy 5 2 4  5 2 Δy = 2 1 6  2 1  3 4 2 3 4 Δy = - 10 + 36 + 32 – 12 - 120 + 8 Δy = - 66 5. หาค่าของเศษ Δz 5 2 2 5 2 Δz = 2 4 1 2 4 3 3 4 3 3 Δy = 80 + 6 + 12 – 24 - 15 - 16 Δz = 43 6. หาคา่ ตัวแปร x , y และ z

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 14 x =Δx (1) Δ (2) x = - 52 (3) - 110 x = 0.473 y = Δy Δ y = - 66 - 110 y = 0.6 Δz z = Δ z = 43 - 110 z = -0.391  x = 0.473 ตอบ  y = 0.6 ตอบ  z = -0.391 ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า x ,y และ z ลงในสมการ (1) , (2) และ (3) ดังน้ี (5×0.473) + (2×0.6) + (4×(-0.391)) = 2 2.365 + 1.2 + (-1.564) = 2 2 = 2 แสดงว่าถูกต้อง (2×0.473) + (4×0.6) + (6×(-0.391)) = 1 0.946 + 2.4 + (-2.346) = 1 1 = 1 แสดงว่าถูกต้อง (3×0.473) + (3×0.6) + ((-2)×(-0.391)) = 4 1.419 + 1.8 + 0.782 = 4 4 = 4 แสดงว่าถูกต้อง ตวั อยา่ งท่ี 10.4 จงแกส้ มการหาค่าของ x , y และ z ตอ่ ไปน้ี x  3y  4z 14 x  2y  z  7 2x  y  2z  2 วธิ ีทา 1. เขยี นสมการให้อยูใ่ นรูปเมตริกซ์

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 15 1 3 4  x  14 1 1   2  y  =  7    2 1 2  z   2  2. หาคา่ ตวั หารรว่ ม (Δ ) 1 3 4 1 3  = 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1  = 4 + 6 + 4 – 16 - 1 - 6  = -9 3. หาคา่ ของเศษ Δx 14 3 4 14 3 Δx =  7 2 1 7 2   2 1 2 2 1 Δx = 56 + 6 + 28 – 16 – 14 - 42 Δx = 18 4. หาคา่ ของเศษ Δy 1 14 4 1 14 Δy = 1 7 1 1 7 2 2 2 2 2 Δy = 14 + 28 + 8 - 56 - 2 - 28 Δy = - 36 5. หาค่าของเศษ Δz 1 3 14 1 3 Δz = 1 2 7  1 2  2 1 2  2 1 Δz = 4 + 42 + 14 – 56 - 7 - 6 Δz = -9

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 16 6. หาคา่ ตัวแปร x , y และ z x =Δx Δ 18 x = -9 x = -2 y = Δy Δ -36 y = -9 y =4 Δz z = Δ z = -9 -9 z =1  x = -2 ตอบ  y = 4 ตอบ  z = 1 ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า x ,y และ z ลงในสมการ (1) , (2) และ (3) ดังน้ี (1×(-2)) + (3×4) + (4×1) = 14 -2 + 12 + 4 = 14 14 = 14 แสดงว่าถกู ต้อง (1×(-2)) + (2×4) + (1×1) = 7 -2 + 8 + 1 = 7 7 = 7 แสดงว่าถกู ต้อง (2×(-2)) + (1×4) + (2×1) = 2 -4 + 4 + 2 = 2 2 = 2 แสดงวา่ ถูกต้อง 10.2 กฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Current Law : KCL) กฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ กลา่ ววา่ “ณ จดุ ใด ๆ ในวงจรไฟฟา้ ผลรวมทางพชี คณิตของ กระแสไฟฟ้าที่ไหลเข้าและไหลออกมีค่าเท่ากับศนู ย์” หรือกลา่ วอีกนยั หนึง่ ว่า “ณ จุดใด ๆ ใน วงจรไฟฟ้า ผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่ไหลเข้าจะเท่ากบั ผลรวมของกระแสไฟฟา้ ท่ีไหลออก” ซง่ึ สามารถเขียนเปน็ สมการไดด้ งั น้ี

หนว่ ยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 17 ผลรวมของกระแสไฟฟา้ ที่ไหลเขา้ = ผลรวมของกระแสไฟฟา้ ทไี่ หลออก I2 I1 I5 I3 I4 รปู ท่ี 10.4 กฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ 5 สาขา จากรปู ท่ี 10.4 จะเห็นไดว้ า่ กระแสท่ีไหลเขา้ คือ I1 , I3 และ I4 ส่วนกระแสท่ีไหลออก คอื I2 และ I5 ปกตแิ ล้วกระแสท่ีไหลเข้าทั้งหมดมคี า่ เป็นบวกและกระแสทีไ่ หลออกทง้ั หมดมีค่าเป็นลบ ดงั นั้นเม่ือเขยี นเป็นสมการได้ดงั นี้ คอื I1+ I3 + I4 = I2 + I5 ....…….…………………… (10.6) หรือ I1- I2 + I3 + I4 - I5 = 0 .………………………….. (10.7) หรือ I = I1- I2 + I3 + I4 - I5 = 0 I = 0 .............…….…………………………… (10.8) ตัวอย่างที่ 10.5 จากรปู ท่ี 10.5 จงหาค่ากระแส I5 กาหนดให้ I1 = 2 A , I2 = 3.5 A , I3 = 1.5 A , I4 = 1 A I2 I1 I5 I3 I4 รปู ที่ 10.5 กฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ ตามตวั อยา่ งที่ 10.5 วธิ ีทา จากกฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ จะได้สมการดงั น้ี I1- I2 + I3 + I4 - I5 = 0 หรอื I5 = I1- I2 + I3 + I4 I5 = 2 A - 3.5 A + 1.5 A + 1 A I5 = 1 A  ค่ากระแส I5 = 1 แอมแปร์ ตอบ

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 18 ตวั อย่างที่ 10.6 จากรปู ท่ี 10.6 จงหาคา่ กระแส I4 กาหนดให้ I1 = 3 A , I2 = 1 A , I3 = 5 A , I5 = 4 A , I6 = 6 A I1 I2 I6 I5 I3 I4 รปู ที่ 10.6 กฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ ตามตวั อยา่ งท่ี 10.6 วธิ ีทา จากกฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ จะได้สมการดังน้ี I1+ I2 + I3 + I5 = I4 + I6 หรือ I4 = I1+ I2 + I3 + I5 - I6 I4 = 3 A + 1 A + 5 A + 4 A - 6 A I4 = 7 A  ค่ากระแส I4 = 7 แอมแปร์ ตอบ 10.3 กฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Voltage Law : KVL) กฎแรงดันไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ กล่าวว่า “ในวงจรไฟฟ้าปิดใด ๆ ผลรวมทางพีชคณิตของ แรงดันไฟฟ้ามีค่าเท่ากับศูนย์” หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า “ในวงจรไฟฟ้าปิดใด ๆ ผลรวมทางพีชคณิต ของแรงดันไฟฟ้าท่ีตกคร่อมตัวต้านทานแต่ละตัวจะเท่ากับแรงดันท่ีแหล่งจ่าย” ซ่ึงเราสามารถเขียน เปน็ สมการไดด้ งั น้ี ผลรวมของแรงดันไฟฟา้ ท่ีจ่ายให้กบั วงจร = ผลรวมของแรงดันไฟฟา้ ที่ตกคร่อมความต้านท้งั วงจร IT R1 V1 E1 V2 R2 E2 V3 R3 รูปท่ี 10.7 กฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอรช์ อฟฟ์ จากรูปที่ 10.7 จะเห็นได้ว่า แรงดันไฟฟ้าที่แหล่งจ่ายให้กับวงจร คือ E 1และ E 2 ส่วน แรงดันไฟฟา้ ทต่ี กครอ่ มตวั ตา้ นทานของวงจร คอื V1 , V2 และ V3 เขียนสมการแรงดันไฟฟ้าได้ดงั นี้

หน่วยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 19 E1 + E2 = V1+V2 +V3 …….……............………………. (10.9) หรือ E1 + E2 -V1-V2 -V3 = 0 ……............…………………….. (10.10) หรอื E = E1 + E2 - V1 - V2 - V3 = 0 .…………………….(10.11) ตัวอย่างท่ี 10.7 จากรูปท่ี 10.8 จงหาค่าของ V1 กาหนดให้ E1 = 2 V , E2 = 1.5 V , V2 = 1.25 V , V3 = 0.25 V IT R1 V1 E1 V2 R2 E2 V3 R3 รปู ท่ี 10.8 กฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ ตามตวั อย่างที่ 10.7 วธิ ที า จากกฎแรงดนั ไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ จะได้สมการดงั นี้ E1 + E2 = V1+V2 +V3 หรอื V1 = E1 + E2 -V2 -V3 V1 = 2 V + 1.5 V - 1.25 V - 0.25 V V1 = 2 V  ค่าแรงดนั ไฟฟ้าตกคร่อมตัวต้านทาน V1 = 2 โวลต์ ตอบ ตวั อยา่ งท่ี 10.8 จากรูปที่ 10.9 จงหาค่าของ V1 กาหนดให้ E1 = 10 V , E2 = 8 V ,V2 = 1.5 V IT R1 V1 E1 E2 V2 R2 รูปที่ 10.9 กฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ ตามตัวอย่างที่ 10.8 วธิ ีทา

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 20 จากกฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอรช์ อฟฟ์ จะไดส้ มการดงั นี้ E1 - E2 = V1+V2 หรอื V1 = E1 - E2 -V2 V1 = 10 V - 8 V - 1.5 V V1 = 0.5 V  ค่าแรงดันไฟฟ้าตกครอ่ มตวั ต้านทาน V1 = 0.5 โวลต์ ตอบ 10.4 การเขียนสมการแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้าโดยใช้กฎของเคอรช์ อฟฟ์ ในการแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้า โดยใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์ มีขั้นตอนดังนี้ A R1 B R2 C E1 V1 I1 I2 V2 V3 R3 E2 I3 FE D รปู ท่ี 10.10 วงจรไฟฟา้ 2 ลูป สาหรับการวิเคราะห์กฎของเคอรช์ อฟฟ์ 1. ตั้งช่ือลปู (Loop) หรอื วงรอบ ซงึ่ วงจรน้มี ี 2 ลปู คอื ลปู ABEFA และลูป BCDEB และ กาหนดทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในแต่ละสาขาของวงจร โดยกาหนดใหก้ ระแสไฟฟ้าไหล เขา้ จดุ หรือไหลออกจากจุดก็ได้ ดังรูปท่ี 10.10 2. เขียนสมการกระแสไฟฟ้าตามกฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ท่ี กล่าวว่า ผลรวมของ กระแสไฟฟา้ ทไ่ี หลเขา้ จดุ เทา่ กับผลรวมของกระแสไฟฟ้าท่ีไหลออกจากจุด จะได้ I1+ I2 = I3 ….………....…………………...…………(10-12) 3. เขียนสมการแรงดันไฟฟ้าตามกฎแรงดันไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ท่ีกล่าวว่า ผลรวมทาง พีชคณิตของแรงดันไฟฟ้าท่ีตกคร่อมตัวต้านทานแต่ละตัวเท่ากับแรงดันไฟฟ้าท่ีแหล่งจ่าย โดย พิจารณาทีละลูป ในส่วนของการใส่เครื่องหมายหน้าแรงดันไฟฟ้าท่ีตกคร่อมตัวต้านทานมีวิธีการ พิจารณาคือ หากพิจารณาลูปไปในทางเดียวกันกับทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้า จะได้ เคร่ืองหมายหน้าแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวต้านทานเป็นบวก และหากพิจารณาลูปไปในทางสวน กับทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้า จะได้เคร่ืองหมายหน้าแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวต้านทาน เป็นลบ ในส่วนของการใส่เครื่องหมายหน้าแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ามีวิธีการพิจารณาคือ หาก พิจารณาแหลง่ จา่ ยแรงดันไฟฟา้ จากข้ัวลบไปขวั้ บวกได้เคร่ืองหมายบวก และหากพิจารณาแหล่งจา่ ย แรงดันไฟฟ้าจากขั้วบวกไปขั้วลบได้เครื่องหมายลบ จากดังรูปที่ 10.10 เขียนสมการแรงดันไฟฟ้า ไดด้ งั นี้ พิจารณาลูป ABEF (ทางเดยี วกบั ทิศทางการไหลของกระแสไฟฟา้ I1 และ I3 ) จะได้

หน่วยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 21 V1 + V3 = E1 จากกฎของโอหม์ E = I × R โดยกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่าน R1 คือ I1 และกระแสไฟฟ้าท่ี ไหลผ่าน R3 คอื I3 จะได้ I1R1+ I3R3 = E1 ….……………………………………. (10-13) แทนสมการท่ี (10-12) ลงใน สมการท่ี (10-13) จะได้ I1R1+ ( I1 + I2 ) R3 = E1 I1R1 + I1R3 + I2R3 = E1 I1( R1 + R3 )+ I2R3 = E1 ……..……………….....…… (10-14) พจิ ารณาลูป CBED (ทางเดียวกบั ทิศทางกระแสไฟฟ้า I2 และ I3 ) จะได้ V2 + V3 = E2 จากกฎของโอห์ม E = I × R โดยกระแสไฟฟา้ ที่ไหลผา่ น R2 คือ I2 และกระแสไฟฟา้ ท่ี ไหลผ่าน R3 คือ I3 จะได้ I2R2 + I3R3 = E2 .....……………………………………. (10-15) แทนสมการท่ี (10-12) ลงใน สมการที่ (10-15)จะได้ I2R2 + ( I1+ I2 ) R3 = E2 I2R2 + I1R3 + I2R3 = E2 I1 R3 + I2 ( R2 + R3 ) = E2 ................………………... (10-16) หากลองเขยี นสมการแรงดันไฟฟา้ ในลปู ที่ 2 ใหม่ โดยจะพิจารณาสวนทางกับทศิ ทางของ กระแสไฟฟา้ I2 และ I3 ดังน้ี พิจารณาลปู BCDE จะได้ -V2 -V3 = - E2 -I2R2 -I3R3 = - E2 …….……………………….…………(10-17) แทนสมการท่ี (10-12) ลงใน สมการที่ (9-17) จะได้ - I2R2 - ( I1+ I2 ) R3 = - E2 - I2R2 - I1R3 - I2R3 = - E2 - I1 R3 - I2 ( R2 + R3 ) = - E2 ................................…...……... (10-18)

หน่วยที่ 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 22 เมื่อเปรียบเทยี บสมการที่ (10-16) กบั สมการท่ี (10-18) จะเหน็ ว่าสมการเหมือนกัน แต่ ตา่ งกันที่เครื่องหมาย 4. นาสมการแรงดันของเคอรช์ อฟฟ์ที่ (10-14) และสมการแรงดันของเคอรช์ อฟฟ์ (10-16) โดย เขียนในรูปของเมทรกิ ซ์และแก้สมการดว้ ยดีเทอร์มิแนนท์ หาคา่ ตา่ ง ๆ ตามที่ต้องการ หากค่าผลลพั ธ์ ของกระแสไฟฟ้าทค่ี านวณได้มีค่าเป็นบวก แสดงว่าการกาหนดและสมมติทิศทางถูกต้อง แต่ถ้าคา่ ผลลัพธข์ องกระแสไฟฟา้ ท่ีคานวณไดม้ ีค่าเปน็ ลบ แสดงวา่ การกาหนดและสมมติทิศทางตรงขา้ มกบั ทิศทางของกระแสท่ีกาหนดไว้ 10.5 การแกป้ ัญหาวงจรไฟฟ้า โดยใช้กฎของเคอร์ชอฟฟ์ จากหลักการการเขียนสมการแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้าในหัวข้อที่ผ่านมาสามารถนามาแก้ปัญหา วงจรไฟฟา้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างท่ี 10.9 จากวงจรไฟฟ้า ในรูปที่ 10.11 จงคานวณหาค่ากระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตวั ต้านทานตวั แตล่ ะตวั ; IR1 , IR2 , IR3 R1 = 2 Ω R2 = 6 Ω E1 = 6 V R3 = 4 Ω E2 = 3 V รปู ท่ี 10.11 วงจรไฟฟา้ ตามตวั อยา่ งท่ี 10.9 วธิ ีทา 1. ต้ังชื่อลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในแต่ละสาขาของวงจร ดังรูปที่ 10.12 A R1 = 2 Ω B R2 = 6 Ω C I1 I2 E1 = 6 V R3 = 4 Ω E2 = 3 V I3 FED รูปท่ี 10.12 แสดงการตัง้ ชื่อลูปและกาหนดทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้า ตามตวั อย่างที่ 10.9 2. เขยี นสมการกระแสตามกฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ จะได้ (1) I3 = I1+ I2 3. เขียนสมการแรงดันตามกฎแรงดนั ไฟฟา้ ของเคอรช์ อฟฟ์ พิจารณาลปู ABEF จะได้ I1R1 + I3R3 = E1

หนว่ ยที่ 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 23 2 Ω I1+ 4 Ω I3 = 6 V (2) (3) แทนสมการที่ (1) ลงใน สมการท่ี (2) จะได้ (4) 2 Ω I1+ 4 Ω ( I1+ I2 ) = 6 V 2 Ω I1+ 4 Ω I1+ 4 Ω I2 = 6 V 6 Ω I1+ 4 Ω I2 = 6V พจิ ารณาลปู CBED จะได้ I2R2 + I3R3 = E2 6 Ω I2 + 4 Ω I3 = 3 V แทนสมการที่ (1) ลงใน สมการที่ (4) จะได้ 6 Ω I2 + 4 Ω ( I1+ I2 ) = 3 V (5) 4 Ω I1+ 10 Ω I2 = 3 V 4. นาสมการที่ (3) และสมการท่ี (5) มาเขยี นโดยใช้รปู แบบของเมตริกซแ์ ละดีเทอร์ มแิ นนท์ จะได้ 6 4 I 1   6 4 10 I 2  3  = 6 4 4 10  = (6×10) – (4×4)  = 60 – 16  = 44  = 6 4 3 10  = (6×10) – (3×4)  = 60 – 12  = 48  = 6 6 4 3  = (6×3) – (4×6)  = 18 – 24  = -6 I1 = Δ1 Δ

หน่วยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 24 I1 = 48 44 I1 = 1.091 A I2 = Δ2 Δ I2 = -6 44 I2 = -0.136 A I3 = I1+ I2 I3 = 1.091 A + (-0.136 A) I3 = 0.955 A หมายเหตุ ผลลัพธ์ของคา่ I2 ไดค้ า่ เปน็ ลบ แสดงวา่ ทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าท่ี แทจ้ ริงตรงขา้ มกับทิศทางของกระแสไฟฟา้ ท่ีกาหนดไว้ กระแสไฟฟา้ ที่ไหลผ่านตัวตา้ นทาน R1= IR1 = I1 = 1.091 แอมแปร์ ตอบ กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตวั ต้านทาน R2 = -IR2 = -I2 = -0.136 แอมแปร์ ตอบ กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน R3 = IR3 = I3 = 0.955 แอมแปร์ ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า I1 และ I2 ลงในสมการ (3) และ (5) ดังน้ี (6×1.091) + (4×(-0.136)) = 6 6.546 + (-0.544 ) = 6 6 = 6 แสดงว่าถูกตอ้ ง (4×1.091) + (10×(-0.136)) = 3 4.364 + (-1.36 = 3 3 = 3 แสดงว่าถูกตอ้ ง ตัวอยา่ งท่ี 10.10 จากวงจรไฟฟ้า ในรปู ที่ 10.13 จงคานวณหาค่ากระแสไฟฟา้ ท่ีไหลผา่ นตวั ตา้ นทานตวั แตล่ ะตวั ; IR1 , IR2 , IR3 , IR4 R1 = 2 Ω R2 = 4 Ω E1 = 25 V R3 = 5 Ω E3 = 9 V E2 = 4 V R4 = 3 Ω รปู ท่ี 10.13 วงจรไฟฟ้า ตามตวั อยา่ งท่ี 10.10 วิธที า

หนว่ ยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 25 1. ตั้งช่ือลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในแต่ละสาขาของวงจร ดังรูปท่ี 10.14 A R1 = 2 Ω B R2 = 4 Ω C E1 = 25 V I1 R3I2= 5 Ω E3 = 9 V I3 E2 = 4 V R4 = 3 Ω FED รูปที่ 10.14 แสดงการตั้งชอ่ื ลูปและกาหนดทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้า ตามตวั อยา่ งที่ 10.10 2. เขยี นสมการกระแสตามกฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ จะได้ I1 = I2 + I3 I3 = I1- I2 (1) 3. เขียนสมการแรงดันตามกฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ พิจารณาลปู ABEF จะได้ = E1 + E2 I1R1 + I3R3 + I1R4 2 Ω I1+ 5 Ω I3 + 3 Ω I1 = 25 V + 4 V (2) แทนสมการท่ี (1) ลงใน สมการที่ (2) จะได้ 2 Ω I1+ 5 Ω ( I1- I2 ) + 3 Ω I1 = 29 V 2 Ω I1+ 5 Ω I1 - 5 Ω I2 + 3 Ω I1 = 29 V (3) 10 Ω I1- 5 Ω I2 = 29 V พิจารณาลูป CBED จะได้ I2R2 - I3R3 = E3 - E2 4 Ω I2 - 5 Ω I3 = 9 V - 4 V (4) แทนสมการท่ี (1) ลงใน สมการที่ (4) จะได้ 4 Ω I2 + 5 Ω ( I1- I2 ) = 5 V 4 Ω I2 - 5 Ω I1 + 5 Ω I2 = 5 V (5) -5 Ω I1+ 9 Ω I2 = 5 V 4. นาสมการที่ (3) และสมการที่ (5) มาเขยี นโดยใช้รปู แบบของเมตริกซ์และดเี ทอร์ มิแนนท์ จะได้ 10 –5 I1   29 –5 9  I 2   5 

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 26  = 10 –5 –5 9   = (10×9) – ((-5)×(-5))  = 90 – 25  = 65  = 29 –5  5 9   = (29×9) – (5×(-5))  = 261 + 25  = 286  = 10 29 –5 5   = (10×9) – ((-5)×29)  = 50 + 145  = 195 I1 = Δ1 Δ I1 = 286 65 I1 = 4.4 A I2 = Δ2 Δ I2 = 195 65 I2 = 3 A I3 = I1- I2 I3 = 4.4 A -3 A I3 = 1.4 A  กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตัวตา้ นทาน R1 = IR1 = I1 = 4.4 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตวั ต้านทาน R2 = IR2 = I2 = 3 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ นตัวต้านทาน R3 = IR3 = I3 = 1.4 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟา้ ท่ีไหลผา่ นตัวตา้ นทาน R4 = IR4 = I4 = 4.4 แอมแปร์ ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า I1 และ I2 ลงในสมการ (3) และ (5) ดังน้ี

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 27 (10×4.4) - (5×3) = 29 44 - 15 = 29 29 = 29 แสดงวา่ ถกู ต้อง ((-5)×4.4) + (9×3) = 5 -22 + 27 = 5 5 = 5 แสดงว่าถกู ต้อง ตัวอยา่ งที่ 10.11 จากวงจรไฟฟ้า ในรปู ท่ี 10.15 จงคานวณหาคา่ กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผ่านตัว ต้านทานตวั แตล่ ะตวั ; IR1 , IR2 , IR3 , IR4 R1 = 5 Ω R2 = 5 Ω E1 = 5 V R3 = 3 Ω E2 = 2 V R4 = 2 Ω รปู ท่ี 10.15 วงจรไฟฟา้ ตามตัวอยา่ งท่ี 10.11 วิธีทา 1. ต้ังช่ือลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในแต่ละสาขาของวงจร ดังรูปที่ 10.16 A R1 = 5 Ω B R2 = 5 Ω C E1 = 5 V I1 I2 E2 = 2 V R3 = 3 Ω I3 F E R4 = 2 Ω D รูปท่ี 10.16 แสดงการต้ังชือ่ ลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟา้ ในวงจรไฟฟ้า ตามตวั อย่างท่ี 10.11 2. เขียนสมการกระแสตามกฎกระแสไฟฟ้าของเคอรช์ อฟฟ์ จะได้ (1) I2 = I1+ I3 (2) I3 = I2 - I1 3. เขยี นสมการแรงดนั ตามกฎแรงดนั ไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ พจิ ารณาลปู ABEF จะได้ I1R1 - I3R3 = - E1 5 Ω I1- 3 Ω I3 = - 5 V แทนสมการท่ี (1) ลงใน สมการท่ี (2) จะได้

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 28 5 Ω I1- 3 Ω ( I2 - I1) = -5 V (3) 5 Ω I1- 3 Ω I2 + 3 Ω I1 = -5 V 8 Ω I1- 3 Ω I2 = -5 V พิจารณาลปู CBED จะได้ = - E2 I2R2 + I2R4 + I3R3 5 Ω I2 +2 Ω I2 + 3 Ω I3 = - 2 V (4) แทนสมการที่ (1) ลงใน สมการท่ี (4) จะได้ 5 Ω I2 +2 Ω I2 + 3 Ω ( I2 - I1) = - 2 V 5 Ω I2 +2 Ω I2 + 3 Ω I2 - 3 Ω I1 = - 2 V - 3 Ω I1+ 10 Ω I2 = - 2 V (5) 5. นาสมการที่ (3) และสมการท่ี (5) มาเขยี นโดยใชร้ ูปแบบของเมตริกซ์และดเี ทอร์ มแิ นนท์ จะได้ 8 –3 I 1    –5 –3 10  I 2   –2  = 8 –3 –3 10   = (8×10) – ((-3)×(-3))  = 80 – 9  = 71  = –5 –3 –2 10   = ((-5)×10) – ((-2)×(-3))  = (-50) – 6  = -56  = 8 –5  –3 2  = (8×(-2)) – ((-3)×(-5))  = (-16) – 15  = -31 I1 = Δ1 Δ I1 = -56 71

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 29 I1 = -0.788 A I2 = Δ2 Δ I2 = -31 71 I2 = -0.437 A I3 = I2 - I1 I3 = - 0.437 A - (- 0.788 A) I3 = 0.351 A หมายเหตุ ผลลัพธ์ของค่า I1 และ I2 ได้ค่าเป็นลบ แสดงว่าทิศทางการไหลของ กระแสไฟฟ้าทแี่ ท้จรงิ ตรงข้ามกบั ทศิ ทางของกระแสไฟฟา้ ที่กาหนดไว้  กระแสไฟฟา้ ท่ีไหลผ่านตวั ต้านทาน R1 = - IR1 = - I1 = -0.788 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟา้ ที่ไหลผา่ นตัวตา้ นทาน R2 = IR2 = - I2 = -0.437 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน R3 = IR3 = I3 = 0.351 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟา้ ท่ีไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน R4 = IR4 = - I2 = -0.437 แอมแปร์ ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า I1 และ I2 ลงในสมการ (3) และ (5) ดังนี้ (8×(-0.788)) - (3×(-0.437)) = -5 -6.304 - (-1.311) = -5 -5 = -5 แสดงวา่ ถกู ต้อง ((-3)×(-0.788)) + (10×(-0.437)) = -2 2.364 + (-4.37) = -2 -2 = -2 แสดงวา่ ถูกต้อง ตวั อย่างที่ 10.12 จากวงจรไฟฟ้า ในรปู ท่ี 10.17 จงคานวณหาค่ากระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ นตัว ต้านทานตวั แตล่ ะตัว ; IR1 , IR2 R2 = 2 Ω R1 = 8 Ω E1 = 5 V E2 = 2 V รปู ที่ 10.17 วงจรไฟฟา้ ตามตวั อย่างท่ี 10.12 วิธที า 1. ต้ังช่ือลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในแต่ละสาขาของวงจร ดังรูปที่ 10.18

หนว่ ยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 30 B R2 = 2 Ω C A I2 I1 R1 = 8 Ω D I1 I2 E1 = 5 V FE E2 = 2 V รูปที่ 10.18 แสดงการต้งั ช่ือลูปและกาหนดทศิ ทางการไหลของกระแสไฟฟา้ ในวงจรไฟฟ้า ตามตวั อยา่ งท่ี 10.12 2. เขยี นสมการแรงดนั ตามกฎแรงดันไฟฟา้ ของเคอรช์ อฟฟ์ พิจารณาลปู ABCD จะได้ I1R1 + I2R2 = E1 8 Ω I1+ 2 Ω I2 = 5 V (1) พจิ ารณาลูป AFED จะได้ I1R1 = E1 - E2 8 Ω I1 = 5 V - 2 V (2) 8 Ω I1 = 3 V 3. นาสมการที่ (1) และสมการที่ (2) มาเขยี นโดยใชร้ ูปแบบของเมตริกซ์และดเี ทอร์มแิ นนท์ จะได้ 8 2  I1   5 8 0  I2  3  = 8 2 8 0  = -(8×2)  = -16  = 5 2 3 0  =– (3×2)  = – 6  = 8 5 8 3  = (8×3) – (8×5)

หน่วยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 31  = 24 – 40  = -16 I1 = Δ1 Δ I1 = -6 -16 I1 = 0.375 A I2 = Δ2 Δ I2 = -16 -16 I2 = 1 A  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวตา้ นทาน R1 = IR1 = I1 = 0.375 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟา้ ที่ไหลผ่านตวั ต้านทาน R2 = IR2 = I2 = 1 แอมแปร์ ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า I1 และ I2 ลงในสมการ (1) และ (2) ดงั น้ี (8×0.375) + (2×1) = 5 3+2 = 5 5 = 5 แสดงวา่ ถกู ต้อง (8×0.375) = 3 3 = 3 แสดงวา่ ถกู ตอ้ ง ตวั อย่างที่ 10.13 จากวงจรไฟฟา้ ในรปู ท่ี 10.19 จงคานวณหาค่ากระแสไฟฟ้าท่ีไหลผา่ นตัว ต้านทานตวั แต่ละตัว ; IR1 , IR2 , IR3 , IR4 , IR5 , IR6 R1 = 1 Ω E1 = 12 V R2 = 1 Ω R4 = 5 Ω R6 = 2 Ω E2 = 2 V R3 = 1 Ω R5 = 4 Ω รปู ท่ี 10.19 วงจรไฟฟา้ ตามตัวอย่างท่ี 10.13 วิธที า 1. ต้ังช่ือลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในแต่ละสาขาของวงจร ดังรูปท่ี 10.20

หน่วยที่ 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 32 B R1 = 1 Ω C I1 I2 E1 = 12 V I1 I2 R4 = 5 Ω A R6 = 2 Ω R2 = 1 Ω D R5 = 4 Ω E2 = 2 V I3 2I 3I E F R3 = 1 Ω I1 I3 รปู ที่ 10.20 แสดงการตง้ั ช่อื ลูปและกาหนดทิศทางการไหลของกระแสไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้า ตามตัวอยา่ งที่ 10.13 2. เขยี นสมการแรงดนั ตามกฎแรงดนั ไฟฟา้ ของเคอร์ชอฟฟ์ พิจารณาลูป ABCD จะได้ I1R1 + I2R4 + I3R2 = E1 1 Ω I1+ 5 Ω I2 + 1 Ω I3 = 12 V (1) พจิ ารณาลปู ADEF จะได้ - I3R2 + ( I2 - I3 ) R5 +( I1- I3 ) R3 = E2 - 1 Ω I3 + 4 Ω ( I2 - I3 ) + 1 Ω( I1- I3 ) = 2 V (2) พจิ ารณาลูป DEC จะได้ ( I2 - I3 ) R5 - ( I1 - I2 ) R6 + I2R4 =0 4 Ω ( I2 - I3 ) - 2 Ω ( I1- I2 ) + 5 Ω I2 = 0 (3) จากสมการท่ี (1) จะได้ 1 Ω I1+ 5 Ω I2 + 1 Ω I3 = 12 V (4) จากสมการท่ี (2) จะได้ 1 Ω I1+ 4 Ω I2 - 6 Ω I3 = 2 V (5) จากสมการท่ี (3) จะได้ - 2 Ω I1+ 11 Ω I2 - 4 Ω I3 = 0 V (5) 3. นาสมการที่ (4) , (5) และสมการที่ (6) มาเขยี นโดยใชร้ ูปแบบของเมตริกซแ์ ละดเี ทอร์ มแิ นนท์ จะได้  1 5 1  I1 12  –6 I     1 4 2  =  2  –2 11 –4 I3  0  1 5 11 5  –6 1  =  1 4 4 –2 11 –4 –2 11  = -16 + 60 +11 + 8 + 66 + 20  = 149

หนว่ ยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 33 12 5 1 12 5  4 –6 2 =  2 4  0 11 –4 0 11 = - 192 + 22 +792 + 40  = 662  1 12 1  1 12  2 –6 1  =  1 2 –2 0 –4 –2 0 = -8 + 144 + 4 + 48  = 188  1 5 12 1 5    =  1 4 2  1 4 –2 11 0  –2 11 = -20 + 132 + 96 -22  = 186 I1 = Δ1 Δ 662 I1 = 149 I1= 4.443 A Δ2 I2 = Δ I2 = 188 149 I2 = 1.262 A Δ3 I3 = Δ I3 = 186 149 I3 = 1.248 A คา่ ของ I1- I2 = 4.443 A - 1.262 A I1- I2 = 3.181 A คา่ ของ I1- I3 = 4.443 A - 1.248 A

หน่วยท่ี 10 กฎของเคอรช์ อฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 34 I1- I3 = 3.195 A คา่ ของ I2 - I3 = 1.262 A - 1.248 A I2 - I3 = 0.014 A  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ นตัวต้านทาน R1 = IR1 = I1 = 4.443 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวต้านทาน R2 = IR2 = I3 = 1.248 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผา่ นตัวต้านทาน R3 = IR3 = I1- I3 = 3.195 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวต้านทาน R4 = IR4 = I2 = 1.262 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวตา้ นทาน R5 = IR5 = I2 - I3 = 0.014 แอมแปร์ ตอบ  กระแสไฟฟ้าท่ีไหลผ่านตัวต้านทาน R6 = IR6 = I1- I2 = 3.181 แอมแปร์ ตอบ ตรวจคาตอบ แทนค่า I1, I2 และ I3 ลงในสมการ (4) , (5) และ (6) ดังน้ี (1×4.443) + (5×1.262) + (1×1.248) = 12 4.443 + 6.31+1.248 = 12 12 = 12 แสดงวา่ ถกู ต้อง (1×4.443) + (4×1.262) + ((-6)×1.248) = 2 4.443 + 5.048 - 7.488 = 2 2 = 2 แสดงวา่ ถูกต้อง ((-2)×4.443) + (11×1.262) + ((-4)×1.248) = 0 -8.886 + 13.882 -4.992 = 0 0 = 0 แสดงว่าถกู ต้อง

หน่วยที่ 10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff’s Law) 35 กฎของเคอร์ชอฟฟ์มี 2 กฎ คือ กฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์และกฎแรงดันไฟฟ้าของ เคอร์ชอฟฟ์ กฎกระแสไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ กล่าวว่า “ณ จุดใด ๆ ในวงจรไฟฟ้า ผลรวมทาง พชี คณิตของกระแสไฟฟ้าที่ไหลเข้าและไหลออกมีคา่ เท่ากบั ศูนย์” หรือกล่าวอีกนัยหน่ึงว่า “ณ จุดใด ๆ ในวงจรไฟฟ้า ผลรวมของกระแสไฟฟ้าท่ีไหลเข้าจะเท่ากับผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่ไหลออก” กฎแรงดันไฟฟ้าของเคอร์ชอฟฟ์ กล่าวว่า “ในวงจรไฟฟ้าปิดใด ๆ ผลรวมทางพีชคณิตของ แรงดันไฟฟ้ามีค่าเท่ากับศูนย์” หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า “ในวงจรไฟฟ้าปิดใด ๆ ผลรวมทางพีชคณิต ของแรงดันไฟฟ้าท่ตี กครอ่ มตวั ต้านทานแตล่ ะตัวจะเท่ากับแรงดันท่ีแหล่งจา่ ย” นาทฤษฎีทั้งสองไปใช้ ในการเขียนสมการโดยพจิ ารณาทีละลปู แล้วใช้ดีเทอร์มิแนนตใ์ นการแก้สมการ ซงึ่ ทาได้สะดวกและ รวดเร็วย่งิ ข้นึ