Delta de Dirac

Introduccio´ n a la funcio´ n Delta de Dirac (δ Dirac) Escuela Superior de F´ısica y Matema´ ticas (ESFM-IPN) Miranda Guzma´ n Jonathan 19 de julio de 2019

I´ndice general 1. Generalidades 3 2. Abstraccio´ n matema´tica 5 2.1. Un ejemplo cla´ sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Propiedades funcio´ n δ de Dirac 7 3.1. Conceptos y procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Casos y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Aplicacio´ n 11 1

Prefacio Los funcionales o funciones generalizadas son un campo de estudio complejo que nos proporciona diversas herramientas u´ tiles en problemas de f´ısica d´ıficiles de re- solver; por ello, n el presente documento se explicara´ de manera breve la definicio´ n, interpretacio´ n y operaciones ba´ sicas del funcional denominado δ de Dirac. Adema´ s, se dara´ una aplicacio´ n sencilla del mismo en un problema cla´ sico de electromagnetismo. Este breve curso va enfocado a estudiantes de nivel superior con nociones ba´ sicas del ca´ lculo y electromagnetismo, elcurso abarca una pequen˜ a fraccio´ n del temario pa- ra el curso Me´ todos matema´ ticos para la f´ısica I de la Escuela Superior de F´ısica y Matema´ticas del Instituto Polite´ cnico Nacional. Figura 1: Clases particulares +MATh 2

Cap´ıtulo 1 Generalidades Absolutamente todos hemos estado familiarizados con un feno´ meno f´ısico puntual, un ejemplo de ello es un bateador de baseball golpeando la bola que le han lanzado; inmediatamente notamos un par de cosas: 1. La trayectoria de la bola al ser impactada por el bate cambia instanta´ neamente ante nuestros ojos. 2. El tiempo de contacto entre ambos objetos es muy corto. Dicho esto, notemos que dentro de este feno´ meno existen un concepto muy importan- te: Evento puntual Tambie´n llamado evento instanta´ neo o concentrado es un suceso que ocurre de manera muy ra´ pida o esta´ concentrado en un espacio muy pequen˜ o. Para entender gra´ ficamente este ejemplo, visualizaremos el siguiente gra´ fico de la fuerza aplicada a la bola por el bate en funcio´ n del tiempo: 3

CAPI´TULO 1. GENERALIDADES 4 Figura 1.1: δ de Dirac

Cap´ıtulo 2 Abstraccio´ n matema´tica No´ tese que el pico es muy delgado y bastante alto. Si abstraemos ese gra´ fico ha- ciendo el pico de la funcio´ n muy alto y estrecho (Centrando el pico para t = 0) entonces podemos hablar de la funcio´ n δ de Dirac, que aunque no cumple la definicio´ n formal de funcio´ n, puede tener un comportamiento similar. Aclarado esto, definimos la fun- cio´ n co´ mo sigue: Definicio´ n 1 La funcio´ n generalizada o funcio´ n Delta de Dirac se describe matema´ ti- camente por:  (2.1) δ(x) =  0 si x a  ∞ si x = 0 Adema´ s, cumple una propiedad bastante interesante, dada por: ∞ (2.2) δ(t)dt = 1 0 NOTA 1. : En nuestro ejemplo la variable es el tiempo i.e x = t y adema´ s por la construccio´ n que le hemos dado a = 0. OBSERVACIO´ N : La propiedad de la integral implica que el A´ rea bajo la curva de un pico extremadamente delgado y alto es 1 (¿Co´ mo es posible?). 5

CAPI´TULO 2. ABSTRACCIO´ N MATEMA´ TICA 6 2.1. Un ejemplo cla´sico Una vez definida la funcio´ n δ de Dirac, tomemos el ejemplo de una part´ıcula pun- tual, cuya masa puede determinarse a partir de su densidad y volumen por la expre- sio´ n: M = ρV Sin embargo, para un objeto muy pequen˜ o, la densidad se concentra en un espacio minu´ sculo, haciendo que su valor en esa regio´ n sea muy grande, por lo que podemos modelarlo con una delta de Dirac, siendo la densidad una funcio´ n de la posicio´ n en el espacio en el que se encuentra. Matema´ ticamente se expresa por: ρ(r) = Mδ(r) (2.3) NOTA 2. : No´ tese que la masa total de la part´ıcula se modela en un so´ lo punto (En este caso en r = 0) donde se entiende que en este punto la densidad es infinita por la definicio´ n (2.1), i.e: ρ(0) = ∞ (2.4) As´ı, expresamos la masa de la part´ıcula en todo el espacio del universo por: M = ρ(r)dV (2.5) Todo el espacio O en coordenadas cartesianas se reescribe usando (2.3) y (2.2): +∞ +∞ +∞ M δ(x)δ(y)δ(z)dxdydz −∞ −∞ −∞ Agrupando: +∞ +∞ +∞ M=M δ(x)dx (δ(y )d y bi g ] δ(z)dz −∞ −∞ −∞ Teniendo por resultado: M =M Lo cual nos indica que el ana´ lisis es equivalente a la forma cla´ sica que conocemos, so´ lo que usamos un me´todo ma´ s general1 1Coloquialmente se dice “Matar una mosca a can˜ onazos´´

Cap´ıtulo 3 Propiedades funcio´ n δ de Dirac Hecho esto, nuestro objetivo es conocer las propiedades ba´ sicas que cumple la funcio´ n y aprender a aplicarlas en problemas f´ısicos. Primeramente definiremos la propiedad ma´ s ba´ sica: Propiedad 1 (Propiedad de filtrado) Sea “f´´ una funcio´ n bien comportada (Cont´ınua, derivable, etc) se cumple la siguiente propiedad: +∞ (3.1) f (x)δ(x)dx = f (0) −∞ Esto quiere decir que si multiplicamos cualquier funcio´ n (Que para nuestros intereses tendra´ un significado f´ısico) con la funcio´ n delta e integramos, u´ nicamente obtendre- mos la funcio´ n evaluada en el pico de la funcio´ n delta (Que en este caso es x = 0). Lamentablemente el tratamiento formal de esta propiedad no se incluye en este docu- mento1 pero se enlistara´ n los conceptos, pasos y propiedades ma´ s importantes. 3.1. Conceptos y procedimiento matema´tico para el desarrollo de propiedades En esta breve seccio´ n se dara´ el procedimiento general para obtener las Propieda- des de filtrado2 de la funcio´ n δ de Dirac bajo diversos casos, dando cierto formalismo 1Ve´ase Mathematics for physicist de Susan Lea 2Resultado de integrar una funcio´ n bien comportada con la funcio´ n δ 7

CAPI´TULO 3. PROPIEDADES FUNCIO´ N δ DE DIRAC 8 matema´ tico y as´ı se entienda el origen de las propiedades mostradas en la siguiente seccio´ n. Dicho procedimiento se enumera a contiuacio´ n: 1. Primeramente elegimos el caso particular de la funcio´ n delta que queremos ana- lizar co´ mo pueden ser: • Producto por constante de argumento. • Derivada de la funcio´ n δ. • Integral de la funcio´ n δ. • Desfasamiento de argumento. • Entre otros. 2. Luego, elegimos una sucesio´ n3 de tal manera que cumpla ser una Sucesio´ n delta la cua´ l se define a continuacio´ n: Definicio´ n 2 Una sucesio´ n δ es una funcio´ n N que cumple el si- φn n=1 : N → F guiente l´ımite: l´ım φn(x) = δ(x) (3.2) n→∞ Es decir, debemos proponer una sucesio´ n que converja a la funcio´ n δ y as´ı poder dar un ana´ lisis matema´ tico adecuado. 3. Despue´s, para determinar si la sucesio´ n propuesta es una sucesio´ n δ debemos probar el cumplimiento del l´ımite usando herramientas del ca´ lculo, siendo las ma´ s comunes: * Teorema del valor medio. * Cambio de variable. * Entre otras. 4. Finalmente aplicamos las propiedades de filtrado y las definiciones para notar las equivalencias de los diferentes casos de la funcio´ n delta a objetos ma´ s sencillos y manejables co´ mo veremos en la siguiente seccio´ n. 3En general la sucesio´ n a usar se define por: N con F el campo del argumento φn :N→F n=1

CAPI´TULO 3. PROPIEDADES FUNCIO´ N δ DE DIRAC 9 3.2. Casos y propiedades de la funcio´ n delta A continuacio´ n enumeraremos los casos y resultados ma´ s importantes de la fun- cio´ n delta, no se tratara´ su demostracio´ n formal, aunque en la primera lista de ejer- cicios se pedira´ demostrar estas propiedades4 . Las propiedades se enlistan a conti- nuacio´ n: a) Argumento desfasado: Si tenemos la funcio´ n delta con un argumento del tipo x − a con a ∈ R entonces por la propiedad (3.2) tenemos: n +∞ l´ım φn(x − a)f (x)dx = δ(x − a)f (x)dx = f (a) (3.3) n→∞ −n −∞ b) Argumento por constante Si la funcio´ n delta posee un argumento de la forma ”axc¸ on a ∈ R, a 05entonces al integrar la funcio´ n delta con cualquier funcio´ n de nuestro intere´s bien comportada sobre todo el espacio obtenemos: l´ım n +∞ f (0) (3.4) |a| n→∞ φn(ax)f (x)dx = δ(xa)f (x)dx = −n −∞ No´ tese el cambio que podemos hacer fa´ cilmente en este caso: δ(xa) = f (0) (3.5) |a| NOTA: No´ tese que podemos aplicar esta propiedad combinada a la propiedad de desfasamiento. c) Derivada de la funcio´ n delta: Si ahora queremos resolver un problema f´ısico que implique la derivada de la funcio´ n δ entonces aplicamos la siguiente propiedad6 +∞ +∞ φn(x)f (x)dx = − φnf (x)dx −∞ −∞ Aplicando la propiedad de filtrado (3.1) tenemos: +∞ (3.6) − φnf (x)dx = −f (0) −∞ 4Ve´ase la pa´ gina de Facebook “+MATh´´ 5No´ tese que si a = 0 entonces todos los argumentos son 0 y no cumplir´ıa la definicio´ n de funcio´ n delta 6Para obtenerla se propone una sucesio´ n adecuada y se integra por partes

CAPI´TULO 3. PROPIEDADES FUNCIO´ N δ DE DIRAC 10 Notamos en seguida que para este caso simplemente haremos los cambios: δ (x) = −δ(x) (3.7) Y: f (x) = f (x) (3.8) d) Funcio´ n delta compuesta: Este caso es el ma´ s complejo y comu´ n en problemas de f´ısica avanzada, como ya hemos visto, la funcio´ n delta se indetermina cuando el argumento es 0, pero algunas veces ese argumento es una funcio´ n por s´ı misma, entonces la idea es obetener los ceros de la funcio´ n argumento. Sin embargo, la propiedad nos mues- tra que adema´ s de obtener los ceros, estos se suman y adema´ s se dividen entre la funcio´ n argumento evaluada en la raiz correspondiente7. Matema´ ticamente se expresa por: +∞ l´ım −∞+∞φn[g(x)]f (x)dx = δ[g(x)]f (x)dx n→∞ −∞ Al hacer un procedimiento exhaustivo8 tenemos: +∞ (x) = N f (x0i (3.9) i=1 |g (x0i δ[g (x)]f −∞ Donde x0i i-e´simo 0 de la funcio´ n argumento. Evidentemente la funcio´ n delta sufre la transformacio´ n: δ[g (x)] = N δ(x − x0i) (3.10) i=1 |g (x0i| 7Esto se obtiene de igual manera por la propiedad de filtrado y diversas te´cnicas del ca´ lculo y a´ lgebra 8Ve´ase “Mathematics for physicists´´ de Susan Lea Pa´ gs. 295-297

Cap´ıtulo 4 Aplicacio´ n a un problema cla´sico de electromagnetismo Un ejemplo cla´ sico es calcular las densidades de carga en diferentes cuerpos con cargas distribuidas de diferente manera en el cuerpo en cuestio´ n (Otras cosas pueden calcularse co´ mo el campo ele´ctrico E, campo magne´tico B, etc.) Pero su tratamiento sera´ directamente en la lista de ejercicios. Dicho esto resolvamos el siguiente problema: I Una hoja con carga yace en el plano z = 0. La densidad de carga superficial de la hoja es σ0. Exprese la densidad de carga volume´trica en coordenadas esfe´ ricas. Solucio´ n. Primero analicemos emp´ıricamente lo que el problema nos pide, la siguiente figura bosqueja el arreglo inicial del problema. Notamos algunos puntos clave: En coordenadas cil´ındricas debemos usar la triada x = ( , θ, z). As´ı mismo notamos que la carga existe so´ lo para un punto de la coordenada “z por lo que podemos modelar la densidad de carga con la funcio´ n δ de Dirac. Notamos que debemos hacer la transicio´ n de coordenadas cil´ındricas a esfe´ri- cas, para ello recurrimos u´ nicamente a ecuaciones ya conocidas. 11

CAPI´TULO 4. APLICACIO´ N 12 Figura 4.1: Corte de hoja cargada sobre cilindro Debemos usar definiciones ba´ sicas de electrosta´ tica co´ mo la relacio´ n de la carga y la densidad de carga, las cuales se toman ma´ s adelante. Finalmente usando las propiedades tratadas en la seccio´ n anterior podremos conocer todos los para´ metros necesarios para resolver nuestro problema. Dicho esto, primero procedemos a usar coordenadas cil´ındricas, ya que usa la coordenada z inmersa en el problema y adema´ s posee una fa´ cil transicio´ n a coor- denadas esfe´ricas. Notamos simplemente que la densidad de carga volumpetrica se puede representar en forma de una ecuacio´ n δ de Dirac como sigue: ρ(x) = kδ(z) (4.1) Donde k ∈ R es una constante cualquiera por determinar1. Luego, para determi- nar la constante utilizamos la definicio´ n (2.2). integrando sobre el argumento z, no sin antes notar que la interseccio´ n entre el cilindro (Construido a partir de las coordenadas utilizadas) y la hoja de carga formar un elemento diferencial de volumen dA. As´ı, integrando obtenemos la carga contenida en esa interseccio´ n como: +∞ dq = ρ(x)dV = kδ(z)dzdA = kdA (4.2) Todo el cilindro −∞ No´ tese que se uso´ la relacio´ n (4.1). Luego, recordamos que la densidad de carga superficial en elementos diferenciales se define co´ mo: σ0 = dq (4.3) dA 1Se incluye la constante para enfatizar el caso ma´ s general

CAPI´TULO 4. APLICACIO´ N 13 Luego, comparando esta expresio´ n con (4.2) tenemos: σ0 = kdA = k (4.4) dA Una vez obtenida la constante procedemos a obtener lo exigido por el problema, cambiamos a coordenadas esfe´ricas con triadas del tipo x = (r, θ, φ) usando el cambio: z = r cos θ (4.5) Entonces con los resultados de (4.4) y (4.5) en (4.1) tenemos: ρ(x) = σ0δ(r cos θ) Luego analizamos do´ nde usar la delta de Dirac:  En la coordenada r tenemos presencia de la carga en todos los valores, i.e. en 0 ≤ r ≤ ∞  En la coordenada φ tenemos presencia de carga en todos sus valores i.e. en 0 ≤ φ ≤ pi  en la coordenada θ tenemos un u´ nico valor con presencia de carga, este es θ = π/2 por lo tanto aplicaremos las propiedades la funcio´ n delta en ese punto. Dicho esto, al vivir la funcio´ n delta so´ lo en la coordenada θ entonces podemos considerar a la coordenada r como constante. As´ı, podemos aplicar la propiedad (3.5) haciendo r = a tenemos: ρ(x) = σ0 δ(cos θ r Entonces, notemos que el argumento de la funcio´ n delta es una funcio´ n, por lo que procedemos a aplicar la propiedad (3.9) donde g(x) = cos θ Debido al intervalo de vivencia de θ notamos que so´ lo posee un 0 en θ = π 2 . As´ı, tenemos entonces: 2 ρ(x) = σ0 | δ(θ − π/2) r − sin θ|θ=π/2 Teniendo la densidad de carga volume´trica, calcular el diferencial de carga conte- nido en un casquillo esfe´rico de grosor dr y radio r co´ mo se muestra en la figura. 2Lo cual coincide con el ana´ lisis cualitativo anteriormente realizado

CAPI´TULO 4. APLICACIO´ N 14 Figura 4.2: Casquillo esfe´rico Usemos la misma integral de (4.2) pero sobre todael casquillo, teniendo: dq = ρ(x)dV Casquillo Estableciendo los l´ımites de integracio´ n: dq = 2π π σ0 δ(θ − π/ 2)r 2 sin θ dr d θ r dφ 0 0 Notemos el cambio dV = r2 sin θdrdθ el cual se define co´ mo el elemento diferencial de volumen en coordenadas esfe´ricas3. Luego, aislemos elementos constantes de las integrales: dq = r 2 σ0 d r 2π π r dφ δ(θ − π/2) sen θdθ 0 0 Finalmente integramos directamente respecto a φ y aplicando la propiedad (3.3) obtenemos: 2πσ0r sen(θ/2)dr = σ02πrdr Deseando rectificar ra´ pidamente partimos de la ecuacio´ n (4.3): dq = σ0dA Finalmente usando un elemento diferencial de un casquete esfe´rico: dq = σ02πrdr Lo cual concuerda con el resultado obtenido4 3Ve´ase cualquier libro de ana´ lisis vectorial o coordenadas generalizadas 4Se usa A = πr2