Pythagoras

คณุ ครสู าวิตรี ไชยแสง

พที าโกรัส พที าโกรัส เป็นนกั คณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มีช่ือเสียง มาก มีอายอุ ยใู่ นราว 582-500 ปี ก่อน คริสตกาล เป็นนกั ปรัชญาและผนู้ าศาสนา ผลงานสาคญั คือ เป็นนกั คิด นกั ดารา ศาสตร์ นกั ดนตรี และนกั คณิตศาสตร์ ต่อมายา้ ยไปทางตอน ใตข้ องอิตาลีที่เมืองโครตนั จนมีผตู้ ิดตามและสาวกจานวน มาก เรียกวา่ พีทาโกเรียน พที าโกรัสและสาวกไดท้ าการพิสูจน์ทฤษฎีทาง คณิตศาสตร์หลายเรื่อง ซ่ึงเป็นรากฐานของวทิ ยาการในยคุ อียปิ ต์ จนไดช้ ่ือวา่ เป็น บิดาแห่งตวั เลข

ประวตั สิ ามเหลยี่ มมุมฉาก สสุ านแห่งกษตั ริยฟ์ าโรหร์ ามเสสที่ 9 ได้แสดง หลกั ฐานรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซ่ึงแต่ละด้านยาว 3 4 และ 5 ตามลาดบั โดยชาวอียิปตม์ ีแนวคิดมาจากเชือกหนึ่งเส้น ผกู ปมให้มีระยะห่างเท่าๆกนั จานวน 12 ปม เม่ือใช้สาม คนดึงให้ตึงจะได้รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก

c a b สามเหล่ียมมุมฉาก 1. ∆ ABC เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด 2. ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉากคือดา้ นใด ดา้ น AB 3. ความยาวดา้ นประกอบมุมฉากคือดา้ นใด ดา้ น AC และ BC 4. นกั เรียนคิดวา่ ดา้ นใดยาวท่ีสุด ดา้ น AB ยาว C

รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก c ให้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A a b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมมุ B c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมมุ C b ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เรียก AB วา่ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก เรียก AC และ BC วา่ ดา้ นประกอบมุมฉาก ดา้ นที่ยาวที่สุด คือ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

พ้ืนที่ รูปที่ 1 = c x c = c2 5 x 5 = 25 พ้ืนที่ รูปที่ 2 = b x b = b2 3x3= 9 พ้นื ท่ี รูปที่ 3 = a x a = a2 4 x 4 = 16 25 = 9 + 16 52= 32 + 42 c2 = a2 + b2

ทฤษฎบี ทพที าโกรสั กลา่ วไวว้ า่ \"ผลรวมของพ้ืนท่ขี องรูปส่เี หล่ยี มจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉากทง้ั สอง จะเทา่ กบั พ้ืนท่ขี องรูปส่เี หล่ยี มจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก\"

ทฤษฎีบทพีทาโกรสั c a b ให้ a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ระหวา่ งความยาวท้งั สามดา้ น ดงั น้ี c2  a2  b2

บอกความสัมพนั ธ์ของด้านท้งั สามของรูปสามเหลยี่ ม 1. p p2  q2  r2 q r 152  92  b2 2. 9 b 15

3. s m m2  s2  l2 l 4. 4 52  32  42 3 5 5. 14 162  142  x2 16 x

ทฤษฎบี ทพที าโกรัส กลา่ วไวว้ า่ \"ผลรวมของพ้ืนท่ขี องรูปส่เี หล่ยี มจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก ทง้ั สอง จะเทา่ กบั พ้ืนท่ขี องรูปส่เี หล่ยี มจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุม ฉาก\"

c2 = a2 + b2

การเขียนความสมั พนั ธข์ องด้าน ของรปู สามเหล่ียมตามทฤษฎีบทพีทาโกรสั เช่น จากความสมั พนั ธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 132 = 122 + 52 จากความสมั พนั ธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 252 = 242 + 72

จากความสมั พนั ธข์ องด้านของรปู สามเหลี่ยม มุมฉากเราสามารถใช้หาด้านที่เหลือของด้านของ รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากได้จากความสมั พนั ธด์ งั กล่าว จงหาความยาวของด้านที่เหลือ วิธีทา จากความสมั พนั ธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 102 = a2 + 82 8 10 a2 = 102 - 82 a2 = 100 - 64 a2 = 36 a =6

จงหาความยาวของด้านท่ีเหลือ วิธีทา จากความสมั พนั ธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า x2 = 42 + 32 x2 = 16 + 9 x2 = 25 x=5

จงหาความยาวของด้านท่ีเหลือ วิธีทา จากความสมั พนั ธ์ c2 = a2 + b2 แทนค่า 132 = 122 + b2 a2 = 132 - 122 a2 = 169 - 144 a2 = 25 a =5

“ถา้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยม มีด้านยาว a,b,c หน่วย และ c2 = a2 + b2 จะได้ว่า รปู สามเหล่ียม ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก และด้านที่ยาว c หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมมุ ฉาก” (ด้านตรงข้ามมมุ ฉากจะเป็นด้านที่ยาวท่ีสดุ )

จากบทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรสั เราสามารถนามาพิสจู น์ว่ารปู สามเหลี่ยมท่ีกาหนดด้าน ให้ทงั้ สามด้านเป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากหรอื ไม่ โดยนา ด้านที่ยาวท่ีสดุ ยกกาลงั สองถา้ เท่ากบั ผลบวกของกาลงั สองของสองด้านที่เหลือแสดงว่า สามเหลี่ยมนัน้ เป็น สามเหลี่ยมมมุ ฉากแต่ถ้าไมเ่ ท่ากนั แสดงว่าไมเ่ ป็น สามเหลี่ยมมมุ ฉาก

สามเหล่ียมท่ีกาหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมมุ ฉากหรอื ไม่ วิธีทา ด้านที่ยาวท่ีสดุ คือ 7.5 7.52 = 7.5 × 7.5 = 56.25 7.22 + 2.12 = 51.84 + 4.41 = 56.25 จะได้ว่า 7.52 = 7.22 + 2.12 นัน่ คือ สามเหล่ียมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

B 18 A ให้นักเรียนแสดงว่าสามเหลี่ยม 24 ABC เป็นรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก หรือไม่ ถา้ กาหนดด้านต่าง ๆ D 32 ดงั รปู C วิธีทา ต้องหาความยาวของด้านทงั้ สามด้านของรปู สามเหลี่ยม หาด้าน AB จาก AB2 = 242 + 182 AB2 = 576 + 324 AB2 = 900 AB = 30

วิธีทา หาด้าน AC จาก AC2 = 242 + 322 AC2 = 576 + 1,024 AC2 = 1,600 AC = 40 นาความยาวของด้านที่ยาวท่ีสดุ ยกกาลงั สอง BC2 = 502 BC2 = 2500 และ AB2 + AC2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500 แสดงว่า BC2 = AB2 + AC2 นัน่ คือ สามเหล่ียม ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก

การแก้โจทยป์ ัญหาเก่ียวกบั ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ต้องวาดรปู ออกมาก่อน บนั ไดยาว 17 ฟตุ ยนั ฝาให้เชิงบนั ไดห่างจากฝา 8 ฟตุ จงหาว่าจากพืน้ ดินถงึ ฝาได้กี่ฟตุ วิธีทา AC เป็นความยาวของบนั ได BC เป็นระยะห่างจากเชิงบนั ไดถงึ ฝา จะหาความยาวของ AB

นัน่ คือ AC2 = AB2 + BC2 172 = AB2 + 82 AB2 = 172 - 82 AB2 = 289 – 64 AB2 = 225 AB = 15 ดงั นัน้ จากพืน้ ดินถงึ บนั ไดมีความสงู 15 ฟตุ

รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ให้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมมุ B c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม C

ต้องการตงั้ เสาโทรทศั น์สงู 12 เมตร โดยใช้ลวด 4 เส้นรงั้ หวั เสา แล้วตรึงกบั หลกั 4 หลกั ซึ่งปักห่างจากโคนเสา 5 เมตร ดงั รปู ต้อง ใช้ลวดยาวอย่างน้อยก่ีเมตรในการตงั้ เสานี้ วิธีทา จากรปู ให้ด้านที่เหลือยาว x เมตร จะได้ว่า x2 = 122 + 52 x2 = 144 + 25 x2 = 169 x = 13 จะได้ว่า ลวด 1 เส้น