Bahan Ajar Barisan dan Deret Geometri

BAHAN AJAR Barisan dan Deret Geometri Kompetensi Dasar (KD) 3.5 Mengeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan aritmatika dan geometri 4.5 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) Indikator Pencapaian Kompetensi 3.5.3 Menentukan suku ke-n dari barisan geometri 3.5.4 Menentukan jumlah n suku pertama deret geometri 4.5.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan geometri 4.5.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan deret geometri Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran melalui pengamatan, bertanya, mengum- pulkan informasi/ eksplorasi, bernalar, diskusi, mengasosiasi, dan mengkomu- nikasikan peserta didik diharapkan terlibat aktif dan bertanggungjawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan kritik serta dapat : 1. menentukan suku ke-n dari barisan geometri 2. menentukan jumlah n suku pertama deret geometri 3. menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan geometri 4. menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan deret geometri Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

PENDAHULUAN Modul ini merupakan bahan ajar untuk mata pelajaran Matematika SMK/SMA/Sederajat kelas XI. Modul pembelajaran ini dapat mempermudah dalam proses pembelajaran. Modul ini berisi materi pembelajaran yaitu Barisan dan Deret Geometri. Menganalisis konsep barisan dan deret geometri serta menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan barisan dan deret geometri. URAIAN MATERI Barisan dan Deret Geometri Pada modul sebelumny kalian sudah mempelajari terkait barisan dan deret geometri. Maka selanjutnya pada modul ini akan dibahas terkait barisan dan deret geometri. Adapun manfaat dari barisan dan deret geometri sangat beragam, seperti contohnya mengetahui pertumbuhan dari bakteri yang membelah setiap jamnya, atau mengetahui jumlah simpanan uang dibank dengan bunga tertentu. Pada modul ini akan dibahas lebih lanjut terkait penerapan dari materi barisan dan deret geometri dlaam kehidupan sehari-hari. Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

AYO MENGAMATI Ayo Mengamati dan cari tahu tentang apa itu Barisan geometri?. Untuk mengetahui tentang apa itu barisan geometri coba perhatikan masalah berikut. Bakteri adalah makhluk bersel satu yang berkem- bangbiak dengan cara mem- belah diri. Pernahkah kalian mengamati proses pem- belahan bakteri dalam kurun waktu tertentu? Bagaimana cara menghitung banyak bakteri dalam kurun waktu tertentu? Misal pada mulanya banyak bakteri adalah 1. Dalam kurun waktu 10 detik maka bakteri tersebut akan membelah diri menjadi dua. Dapatkah kalian menentukan berapa banyak bakteri setelah 1 menit jika pada awalnya terdapat satu bakteri? Ilustrasi diatas merupakan salah satu contoh dari penerapan barisan geometri. AYO MENANYA Berdasarkan ilustrasi permasalahan diatas, dapatkah kalian menen- tukan banyaknya bakteri setelah 1 menit ? Selanjutnya buatlah pertanyaan lain yang berkaitan dengan ilustrasi diatas. Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

AYO MENGGALI INFORMASI Perhatikan tabel perkembangbiakan bakteri dari permasalahan sebelumnya. No. Pengamaatan ke- Detik Banyak bakteri 1 1 10 2 2 2 20 4 3 3 30 8 4 4 40 16 55 50 32 66 60 64 Perhatikanlah urutan banyaknya bakteri pada table diatas, bila kita urutkan ke dalam barisan maka diperoleh barisan bilangan 2, 4, 8, 16, 32, 64, ……. Bagaimanakah pola barisan diatas? Hasil bagi dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 2. Barisan diatas adalah contoh dari barisan geometri, yaitu barisan yang memiliki perbandingan yang sama dimana perbandingan terse- but disebut dengan rasio (r) Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

Definisi Barisan Geometri Suatu barisan U1, U2, U3, ...., Un dinamakan barisan geometri apabila untuk r adalah rasio dan setiap n bilangan asli berlaku : Menentukan Suku ke-n Barisan Geometri Pengamaatan Detik Banyak rasio Pola Bilangan ke- 10 bakteri 2 . 1 2 . 2 . 2 20 4 2 3 30 8 2 4 40 16 2 5 50 32 2 6 60 64 . . . .. . . .. . 2 .. n n Berdasarkan table diatas diperoleh bentuk umum suku ke n dari barisan geometri adalah Keterangan a= suku pertama dan r = rasio Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

CONTOH SOAL BARISAN GEOMETRI 1. Diketahui barisan geometri 3,6,12,…. Tentukan suku ke-10! Jawab: Barisan geometri 3, 6,12, ... a = 3 , r =6:3 =2 , n = 10 maka Un = a x r n-1 U10 = 3 x 2 10-1 = 3 x 29 = 3 x 512 = 1536 Jadi suku ke 10 yaitu U10 = 1536 2. Suatu barisan geometri diketahui U3=144 dan U7=9. Tentukan U6=…? Jawab: Untuk bisa nemenukan nilai dari U6 maka terlebih dahulu kita harus mencari nilai a dan r yang diperoleh dari : mencari nilai a melalui U3 Sehingga Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

DERET GEOMETRI Deret geometri adalah suatu deret yang diperoleh dengan menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Jika a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 merupakan deret geometri baku, maka jumlah n suku pertamanya dinotasikan Sn sehingga : Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 n = ark 1 k 1 Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn Sn – r Sn = a - arn ( 1 – r ) Sn = a - arn Sn = a(1  rn ) 1 r Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditulis sebagai berikut : Sn a(1  rn ) = a(rn 1) untuk r > 1 = 1 r untuk r < 1, atau Sn r 1 Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

CONTOH SOAL DERET GEOMETRI 1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut. Jawab: U2 = 8, berarti ar = 8 U3 = 64, berarti ar4 = 64 ar.r3 = 64 8r3 = 64 r3 = 8 didapat r = 2 dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan ax2 = 8 sehingga a= 4. 4(1  2n ) 1 2 Jumlah n suku pertama deret ini adalah Sn  = 4  4.2n 1 = 4.2n – 4 = 22.2n – 4 = 22 + n – 4 Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 22+10 – 4 = 212 – 4 = 4096 – 4 = 4092 Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

Contoh Soal Permasalahan Kontekstual 1. Seutas tali dipoting-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan- potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ... Jawab: Pandang keenam potong tali sebagai suku-suku barisan geometri, dengan potongan terpendek adalah suku pertama dan potongan terpanjang adalah suku terakhir. n=6 U1=a=10 U6=ar5=320 Substitusi a=10 ke persamaan U6 maka diperoleh 320=10xr6 r6=32 r=2 Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah dari keenam potongan tali tersebut yaitu: Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

Contoh Soal Permasalahan Kontekstual 1. Sebuah zat raidoaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah .... Jawab 06.00 1600 gram 08.00 800 gram 10.00 400 gram 12.00 200 gram 14.00 100 gram atau dengan cara lain yaitu gram AYO MENALAR Bakteri adalah makhluk bersel satu yang berkembang biak dengan cara membelaj diri. Satu ekor bakteri jenis tertentu mampu membelah diri men- jadi dua dalam waktu 10 detik. Jika pada 10 detik pertama terdapat 6 bak- teri dalam suatu wadah. Berapa banyak bakteri yang terdapat dalam wadah tersebut selama 1 menit? AYO BERBAGI Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman sebangku atau sekelasmu. Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA

AYO BERLATIH 1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal berikut : a. 2, 4, 8, 16, ..., U12 b. 3, -9, 27, -81, ..., U10 2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut : a. 1, 2, 4, ... b. 3  1  1  1  ... 3 9 3. Diketahui deret geometri : 1 , 1 , 1 ,.... Tentukan : 248 a. Rasio b. Suku ke-10 c. Jumlah 10 suku pertama 4. Dari ketinggian 2 m sebuah bola dijatuhkan ke lantai. Setiap kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5 dari tinggi sebelumnya. Berapakah jarak yang yang ditempuh bola selama 10 kali pantulan Barisan dan Deret Geometri—untuk SMA/SMK/MA