กำหนดการเชิงเส้น

กำหนดกำรเชงิ เสน้

ทบทวนกำรเขยี นกรำฟของสมกำรเชงิ เสน้

y X>0 y X0 x y=0 (2,0) x y=0 (2,0) (0,0) (0,0) X=0 X=2 X=0 X=2 y y y=0 X<0 y=0 x X0 (0,0) (2,0) x (0,0) (2,0) X=0 X=2 X=0 X=2

y y y=0 y3 y=0 y3 ( 0 ,3) (0,0) y = 3 x (0,0) ( 0 ,3) x X=0 y=3 y y=3 X=0 y = 0 ( 0 ,3) y=0 y y=3 ( 0 ,3) (0,0) y < 3 x (0,0) y  3 x X=0 X=0

ตวั อย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของอสมการ y 3x-6 วธิ ีทา เขียนกราฟของสมการ y = 3x-6 เป็นกราฟเสน้ ตรงที่มีจุดตดั แกน x ท่ีจุด (2, 0) และตดั แกน y ท่ีจุด ( 0, -6)

เขียนกราฟเส้นตรง y = 3x -6 y เลือกบริเวณ เลือกจุด ( 0,0) แทน x = 0 และ y = 0 ลงในอสมการ y  3x  6 (0,0) เลือกบริเวณนี้ x ( 2, 0) จะได้ 0  6 ซ่ึงไม่จริง (0,-6)

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขียนกราฟของอสมการ 2x  4 y  80 และ 5x  2 y  80 2x  4 y  80 y 5x  2 y  80 ( 0,40) 2x  4 y  80 ( 0,20) x ( 40,0) ( 16,0) 5x  2y  80

ลองคดิ ดู 1) 2x  4y  80 5x  2y  80 x0 y0 2) 3x  2y  80 2x  3y  70 x0 y0

พฒั นำข้ึน ก่อนปี ค.ศ 1940 เพ่ือใชใ้ นกำรตัดสินใจ เกย่ี วกับทรพั ยำกรทม่ี อี ย่ำงจำกัดเพอื่ ใหเ้ กดิ ประโยชน์ สงู สุดควำมคดิ พ้นื ฐำนและเทคนิคของกำหนดกำรเชงิ เส้น ชว่ ยแกป้ ญั หำโดยสรำ้ งแบบจำลองทำงคณติ ศำสตรข์ ึน้ แล้วใช้สมกำรและอสมกำรเชิงเส้นหำคำตอบทต่ี ้องกำร ซงึ่ เรำจะศึกษำวธิ ีกำรหำคำตอบ กำรใช้กรำฟแค่ 2 ตัวแปร เทำ่ นน้ั

ตวั อย่ำงที่ 1 โรงงำนผลติ สมดุ วำดเขียน และสมดุ แบบฝกึ หดั ได้อย่ำงมำก 200 โหล ตอ่ วันในแตล่ ะวนั ลกู คำ้ จะสง่ั ซ้ือสมดุ วำดเขยี น อยำ่ งนอ้ ย 10โหล และสัง่ ซอ้ื สมดุ แบบฝึกหดั อย่ำงน้อย 80 โหล กำไรในกำรขำยสมดุ วำดเขียนโหลละ 50 บำท และ กำไรในกำรขำยสมดุ แบบฝกึ หดั โหลละ 35 บำท โรงงำน จะตอ้ งผลิตสมดุ วำดเขยี นและสมดุ แบบฝกึ หดั อย่ำงละกโี่ หล จึงจะกำไรมำกที่สดุ

วธิ ีทา ดาเนินการตามข้นั ที่กล่าว 1. กาหนดใหส้ ิ่งท่ีโจทยต์ อ้ งการมากที่สุดเป็น p ให้ p = กาไร 2. x = จานวนโหลในการผลิตสมุดวาดเขยี น y =…จา…นว…นโห…ลใ…นกา…รผล…ิตส…มุดแ…บบ.ฝ.ึกหดั 3. กาไรจากสมุดวาดเขียน = 50 x บาท 4. กาไรจากสมุดแบบฝึกหดั = 35 y บาท

สมการจุดประสงคค์ ือ P = 50x +35y 5. ผลิตสมุดไดอ้ ยา่ งมาก 200 โหลต่อวนั อสมการขอ้ จากดั คือ x  y  200 ลูกคา้ สงั่ ซ้ือสมุดวาดเขียนอยา่ งนอ้ ย 10 โหลต่อวนั อสมการขอ้ จากดั คือ x  10 ลูกคา้ สงั่ ซ้ือสมุดแบบฝึกหดั อยา่ งนอ้ ย 80 โหลต่อวนั อสมการขอ้ จากดั คือ y  80 จานวนการผลิตสมุดวาดเขยี น และสมุดแบบฝึกหดั เป็ นจานวนลบไม่ได้ x0 y0

x  y  200 x  10 y  80 x  0 y0 X = 10 y (0, 200) (10,190) x+y = 200 y = 80 (120,80) (10,80) (200,0) x (0,0) (10,0)

P = 50x +35y จุด ( 10 , 190) P = 7150 บาท จุด ( 10 , 80) P = 3300 บาท จุด ( 120, 80) P = 8800 บาท ตอ้ งผลิตสมุดวาดเขยี น 120 โหล ตอ้ งผลิตสมุดแบบฝึกหดั 80 โหล

ตวั อย่ำงที่ 2 อตุ สำหกรรมครัวเรอื นแหง่ หน่ึงผลิตนมเยน็ และ ไอศกรีมทกุ วนั สมมุติว่ำนมเย็นแตล่ ะลติ รต้องใชน้ ม 0.4 ลิตร และครีม0.2 ลติ ร สว่ นไอศกรมี แต่ละลิตร ต้องใชน้ ม 0.2 ลติ ร และครมี 0.4 ลิตร จำกสว่ นผสม ดงั กลำ่ วปรำกฏวำ่ ขำยนมเยน็ ได้กำไรลิตรละ 8 บำท สว่ นไอศกรมี กำไรลิตรละ 10 บำท ถำ้ ในแตล่ ะวัน อุตสำหกรรมนี้ มนี ม 10 ลติ ร และครีม 14 ลิตรเขำ ควรจะผลิต นมเยน็ และไอศกรีมอยำ่ งละเทำ่ ไรจึงจะ กำไรสูงสุด

แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ มีนมอยู่ 10 ลิตร ดงั น้นั ใหผ้ ลิตนม x ลิตร 0.4x  0.2y 10 อสมการขอ้ จากดั ผลิต ไอศกรีม y ลิตร ใชน้ มในการผลิต นมและไอศกรีม มีครีมอยู่ 14 ลิตร ดงั น้นั 0.4 x + 0.2y ลิตร 0.2x  0.4y  14 อสมการขอ้ จากดั ใชค้ รีมในการผลิตนมและไอศกรีม x และ y เป็นลบไม่ได้ 0.2x +0.4y ลิตร x  0 อสมการขอ้ จากดั y  0 อสมการขอ้ จากดั

ให้ z เป็นผลกาไรท้งั หมดจะได้ z = 8x +10y สมการจุดประสงค์ เรียงอสมการขอ้ จากดั ใหม่ 0.4x  0.2 y  10 0.2x  0.4 y  14 x0 y0

y 0.4x  0.2y  10 0.4x  0.2 y  10 (0,50) 0.2x  0.4y  14 (0,35) (10,30) x0 (25,0) ,(70 0) x (0 ,0) y0 0.2x  0.4y  14 อำณำบริเวณทห่ี ำคำตอบได้

จาก z = 8x +10 y กาไรมากที่สุดเมื่อผลิต เลือกจุด (0,0) นมเยน็ 10 ลิตร ไอศกรีม 30 ลิตร z=0 เลือกจุด (0,35) Z = 350 เลือกจุด ( 10 ,30) z = 380 เลือกจุด ( 25,0) z = 200

ตวั อยำ่ งท่ี 3 ผจู้ ัดรำยกำรโทรทศั น์ท้องถิ่นแหง่ หนง่ึ พบวำ่ ในแต่ สัปดำห์ถำ้ เขำจดั รำยกำรแบบหนึ่ง ซึ่งมดี นตรี 20นำที และโฆษณำ 1 นำทีจะมีผูช้ มรำยกำรแตล่ ะครัง้ 30,000 คน แต่ถ้ำจดั รำยกำรแบบสอง ซงึ่ มีดนตรี 10นำที และ โฆษณำ 1 นำที จะมผี ชู้ มรำยกำรแตล่ ะครั้ง10,000 คน ถำ้ ผผู้ ลติ สินค้ำต้องกำรโฆษณำสินคำ้ ทำงโทรทัศน์ โดย ตอ้ ง จัดโฆษณำอยำ่ งนอ้ ยสปั ดำหล์ ะ 6 ครงั้ และมี ดนตรีไมเ่ กนิ 80 นำทีโดยใหม้ ผี ูช้ มรำยกำรมำกที่สดุ จะตอ้ งจัดแบบที่ 1 และแบบที่ 2กี่ครง้ั ต่อสปั ดำห์

ให้ p แทนจานวนผชู้ มโทรทศั นต์ ่อสปั ดาห์ สมการจุดประสงค์คือ x เป็นจานวนคร้ังของการจดั รายการแบบ 1 y เป็นจานวนคร้ังของการจดั รายการแบบ 2 p = 30000x + 10000y มีดนตรี ไม่เกิน 80 นาที เขียนกราฟ หาอาณา บริเวณที่หาคาตอบได้ 20x 10 y  80 อสมการข้อจากดั โฆษณาอยา่ งนอ้ ย 6 คร้ัง x  y  6 อสมการข้อจากดั x0 อสมการข้อจากดั อสมการข้อจากดั y0

y 20x +10y = 80 อาณาบริเวณทห่ี าคาตอบได้ (0,8) ( 0,6 ) x y6 20x 10 y  80 (2,4) x+y = 6 ( 0,0) (4,0) (6, 0) x x

จาก p = 30000x +10000y แทนจุด ( 0,6) P = 60,000 แทนจุด ( 2,4) P = 100,000 แทนจุด ( 0,8) P = 80,000 ผชู้ มโทรทศั น์มากท่ีสุด 100,000 คน โดยตอ้ งจดั แบบที่ 1 2 คร้ัง จดั แบบที่ 2 4 คร้ัง ตอบ

ลองคิดดู อุตสำหกรรมภำยในครัวเรือนแหง่ หน่ึงผลติ เก้ำอส้ี อชนดิ คือชนิด A และชนดิ B แต่ละตัวตอ้ งเสียเวลำในกำรผลิต ขั้นต้น 1 ช่ัวโมง ข้นั ทีส่ อง 2 ชวั่ โมง และขำยไดก้ ำไรตัวละ 30 บำท สว่ นเกำ้ อีช้ นิด B แตล่ ะตัวเสียเวลำในกำรผลติ ขั้นตน้ 2 ช่ัวโมง ขนั้ ที่ สองสองช่วั โมง และขำยไดก้ ำไรตวั ละ 50 บำทโรงงำนสำหรับกำรผลิตขั้นตน้ และขั้นที่ สอง ทำงำนวนั ละไมเ่ กนิ 8 ชว่ั โมง และ 10 ช่วั โมงตำมลำดับ จงหำว่ำอุตสำหกรรมภำยในครัวเรือนนี้ควรผลติ เกำ้ อ้ี แต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่ำใดในแต่ละวนั จึงจะได้กำไรมำก ทส่ี ดุ กำไรเท่ำใด