Analytic Geometry

Analytic Geometry จัดทำโดย นำย ณัฐธีร์ ติวำชัยวิรัตน์ ม.4/10

บทที่ 3 เรขาคณติ วิเคราะห์ [Analytic geometry] เ ร ข ำ ค ณิ ต วิ เ ค ร ำ ะ ห์ เ ป็ น ก ำ ร เ ชื่ อ ม โ ย ง ค ว ำ ม รู้ ร ะ ห ว่ ำ ง พี ช ค ณิ ต แ ล ะ เ ร ข ำ ค ณิ ต เข้ำด้วยกัน ซึ่งกำรแก้ปัญหำทำงพีชคณิตอำจนำควำมรู้ทำงเรขำคณิตมำช่วย แก้ปัญหำ หรือกำรแก้ปัญหำทำงเรขำคณิตบำงปัญหำก็อำจนำควำมรู้พีชคณิตมำช่วย แก้ปัญหำ เทพเจ้าแห่ง วิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ René Descartes เกิดวันที่ 31 มีนำคม ค.ศ. 1596 และเสียชีวิตเมื่อวันท่ี11 กุมภำพันธ์ ค.ศ. 1650 นักคณิตศำสตร์ นักวิทยำศำสตร์ และนักปรำชญ์ชำว ฝรั่งเศษ ผู้ริเริ่มวิชำเรขำคณิตวิเครำะห์ ที่มีกำรเชื่อมโยง พชี คณิตและเรขำคณิตเขำ้ ด้วยกัน โดยมุ่งศึกษำกำรลงจุด บนระบบพิกดั ฉำกแล้วหำสมกำร

บทที่ 3 สรุปการใช้สูตรในเร่ือง เรขาคณิต วิเคราะห์ ระยะระหว่างจุด กำรหำคำ่ ของสิ่งตำ่ ง ๆท่อี ยบู่ นแกน X-Y โดยจะมีสตู รตำ่ ง ๆมำกมำยสูตรแรกเป็นสูตรใน กำรหำระยะทำงระหวำ่ งจดุ 2 จดุ ทก่ี ำหนดให้ √(������2 − ������1)2 + (������2 − ������1)2 EXAMPLE 1. ระหวำ่ งจดุ (1,2) กับ (4,6) คือ √(4 − 1)2 + (6 − 2)2 = √32 + 42 = √25 = 5 2. ระหว่ำงจดุ (-6, 4) (-6, 17) คือ x เทำ่ กันให้เอำ y มำลบกนั ได้เลย 17-4 = 13 3. ระหว่ำงจุด (2, 5) (9, 5) คือ y เท่ำกนั ใหเ้ อำ x มำลบกันไดเ้ ชน่ กนั 9-2 = 7 4. จงพจิ ำรณำวำ่ สำมเหลยี่ มท่ีมจี ดุ A(-1, 1) , B(0, -1) , C(5, 1) เป็นจดุ ยอด เป็นสำมเหล่ยี มมมุ ฉำกหรือไม่ วิธีทา สำมเหลยี่ มมมุ ฉำก จะต้องมคี วำมยำวด้ำนท้ังสำม สอดคลอ้ งกบั สตู ร ������2 + ������2 = ������2 AB= √(−1 − 0)2 + (1 − (−1))2 = √5 BC= √(5 − 0)2 + (1 − (−1))2 = √29 AC= √(5 − (−1))2 + (1 − 1)2 = √36 จะเห็นว่ำ 2 +√292= 5+29 = 34 ≠36 √5 ดังน้ัน สำมเหลย่ี ม ABC ไม่เป็นสำมเหล่ยี มมมุ ฉำก

บทท่ี 3 สรุปการใช้สูตรในเร่ือง เรขาคณิต วิเคราะห์ จุดก่ึงกลาง สูตรทส่ี อง เป็นสตู รสำหรับหำพิกัดของจุดที่อยู่กึ่งกลำงระหว่ำงจุด 2 จุดท่ีกำหนดให้ ������ = (������1 + ������2) , ������ = (������1 + ������2) 2 2 EXAMPLE 1. จุดท่อี ยกู่ ึง่ กลำงระหวำ่ ง (1, 2) กบั (5, 8) คือ (1+25) , (2+28) = (3, 5) (−3+1) (0+4) 2. จุดทอี่ ยกู่ ึ่งกลำงระหวำ่ ง (-3, 0) กบั (1, 4) คอื , = (−1, 2) 2 2 3. กำหนดให้ A(1,3), B(-2,2) และ C(0,6) เปน็ จดุ ยอดของสำมเหล่ยี มรปู หนงึ่ จงหำควำมยำวสว่ นของ เสน้ ตรงทลี่ ำกจำกจดุ A ไปแบง่ ครึ่งด้ำน BC วธิ ีทา จุดท่ีแบ่งครง่ึ ดำ้ น BC คอื (−2+0) , (2+6) = (−1, 4) 22 ดงั น้ัน ระยะจำก A ไปยงั (-1,4) = √(−1 − (−1))2 + (3 − 4)2 = √5

บทที่ 3 สรุปการใช้สูตรในเร่ือง เรขาคณิต วเิ คราะห์ ความชัน ควำมชันของเส้นตรงทผี่ ำ่ นจุด (x1, y1) และ (x2, y2) หำไดจ้ ำกสตู ร ������2−������1 หรอื ������1−������2 ก็ได้ ������2−������1 ������1−������2 EXAMPLE 1. ควำมชัน = 10−4 = 6 = 3 3−1 2 2. ควำมชนั =0−(−3) = − 3 −2−6 2

ค่าความชนั ในแตล่ ะค่า จะมีความหมาย สำมำรถนำควำมชันไปใช้ในกำรตรวจสอบกำรขนำนกนั หรอื ต้งั ฉำกกันของเสน้ ตรง 2 เส้นได้ ดังน้ี 1. เส้นตรงที่ขนำนกนั จะมคี วำมซนั เท่ำกนั 2. เส้นตรงท่ตี ้ังฉำกกัน จะมคี วำมชันคูณกันได้ -1 EXAMPLE 1. จงพจิ ำรณำวำ่ A(-1,3), B(1,2) และ C(6,0) อย่บู นสน้ ตรงเดียวกนั หรอื ไม่ ควำมชัน สว่ นของเสน้ ตรง ������������ = 3−2 = − 1 −1−1 2 ควำมชัน สว่ นของเส้นตรง ������������ = 3−2 = − 1 −1−1 2 ดังนั้น ทง้ั สำมจุดไมอ่ ยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั เนอื่ งจำกคำ่ ของควำมชนั ไมเ่ ท่ำกนั 2. กำหนด A(-1,6), B(O,3), C(1,5) จงพิจำรณำวำ่ สำมเหล่ียม ABC เปน็ สำมเหลีย่ มมุมฉำกหรอื ไม่ วิธที า ควำมชนั ������������ = 6−3 = −3 −1−0 ควำมชัน ������������ = 5−3 = −2 1−0 ควำมชนั ������������ = 6−5 = − 1 −1−1 2 ควำมชัน สว่ นของเสน้ ตรง ������������ × ������������ = -1 แสดงวำ่ ������������ ⊥ ������������ ดงั นน้ั ⊿ABC เปน็ สำมเหล่ียมมมุ ฉำก

ถ้ำกำหนดเงื่อนไขต่ำง ๆของกรำฟมำ เรำตอ้ งสำมำรถยอ้ นกลบั ไปหำสมกำร กรำฟไดส้ ตู รสำหรับหำสมกำรกรำฟ จำกเงือ่ นไขต่ำง ๆ มีดังนี้ 1. ผ่ำนจดุ (x1, y1) และมคี วำมชัน = m ������−������1 = ������ ������−3 = ������ ������−������1 ������−(−1) 3y-9 = -2x-2 2x+3y-7 = 0 2. มคี วำมชัน = m และ มรี ะยะตดั แกน Y คอื c เม่ือ c เป็นคำ่ คงตวั ������ = 2 ������ + (−2) 3 3y = 2x-6 0 = 2x-3y-6 3. มรี ะยะตดั แกน X คือ a และ มีระยะตดั แกน Y คอื b ������ + ������ = 1 32 2x+3y = 6 2x+3y-6 = 0 4. ผำ่ นจดุ (x1, y1) และ (x2, y2) y−5 5−1 x − 1 = 1 − (−1) 2y-10 = 4x-4 0 = 4x-2y+6 0 = 2x-y+3

บทที่ 3 สรุปการใช้สูตรในเรื่อง เรขาคณิต วิเคราะห์ ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงกับจุด หัวขอ้ นี้จะเปน็ สตู รสำหรบั หำ ระยะห่ำงระว่ำงเสน้ ตรง แต่กอ่ นจะใช้สูตรนไ้ี ด้ ต้องจัดสมกำรเส้นตรงใหอ้ ยู่ในรปู แบบนก้ี ่อน “Ax + By + C = 0” ดงั น้ัน กำรหำระยะหำ่ งระหวำ่ งเสน้ ตรง Ax + By + C = 0 กับจดุ (x1, y1) โดยท่ี A B C เป็นคำ่ คงตัวท่ี A B ไมเ่ ปน็ ศนู ย์พร้อมกัน หำไดจ้ ำกสตู ร ������ = |������������1 + ������������1 + ������| √������2 + ������2 EXAMPLE ������ = |������������1+������������1+������| √������2+������2 1. 18√3 = 13 2. จงหำระยะหำ่ งระหว่ำงจดุ (-2,1) กบั เส้นตรง y = 2x -3 วธิ ที า จัด y= 2x -3 ใหอ้ ยู่ในรูป Ax+ By +C=0 กอ่ น ได้เป็น 2x-y-3 = 0 จะได้ ระยะห่ำง คอื |2+(−2)−1−3| = |−8| = 8√5 √22+(−1)2 √5 5

บทท่ี 3 สรุปการใช้สูตรในเร่ือง เรขาคณิต วิเคราะห์ ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จุด หัวข้อนจ้ี ะเปน็ สูตรสำหรบั หำ ระยะห่ำงระวำ่ งเสน้ ตรง แต่ก่อนจะใช้สตู รนไ้ี ด้ ต้องจดั สมกำรเสน้ ตรงให้อยใู่ นรปู แบบน้กี อ่ น “Ax + By + C = 0” ดงั นั้น กำรหำระยะหำ่ งระหวำ่ งเสน้ ตรง Ax + By + C1 = 0 และเสน้ ตรง Ax + By + C2 = 0 โดยที่ A B C1 และ C2 เป็นคำ่ คงตัวที่ A B ไมเ่ ป็นศนู ยพ์ รอ้ มกนั หำไดจ้ ำกสูตร EXAMPLE ������ = |������1 + ������2| √������2 + ������2 1. ������ = |������1+������2| √������2+������2 5 − (−1) = √32 + (−1)2 =6 5

2. จงหำระยะหำ่ งระหว่ำง 2(x-y) = 5 และ y = x+2 วิธที า จัดรปู ทั้งสองสมกำรใหเ้ ปน็ รปู Ax+By+C = 0 ท่มี ี Ax +By เหมือนกันกอ่ น 2 (x - y) = 5 y=x+2 คณู 2 เพ่อื ใหเ้ ป็น 2x - 2y เทา่ กนั 2x - 2y = 5 0= x–y+2 2x - 2y + 5 = 0 0 = 2x - 2y + 4 ดงั นัน้ ระยะหำ่ ง = 4−(−5) = |9| = 9√2 √22+22 √8 4 3. จงหำระยะหำ่ งระหวำ่ ง x–y+1= 0 และ x+y-2 = 0 วิธีทา จะเหน็ ว่ำทั้งสองสมกำรอยูใ่ นรปู Ax+ By +C = 0 แล้ว แตอ่ ันแรก เปน็ x - y อกี อนั เปน็ x + y ดงั นน้ั เอำอะไรมำคณู กไ็ มม่ ีทำงเปน็ Ax + By เหมอื นกนั ได้ ดังนน้ั สองเสน้ น้ีไม่ขนำนกนั หำระยะห่ำงไมไ่ ด้

ภำคตัดกรวย บทท่ี 3 วงกลม รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม (������ − ������)������ + (������ − ������)������ = ������������ จดุ ศนู ย์กลำง = (h, k) และ รัศมี = r ตวั อยา่ ง (������ − ������)������ + (������ − ������)������ = ������������ รศั มี = 3 จุดศนู ยก์ ลำง = (1, 2) โจทยม์ ักจะกระจำยจนเละไมเ่ หลอื เค้ำเดิมเปน็ Ax2 + By2+ Cx + Dy + E = 0 กอ่ นค่อยเอำ มำใหเ้ รำ หน้ำทขี่ องเรำคอื ตอ้ งจัดรปู Ax2+ By2 + Cx + Dy +E = 0 กลบั ไปเปน็ รปู ง่ำยๆก่อน ตวั อยา่ ง 1 จงหำจุดศนู ยก์ ลำงและรศั มีของวงกลม 2x2 +2y2+ 4x-8y +8 = 0 จดั รปู จะได้ 2x2+2y2+4x-8y+8 = 0 x2+y2+2x-4y+4 = 0 (x2+2x)+(y2-4y) = -4 (x2+2x+12)+(y2-4y+22) =-4+12+22 (x+1)2+(y-2)2 = 1 ดงั น้ัน จะไดจ้ ดุ ศนู ยก์ ลำง คือ (-1, 2) และรัศมี = 1

ตวั อยา่ ง 2 จงหำจดุ ศนู ย์กลำงและรศั มขี องวงกลม 4x2+4y2+4x-15 = 0 ������2 + ������2 + ������ − 15 = 0 4 (������2 + ������) + ������2 = 15 4 (������2 + 2(������) (1) + (1)2) + ������2 = 15 + (1)2 22 42 (������ + 1)2 + ������2 = 4 2 ดงั นน้ั จงึ ได้จุดศนู ยก์ ลำง คือ (− ������ , 0) และรศั มี = 2 ������ ตวั อย่าง 3 วงกลมวงหนง่ึ มสี มกำรคือ x2+y2+Cx+Dy+E = 0 ถ้ำวงกลมน้มี ีจดุ ศูนยก์ ลำงคอื (-3, 2) และมรี ัศมี 5 หนว่ ยแลว้ จงหำคำ่ ของ C, D และ E วิธีทา วงกลมทีม่ ี จดุ ศูนยก์ ลำง (-3,2) และมีรศั มี5หนว่ ยคอื (x+3)2+(y-2)2 = 52 x2+6x+9+y2-4y+4 = 25 x2+y2+6x-4y-12 = 0 เทียบกบั x2+y2+Cx+Dy+E = 0 จะได้ C=6 D=-4 และ E=-12

บทท่ี 3 พาราโบล่า พาราโบลา จะมีรปู กรำฟเปน็ จำนดำวเทย่ี ม โดยเรำจะไดเ้ วยี นพำรำโบลำ 4 แบบ คอื หงำย ควำ่ ตะแคงขวำ และ ตะแคงซำ้ ย โดยคำศพั ท์ สำหรับเรยี กสว่ นตำ่ ง ๆของพำรำโบลำ จะมีดงั น้ี จุดยอด (v) คอื จดุ ที่พำรำโบลำวกกลบั แกนสมมาตร คอื แนวเสน้ ตรงที่ผำ่ พำรำโบลำเป็น 2 ส่วน เทำ่ กนั จดุ โฟกัส (F) คอื จดุ รวมลำแสงของจำนดำวเทียม กล่ำวคอื ถำ้ มี ลำแสงพ่งุ ใส่พำรำโบลำแบบตรง ๆ มนั จะสะทอ้ นไปทจี่ ดุ โฟกสั เสมอ ด้วยเหตุน้ี ตวั รับสัญญำณของจำนดำวเทียม จะวำงไว้ท่จี ดุ โฟกสั ลาตสั เรคตัม คอื แกนที่ลำกผำ่ นจดุ โฟกสั ในแนวตง้ั ฉำกกบั แกนสมมำตร เสน้ ไดเรกตริกซ์ คือ แนวเส้นตรงทเี่ ปน็ ฐำนรองพำรำโบลำโดย ระยะจำกเส้นไดเรกตริกซ์ ถงึ จุด ยอดจะเทำ่ กับระยะจำกจดุ ยอด ถงึ จดุ โฟกัส = c

สมบัตทิ ีส่ ำคัญอกี อนั ของพำรำโบลำ คอื ทุกจดุ บนพำรำโบลำ จะห่ำงจำกจดุ โฟกัส เทำ่ กับทีม่ ันหำ่ งจำกเส้นไดเรกตรกิ ซ์ กล่ำวคือ เตารังสีแสงอาทิตย์ (Solar Furnace) เป็นสิ่งก่อสร้ำงที่ออกแบบโดยนำ กระจกมำเรียงต่อกันเป็นจำนสะท้อน พำรำโบลำ จำกสมบัติกำรสะท้อนของ พำรำโบลำ ทำให้แสงอำทิตย์รวมอยู่ที่ โ ฟกั ส ซึ่งมีอุณหภูมิสูงถึง 3,500 องศำ ซึ่งพลงั งำนจำกแสงอำทติ ยท์ ีไ่ ด้นนี้ ิยมไปใชใ้ นกำรผลติ ไฟฟ้ำ กำรหลอมเหล็ก

สมการกราฟของพาราโบลา จะมี 4 รปู ได้แก่ หงำย (x-h)2 = 4c(y-k) ควำ่ (x-h)2 = -4c(y-k) ตะแคงขวำ (y-k)2 = 4c(x-h) ตะแคงซำ้ ย (y-k)2 = -4c(x-h) สังเกตวา่ พำรำโบลำ จะมีกำลงั สองที่ x หรือ y ตวั ใดตวั หนึง่ เพยี งตวั เดียวเท่ำนนั้ สตู รทตี่ ้องทอ่ ง จะนอ้ ยกว่ำกรำฟรปู อ่ืน จุดยอด อยู่ที่ (h, k) ระยะจำกจดุ โฟกัสถึงจุดยอด = C = ระยะจำกจดุ ยอดถึงเสน้ ไดเรกตริกซ์ ควำมยำวลำตสั เรคตมั = 4c แกนสมมำตระ x = 3 เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ x = -3 เสน้ ไดเรกตริกซ์: y = -2 แกนสมมำตระ y = 1

ตัวอย่าง 1 จงหำจุดยอด จดุ โฟกัส แกนสมมำตร เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ ควำมยำวลำตัสเรคตมั พรอ้ มทงั้ วำด รูปพำรำโบลำซง่ึ มีสมกำรกรำฟ คอื (y-1)2 = -12(x + 2) วิธีทา สมกำรกรำฟ อยู่ในรูปแบบ (y-k)2 = -4c(x-h) ดังนั้น เป็นพำรำโบลำแบบ ตะแคงซ้ำย จะได้ k=1, c=3, และ h=-2 ดังนั้น จุดยอด คือ V(-2, 1) ระยะจำก V ถึง F คือ c=3 ดังนั้น จุดโฟกัสคือ F(-5, 1) ระยะจำก V ถึง ไดเรกตริกซ์ คือ 3 ด้วย ดังนน้ั ไดเรกตวิกซ์ คือ x=1 แกนสมมำตร คือ เส้นแนวนอนที่ผ่ำน V ดังนั้น แกนสมมำตรคือ y = 1 และสุดท้ำยควำมยำว ลำตสั เรคตัม = 4c = 12 หนว่ ย ตัวอยา่ ง 2 จงหำสมกำรของพำรำโบลำ ซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่ (0, 2) และจดุ โฟกสั อยู่ท่ี (0, -3) วธิ ีทา จะเหน็ ว่ำจุดโฟกสั อยใู่ ตจ้ ุดยอด ดงั นั้น เป็นพำรำโบลำควำ่ ใช้รูปสมกำร (x- h)2 = -4c(y-k) จดุ ยอด = (h, k) = (0,2) ดงั น้นั h=0 และ k=2 จุดยอดหำ่ งจำกจดุ โฟกสั = 2-(-3) = 5 ดงั นนั้ c=5 ดงั น้นั สมกำรคอื (x-0)2 = -4(5)(y-2) x2 = -20(y-2) ในกรณีทโ่ี จทยใ์ หส้ มกำรกรำฟเละๆ แบบ Ax2 +By2+Cx +Dy+E = 0 จะตอ้ งจดั รปู ให้สวยๆกอ่ น อย่ำงไรก็ตำม ตอ้ งรู้กอ่ นว่ำกรำฟพำรำโบลำจะมแี ค่ตัว เดียวในระหวำ่ ง x กบั y ท่มี ีสทิ ธิถูกยกกำลังสองตัวอยำ่ งสมกำรกรำฟพำรำโบลำ เชน่ x2-4x+8y+12 = 0 หรือ 2y2-3x+12y +24 = 0

ตวั อยา่ ง 3 จงหำจดุ ยอด จดุ โฟกสั แกนสมมำตร เส้นไดเรกตริกซ์ ควำมยำวลำตัสเรคตัม พร้อมทั้งวำดรูปพำรำโบลำซ่ึงมี สมกำรกรำฟคอื x2+2x-4y-7 = 0 วธิ ีทา จัดรปู กอ่ นจะได้ x2+2x-4y-7 = 0 x2+2x = 4y+7 x2+2(x)+1 = 4y+7+1 (x +1)2 = 4y+8 (x+1)2 = 4(1)(y +2) สมกำรอย่ใู นรปู (x-h)2 = 4c(y-k) ดังน้นั เป็นกรำฟหงำย จะได้ h=-1, c=1, k=-2 จุดยอด คอื V(-1,-2) ระยะจำก V ถึง F คือ c=1 ดงั น้นั จดุ โฟกสั คอื F(-1,-1) ระยะจำก V ถงึ ไดเรกตรกิ ซ์ คือ 1 ด้วย ดงั นั้น ไดเรกตริกซ์คอื y= -3 แกนสมมำตร คือ เส้นแนวต้ังท่ผี ่ำนV ดงั น้นั แกนสมมำตรคอื x=-1 ควำมยำวลำตัสเรคตมั = 4c = 4 หนว่ ย

บทที่ 3 วงรี กรำฟวงรี จะมี 2 แบบ คอื รีแนวนอน กับรีแนวตง้ั โดยคำศพั ท์ สำหรบั เรยี กส่วนตำ่ ง ๆ ของวงรี จะมดี งั น้ี จุดศูนย์กลาง คอื จดุ ทอี่ ยตู่ รงกลำงของวงรี แกนเอก คอื แกนท่ลี ำกผำ่ นจุดศนู ย์กลำง ตำมแนวยำวของวงรี แกนโท คือ แกนทีล่ ำกผำ่ นจดุ ศูนย์กลำง ในแนวตัง้ ฉำกกับแกนเอก จุดยอด คือ จดุ ปลำยแกนเอกทั้งสองจุด นยิ มแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ V และ V2 จดุ โฟกสั คือ จุดพเิ ศษ 2 จดุ บนแกนเอก ท่ีมีสมบตั ิว่ำ ระยะจำก โฟกสั 1 ไปจดุ ไหนกไ็ ด้ บนวงรี ซึ่งกลับไป โฟกัส2 จะมีควำมยำวเทำ่ กับแกนเอกเสมอ โดยเรำนยิ มแทนจดุ โฟกสั ดว้ ยสญั ลักษณ์ F1 และ F2 เชน่ จะได้ F1AF2=F1BF2=F1CF2=F1DF2=F1EF2

สมการกราฟของวงรี จะอยู่ในรปู (������−������)������ (������−������)������ + ������������ ������������ จะรแี นวนอนหรอื รีแนวตัง้ ขน้ึ กับ ตวั หำร x และ ตัวหำร y วำ่ ตัวไหนมคี ำ่ มำกกวำ่ กนั ถ้ำตัวหำร x มำกกว่ำ จะรีแนวนอน แต่ถ้ำตวั หำร y มำกกวำ่ จะรแี นวต้ัง EXAMPLE (������−1)2 + (������−2)2 = 1 รแี นวนอน 32 22 รแี นวตั้ง = 1(������+1)2 12 + (������−1)2 √22 ปกติ เรำจะให้ a แทนตัวมำก และ b แกนตวั นอ้ ย ดังนน้ั รีแนวนอน รแี นวตั้ง