Belge 6.docx

İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonlar f(x) ax²+bx+c Şeklinde ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerine parabol adı ver Örnek: 2 f(x) x 6x 1 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. Not : f(x) = ax2 +bx +c parabolünde a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise kollar aşağı doğru olur.

Örnek: f(x) = (m- 3)x3 +(n+ 2)x2 - 3x + 5 fonksiyonunun grafiği kolları aşağı yönlü bir parabol ise m+n toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Çözüm: Parabol ise, 3.derece bir terim olamaz. Dolayısıyla m = 3 tür. Parabolün kolları aşağıya doğru ise, x2 nin katsayısı negatiftir. Þ n+ 2 < 0 Þ n < -2 dir. n tam sayı olarak en fazla –3 olur. O halde, m+n = 3 +(-3) = 0 olur en fazla. Parabolün Tepe Noktası Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.

Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x1 ile x2 nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz. Kural: f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur. Örnek 1: f(x) = 5.(x+4)²+9 parabolünün tepe noktası nedir? Çözüm: Formüle baktığımızda x-r = x+4 olması gerektiğinden dolayı r=-4 çıkar. k ise sabit değer olur. Yani k=9 çıkmaktadır. Buna göre parabolün tepe noktası T(-4,9) çıkmaktadır. Örnek 2: f(x) = 3x² + 18x parabolünün tepe noktası nedir? Çözüm: Burada r= -b/2a formülünü kullanmamız gerekmektedir. -18/6 dan r = -3 çıkar. k = f(-3) = 3.(-3)² + 18.(-3) = -27 çıkmaktadır. Buna göre parabolün tepe noktası T(-3,-27) olur.

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri f(x) = ax2 + bx + c parabolünde •a > 0 ise parabolün alabileceği en küçük değer parabolün tepe noktasının ordinatıdır. •a < 0 ise parabolün alabileceği en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır. •Bu durum parabolün herhangi bir aralıktaki parçası için geçerli değildir. [a, b] aralığındaki parabolün maksimum-minimum değeri sorulursa tepe noktası T(r, k) olmak üzere f(r), f(a) ve f(b) ye bakılır. Örnek: f(x)= 2x²-8x+9 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz. Çözüm: T(r,k), r= −������ = −(−8) 2 2.2 F(2)=2.2²-8.2+9= 8-16+9=1 T(2,1) en küçük değeri=1 Örnek: Reel sayılarda tanımlı f(x)= -x²+6x+2 fonsiyonun en büyük değeri kaçtır? Çözüm: T.N(r,k) r= −������ = −6 2������ 2.−1 r=3 f(3)= -3²+6.3+2 = -9+18+2 f(3) = 11 T.N(3,11) en büyük değer 11

Parabol Grafiğinden Fonksiyonu Yazma 1.Tepe Noktası Biliniyorsa Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi f(x) =a(x-r)²+k şeklindedir. Örnek: Tepe noktası T(1, 2) olan parabol y eksenini A(0, 3) noktasında kesmektedir. Buna göre parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x2 - 2x + 3 B) y = x2 + 3x + 2 C) y = 2x2 - x + 3 D) y = 4x2 + 2x + 3

E) y = 2x2 - x + 1 Çözüm: Tepe noktası üzerinden parabolümüzü yazalım: y = a(x - 1)2 + 2 şeklinde yazarız. Şimdi de bu parabol 0, 3 noktasından geçtiğine göre bu denklemi sağlaması gerektiğini düşünelim. Öyleyse parabolde x yerine 0 yazarsak y 3'e eşit olacaktır. 3 = a(0 - 1)2 + 2 → 3 = a(-1)2 + 2 → 3 = a + 2 ⇒ a = 1 bulunur. Şimdi bu a yerine 1 yazarak parabol denklemini elde edelim: y = (x - 1)2 + 2 ⇒ y = x2 - 2x +1 + 2(parantez için karesini aldık) ⇒ y = x2 - 2x + 3 bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir. 2. Parabolün Üç Noktası Biliniyorsa x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen parabolün denklemi,f(x) = a(x – x1)(x – x2) dir. Örnek : A(-2,0), B(1,3) ve C(0,5) noktalarından geçen parabolün denklemi nedir? Çözüm: Herhangi 3 noktası belli olduğu için sırayla 3 farklı denklem yapacağız ve bilinmeyenleri bulacağız. Öncelikle parabolüm denklemimiz y=f(x) =ax²+bx+c olsun. Buradan C(0,5) noktası için f(0)=5=c olur. Yani c=5 olmuş olur.

A(-2,0) noktası için ==> 0= 4a-2b+5 çıkar. (1. denklem) B(1,3) noktası için ==> 3=a+b+5 çıkar. (2. denklem) 2. denklemi 2 ile genişletiyoruz ve alt alta topluyoruz bu da 6=6a+15 a= −3 2 b= −1 2 ÖRNEK: Grafiği (-1, 13), (0, 3) ve (1, - 3) noktalarından geçen parabolün denklemini bulunuz. ÇÖZÜM: (0, 3) noktası nedeniyle f(x) = ax2 +bx + c parabolünde c = 3 tür. f(x) = ax2 +bx + 3 fonksiyonunda (-1, 13)Þ 13 = a-b + 3 Þ10 = a -b (1- 3)Þ - 3 = a+b + 3Þ - 6 = a +b topla 4 = 2a Þ a = 2 dir. 10 = a-bÞ b = -8 dir. O halde, f(x) = 2x2 - 8x + 3 tür. ÖRNEK:

Yandaki grafiğe göre,TOA üçgenin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Tepe noktasının apsisi 2 olduğuna göre, x = 2 doğrusu simetri eksenidir. A(6, 0) noktasının x = 2 ye göre simetriği (-2, 0) noktasıdır. x eksenini kesen 2 noktayı da biliyoruz. f(x) = a(x + 2)(x - 6) şeklindedir. (0, 12) noktasından da geçiyor.

12 = a(0 + 2)(0 - 6)Þ 12 = -12aÞ a = -1 f(x) = -(x + 2)(x - 6) dır. T(2, k) noktasındaki k değerini bulalım. k = -1(2 + 2)(2 - 6) = -4.(-4) = 16 dır. Üçgenin yüksekliği 16, tabanı 6 birim ise, A(TOA) = 6.16 2 = 48 br2 dir. Bir Doğru ile Bir Parabolün Birbirine Göre Durumu y = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx +n doğrusu birbirine eşitlendiğinde oluşan denklemde Δ> 0 ise iki farklı noktada kesişirler. Δ= 0 ise doğru, parabole teğettir. Δ< 0 ise doğru ile parabol kesişmezler. Ortak çözümden gelen x değerleri kesişim noktalarının apsisleridir. Daha sonra bu x değerleri herhangi bir denklemde yerine yazılarak y değerleri bulunabilir. Örnek: y = 4x - 5 doğrusu f(x) = x2 +mx - 4 parabolüne teğet olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler toplamını bulunuz. Çözüm:

Denklemleri birbirine eşitleyelim. x2 +mx - 4 = 4x - 5 x2 + (m - 4)x + 1 = 0 Teğet olduğundan D = 0 dır. (m - 4)2 - 4.1.1 = 0 (m - 4)2 = 4 m-4=2 veya m - 4 = -2 m = 6 dır. m = 2 dir. Þ m değerleri toplamı 6 + 2 = 8 dir Örnek: f(x) = -x2 + x +m parabolü ile y = 3x -m doğrusu kesişmediğine göre m'nin en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: Denklemleri birbirine eşitleyelim. -x2 + x +m = 3x -m -x2 - 2x + 2m = 0 D < 0 olmalıdır. (-2)2 - 4.(-1).2m < 0 4 + 8m < 0Þ 8 m < -4Þ m < - 1Þ m tam sayı olarak en fazla-1 olurÖRNEK:

y = x2 − 3x + 5 parabolünün ile y = −x + 2 doğrusuna en yakın olduğu noktanın koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM: Parabolün doğruya en yakın olduğu nokta, parabol ile bu noktadaki teğetinin kesişim noktasıdır. Teğet ile y = -x + 2 doğrusu birbirine paraleldir. Dolayısıyla teğet doğrusuna y = -x +n diyebiliriz y = -x +n ile y = x Δ= 0 olmalıdır. - 3x + 5 in ortak çözümünde x2 - 3x + 5 = -x +n x2 - 2x + 5 -n = 0 Δ = (-2)2 - 4.1.(5 -n) = 0 4 - 20 + 4n = 0 4n = 16 n = 4 tür. y = x2 - 3x + 5 ile y = -x + 4 ün kesişim noktasını bulalım. x2 - 3x + 5 = -x + 4 x2 - 2x + 1 = 0 Şimdi parabolün tepe noktasını bulalım.(x - 1)2 = 0Þ x = 1 dir. x = 1 için y = -x + 4 = 3 tür. Þ En yakın nokta (1, 3) noktasıdır. Problem Çözümünde Parabolün Kullanılması Örnek: Çevresi 60 m olan dikdörtgen şeklinde bir bahçenin alanı en fazla kaç m2 dir? ÇÖZÜM:

Bahçenin farklı kenarları x ve y olsun. 2(x + y) = 60 iseÞ x + y = 30Þ y = 30 - x tir. Alan = x.y = x.(30 - x) = -x2 + 30x tir. f(x) = -x2 + 30x şeklinde bir parabolün tepe noktasını bulabiliriz. r=- 30 2.(−1) = 15 tir. Maksimum değeri f(15) tir. f(15) = -152 + 30.15 = -225 + 450 = 225 m2buluruz. ÖRNEK: Şekildeki OABC dikdörtgeninin B köşesi 3x + 4y = 24 doğrusu üzerinde olmak üzere A(OABC) maksimum kaçtır?

ÇÖZÜM: B noktasının apsisi x olsun. y değerini doğru denkleminden yazabiliriz. 3x + 4y = 24Þ 4y = 24 - 3xÞ y = 24−3������ tür. 4 A(OABC) = x . 24−3������ = −3������2 + 6������ 4 4 tir. r= −������ = 6 = 6 = 12 =4 tür. 2������ 3 =-12+24=12br²dir. 2 −3 3 4 2 x=4 için A(OABC) = −3������2 + 6������ =− 3.16 + 24 4 4

































RAPOR : Öncelikle konumun ne oldugunu eokuldan öğrendim. Nasıl bir giriş hazırlayacağımı , ve kapağımı düşündüm ardından kapağımı hazırlamak için canva uygulamasından yardım alarak kapağımın ön tasarısını oluşturdum. Tasarı oluştuktan sonra kapağı hazırladım. Konu ile ilgili konu anlatımı yazdım. Konu anlatımları arasına çözümlü sorularla konunun pekişmesini sağladım. Tüm konuyu yeterli olarak anlatıp pekiştirdikten sonra sorularla destekledim. Böylece ödevimi tamamlamış oldum . KAYNAKÇA: https://www.matematikkolay.net/ https://www.universitego.com/ https://www.derszamani.net/ EİS yayınları 11.sınıf matematik testi Matematiktutkusu.com www.eokultv.com