บทที่ 1 การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น

เอกสารประกอบการสอน วิชาคณิตศาสตรเสริม 6 รหัสวิชา ค33202 บทที่ 1 การวิเคราะหข อมลู เบ้อื งตน 1 Basic data analysis จดั ทําโดย ครสู มุ าลี มสี กลุ ตําแหนงครู วิทยฐานะชํานาญการพิเศษ โกรลCงุมเoLรสmoยี gาoนpรtyวaะpenเิกศyาษรไเรชียยYนชoราuคูญrณC“oติ ตmศันpาaตสnวิyติทNรยamาภe (ูมC”ิ ) Copyright (Print Date) All Rights Reserved

หน่วยที 1 การวิเคราะห์ข้อมูลเบืองต้น 1.1 การวดั ค่ากลางของข้อมลู (Measure of Central Value) 1.1.1 ค่าเฉลียเลขคณิต (Arithmetic Mean) การหาค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมลู ทีไม่ได้แจกแจงความถี สูตร ……………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………….. สญั ลกั ษณ์  เป็ นอกั ษรกรีก เรียกวา่ “capital sigma” อา่ นวา่ “summation” ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียเลขคณิตของขอ้ มลู , , , , วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... สมบตั ขิ อง  ทคี วรทราบมีดังนี ถา้ c และ d เป็นค่าคงตวั ใดๆ (1) ................................................................................................... (2) ................................................................................................... (3) ................................................................................................... (4) ................................................................................................... ตัวอย่าง ถา้ x1 = 3, x2 = 5, x3 = 7, x4 = 9, f1 = 0, f2 = 1, f3 = 2, f4 = 3 และ c = 5 จงหาค่าของ 8 (1) c i1 วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1

(2) 4 (xi  1)2 i1 วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 4 (3) (fi xi  c) i1 วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ตัวอย่าง ถา้ 6 และ 6 y2i  35 จงหาค่าของ 6 i 12) และ 6 ( y i  2)2 yi 8 (7y  i1 i1 i1 i1 วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2

การหาค่าเฉลียเลขคณติ ของข้อมูลทีแจกแจงความถีในรูปตารางแจกแจงความถีอย่างง่าย สูตร ค่าเฉลียเลขคณิต = …………………………………………………………. = …………………………………………………………. เมือ fi แทน .............................................................. xi แทน .............................................................. และ N แทน .............................................................. ขันตอน 1) หาผลคูณระหวา่ งขอ้ มูล (xi) และความถี (fi) ของแต่ละอนั ตรภาคชนั k 2) หาผลรวมของผลคูณในขอ้ 1) ( x i fi )  i1 3) หาผลรวมความถีของขอ้ มูลทงั หมด (N) 4) หา X โดยนาํ ผลรวมในขอ้ 2) หารดว้ ยผลรวมในขอ้ 3) ตัวอย่าง นกั เรียน 20 คน สอบวชิ าคณิตศาสตร์ไดค้ ะแนนดงั ตาราง ค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กบั กีคะแนน คะแนน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จาํ นวน (คน) 3 1 4 1 1 2 3 0 4 1 วธิ ีทํา คะแนน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จาํ นวน (คน) 3 1 4 1 1 2 3 0 4 1 ดงั นนั ค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบ = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. การหาค่าเฉลียเลขคณติ ของข้อมูลทีแจกแจงความถีในรูปอนั ตรภาคชัน สูตร ค่าเฉลียเลขคณิต = …………………………………………………………. = …………………………………………………………. เมือ fi แทน .............................................................. xi แทน .............................................................. และ N แทน .............................................................. 3

ขันตอน ) หาจุดกึงกลางของอนั ตรภาคชนั (xi) ) หาผลคูณระหวา่ งจุดกึงกลาง (xi) และความถี (fi) ของแต่ละอนั ตรภาคชนั ) หาผลรวมของผลคูณในขอ้ ) ) หาผลรวมความถีของขอ้ มูลทงั หมด ) หา X โดยนาํ ผลรวมในขอ้ ) หารดว้ ยผลรวมในขอ้ ) ตัวอย่าง ขอ้ มลู ในตารางเป็ นนาํ หนกั ของเด็กนกั เรียนชนั มธั ยมศึกษาปี ที ของโรงเรียนแห่งหนึง จาํ นวน คน จงหาค่าเฉลียนาํ หนกั ของเด็กทงั หมด นําหนัก จํานวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 วธิ ีทาํ นาํ หนัก จาํ นวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 .......................................................................................................................................................................... การหาค่าเฉลียเลขคณติ ถ่วงนําหนัก (Weighted arithmetic mean) สูตร ค่าเฉลียเลขคณิตถ่วงนาํ หนกั = …………………………………………………………. = …………………………………………………………. เมือ wi แทน ............................................................... และ xi แทน ............................................................... 4

ตัวอย่าง ในการคาํ นวณผลการเรียนเฉลีย (Grade point average หรือ GPA) ของนกั เรียนทีลงทะเบียนเรียน 5 วชิ า ซึงแต่ละวชิ ามีหน่วยกิตไมเ่ ท่ากนั เป็นดงั นี วชิ า คณติ ศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ ภาษาไทย สังคมศึกษา ภาษาอังกฤษ 3 3 1.5 1.5 2 หน่วยกติ 4 3 2 2 3 ผลการเรียน จงหาผลการเรียนเฉลียของนกั เรียนคนนี วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ค่าเฉลียเลขคณิตรวม (Combined arithmetic mean) สูตร ค่าเฉลียเลขคณิตรวม = …………………………………………………………. = …………………………………………………………. เมือ Xi แทน .............................................................. และ ni แทน .............................................................. ตัวอย่าง ค่าเฉลียเลขคณิตของอายนุ กั เรียนชนั มธั ยมศึกษาปี ที 3, 4 และ 5 ของโรงเรียนแห่งหนึงเป็น 15 ปี 17 ปี และ 18 ปี ตามลาํ ดบั ถา้ โรงเรียนแห่งนีมนี กั เรียนในแต่ละชนั ดงั กล่าวเป็ น 60, 50 และ 40 คน จงหา ค่าเฉลียเลขคณิตของอายขุ องนกั เรียนชนั มธั ยมศึกษารวมกนั ทงั สามชนั วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 5

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... โจทย์ประยุกต์ ตัวอย่าง อายขุ องเดก็ กลุ่มหนึงมีการแจกแจง ดงั นี อายุ (ปี ) จํานวน (คน) 8 – 10 3 11 – 13 m 14 – 16 5 17 – 19 6 ถา้ ค่าเฉลียอายขุ องเดก็ กลุ่มนีเท่ากบั ปี จงหาค่า m วธิ ีทํา อายุ (ปี ) จํานวน (คน) 8 – 10 3 11 – 13 m 14 – 16 5 17 – 19 6 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 6

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... สมบตั ิทีสําคัญของค่าเฉลียเลขคณิต 1) ผลรวมของขอ้ มลู ทงั หมด = ……………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) ผลรวมของผลต่างระหวา่ งค่าของขอ้ มลู แต่ละคา่ กบั คา่ เฉลียเลขคณิตมีค่าเท่ากบั 0 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3) ผลรวมของผลตา่ งกาํ ลงั สองของแต่ละค่าขอ้ มูลกบั จาํ นวนจริง M ใดๆ มคี ่านอ้ ยทีสุดเมือ M เทา่ กบั ค่าเฉลียเลขคณิตของขอ้ มูลชุดนนั …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4) xmin <  < xmax และ xmin < X < xmax 5) ถา้ ตวั แปร Y สมั พนั ธก์ บั ตวั แปร X ในรูปฟังกช์ นั เชิงเส้น นนั คือ…………………………………. จะไดว้ า่ …………………………………………………………………………………………… หรือ …………………………………………………………………………………………… ตัวอย่าง ความสัมพนั ธร์ ะหว่างปริมาณของวตั ถุดิบทีใชใ้ นการผลิตสินคา้ ชนิดหนึงในหน่วยกิโลกรัม (x) และตน้ ทุนในหน่วยบาท (y) เป็น y = 15x + 1,500 โรงงานจาํ นวน 5 แห่ง ใชว้ ตั ถุดิบดงั กลา่ วในการผลิต สินคา้ , 124, 120, และ กิโลกรัม ตามลาํ ดบั จงหาตน้ ทุนเฉลียในการผลิตสินคา้ ของโรงงานทงั แห่งนี วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 7

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1.1.2 มัธยฐาน (Median) การหามัธยฐานของข้อมลู ทีไม่ได้แจกแจงความถี ขันตอน 1) เรียงขอ้ มลู จากมากไปนอ้ ยหรือนอ้ ยไปมาก 2) หาตาํ แหน่งมธั ยฐานจากสูตร ตาํ แหน่งมธั ยฐาน = …………………………… 3) หามธั ยฐานจากตาํ แหน่งทีคาํ นวณได้ ตัวอย่าง มธั ยฐานของขอ้ มลู 18, 20, 19, 22, 20, 18 และ 19 มีค่าเทา่ ไร วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ตัวอย่าง มธั ยฐานของขอ้ มลู 7, 8, 6, 8, 9, 9, 10, 6, 11 และ 12 มีค่าเท่าไร วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... การหาค่ามธั ยฐานของข้อมลู ทีแจกแจงความถใี นรูปตารางแจกแจงความถอี ย่างง่าย ขันตอน 1) หาความถีสะสม 2) หาตาํ แหน่งมธั ยฐานจากสูตร ตาํ แหน่งมธั ยฐาน = …………………………… 3) หามธั ยฐานจากตาํ แหน่งทีคาํ นวณไดโ้ ดยพิจารณาจากค่าของผลรวมความถีสะสม 8

ตัวอย่าง จากการสาํ รวจคะแนนสอบของเด็กกลมุ่ หนึงดงั ตาราง คะแนนทีได้ 24 26 30 32 35 40 จาํ นวนนกั เรียน (คน) 8 3 6 9 4 6 จงหาค่ามธั ยฐานของเดก็ กลุ่มนี วธิ ีทาํ คะแนนทีได้ 24 26 30 32 35 40 จาํ นวนนกั เรียน (คน) 8 3 6 9 4 6 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... การหาค่ามธั ยฐานของข้อมลู ทแี จกแจงความถใี นรูปอนั ตรภาคชัน ขันตอน 1) หาความถีสะสม 2) หาตาํ แหน่งมธั ยฐานจากสูตร ตาํ แหน่งมธั ยฐาน = …………………………… 3) หาอนั ตรภาคชนั ทีมีมธั ยฐานอยู่ 4) หามธั ยฐานจากสูตร ………………………………………………………………………………… เมือ L แทน ............................................................................................ I แทน ............................................................................................ N แทน ............................................................................................ fL แทน ............................................................................................ fM แทน ............................................................................................ สมบัติของมธั ยฐาน ……………………………………………………………………………………… 9

ตัวอย่าง ขอ้ มลู ในตารางเป็ นนาํ หนกั ของเด็กนกั เรียนชนั มธั ยมศึกษาปี ที ของโรงเรียนแห่งหนึง จาํ นวน คน จงหามธั ยฐานนาํ หนกั ของเดก็ ทงั หมด นาํ หนกั จาํ นวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 วธิ ีทาํ นําหนัก จํานวนคน ................................................................. 40 - 44 4 ................................................................. 45 - 49 12 ................................................................. 50 - 54 15 ................................................................. 55 - 59 10 ................................................................. 60 - 64 9 ................................................................. ................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 10

1.1.3 ฐานนิยม (Mode) การหาฐานนิยมของข้อมลู ทีไม่ได้แจกแจงความถี พิจารณาจากขอ้ มลู ทีมคี ่าซาํ กนั มากทีสุด ซึงอาจมีเพียงค่าเดียว มากกวา่ 1 ค่า หรือไม่มีเลยก็ได้ ตัวอย่าง จงหาฐานนิยมของขอ้ มลู ต่อไปนี 1) 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 5 ตอบ……………………………………………………………………………………………………………. 2) 8, 9, 6, 9, 6, 8 ตอบ……………………………………………………………………………………………………………. 3) 5, 7, 9, 9, 5, 7, 4 ตอบ……………………………………………………………………………………………………………. การหาฐานนิยมของข้อมลู ทแี จกแจงความถใี นรูปตารางแจกแจงความถอี ย่างง่าย พจิ ารณาจากขอ้ มลู ทีมคี วามถีสูงทีสุด ซึงอาจมีเพียงคา่ เดียว มากกวา่ 1 ค่า หรือไม่มีเลยก็ได้ ตัวอย่าง จงหาฐานนิยมของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี 1) ขอ้ มลู 11 12 13 14 15 จาํ นวน (คน) 2 8 11 9 10 ตอบ……………………………………………………………………………………………………………. 2) ขอ้ มลู 123456 จาํ นวน (คน) 4 7 6 7 3 5 ตอบ……………………………………………………………………………………………………………. 3) ขอ้ มลู 6 7 8 9 10 11 จาํ นวน (คน) 2 2 2 2 2 2 ตอบ……………………………………………………………………………………………………………. การหาฐานนิยมของข้อมลู ทแี จกแจงความถใี นรูปอันตรภาคชัน ขันตอน 1) หาอนั ตรภาคชนั ทีมีฐานนิยมอยู่ (ชนั ทีมีความถีสูงสุด) 2) หาฐานนิยมจากสูตร ฐานนิยม = ……………………………………………………………….. เมือ L แทน ............................................................................................ I แทน ............................................................................................ 11

d1 แทน ............................................................................................ d2 แทน ............................................................................................ ตัวอย่าง ขอ้ มลู ในตารางเป็ นนาํ หนกั ของเดก็ นกั เรียนชนั มธั ยมศึกษาปี ที ของโรงเรียนแห่งหนึง จาํ นวน คน จงหาฐานนิยมนาํ หนกั ของเด็กทงั หมด นาํ หนกั จํานวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 วธิ ีทํา นําหนัก จํานวนคน 40 - 44 4 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 45 - 49 12 ……………………………………………………………. 50 - 54 15 55 - 59 10 ……………………………………………………………. 60 - 64 9 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... แบบฝึ กหัดเพมิ เติม ขอ้ มลู ในตารางเป็นความสูงของนกั เรียนจาํ นวน คน จงหาค่าเฉลียเลขคณิต มธั ยฐาน และฐาน นิยม ความสูงของนกั เรียนทงั หมดนี ความสูง จํานวนคน 140 – 144 5 145 – 149 18 150 – 154 42 155 – 159 27 160 – 164 8 12

ข้อสังเกตและหลกั เกณฑ์ทีสําคญั ในการใช้ค่ากลางชนิดต่างๆ 1) ค่าเฉลียเลขคณิตเป็นค่ากลางทีไดจ้ ากการนาํ ทุกๆ ค่าของขอ้ มลู มาเฉลีย แต่มธั ยฐานเป็นเพยี งคา่ กลางทีใชต้ าํ แหน่งที (Position) ของขอ้ มูลบางค่าเทา่ นนั ส่วนฐานนิยมเป็นค่ากลางทีพิจารณาจากขอ้ มลู ทีมี ความถีสูงสุด 2) ถา้ ในจาํ นวนขอ้ มูลทงั หมดมีขอ้ มลู บางค่าทีมีค่าสูงหรือตาํ กวา่ ขอ้ มลู อืนๆ มาก จะมีผลกระทบต่อ ค่าเฉลียเลขคณิต กล่าวคือ อาจทาํ ใหค้ า่ เฉลียเลขคณิตมีค่าสูงหรือตาํ กวา่ ขอ้ มูลทีมีอยสู่ ่วนใหญ่ แต่จะไม่มี ผลกระทบต่อมธั ยฐาน กรณีเช่นนีควรใชม้ ธั ยฐาน 3) มธั ยฐานและฐานนิยมใชเ้ มือตอ้ งการทราบค่ากลางของขอ้ มลู ทงั หมดโดยประมาณและรวดเร็ว ทงั นีเนืองจากการหาค่ามธั ยฐานและฐานนิยมของขอ้ มลู ในบางกรณีไมจ่ าํ เป็นตอ้ งมีการคาํ นวณ 4) ถา้ การแจกแจงความถีของขอ้ มูลประกอบดว้ ยอนั ตรภาคชนั ทีมีช่วงเปิดซึงอาจเป็นชนั ตาํ สุดหรือ ชนั สูงสุดชนั ใดชนั หนึงหรือทงั สองชนั การหาค่ากลางโดยใชค้ ่าเฉลียเลขคณิตไม่สามารถหาได้ แต่สามารถ หามธั ยฐานหรือฐานนิยมได้ 5) การแจกแจงความถีของขอ้ มูลทีมีความกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคชนั ไมเ่ ท่ากนั อาจมผี ลทาํ ให้ ค่าเฉลียเลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคลือนไปจากทีควรจะเป็นไดบ้ า้ ง แต่ไม่มีผลกระทบต่อการหามธั ยฐาน 6) ในกรณีทีขอ้ มูลเป็นประเภทขอ้ มลู เชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางไดเ้ ฉพาะฐานนิยมเท่านัน แต่ ไม่สามารถหาคา่ เฉลียเลขคณิตหรือมธั ยฐานได้ 7) ในกรณีทีสามารถนาํ ขอ้ มลู มาเรียงลาํ ดบั ได้ ควรหาค่ากลาง คือ มธั ยฐานก่อน และถา้ เป็นขอ้ มูลเชิง ปริมาณทีมีค่าตอ่ เนือง (Continuous random variable) ควรใชค้ ่าเฉลียเลขคณิตแทนมธั ยฐานจะเหมาะสมกวา่ 1.1.4 ค่าเฉลียเรขาคณิต (Geometric mean) ข้อมลู ไม่ได้มีการแจกแจงความถี สูตร ค่าเฉลียเรขาคณิต G.M = ………………..……………………………….. ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียเรขาคณิตของขอ้ มูล , 3, 6, 8, 12 วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ข้อมลู มกี ารแจกแจงความถีในรูปตารางแจกแจงความถอี ย่างง่าย สูตร ค่าเฉลียเรขาคณิต G.M = ………………..……………………………….. เมือ xi แทน ……………………………………………………… fi แทน ……………………………………………………… และ N แทน ……………………………………………………… 13

ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียเรขาคณิตของขอ้ มลู ในตารางทีกาํ หนด 5 ขอ้ มลู 1 2 3 4 2 จาํ นวน (คน) 2 3 1 2 วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ข้อมลู มกี ารแจกแจงความถีในรูปอันตรภาคชัน สูตร ค่าเฉลียเรขาคณิต G.M = ………………..……………………………….. เมือ xi แทน ……………………………………………………… fi แทน ……………………………………………………… และ N แทน ……………………………………………………… ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียเรขาคณิตของขอ้ มูลอายขุ องนกั เรียนจาํ นวน 10 คนนี อายุ จาํ นวนคน 1–3 4 4–6 3 7–9 3 วธิ ีทาํ อายุ จาํ นวนคน 1–3 4 4–6 3 7–9 3 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1.1.5 ค่าเฉลียฮาร์มอนกิ (Harmonic mean) ข้อมลู ไม่ได้มีการแจกแจงความถี 1 สูตร ค่าเฉลียฮาร์มอนิก H.M. = 1 1 1 1 1  N x2 x3 xN   x1    ...    = 1 N 1 x1 1 1 xN  x2  x3  ...  14

ค่าเฉลียฮาร์มอนิก H.M. = N N 1 xi  i1 เมือ N แทน …………………………………………….. xi แทน …………………………………………….. ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียฮาร์มอนิคความเร็วเฉลียของเรือ ลาํ ต่อไปนีในหน่วยกิโลเมตรตอ่ ชวั โมง , 15, 20, 20 วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ข้อมลู มีการแจกแจงความถีในรูปตารางแจกแจงความถอี ย่างง่าย 1 สูตร ค่าเฉลียฮาร์มอนิก H.M. = 1 f1 1 f2 1 f3 1 ... fk 1  N  x1  x2  x3   xk   = 1 1 N 1 1 x1 x2 x3 xk f1  f2  f3 ...  fk = N k fi xi  i1 15

เมือ N แทน …………………………………………….. xi แทน …………………………………………….. fi แทน …………………………………………….. ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียฮาร์มอนิคของขอ้ มูลในตารางต่อไปนี ขอ้ มลู 2 3 4 5 จาํ นวน 4 2 3 1 วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ข้อมลู มีการแจกแจงความถีในรูปอนั ตรภาคชัน 1 สูตร ค่าเฉลียฮาร์มอนิก H.M. = 1 f1 1 1 1 1  N  x1 x2 x3 xk   f2  f3  ...  fk  16

= 1 1 N 1 1 x1 x2 x3 xk f1  f2  f3  ...  fk = N k fi xi  i1 เมือ N แทน …………………………………………….. xi แทน …………………………………………….. fi แทน …………………………………………….. ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลียฮาร์มอนิคของขอ้ มลู อายขุ องนกั เรียนจาํ นวน 10 คนนี อายุ จาํ นวนคน 1–3 4 4–6 3 7–9 3 วธิ ีทาํ อายุ จํานวนคน 1–3 4 4–6 3 7–9 3 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 17

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ค่ากงึ กลางพสิ ัย (Mid–range) สูตร ค่ากึงกลางพิสัย = …………………………………………………….. ตัวอย่าง จงหาค่ากึงกลางพิสัยของขอ้ มูล , 3, 6, 8, 12 วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1.2 การวดั ตาํ แหน่งทีหรือตําแหน่งสัมพทั ธ์ของข้อมลู (Measure of Relative Standing) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. เปอร์ เซ็นต์ ไทล์ เดไซล์ ควอไทล์ 18

การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมลู ทีไม่ได้แจกแจงความถี ขันตอน 1) เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก 2) หาตาํ แหน่งทีของขอ้ มลู จากสูตร ตาํ แหน่ง Qr = …………………………………………… ตาํ แหน่ง Dr = …………………………………………… ตาํ แหน่ง Pr = …………………………………………… 3) หาขอ้ มูลทีอยูใ่ นตาํ แหน่งทีคาํ นวณได้ ตัวอย่าง จงหาค่าของ Q3, D3 และ P58 ของขอ้ มลู ต่อไปนี 18, 26, 10, 35, 25, 40, 32, 15, 30, 18 วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 19

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ตัวอย่าง ผลการสอบความถนดั ทางการเรียนจากนกั เรียนชนั ม. จาํ นวน คน ของโรงเรียนแห่งหนึงเป็น ดงั นี (คะแนนเต็ม คะแนน) 45 52 38 29 34 35 36 42 55 40 39 47 55 37 42 53 32 41 48 36 53 41 38 50 39 43 45 39 35 58 ) นกั เรียนจะตอ้ งสอบไดก้ ีคะแนน จึงจะมีนกั เรียนประมาณหนึงในสีของชนั ไดค้ ะแนนตาํ กวา่ วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 20

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ) นกั เรียนจะตอ้ งสอบไดก้ ีคะแนน จึงจะมีนกั เรียนประมาณ % ของชนั ไดค้ ะแนนสูงกวา่ วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมลู ทีแจกแจงความถีในรูปอันตรภาคชัน ขันตอน 1) หาความถีสะสม 2) หาตาํ แหน่งทีของขอ้ มูลจากสูตร ตาํ แหน่ง Qr = …………………………………………… ตาํ แหน่ง Dr = …………………………………………… ตาํ แหน่ง Pr = …………………………………………… 3) หาอนั ตรภาคชนั ทีมีตาํ แหน่งของขอ้ มูลอยู่ 21

4) หาค่าของ Qr, Dr และ Pr จากสูตร Qr = ………………………………………………. Dr = ………………………………………………. Pr = ………………………………………………. ตัวอย่าง ขอ้ มลู ในตารางเป็นส่วนสูงของเดก็ นกั เรียนชนั มธั ยมศึกษาปี ที ของโรงเรียนแห่งหนึง จงหาค่า ของ Q2, D7 และ P24 ส่วนสูง (ซ.ม.) จํานวนคน 145 - 149 7 150 - 154 18 155 - 159 27 160 - 164 16 165 - 169 12 วธิ ีทํา ....................................................................... ....................................................................... ส่วนสูง (ซ.ม.) จาํ นวนคน ....................................................................... 145 - 149 7 ....................................................................... 18 ....................................................................... 150 - 154 27 155 - 159 ....................................................................... ....................................................................... 160 - 164 16 ....................................................................... 165 - 169 12 . ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 22

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 23

ตัวอย่าง จากขอ้ มลู ในตาราง ถา้ Px = . และ Dy = 24.5 แลว้ จงหาค่าของ x และ y คะแนน จํานวนคน 0 – 19 15 20 – 39 20 40 – 59 30 60 – 79 24 80 – 99 11 วธิ ีทํา จํานวนคน ....................................................................... คะแนน 15 ....................................................................... 0 – 19 20 ....................................................................... 20 – 39 30 ....................................................................... 40 – 59 24 ....................................................................... 60 – 79 11 ....................................................................... 80 – 99 ....................................................................... ....................................................................... . ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 24

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 25

1.3 การวดั การกระจายของข้อมลู (Measure of Dispersion) การวดั การกระจายของขอ้ มูลแบ่งออกเป็ น ประเภท คือ 1. การกระจายสมั บรู ณ์ …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2. การกระจายสมั พทั ธ์ …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 1.3.1 การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ (Measure of absolute variation) ) ข้อมูลไม่ได้อย่ใู นรูปตารางแจกแจงความถี พิสัย (Range) พสิ ยั = ………………………………………………. ส่วนเบยี งเบนควอไทล์หรือกึงช่วงควอไทล์ (Quartile deviation or semi–interquartile range) ส่วนเบียงเบนควอไทล์ (Q.D.) = ………………………………………. ส่วนเบยี งเบนเฉลยี (Mean deviation or average deviation) ส่วนเบียงเบนเฉลีย (M.D.) = ………………………………….……………………………………. = ……………………………………….………………………………. ส่วนเบยี งเบนมาตรฐาน (Standard deviation) ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน (S.D.) = ……………………...………………………………………….. = …………………...…………………………………………….. 26

ตัวอย่าง จงหาพิสยั ส่วนเบียงเบนควอไทล์ ส่วนเบียงเบนเฉลีย และส่วนเบียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ต่อไปนี , 14, 16, 16, 17, 21 วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 27

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2) ข้อมลู อยู่ในรูปตารางแจกแจงความถี พสิ ัย (Range) พิสยั = ………………………………………………. ส่วนเบยี งเบนควอไทล์หรือกึงช่วงควอไทล์ (Quartile deviation or semi–interquartile range) ส่วนเบียงเบนควอไทล์ (Q.D.) = ………………………………………. ส่วนเบยี งเบนเฉลยี (Mean deviation or average deviation) ส่วนเบียงเบนเฉลีย (M.D.) = ………………………………….……………………………………. = ……………………………………….………………………………. ส่วนเบยี งเบนมาตรฐาน (Standard deviation) ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน (S.D.) = ……………………...………………………………………….. = …………………...…………………………………………….. 28

ตัวอย่าง ขอ้ มลู ในตารางเป็นนาํ หนกั ของเดก็ นกั เรียนชนั มธั ยมศึกษาปี ที ของโรงเรียนแห่งหนึง จาํ นวน คน จงหาส่วนเบียงเบนควอไทล์ ส่วนเบียงเบนเฉลีย และส่วนเบียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลนี นาํ หนกั (กโิ ลกรัม) จํานวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 วธิ ีทํา ...................................................................... นาํ หนกั (กโิ ลกรัม) จํานวนคน ...................................................................... ...................................................................... 40 - 44 4 ...................................................................... 45 - 49 12 50 - 54 15 ...................................................................... 55 - 59 10 60 - 64 9 ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 29

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. นาํ หนกั (กิโลกรัม) จํานวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 30

นําหนัก (กิโลกรัม) จาํ นวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. นําหนัก (กิโลกรัม) จํานวนคน 40 - 44 4 45 - 49 12 50 - 54 15 55 - 59 10 60 - 64 9 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 31

1.3.2 การวดั การกระจายสัมพทั ธ์ (Measure of relative variation) สัมประสิทธิของพิสยั = …………………………...…………… สัมประสิทธิของส่วนเบียงเบนควอไทล์ (Q.D.) = …………………………...…………… สัมประสิทธิของส่วนเบียงเบนเฉลีย (M.D.) = …………………………...…………… สมั ประสิทธิของการแปรผนั (C.V.) = …………………………...…………… ตัวอย่าง จงเปรียบเทียบการกระจายคะแนนสอบของเดก็ 2 กลุ่ม โดยทีคะแนนของนกั เรียนทงั สองกลุ่มเป็น ดงั นี คะแนนเดก็ กลุ่มที 1 : 4, 7, 6, 5, 8 คะแนนเด็กกลุ่มที 2 : 10, 16, 13, 16, 17, 18 ดว้ ยการใชส้ มั ประสิทธิของพสิ ัย, สมั ประสิทธิของส่วนเบียงเบนควอไทล,์ สมั ประสิทธิของส่วนเบียงเบน เฉลีย และสมั ประสิทธิของการแปรผนั พรอ้ มทงั เปรียบเทียบผลทีไดจ้ ากการใชว้ ิธีทงั 4 นีวา่ เหมือนกนั หรือไม่ วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 32

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 33

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 34

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 35

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ค่าดชั นี ข้อมูลชุดที 1 ข้อมูลชุดที 2 สัมประสิทธิของพิสยั สัมประสิทธิของส่วนเบียงเบนควอไทล์ (Q.D.) สมั ประสิทธิของส่วนเบียงเบนเฉลีย (M.D.) สัมประสิทธิของการแปรผนั (C.V.) .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ตัวอย่าง จากการสอบถามนกั เรียนจาํ นวน 4 หอ้ ง เกียวกบั จาํ นวนเงินทีนาํ มาโรงเรียน ในแต่ละวนั ไดผ้ ลดงั ในตาราง ห้อง ม.6/1 ม.6/2 ม.6/3 ม.6/4 ค่าเฉลียเลขคณิต (บาท) 15 18 22 30 ความแปรปรวน (บาท2) 36 49 64 81 จงเปรียบเทียบการกระจายของจาํ นวนเงินทีนกั เรียนแต่ละชนั ไดม้ าใชใ้ นแต่ละวนั และอธิบายความหมาย ของค่าทีหาได้ วธิ ีทาํ ................................................................................................................................................................. ห้อง ม.6/1 ม.6/2 ม.6/3 ม.6/4 36

.......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ตัวอย่าง สัมประสิทธิของพิสยั ของนาํ หนกั ของนกั เรียนในชนั หนึงเป็น 0.2 ถา้ นาํ หนกั ของนกั เรียนทีหนกั นอ้ ยทีสุดในชนั เท่ากบั 40 กิโลกรัม จงหานาํ หนกั ของนกั เรียนทีหนกั ทีสุดในชนั วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ตัวอย่าง ขอ้ มลู ชุดหนึงมีสมั ประสิทธิของส่วนเบียงเบนเฉลียเทา่ กบั . และส่วนเบียงเบนเฉลียเท่ากบั จงหาสมั ประสิทธิของการแปรผนั ถา้ ส่วนเบียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั วธิ ีทํา................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 37