แผนภาพ Powerpoint ประกอบการสอน บทที่ 3 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล

ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างขอ้ มลู

3.1 การวิเคราะหค์ วามสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ระหว่างขอ้ มูล ขอ้ มูลเชงิ ปรมิ าณทปี ระกอบดว้ ยตวั แปรตงั แต่สองตวั ขนึ ไปซงึ มคี วามสมั พนั ธก์ นั เช่น ส่วนสูงและนําหนกั ของเด็กแรกเกิด รายไดแ้ ละรายจ่ายของครอบครวั โดยความ เกยี วขอ้ งของตวั แปรจะอยูใ่ นลกั ษณะทคี ่าของตวั แปรหนึงขนึ อยู่กบั อกี ตวั แปรหนงึ นาํ หนกั ขนึ อยู่กบั สว่ นสูง รายจ่าย ขนึ อยู่กบั รายได ้ ตวั แปรตาม ตวั แปรอสิ ระ (Dependent variables) (Independent variables)

ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ของขอ้ มลู ทปี ระกอบไปดว้ ยตวั แปรสองตวั แปรอาจแบ่ง ออกเป็น 2 ชนิดใหญ่ๆ คอื (1) ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ทมี กี ราฟเป็นเสน้ ตรง สมการทวั ไปของความสมั พนั ธ์ คอื Y = a + bX เมอื Y คือ ตวั แปรตาม และ X เป็นตวั แปรอสิ ระ Y Y b = Y b เป็นความชนั ของเสน้ ตรง X และ a เป็นระยะตดั แกน Y a X X

(2) ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ทมี กี ราฟไม่เป็นเสน้ ตรง ในทนี ีจะกลา่ วถงึ เฉพาะ ความสมั พนั ธท์ มี กี ราฟเป็นรูปพาราโบลา สมการทวั ไปของความสมั พนั ธ์ คอื Y = a + bX + cX2 ความสมั พนั ธท์ มี กี ราฟเป็นรูปเอกซโ์ พเนนเชยี ล สมการทวั ไปของความสมั พนั ธ์ คอื Y = abX เมอื Y คือ ตวั แปรตาม และ X เป็นตวั แปรอสิ ระ

YY c0 X c0 X รูปพาราโบลา รูปพาราโบลา Y รูปเอกซโ์ พเนนเชยี ล X

3.2 แผนภาพการกระจาย แผนภาพการกระจาย คอื แผนภาพทเี ป็นกราฟแสดงความสมั พนั ธร์ ะหว่างขอ้ มลู

แนวโนม้ ของความสมั พนั ธท์ เี ป็นเสน้ ตรง มี 2 ลกั ษณะ คือ แนวโนม้ ทางบวก (Positive trend) และแนวโนม้ ทางลบ (Negative trend) Positive trend Negative trend

ระดบั ของความสมั พนั ธจ์ ากแผนภาพแสดงแนวโนม้ ความสมั พนั ธ์ มี 3 ลกั ษณะ คอื ระดบั มาก (Strong) ระดบั ปานกลาง (Moderate) และระดบั นอ้ ย (Weak) Strong Moderate Weak

ตวั อยา่ ง ในการศึกษารายรบั รายจ่ายต่อเดอื นของครอบครวั 10 ครอบครวั มรี ายละเอยี ด ดงั นี รายรบั (พนั บาท) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 รายจ่าย (พนั บาท) 3 5 5 6 9 9 10 10 11 12 จงเขยี นแผนภาพการกระจายของความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรายรบั และรายจ่ายต่อเดอื นของ 10 ครอบครวั และพจิ ารณาว่ารายรบั และรายจ่ายต่อเดอื นของแต่ละครอบครวั มคี วามสมั พนั ธก์ นั หรอื ไม่ ถา้ มคี วามสมั พนั ธน์ นั เป็นไปในลกั ษณะใด วิธีทาํ ตวั แปรอสิ ระ (X) คือ รายรบั ตวั แปรตาม (Y) คือ รายจ่าย

รายจ่าย (Y) จากแผนภาพ พบวา่ รายรบั มี  ความสมั พนั ธ์  แบบเสน้ ตรงกบั  รายจ่าย  รายรบั (X)   

3.3 การประมาณค่าของค่าคงตวั โดยใชว้ ิธกี าํ ลงั สองนอ้ ยสุด 1) ความสมั พนั ธใ์ นรูปกราฟเสน้ ตรง Y = a + bX มรี ะบบสnมการทใี ชใ้ นการหาควาnมสมั พนั ธ์ คือ yi = an  bxi …………(1) i1 i1   n xiyi = n n x 2i …………(2) a xi b i1 i1 i1 ขนั ตอน 1) เขยี นแผนภาพการกระจาย 2) หา xiyi และ xi2 3) หา xi, yi, xiyi และ xi2 4) แทนค่าผลรวมของขอ้ มลู ในขอ้ 3) ลงในระบบสมการ และหาค่า a , b ดว้ ยการหาคาํ ตอบของระบบสมการ

ตวั อยา่ ง ตวั เลขแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งตน้ ทุนการผลติ สนิ คา้ ต่อหน่วย (บาท) กบั จาํ นวน สนิ คา้ ทผี ลติ ไดข้ องโรงงานผลติ สนิ คา้ แห่งหนงึ เป็นดงั นี จาํ นวนทผี ลติ : X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ตน้ ทนุ การผลติ ต่อหน่วย : Y 45 43 42 40 38 37 36 34 33 32 จงพยากรณต์ น้ ทนุ การผลติ สนิ คา้ ต่อหน่วย ถา้ จาํ นวนสนิ คา้ ทผี ลติ ไดเ้ป็น 5 หน่วย วธิ ที าํ เขยี นแผนภาพแสดงการกระจายของขอ้ มลู

ตน้ ทนุ การผลติ ต่อหน่วย (Y) จาํ นวนทผี ลติ (X) 45  44 43  42  41 40  39 38  37  36  35 34  33  32  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi Yi XiYi Xi2 45 1  45 = 45 12 = 1 1 43 2  43 = 86 22 = 4 2 42 3  42 = 126 32 = 9 3 40 4  40 = 160 42 = 16 4 38 5  38 = 190 52 = 25 5 37 6  37 = 222 62 = 36 6 36 7  36 = 252 72 = 49 7 34 8  34 = 272 82 = 64 8 33 9  33 = 297 92 = 81 9 32 10  32 = 320 102 = 100 10 380 1,970 385 รวม 55

แทนค่า n = 10, n 55, n 380, n 1,970 และ n x 2  385 i xi  yi  xiyi   i1 i1 i1 i1 ลงในระบบสมการ จะได้ 380 = 10a + 55b ……(1) 1,970 = 55a + 385b ……(2) หาค่า a และ b โดยการหาคาํ ตอบของระบบสมการดว้ ยวธิ ขี องคราเมอร์ 10 55 a = 380 55 385 b 1,970 det A = 10 55 5555 = 3,025 55 385 = 3,850 – 3,025 = 825 10385 = 3,850

det a = 380 55 1,97055 = 108,350 = 146,300 – 108,350 1,970 385 380385 = 146,300 = 37,950 det b = 10 380 55380 = 20,900 = 19,700 – 20,900 55 1,970 101,970 = 19,700 = –1,200 จะได ้ a= 37,950 = 46 825 –1,200 และ b= 825  –1.45 ความสมั พนั ธร์ ะหว่างจาํ นวนสนิ คา้ ทผี ลติ (X) กบั ตน้ ทนุ การผลติ ต่อหน่วย (Y) คือ Y = 46 – 1.45X

ถา้ ผลติ สนิ คา้ 5 หน่วย แทน X = 5 เพอื หาตน้ ทนุ การผลติ ต่อหน่วย (Yˆ ) จะได้ Yˆ = 46 – 1.45(5) = 46 – 7.25 = 38.75 ดงั นนั ตน้ ทนุ การผลติ สนิ คา้ ต่อหน่วย ถา้ จาํ นวนสนิ คา้ ทผี ลติ ไดเ้ป็น 5 หน่วย คือ 38.75 บาท Ans

2) ความสมั พนั ธใ์ นรูปกราฟเสน้ โคง้ พาราโบลา มรี ะบบสมการทใี ชใ้ นการหาความสมั พนั ธ์ คือ   n n n yi = 2 …………(1) an  b xi c x i …………(2) i1 i1 i1 …………(3)    n xiyi = a n xi b n x2i  c n x 3 i i1 i1 i1 i1    n x2i yi = a n x 2 b n x3i  c n x 4 i i  i1 i1 i1 i1

ขนั ตอน 1) เขยี นแผนภาพการกระจาย 2) หา xi2 , xi2 , xi4 , xiyi และ xi2yi 3) หา xi, yi, xi2, xi2, xi4, xiyi และ xi2yi 4) แทนค่าผลรวมของขอ้ มลู ในขอ้ 3) ลงในระบบสมการ และหาค่า a , b, c ดว้ ยการหาคาํ ตอบของระบบสมการ

ตวั อย่าง ตวั เลขแสดงความสมั พนั ธร์ ะหว่างอายุและปริมาณอาหารเสรมิ ทใี ชเ้ ลยี งทารกที เหมาะสมต่อวนั เป็นดงั นี อายุ (เดอื น) : X 1234567 ปรมิ าณอาหารเสรมิ (ขดี ) : Y 18 10 6 3 2 4 6 จงพยากรณป์ ริมาณอาหารเสรมิ ทเี หมาะสมทใี ชเ้ ลยี งเดก็ ทารกอายุ 12 เดอื น วธิ ีทาํ เขยี นแผนภาพแสดงการกระจายของขอ้ มลู

ปรมิ าณอาหารเสรมิ (Y) 18  16 14 12 10  8 6  4  2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 อายุ (X)

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2Yi 18 1 11 1 18 18 2 10 4 8 16 20 40 3 6 9 27 81 18 54 4 3 16 64 256 12 48 5 2 25 125 625 10 50 6 4 36 216 1,296 24 144 7 6 49 343 2,401 42 294 รวม 28 49 140 784 4,676 144 648

n xi n n xi2  140 n x3i  784    แทนค่าn = 7,  yi  49 nix12i yi  648 in1  28 i1 i4 n xiyi  x i1 144 และ i1 4,676 i1 i1 ลงในระบบสมการ จะได้ 49 = 7a + 28b + 140c ……(1) 144 = 28a + 140b + 784c ……(2) 648 = 140a + 784b + 4,676c ……(3) 7 = a + 4b + 20c ……(4) 36 = 7a + 35b + 196c ……(5) 162 = 35a + 196b + 1,169c ……(6)

หาค่า a, b และ c โดยการหาคาํ ตอบของระบบสมการดว้ ยวธิ ขี องคราเมอร์ 1 4 20 a 7 7 35 196 b = 36 35 196 1,169 c 162 95,648 det A = 24,500 38,416 32,732 = 95,795 – 95,648 = 147 1 4 20 1 4 7 35 196 7 35 35 196 1,169 35 196 40,915 27,440 27,440 95,795

550,648 det a = 113,400 268,912 168,336 det b = 7 4 20 7 4 36 35 196 36 35 162 196 1,169 162 196 = 554,533 – 550,648 = 3,885 286,405 127,008 141,120 554,533 114,233 25,200 31,752 57,281 1 7 20 1 7 7 36 196 7 36 35 162 1,169 35 162 = 112,784 – 114,233 = –1,449 42,084 48,020 22,680 112,784

20,167 det c = 8,575 7,056 4,536 14 7 14 7 35 36 7 35 35 196 162 35 196 = 20,314 – 20,167 = 147 5,670 5,040 9,604 20,314 จะได ้ a= 3,885  26.43 147 –1,449 b= 147  –9.86 และ c= 147 1 147

ความสมั พนั ธร์ ะหว่างอายุ (X) และปริมาณอาหารเสรมิ ทใี ชเ้ ลยี งทารก (Y) ทเี หมาะสมต่อวนั คอื Y = 26.43 – 9.86X + X2 ถา้ ทารกอายุ 12 เดอื น แทน X = 12 เพอื หาปริมาณอาหารเสรมิ ทใี ชเ้ลยี งทารก (Yˆ ) จะได้ Yˆ = 26.43 – 9.86(12) + 122 = 26.43 – 118.32 + 144 = 52.11 ดงั นนั ปริมาณอาหารเสรมิ ทใี ชเ้ ลยี งทารกทเี หมาะสมต่อวนั เมอื ทารกมอี ายุ 12 เดอื น คือ 52.11 ขดี Ans

3) ความสมั พนั ธใ์ นรูปกราฟเสน้ โคง้ เอกซโ์ พเนนเชยี ล มรี ะบบสมการทใี ชใ้ นการหาความสมั พนั ธ์ คือ nn log yi = nloga  (log b)xi …………(1) i1 i1 …………(2)   n xi log yi = (log a) n xi  (log b) n x 2 i i1 i1 i1 ขนั ตอน 1) เขยี นแผนภาพการกระจาย 2) หา xi2, log yi และ xi log yi 3) หา xi, yi, xi2, log yi และ xi log yi 4) แทนค่าผลรวมของขอ้ มลู ในขอ้ 3) ลงในระบบสมการ และหาค่า log a , log b ดว้ ยการหาคาํ ตอบของระบบสมการ แลว้ จงึ หาค่าของ a และ b

ตวั อย่าง ในการทดลองผสมสารสองชนิดทาํ ใหเ้กิดแกส๊ CO2 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเวลา (นาท)ี และปริมาณแกส๊ CO2 ทไี ดจ้ ากการทดลองเป็นดงั นี เวลา (นาท)ี : X 12345 ปรมิ าณแกส๊ CO2 (ลบ.ซม.) : Y 3 4 7 10 15 จงพยากรณป์ รมิ าณแกส๊ CO2 ทไี ดจ้ ากการทดลองเมอื เวลาผา่ นไป 7 นาที วิธที าํ เขยี นแผนภาพแสดงการกระจายของขอ้ มลู

ปรมิ าณแกส๊ CO2 (Y)  14 12 10  8  6 4  2 0 1 2 3 4 5 6 เวลา (X)

Xi Yi Xi2 log Yi Xi log Yi 1 3 1 0.4771 0.4771 2 4 4 0.6021 1.2042 3 7 9 0.8451 2.5353 4 10 16 1 4 5 15 25 1.1761 5.8805 รวม 15 39 55 4.1004 14.0971

nn n แทนค่า n = 5, logyi  4.1004, xi  15 xi log yi  14.0971 และ i1 i1 n i1 x 2  55 i i1 ลงในระบบสมการ จะได้ 4.1004 = 5 log a + 15 log b ……(1) 14.0971 = 15 log a + 55 log b ……(2) หาค่า log a และ log b 5 15 log a = 4.1004 15 55 log b 14.0971

det A = 5 15 1515 = 225 15 55 = 275 – 225 555 = 275 = 50 det (log a) = 4.1004 15 14.097115 = 211.4565 14.0971 55 = 225.522 – 211.4565 4.100455 = 225.522 = 14.0655 det (log b) = 5 4.1004 154.1004 = 61.506 = 70.4855 – 61.506 15 14.0971 514.0971 = 70.4855 = 8.9795

จะได ้ log a = 14.0655  0.2813 a = 100.2813  1.91 50 b = 100.1796  1.51 8.9795 log b = 50  0.1796 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเวลา (X) และปรมิ าณกา๊ ซ CO2 (Y) คอื Y = 1.91(1.51)x ถา้ เวลาเทา่ กบั 7 นาที แทน X = 7 เพอื หาปรมิ าณกา๊ ซ CO2 (Yˆ ) จะได้ Yˆ = 1.91(1.51)7 = 1.91(17.8994)  34.19 ดงั นนั ปรมิ าณกา๊ ซ CO2 ทไี ดจ้ ากการทดลองเมอื เวลาผา่ นไป 7 นาที คอื 34.19 ลบ.ซม. Ans

3.4 ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ของขอ้ มลู ทอี ยูใ่ นรูปอนุกรมเวลา ตวั อยา่ ง จงสรา้ งความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ของจาํ นวนประชากรในหมบู่ า้ นแหง่ หนึง และใช้ ความสมั พนั ธท์ สี รา้ งไดพ้ ยากรณ์จาํ นวนประชากรของหม่บู า้ นนีในปี พ.ศ.2560 จากขอ้ มลู ระหวา่ งปี พ.ศ.2551–2556 ปี พ.ศ. 2551 2552 2553 2554 2555 2556 จาํ นวนประชากร (พนั คน) 2.5 2.9 3.2 3.5 3.9 4.5 วิธที าํ เขยี นแผนภาพแสดงการกระจายของขอ้ มลู

จาํ นวนประชากร (พนั คน) 7 6 5 4  3     2 1 2551 2552 2553 2554 2555 2556 ปี พ.ศ.

วธิ ีทาํ แบบที 1 ปี พ.ศ. Xi Yi XiYi Xi2 2551 1 2.5 2.5 1 2552 2 2.9 5.8 4 2553 3 3.2 9.6 9 2554 4 3.5 14.0 16 2555 5 3.9 19.5 25 2556 6 4.5 27.0 36 รวม – 21 20.5 78.4 91

nn n n 2 แทนค่า n = 6, xi  21, yi  20.5, xiyi  78.4 และ x i 91   i1 i1 i1 i1 ลงในระบบสมการ จะได้ 20.5 = 6a + 21b ……(1) 78.4 = 21a + 91b ……(2) หาค่า a และ b โดยการหาคาํ ตอบของระบบสมการดว้ ยวธิ ีของคราเมอร์ 6 21 a = 20.5 21 91 b 78.4 det A = 6 21 2121 = 441 = 105 21 91 = 546 – 441 691 = 546

det a = 20.5 21 78.421 = 1,646.4 = 1,865.5 – 1,646.4 det b = 78.4 91 = 219.1 6 20.5 20.591 = 1,865.5 = 470.4 – 430.5 21 78.4 2120.5 = 430.5 = 39.9 678.4 = 470.4 จะได ้ a= 219.1  2.09 105 39.9 และ b= 105 = 0.38 ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ของจาํ นวนประชากรในหมบู่ า้ นนี คือ Y = 2.09 + 0.38X เมอื มี ปี พ.ศ.2551 เป็นปีฐาน

ตอ้ งการพยากรณจ์ าํ นวนประชากรใน ปี พ.ศ.2560 แทน X = 10 จะได้ Yˆ = 2.09 + 0.38(10) = 2.09 + 3.8 = 5.89 ดงั นนั จาํ นวนประชากรของหมู่บา้ นแหง่ นใี นปี พ.ศ.2560 คอื 5.89 พนั คน หรอื ประมาณ 5,890 คน Ans

วธิ ีทาํ แบบที 2 (ใชเ้ฉพาะในการทาํ นายค่าของขอ้ มลู ไมใ่ ชส้ มการพยากรณใ์ นการอา้ งองิ ) ปี พ.ศ. Xi Yi XiYi Xi2 2551 –5 2.5 –12.5 25 2552 –3 2.9 –8.7 9 2553 –1 3.2 –3.2 1 2554 1 3.5 3.5 1 2555 3 3.9 11.7 9 2556 5 4.5 22.5 25 รวม – 0 20.5 13.3 70

แทนค่า n = 6, n nn n x 2  70 i xi  0, yi  20.5, xiyi  13.3 และ  i1 i1 i1 i1 ลงในระบบสมการ จะได้ 20.5 = 6a ……(1) 13.3 = 70b ……(2) หาค่า a และ b จาก (1) ; จะได้ a = 20.5  3.42 จาก (2) ; 6 = 0.19 จะได้ b = 13.3 70 ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ของจาํ นวนประชากรในหม่บู า้ นนี คอื Y = 3.42 + 0.19X

ตอ้ งการพยากรณจ์ าํ นวนประชากรใน ปี พ.ศ.2560 แทน X = 13 จะได้ Yˆ = 3.42 + 0.19(13) = 3.42 + 2.47 = 5.89 ดงั นนั จาํ นวนประชากรของหมู่บา้ นแหง่ นใี นปี พ.ศ.2560 คอื 5.89 พนั คน หรอื ประมาณ 5,890 คน Ans