สมุดเล่มเล็ก

ลำดบั และอนกุ รม

ลำดบั (Sequence)

ลำดบั (Sequence) คอื ฟังกช์ นั ทม่ี ี โดเมนเป็ นเซต {1,2,3…,n} หรือมโี ดเมน เป็ นเซตของจำนวนเต็มบวก 1. ควำมหมำย ลำดบั ทม่ี โี ดเมนเป็ นเซต {1,2,3,…,n} : ลำดบั จำกดั (Finite Sequence) ของลำดับ ลำดบั ทม่ี โี ดเมนเป็ นเซตของจำนวนเต็มบวก : ลำดบั อนนั ต์ (Infinite Sequence) เรียก ������������ วำ่ พจนท์ ่ี n ของลำดบั หรือ พจนท์ วั่ ไปของลำดบั

ตวั อยำ่ ง 1 จงหำส่พี จนแ์ รกของลำดบั ที่ ������������ = 3n - 2 วิธีทำ แทน n ใน ������������ = 3n - 2 ดว้ ย 1,2,3 และ 4 จะไดส้ พ่ี จนแ์ รกของ ลำดบั ดงั น้ี ������1 = 3(1) - 2 = 1 ������2 = 3(2) - 2 = 4 ������3 = 3(3) - 2 = 7 ������4 = 3(4) - 2 = 10 ดงั นนั้ สพ่ี จนแ์ รกของลำดบั น้ี คอื 1,4,7 และ 10

2. ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) ลำดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence) คอื ลำดบั ที่มผี ลตำ่ งของพจนท์ ่ี n+1 กบั พจนท์ ่ี n เป็ นคำ่ คงตวั เสมอ และเรียกผลตำ่ งท่เี ป็ นคำ่ คงตวั นน้ั ว่ำ ผลต่ำงรว่ ม (Common Difference) เขยี นแทนดว้ ย d ������������ = ������������ + (n-1)d

ตวั อยำ่ ง 2 ถำ้ ลำดบั เลขคณิตมี ������1 = 22 และ ������2 = 35 จงหำพจนท์ ี่ 100 ของลำดบั น้ี วิธีทำ เนอ่ื งจำก ������1 = 22 และ ������2 = 35 ดงั นนั้ ผลตำ่ งร่วม คอื d = 35 – 22 = 13 จำก ������������ = ������1 + (n-1)d จะได้ ������100 = 22 + (100-1)(13) = 1,309 ดงั นนั้ พจนท์ ี่ 100 ของลำดบั น้ี คอื 1,309

3. ลำดับเรขำคณิต (Geometric Sequence) ลำดบั เรขำคณิต (Geometric Sequence) คือ ลำดบั ท่มี อี ตั รำสว่ นของพจนท์ ี่ n+1 กบั พจนท์ ี่ n เป็ นคำ่ คงตวั เสมอ และเรียกอตั รำสว่ น ที่เป็ นค่ำคงตวั นนั้ ว่ำ อตั รำสว่ นรว่ ม (Common Ratio) เขยี นแทนดว้ ย r ������������ = ������������������������−������

ตวั อยำ่ ง 3 จงหำพจนที่ 7 ของลำดบั เรขำคณิต 4,20,100,… วิธีทำ จำกลำดบั เรขำคณิต 4,20,100,… จะได้ ������1 = 4 และ r = 20 = 5 4 จำก ������������ = ������1������������−1 จะได้ ������7 = 4(57−1) = 4(56) = 4(15,625) = 62,500 ดงั นน้ั พจนท์ ี่ 7 ของลำดบั เรขำคณิตน้ี คือ 62,500

ถำ้ ������1,������2,������3,…,������������ เป็ นลำดบั จำกดั อนกุ รม ทมี่ ี n พจน์ เรียกกำรเขยี นแสดงกำร (Series) บวกของพจนท์ กุ พจนข์ องลำดบั ใน รปู ������1 + ������2 + ������3 + ... + ������������ วำ่ อนกุ รมจำกดั (Finite Series) ให้ ������������ แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม

อนกุ รมเลขคณิต (Arithmetic Series) คือ อนกุ รมที่ไดจ้ ำกลำดบั เลขคณิต ������������ = ������ (������������ + ������������) ������ ������������ ������ (������������������ + ������ − ������ ������) = ������ 1. อนกุ รมเลขคณิต (Arithmetic Series)

ตวั อยำ่ ง 4 จงหำผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนกุ รมทไี่ ดจ้ ำก ลำดบั เลขคณิต 7,15,23 วิธีทำ ลำดบั ทกี่ ำหนดใหม้ ี ������1 = 7 และ d = 8 แทน n ดว้ ย 7 ใน ������������ = ������1 + (n-1)d จะได้ ������7 = 7 + (7-1)(8) = 55 จำก ������������ = ������ (������1 + ������������) จะได้ ������7 = (7+55) 72 2 = 217 ดงั นนั้ ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คอื 217

อนกุ รมเรขำคณิต (Geometric Series) คือ อนกุ รมท่ีไดจ้ ำกลำดบั เรขำคณิต 2. อนกุ รมเรขำคณิต (Geometric Series) =������������ ������������(������−������������) เมื่อ r ≠ ������ =������������ ���������������(������−������������−��� ������) เม่ือ r ≠ ������ ������−������

ตวั อยำ่ ง 5 จงหำผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมที่ไดจ้ ำก ลำดบั เรขำคณิต 1,2,4,8,… วิธีทำ ลำดบั ท่กี ำหนดใหม้ ี ������1 = 1 และ r = 2 ������1(������������−1) แทน n ดว้ ย 8 ใน ������������ = ������−1 จะได้ 1 (28−1) ������8 = 2−1 = 255 ดงั นนั้ ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขำคณิตน้ี คือ 255

กำรประยกุ ต์ของลำดบั และอนกุ รม P = เงนิ ตน้ ,มลู คำ่ ปัจจบุ นั S = เงนิ รวม,มลู คำ่ อนำคต i = อตั รำดอกเบี้ย , r = ������ 100 k = จำนวนครง้ั ทค่ี ิดดอกเบ้ียทบตน้ ใน 1 ปี R = เงนิ แตล่ ะงวด n = จำนวนปี ,จำนวนงวด

ดอกเบ้ียทบตน้ S = P(������ + ������)������ S = P(������ + ������������)������������ มลู คำ่ ปัจจบุ นั และมลู คำ่ อนำคต คำ่ งวด (ตน้ งวด) P = S(������ + ������������)−������������ S = ������(������+������)((������+������)������−������) ������ ค่ำงวด (ส้นิ งวด) S = ������((������+������)������−������) ������

น.ส.อรณุ รกั ษ์ ภพ่ ู ิพฒั นภ์ ำพ ม.5/8 เลขท่ี 13