⌦ 1 Īµ¤¦¼oɸ 1 ¦¦«µ¦r ¦¦«µ¦r °º ª·µÉ¸ ¨nµª¹ ®¨´Ár µ¦·®µÁ®» ¨ ¦³¡r (Proposition) ¦³¡r º°
o°ªµ¤¸É°¥¼nĦ¼¦³Ã¥°Á¨nµ®¦º°¦³Ã¥·Áɸµ¤µ¦°ÅoªnµÁ} ¦· ®¦°º Á}ÁÈ Á¡¥¸ °¥nµÁ¥¸ ª ª´ °¥µn ɸ 1 ( Á}¦· ) 1.
°o ªµ¤n°Å¸ÊÁ} ¦³¡r ( Á}ÁÈ ) (1) ¡¦³°µ· ¥
r ʹ µ«· ³ª´ °° ( Á} ÁÈ ) (2) 8 Á}媦¦¥³ ( Á} ¦· ) (3) { 1,3, { 1,2,3,… } } Á} Á°´r ( Á}¦· ) (4) I P (I ) (5) 2 y10 z 10 y 2 2.
o°ªµ¤n°ÅÅʸ ¤Án } ¦³¡r (1) 4 +(-10) ¤¸nµÁµn Ŧ (2) Á
µÁ}´ · «µ¦r (3) ¦» µ°¦°Áµo °n Á
µo ®°o Á¦¥¸ (4) Âo ¤µ¦ 2x +3 = 8 (5) ªµo ¥ ! nª¥ªo ¥
2 ⌦
o°´Á (1) ¦³Ã¥Îµ´É , 嵤 ,
°¦o° , °»µ , ª¨¸ , »£µ¬· , ε¡´Á¡¥ ®¦º° ¦³Ã¥¸ÉŤn¤¸nµªµ¤¦· ŤÁn } ¦³¡r (2) ¦³Ã¥É¸¤¸´ªÂ¦³°¥n¼ Á¤ºÉ°Â´ªÂ¦oª¥¤µ·ÄÁ°£¡´¤¡´r¨oª εĮo¦³Ã¥ Á}¦·oµÁÈ oµ ŤÁn } ¦³¡r Án Á
µÁ}´ ·«µ¦r , x+3 < 5 nµªµ¤¦· (Truth value) nµªµ¤¦· º° ªµ¤¼o°, Ťn¼o°
°·É¸Éε¨´¡·µ¦µ nµªµ¤¦·¤¸ 2 ·º° 1. µn ªµ¤¦· ɸ¤¸ µn Á}¦· Á
¥¸ ªo ¥´ ¨´ ¬r T ( True) 2. µn ªµ¤¦·¤¸É ¸µn Á}ÁÈ Á
¥¸ ªo ¥´¨´¬r F ( False ) ´ª°¥nµ¸É 2 ®µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r°n Åʸ ¦³¡r nµªµ¤¦· T 1. 3 Á} µÎ ªÁ¡µ³ F T 2. { 1,3,5 } – { 1,7,8 } = { 3,5,7,8 } F T 3. ¦µ¸É 3
° –8 Ánµ´ –2 4. 355 ¤¸ ´ªÁ¨
®¨´ ®nª¥Á} Á¨
1 5. 7 Á}µÎ °
°¤µ¦ x2+ 1 = 50 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
⌦ 3 Á°µ¦Â³Âªµ¸É 1 1. ¡· µ¦µªnµ
°o ªµ¤n°Åʸ ¦· ®¦°º ÁÈ ®¦º° Ťn µ¤µ¦°Åo åεÁ¦°ºÉ ®¤µ¥ “ 3¥ ” ¨Ä°n ªµn
°o ªµ¤ ¦· ÁÈ Å¤n µ¤µ¦°Åo 1) –2+14= -12 ……… ……… …………………… 2) x+3 = 4 ……… ……… …………………… ……… ……… …………………… 3) 37 Á}µÎ ªÁ¡µ³®¦°º Ťn 4) oµ°oµ
°¦¼µ¤Á®¨¥¸É ¤ÄǦª¤´ ¥µªªµn ……… ……… …………………… ……… ……… …………………… oµ¸É µ¤
°¦¼µ¤Á®¨¥¸É ¤´Ê ……… ……… …………………… 5) ¤¸ µÎ ªÁȤµÎµªÁ} εª´ ……… ……… …………………… ……… ……… …………………… 6) { 0,1,2 } { 1,0,2 } ……… ……… …………………… 7) 10 Á}ε°
°¤µ¦ x2+ 8x –20 = 0 ……… ……… …………………… 8) ª·µ¤· C ¨³¨µ¥ÄÅ
¤´ 9) æ°¥µn Á®ÈÂn ª´ 10) Á¸
¸¥ªÁ}¤n ¸ 2. µÃ¥
r °o ¸É 1 Ä®o´ Á¦¥¸ µÎ
o°ªµ¤Á
¥¸ ¨Ä°n ¦µ¤µ¦µ
µo ¨nµ 1. ¦· 2. ÁÈ 3. Ťn µ¤µ¦°Åo ………………………………… ……………………………… ………………………………… ………………………………… ……………………………… ………………………………… ………………………………… ……………………………… ………………………………… ………………………………… ……………………………… ………………………………….
o°ªµ¤Än°É¸ 1 n°É¸ 2 Á¦¸¥ªnµ ¦³¡r
°o ªµ¤Än°É¸ 3 Á¦¥¸ ªnµ ŤnÁ} ¦³¡r 3. Ä®o ´ Á¦¸¥¦ªn ¤´ ¦» ªµ¤®¤µ¥
°¦³¡r ¦³¡r °º ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4 ⌦  f ®´¸É 1 1. ¡· µ¦µªµn
o°ªµ¤°n ÅÁ¸Ê } ¦³¡r®¦°º Ťn ¡¦o°¤´Ê °Á®»¨
o°ªµ¤ Á}¦³¡r Á®»¨ ®¦º°Å¤n 1) 2+3 = 7 2) 8 < –13+ 25 °¥Á¼n nµÅ¦ …………… ………………………… 3) _12 –3_ = _3 – 12_ 4) 51 Á} µÎ ªÁ¡µ³ …………… ………………………… 5) A B = I Á¤É°º A,B Á}ÁÄÇ 6) {2} { 1,2,{2} } …………… ………………………… 7) 2 Á} ε°
°¤µ¦ 3x +1 = 7 8) x2 + 6 = 10 …………… ………………………… 9) ¦³Ã¥»¦³Ã¥¤¸µn ªµ¤¦·Á} ¦· Á¤° 10) Á
°Îµª¦· ¸°É ¥¦n¼ ³®ªnµ 1 ´ 2 Á} Á …………… ………………………… °´r …………… ………………………… 11) µÎ ®¦´µÎ ªÁ¤È x ÄÇ x < 2x 12) S = 22 …………… ………………………… 7 …………… ………………………… …………… ………………………… …………… ………………………… …………… ………………………… …………… ………………………..... …………… ………………………… …………… ………………………..... 2. ¥ª´ °¥µn ¦³Ã¥¸ÉÁ} ¦³¡r ¤µ 5 ¦³Ã¥ ¡¦o°¤´Ê °nµªµ¤¦· 1) …………………………………………………………………………………………………... 2) …………………………………………………………………………………………………... 3) ………………………………………………………………………………. …………………. 4) …………………………………………………………………………………………………... 5) …………………………………………………………………………………………………... @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
⌦ 5 Īµ¤¦o¼ ¸É 2 µ¦Äo ´¨´ ¬r¦³¡r Ã¥ªÉ´ Å¥· ¤Äo ´ ¨´¬r p,q,r,s,… ¦³¡r Án ¦³¡r “ 3+9 = 12 ” Á
¥¸ ªo ¥ p ¦³¡r “ 5.132 Á}µÎ ª¦¦¥³ ” Á
¥¸ ªo ¥ q ¦³¡r “ ¤ªÁ} ´ªr¦É¹ ʵΠ¦¹É ” Á
¸¥Âªo ¥ r Á} o µ¦Á°Éº ¤¦³¡r ´ªÁºÉ°¤ (Connectives) º° É·¸ÉÄoÁɺ°¤¦³¡r°¦³¡r ¹ÉÁ}µ¦¦oµ¦³¡rÄ®¤n ª´ ÁºÉ°¤µ¦¦«µ¦r¤¸ 5 ´ªÁ°Éº ¤ ´ µ¦µ¸Ê ´ªÁÉ°º ¤ É°º £µ¬µ°´§¬ ´ ¨´ ¬r Ťn , ŤnÄn , Á· Not a ¨³ And ®¦°º Or µo …¨oª… If …then… …È°n Á¤°Éº … …If and only if… , iff o l ªµ¤µÎ ´
°ª´ ÁºÉ°¤ ª´ ÁºÉ°¤Ân¨³´ª¤¸ ªµ¤Îµ´ (¦°¨»¤) ŤÁn nµ´ ´ ¸Ê 1. “ a” ¤¸ªµ¤Îµ´ °o ¥É¸» 2. “ , ” ¤¸ªµ¤µÎ ´¤µªµn “ a ” 3. “ o” ¤¸ªµ¤µÎ ´ ¤µªnµ “ , ” 4. “ l ” ¤¸ªµ¤Îµ´¤µÉ¸ » µ¦Á¨¥É¸ ¦³¡r¸ÁÉ }
°o ªµ¤Ä®o°¥Ä¼n ¦¼´¨´ ¬r ĵ¦®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r¸É¤¸´ªÁºÉ°¤®¨µ¥Ç ´ªÁɺ°¤ o°Á¨É¸¥¦³¡r¸ÉÁ}
°o ªµ¤Ä®°o ¥nļ ¦¼ ´ ¨´¬rÁ¸¥n° ³µÎ Ä®®o µnµªµ¤Á}¦·Åonµ¥¥·É
ʹ
6 ⌦ ª´ °¥nµÉ¸ 1 µ¦Á¨¥É¸ ¦³¡rÄ®o°¥Ä¼n ¦¼´ ¨´¬r Á¤Éº°Îµ® p, q, r ¦³¡Är Ç ¦³¡r ´¨´¬r ¦³¡r 1. 2 z -2 ®¦°º 3 + 4 = 10 pq 2. µo 8 Á} εªn¼ ¨ªo 8 Á}εªÁ¤È poq 3. 24= 42 Ân 2 z 4 pq 4. 5+6 z 6+5 ®¦°º 2 < 5 È °n Á¤°Éº 52 = 10 (p q) l r
°o ´ Á 1. Ħ¸ Ã¸É ¥rŤnÄnªÁ¨ÈÂ¥¦³¡r¤µÄ®o Á¤Éº°³ÄnªÁ¨Èo°ÄnªÁ¨È¨»¤´ªÁɺ°¤¸É ¤¸ªµ¤Îµ´ o°¥°n ´ªÁÉ°º ¤¤É¸ ¸ªµ¤Îµ´ ¤µªnµ 2. ¦³¡rɸ 夵Áɺ°¤ªo ¥ª´ ÁÉ°º ¤nµÇ Á¦¥¸ ªµn ¦³¡r¥°n ¥ (atomic statement) nµªµ¤¦·
°¦³¡r nµªµ¤¦·
°¦³¡rɸÁ·µµ¦ÁºÉ°¤oª¥´ªÁºÉ°¤µ¦¦«µ¦r ¤¸nµªµ¤¦·´Ê¸ 1. µ¦Á°ºÉ ¤¦³¡r oª¥ª´ Á°Éº ¤ “ ¨³ ” (conjunction) oµ p ,q Á}¦³¡r ¦³¡rÄ®¤n¸ÉÁ·µµ¦ÁºÉ°¤ oª¥´ªÁºÉ°¤ “ ¨³” º° p q ¤¸nµ ªµ¤¦· ´µ¦µ pq pq TT T TF F FT F FF F ¦» 1. p q Á}¦·Á¡¥¸ ¦¸Á¥¸ ªÁµn ´Ê °º T T Á} T ¦°¸ ɺ Ç Á}ÁÈ®¤ 2. µo ¦³¡Är ¦³¡r®É¹Á} F ³Åo¦³¡r Áɸ ɺ°¤ªo ¥´ªÁɺ°¤ “ ¨³ ” Á} F º° p F Á} F ª´ °¥nµ¸É 2 ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡rn°Åʸ µn ªµ¤¦· F ¦³¡r T 1. 3 = 6 ¨³ 3 Á} µÎ ªn¼ F 2. 2 o°¥ªnµ 5 Ân 3 Ťno°¥ªnµ –5 T 3. 4 ´ 1 { 1,2 } 4. 2 ¨³ 5 Á} ´ª¦³°
° 30
⌦ 7 2. µ¦Áɺ°¤¦³¡r oª¥ª´ ÁÉ°º ¤ “ ®¦º° ” (disjunction) µo p ,q Á} ¦³¡r ¦³¡Är ®¤n Á¸É ·µµ¦ÁºÉ°¤ oª¥ª´ ÁºÉ°¤ “ ®¦º° ” °º p q ¤¸nµªµ¤¦·´ µ¦µÊ¸ pq pq TT T TF T FT T FF F ¦» 1. p q Á}ÁÈÁ¡¥¸ ¦¸Á¥¸ ªÁnµ´Ê °º F F Á} F ¦¸°ÉºÇ Á}¦· ®¤ 2. µo ¦³¡Är ¦³¡r®É¹ Á} T ³Åo ¦³¡r ɸÁɺ°¤ªo ¥´ªÁɺ°¤ “ ®¦°º ” Á} T °º p T Á} T ª´ °¥nµ¸É 3 ®µµn ªµ¤¦·
°¦³¡rn°Åʸ µn ªµ¤¦· T ¦³¡r F 1) –2 ®¦º° 3 Á}µÎ ªÁ¡µ³ T 2) 34 = 43 ®¦°º 3 = 4 T 3) S = 22 ®¦°º S Á} µÎ ª°¦¦¥³ 7 4) I I ®¦º°Å¤nÈ { 0 } = I 3. µ¦Áº°É ¤¦³¡r oª¥ª´ Áɺ°¤ “ oµ…¨oª… ” (conditional) oµ p ,q Á}¦³¡r ¦³¡rÄ®¤nÁɸ · µµ¦Á°ºÉ ¤ oª¥´ªÁɺ°¤ “ oµ…¨oª…” º° p o q ¤¸nµªµ¤ ¦·´µ¦µ p q poq TT T TF F FT T FF T ¦» 1. p oq Á} ÁÈ Á¡¸¥¦¸Á¥¸ ªÁµn ´Ê °º ToF Á} F ¦¸°ÉºÇ Á}¦· ®¤ 2. oµ¦³¡r ª´ ®oµÁ} F ³Åo ´ªÁºÉ°¤ “ µo …¨ªo …” Á} T º° F oq Á} T 3. oµ¦³¡r ª´ ®¨´ Á} T ³Åo ´ªÁÉ°º ¤ “ oµ…¨oª…” Á} T °º p oT Á} T
8 ⌦ ´ª°¥µn ɸ 4 ®µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r n°Å¸Ê µn ªµ¤¦· T ¦³¡r F 1. µo 2 = 3 ¨oª 32= 9 T 2. µo 3 Á} µÎ ª°¦¦¥³ ¨oª ( 3 )2 z 3 T 3. _3 -2_ = _1 -3_ ´Ê´ 3 -2 z 1 -3 4. Á¤°ºÉ 2 < 4 ³Åo 2+5 < 4+5 4. µ¦Áº°É ¤¦³¡rªo ¥ª´ Áɺ°¤ “ n°Á¤º°É ” (biconditional) oµ p ,q Á}¦³¡r ¦³¡rÄ®¤n¸ÉÁ·µµ¦ÁºÉ°¤ oª¥´ªÁɺ°¤ “ Èn°Á¤ºÉ° ” º° p l q ¤¸nµªµ¤ ¦· ´ µ¦µ¸Ê pq plq TT T TF F FT F FF T ¦» 1. p l q Á}¦· Á¤°Éº ¦³¡r ª´ ®oµ´ ´ª®¨´ ¤¸nµªµ¤¦·Á®¤°º ´ º° T l T Á} T F l F Á} T ´ª°¥nµÉ¸ 5 ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r°n Åʸ ¦³¡r µn ªµ¤¦· 1. 3 Ťn o°¥ªµn 4 È°n Á¤É°º 0 Ťn °o ¥ªnµ -3 F 2. 2< 3 È°n Á¤°ºÉ 3 <2 F 3. 7+5 Á} n È n°Á¤°ºÉ 7 Á}µÎ ª¸É T 4. 5 { 1,2,3 } È n°Á¤É°º {5} {1,2,3 } T
⌦ 9 ·Á (Negation)
°¦³¡r ·Á
°¦³¡r p º° ¦³¡r¸É¤¸Äªµ¤Á·¤ Ân¤¸nµªµ¤¦·¦
oµ¤´¦³¡rÁ·¤ ¨nµªº° o°¦³µ ¦·¥µÂ¨³¦¦¤
°¦³¡rÁ·¤Åªo Á
¸¥Â·Á
°¦³¡r p oª¥ ´ ¨´¬r ~ p ¡·µ¦µª´ °¥µn n°Å¸Ê ´ª°¥µn 6 ¡·µ¦µ¦³¡r °n Å¸Ê ¦³¡r p  “ µ¥ÂÅæÁ¦¥¸ ” Á·
°¦³¡r p °º ~ p ¦³¡r ~ p  “ µ¥ÂŤnÅæÁ¦¥¸ ” ¦³¡r q  “ 3 o°¥ªµn 5 ” Á·
°¦³¡r q º° ~ q ¦³¡r ~ q  “ 3 Ťn°o ¥ªnµ 5 ” ®¦°º “3 ¤µªnµ®¦°º Áµn ´ 5” ¦³¡r r  “ »Á¸ } o¼ µ¥ ” ·Á
°¦³¡r r º° ~ r ¦³¡r ~ r  “ » ¸Å¤Án }o¼ µ¥ ” oµ p ¦³¡r ·Á
°¦³¡r p °º ~ p ¤¸ nµªµ¤¦· ´ µ¦µ p ~p TF FT @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
10 ⌦ Á°µ¦Â³ÂªµÉ¸ 2 µn ªµ¤¦·
°¦³¡rÁ¸É ·µµ¦Á°Éº ¤¦³¡r ªo ¥ 1 ´ªÁ°ºÉ ¤ 1. µn ªµ¤¦·
°´ªÁºÉ°¤ “ ¨³ ” ´ Á¦¥¸ ¦nª¤´¡· µ¦µªµ¤Ê´ Ä
°µµª» µ ´¸Ê µµª»µ °ªnµ “ ¢
°´o°¦¼®¨n°Â¨³¦É妪¥ ” ¡ªnµ o¼µ¥´ÉªÇ Ť¸»¤´·µ¤ ªµ¤Ê´ Ä
°µµª» µ ¸É°µ³Á}ÅÅo´ ʸ µ¥ ¦¼ ®¨n° ¨³¦ÉµÎ ¦ª¥ µ¥
¦¼ ®¨n° ÂÅn ¤n¦ÎµÉ ¦ª¥ µ¥ Ť®n ¨°n Ân¦É妪¥ µ¥ Ťn®¨n° ¨³Å¤¦n µÎÉ ¦ª¥ µ¤ªµn o¼µ¥Ä ³Åo¦´ µ¦Á¨°º µ µµª» µ ´Á¦¸¥¦nª¤´¦»nµªµ¤¦·
°´ªÁºÉ°¤ “¨³” ¨Äµ¦µ Á¤Éº° p  ¦¼®¨n° q  ¦µÉÎ ¦ª¥ »¨ p q pq µ¥ T T µ¥
T F µ¥ F T µ¥ F F 2. µn ªµ¤¦·
°ª´ ÁºÉ°¤ “ ®¦°º ” ´ Á¦¥¸ ¦nª¤´ ¡·µ¦µªµ¤´ÊÄ
° µµª» µ ´Ê¸ µµª»µ°ªµn “ ¢
°´°o ¦¼®¨n°®¦º°¦É妪¥ ” µ¤ªnµ o¼ µ¥Ä Ä
°o 1 ³Å¦o ´ µ¦Á¨º°µµµª» µ ´Á¦¸¥¦nª¤´¦»nµªµ¤¦·
°´ªÁºÉ°¤ “®¦º°” ¨Äµ¦µ Á¤Éº° p  ¦¼®¨n° q  ¦µÎÉ ¦ª¥
⌦ 11 » ¨ p q pq µ¥ µ¥
µ¥ µ¥ 3. nµªµ¤¦·
°´ªÁºÉ°¤ “oµ… ¨ªo …” ´ Á¦¥¸ ¦nª¤´ ¡· µ¦µ
°o ªµ¤¤É¸ ¸ÁÉ°º Å
°n Åʸ »¦¼»µ°´Á¦¸¥ªnµ “oµ´Á¦¸¥¤µÃ¦Á¦¸¥Äª´Áµ¦r¸Ê ´Á¦¸¥o°ª¤»¡¨³” Á®»µ¦r°¸É µ³Á}ÅÅo ´Ê¸ .. ¤µÃ¦Á¦¥¸ Ī´ Áµ¦rÃ¥Ânª´ ªo ¥»¡¨³ .. ¤µÃ¦Á¦¥¸ Ī´ Áµ¦råŤnÂn´ªªo ¥» ¡¨³ Ä®o ´ Á¦¸¥Á¤· ¦°¸ ÉºÇ É¸ nµ ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… µ¤ªµn .. ·´ ·ÂĹ ¼°o µ¤Áº°É Å
ɸ » ¦¼»µ° ´Á¦¸¥¦nª¤´¦»nµªµ¤¦·
°´ªÁºÉ°¤ “ oµ…¨oª…” ¨Äµ¦µ Á¤Éº° p  . ¤µÃ¦Á¦¸¥ q  . ª¤»¡¨³ p q poq 5. nµªµ¤¦·
°ª´ ÁºÉ°¤ “…È °n Á¤º°É …” ¤¸ªµ¤®¤µ¥ÁnÁ¸¥ª´ (poq)(qop) nµªµ¤¦·
°¦³¡r p Èn°Á¤ºÉ° q ¤¸µn ªµ¤¦· µ¤µ¦µn°Åʸ
12 ⌦ p q p oq q op (p oq) (q op) ´Á¦¥¸ ¦ªn ¤´ ¦»nµªµ¤¦·
°ª´ Á°Éº ¤ “…È °n Á¤°Éº …” ¨Äµ¦µ p q plq Á¡¨µn ªµ¤¦· ε° · Á¨·Ê Á¨ p Á}¦· q Á}¦· p ¨³ q Á} ¦· µ¤ª·°¸ ɺŤn¦· µÎ ŪÄo ®o¸ ³ p ®¦°º q Ťn¦· p Ťn ¦· q Ťn¦· εŪoÁ· ¸ µ¤ª· °¸ ºÉ °o ¦· p ´Ê o°¦· Ân ð ðq ªo µÎµ oµ p ¨ªo q Ťn ¦· p iff q Á}¦· ´ª q Ťn¦·ÂnÂo p iff q o°¦· Á±!o p Á} ¦· q Á}¦· p Ťn¦· q Ťn ¦· @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
⌦ 13  f ®´¸É 2 1. µ´ªÁºÉ°¤µ¦¦«µ¦r ®µ´ªÁɺ°¤Ä£µ¬µÅ¥¸É¤¸ªµ¤®¤µ¥Á®¤º°´ Á·¤¨Äµ¦µ
oµ¨µn ʸ ª´ ÁºÉ°¤µ¦¦«µ¦r µÎ ¤¸É ¸ªµ¤®¤µ¥Á®¤°º ´ Ťn …………………………………………………………………………… ¨³ …………………………………………………………………………… ®¦º° …………………………………………………………………………… µo …¨oª… …………………………………………………………………………… È °n Á¤°Éº …………………………………………………………………………… 2.Á¨¸É¥¦³¡r °n ÅÁ¸Ê } ´¨´ ¬r ¦³¡r ´ ¨´ ¬Âr ¦³¡r 1. 3 = 5 ¨³ 3 Á} εª¸É ……………………………… 2. 7+3 < 10 Ân 10 > -15 ……………………………… 3. 7 Á}ε°
°¤µ¦ x2– 49 = 0 ´ ´Ê 7 Á} µÎ ªÁȤ ……………………………… 4. oµ 3 > 4 ¨oª 3 – 4 < 4 – 3 ……………………………… 5. 12 Á} µÎ ªn¼ È n°Á¤º°É 2 ®µ¦ 12 ¨ª´ ……………………………… 6. 2 ®¦º° –3 Á}µÎ °
°¤µ¦ x2– 5x –14 = 0 ……………………………… 7. 3 = 5 ¨³ 3 Á} εªn¼ ´´Ê 5 Á}εªn¼ ……………………………... 8. –23 < 0 È °n Á¤°Éº -23 ®¦°º 0 Á} µÎ ªÁ¡µ³ ……………………………… 9. 7 ŤnÄn µÎ ª´ È °n Á¤Éº° 7 > 2 ¨oª -3 > 3 ……………………………… 10. _-10_=_10_¨³ 10< -10 Èn°Á¤É°º 2 ®¦º° –2 Á}ª´ ¦³°
° 10 ……………………………… 3.®µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r °n Å¸Ê 1) 3 = 5 ¨³ 3 Á} εª¸É ª· ¸Îµ F T = F 2) 7+3 < 10 Ân 10 > -15 ª·¸ µÎ ……………………………………… 3) 7 Á} µÎ °
°¤µ¦ x2– 49 = 0 ´ Ê´ 7 Á}εªÁȤ ª·¸ ε……………………………………… 4) oµ 3 > 4 ¨oª 3 – 4 < 4 – 3 ª· ¸ ε………………………………………
14 ⌦ 5) 12 Á}µÎ ª¼n Èn°Á¤°Éº 2 ®µ¦ 12 ¨ª´ ª·¸ µÎ ……………………………………… 6) 2 ®¦º° –3 Á} µÎ °
°¤µ¦ x2– 5x –14 = 0 ª· ¸ ε……………………………………… 7) 3 Á}µÎ ª¼n ´Ê´ 5 Á} n ª·¸ µÎ ……………………………………… 8) –23 < 0 È °n Á¤ºÉ° -23 Á} µÎ ªÁ¡µ³ ª· ¸ ε……………………………………… 9) 7 ŤÄn nµÎ ª´ ¨oª³Åo 7 > 2 ª· ¸Îµ……………………………………… 10) 2 ®¦º° –2 Á}´ª¦³°
° 10 ª· ¸Îµ……………………………………… 4. ®µ·Á
°¦³¡r n°Åʸ 1) 2 Ánµ´ -3 ¤¸·Á º°……………………………………….. 2) 3 -5 < 8 ¤¸ ·Á °º ……………………………………….. 3) 32Á}µÎ ª¼n ¤¸ Á· º°……………………………………….. 4) –15 ¤µªµn 4 ¤¸·Á °º ……………………………………….. 5) 7 ŤnÁ}n ¤¸·Á º°……………………………………….. 6) Á°º ¤¦µ¤¤¸ 31 ª´ ¤¸ Á· º°……………………………………….. 7) ª·¤¨ª¤ÁºÊ°
¸ µª ¤¸·Á º°……………………………………….. 5. Á·¤µn ªµ¤¦·
°¦³¡¨r Ä°n ªµn n°Åʸ Á¤°Éº ε® p ,q , r Á}¦³¡Är Ç 1) oµ p q ¤¸ µn ªµ¤¦·Á}¦· ¨oª p ¤¸µn ªµ¤¦·Á}………. q ¤¸µn ªµ¤¦· Á}……… 2) µo p q ¤¸ µn ªµ¤¦· Á} ÁÈ Â¨oª p ¤¸ µn ªµ¤¦· Á}………. q ¤¸nµªµ¤¦· Á} ……… 3) oµ p oq ¤¸µn ªµ¤¦· Á}ÁÈ Â¨ªo p ¤¸ µn ªµ¤¦·Á} ………. q ¤¸ µn ªµ¤¦·Á} ……… 4) oµ p l q ¤¸ nµªµ¤¦· Á}¦· ¨ªo p ¤¸ nµªµ¤¦· Á}………. q ¤¸ nµªµ¤¦· Á}……… 5) µo p ¤¸ nµªµ¤¦·Á}ÁÈ Â¨ªo p q ¤¸ nµªµ¤¦·Á}……… 6) µo p ¤¸µn ªµ¤¦· Á} ¦· ¨oª p q ¤¸µn ªµ¤¦·Á}……… 7) oµ p ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Â¨ªo p oq ¤¸µn ªµ¤¦·Á}……… 8) oµ q ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ¦· ¨oª p oq ¤¸ µn ªµ¤¦· Á} ……… 9) oµ p q ¤¸nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Â¨³ p ¤¸ µn ªµ¤¦· Á} ¦· ´ Ê´ q ¤¸µn ªµ¤¦·Á} ………
⌦ 15 10) oµ p q ¤¸nµªµ¤¦·Á} ¦· ¨³ p ¤¸µn ªµ¤¦· Á} ÁÈ ´´Ê q ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ……… 11) µo p oq ¤¸µn ªµ¤¦· Á} ¦· ¨³ q ¤¸ µn ªµ¤¦·Á}ÁÈ ´´Ê p ¤¸ nµªµ¤¦· Á}……… 12) µo p l q ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Â¨³ p ¤¸µn ªµ¤¦·Á}¦· ´ Ê´ q ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ……… 13) p ~p ¤¸µn ªµ¤¦·Á} ………… 14) p ~p ¤¸nµªµ¤¦· Á} ………… 15) p l ~p ¤¸ µn ªµ¤¦·Á}………… 16) oµ p q ¤¸µn ªµ¤¦·Á} ¦· ¨³ ~r ¤¸µn ªµ¤¦· Á}¦· ¨oª p or ¤¸ nµªµ¤¦·Á}……... 17) µo p q ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Â¨ªo p oq ¤¸ µn ªµ¤¦· Á}……… 18) oµ p oq ¤¸nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Â¨ªo p q ¤¸µn ªµ¤¦· Á}……… 19) oµ p oq ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Â¨³ q r ¤¸nµªµ¤¦·Á}¦· ¨oª ~r ¤¸ µn ªµ¤¦· Á} ……… 20) oµ ~( p oq )¤¸ µn ªµ¤¦· Á} ¦· ¨oª p ¤¸µn ªµ¤¦·Á}……… @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
16 ⌦ Īµ¤¦o¼ ¸É 3 nµªµ¤Á} ¦·
°¦³¡r ¸¤É ¸ª´ ÁÉ°º ¤¤µªnµ®É¹ª´ Áº°É ¤ µ¦®µnµªµ¤Á}¦·
°¦³¡r¸É¤¸´ªÁºÉ°®¨µ¥Ç ´ªÁɺ°¤ ³o°¦¼onµªµ¤Á}¦·
° ¦³¡r¥n°¥Ç ¨oª®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r¤ Ã¥®µnµªµ¤¦·¸É°¥¼nĪÁ¨Èn° µ´Ê®µ µn ªµ¤¦·µ¤¨µÎ ´ ªµ¤Îµ´
°ª´ Áɺ°¤ °º “ ~ ” , “ ”, “ ” , “ o ” ,“ l ” ´ª°¥µn ɸ 1 µÎ ®Ä®o p , q Á} ¦³¡r ¸¤É ¸ nµªµ¤¦· Á}¦· r ,s Á}¦³¡r ¤¸É ¸µn ªµ¤¦·Á}ÁÈ Äo °
o° (1),(2) (1) ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r ~ ( p s ) o ( r l ~ p ) ª·¸µÎ ~ ( p s ) o ( r l ~ p ) TF F T TF FF ° T (2) [ ( p l r ) ~q ] o (~p ~s ) ª·· ε [ ( p r ) l ~ q ] o ( ~ p s ) TF T TF FF F TF F ° ° (3) oµ 1+3 < 5 ¨³ 5 > 9 ´Ê´ 20 = 1 ®¦º° 1-5 = 1 ª·¸ µÎ 1) ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r¥°n ¥ Ä®o p ¦³¡r “ 1+3 < 5 ” ¤¸ nµªµ¤¦· Á} T Ä®o q ¦³¡r “ 5 > 9 ” ¤¸ µn ªµ¤¦·Á} F Ä®o r ¦³¡r “ 20 = 1” ¤¸ µn ªµ¤¦· Á} T Ä®o s ¦³¡r “ 1-5 = 1 ” ¤¸µn ªµ¤¦· Á} T 2) Á¨¸¥É Ã¥Ár }´¨´¬r ³Åo ( p q ) o ( r s ) ¤¸µn ªµ¤¦·Á} T
⌦ 17  f ®´ ¸É 3 1. ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r°n Åʸ Á¤°Éº ε® p , q ¤¸ nµªµ¤¦· Á}¦· r , s ¤¸ nµªµ¤¦·Á}ÁÈ (1) ( p s ) o ~r ……………………………………………………… ª· ¸µÎ ( p s ) o ~ r (5) ( p ~ q ) [ ( p o ( r l q ) ] TF F ……………………………………………………… FT ……………………………………………………… T ……………………………………………………… (2) ( p r ) o ( q s ) ……………………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… (6) [( p o q ) ~ r ] l ( q r ) p …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… (3) ( r o ~ s ) l ( p l s ) ……………………………………………………… …………………………………………… (7) [( p o s ) r ] o [~ p (~ r l s )] …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… (4) ~ ( p r ) l ( ~ q ~ s ) (8) ~ ( r l ~ s ) ~ [ ~ q o ( ~ s p ) ] …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………
18 ⌦ 2. ®µnµªµ¤¦· ¦³¡rn°Å¸Ê (1) µo 1+1 = 2 ¨³ 2 Á}εªÁ¡µ³ ¨ªo 22 = 4 ª·¸ ε …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… (2) 8 ®¦º° 2 Á}´ª¦³°
° 4 ´ Ê´ 4 Á}´ª¦³°
° 10 ª·¸ µÎ …………………………………………………………………………………………………….……… ……………………………………………………………………………………….…………………… ……………………………………………………………………………...……………………………. ( 3) oµ 0 > -5 ¨oª 0 – ( -5 ) È°n Á¤É°º |-5 | Ánµ´ 5 ®¦°º - 5 ª· ¸ µÎ …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3. ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r ¤n°Åʸ Á¤°ºÉ ¦³¡r¤¸ nµªµ¤¦·µ¤É¸ µÎ ® (1) p o ( p q ) (2) ( p q ) o p T TF FT F (3) ( p q ) o q (4) ( p o q ) o r TF F TT F (5) p o ( q o r ) (6) (~ p p ) l ( q r ) T TF F (7) ( ~ p p ) o r (8) ( p o q ) o (~ p q ) TF (9) ( ~ p l p ) o q (10) ( p q ) r (11) ( p o q ) r F T (12) p o ( q r ) F &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
⌦ 19 Īµ¤¦¼o ɸ 4 µ¦µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r (Truth table) µ¦®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r åɸårŤn°nµªµ¤¦·
°¦³¡r¥n°¥Ç ¤µÄ®o Á¦µo°¡·µ¦µnµªµ¤¦·¸É°µ³Á·
ʹÅoÊ´®¤µ¦³¡r¥n°¥Ç Á®¨nµ´Ê ª·¸É¸·¥¤Äoº° µ¦¦oµµ¦µnµªµ¤¦· µ¦µÉ¸Ânµªµ¤¦·É¸Á}ÅÅoÊ´®¤ nµªµ¤¦·Äµ¦µ³¤¸É¸¦¸Ê´
¹Ê°¥¼n´ µÎ ª
°¦³¡r¥n°¥Ç ´Ê¸ (1) oµ¤¸ ¦³¡¥r °n ¥ 1 ¦³¡r ³Åo µn ªµ¤¦· °¸É µ³Á·
ʹÅoÊ´ ®¤ 2 ¦¸ °º p T F (2) oµ¤¸ ¦³¡r¥°n ¥ 2 ¦³¡r ³Åo µn ªµ¤¦·É¸°µ³Á·
¹ÊÅo Ê´®¤ 4 ¦¸ º° pq µÂ£µ¡o Ťo (tree diagram) TT pq TF T T FT F 2 x 2 = 22 = 4 FF T F F (3) µo ¤¸¦³¡¥r °n ¥ 3 ¦³¡r ³Åo µn ªµ¤¦·É°¸ µ³Á·
ʹ Åo´Ê®¤ 8 ¦¸ º° pqr µÂ£µ¡oŤo TTT pq r TTF T TFT T T F T F TFF F FTT T FTF FFT TF FFF FFT F 2 x 2 x 2 = 23 = 8 ³´Ê oµ¤¸¦³¡r¥n°¥ n ¦³¡r ³Åonµªµ¤¦·¸ÉÁ·
ʹÅoÊ´®¤ 2n ¦¸ µ¦¦oµµ¦µnµ ªµ¤¦· Á} µ¦®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r »Ç ¦¸ ÉÁ¸ } ÅÅo
20 ⌦ ª´ °¥nµ 1 ¦µo µ¦µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r°n Å¸Ê (1) p o ( q ~p ) ª· ¸ µÎ ¦³¡r p o ( q ~p ) ¤¸ ¦³¡¥r n°¥ 2 ¦³¡r nµªµ¤¦·É¸Á}ÅÅoÊ´®¤ 4 ¦¸ µ¤µ¦¦oµµ¦µ´ ʸ p q ~p q ~p p o ( q ~p ) TT F T T TF F F F FT T T T FF T T T (2) ( p ~q ) l ~ ( r q ) ª·¸Îµ ¦³¡r ( p ~q ) l ~ ( r q ) ¤¸¦³¡r¥n°¥ 3 ¦³¡r nµªµ¤¦·¸ÉÁ}ÅÅo ´Ê®¤ 8 ¦¸ µ¤µ¦¦oµµ¦µ´ ʸ p q r ~q p ~q r q ~(r q) ( p ~q ) l ~ ( r q ) TTT F T TF F TTF F T FT T TFT T T FT T TFF T T FT T FTT F F TF T FTF F F FT F FFT T T FT T FFF T T FT T @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
⌦ 21  f ®´É¸ 4 ¦oµµ¦µnµªµ¤¦·
°¦³¡r °n Åʸ (1) ~( p q ) o ( q p ) ª·¸ µÎ ¦µo ¦¸ Áɸ }ÅÅo 4 ¦¸ ´¸Ê p q p q ~( p q ) q p ~ ( p q ) o ( q p ) TT TF FT FF (2) (q o r) l [ ( r ~q) o ~r] ª· ¸Îµ ¦oµ¦¸ ¸ÉÁ} ÅÅo 4 ¦¸ ´ ʸ qr TT TF FT FF (3) [ (p q) l r] [ p o ( q o r ) ] ª·¸ ε ¦oµ¦¸ ÉÁ¸ }ÅÅo 8 ¦¸ ´ ʸ pq r TT T TT F TF T TF F FT T FT F FF T FF F
22 ⌦ (4) ( p o ~ q ) l (q l ~ p ) pq (5) ( p o q ) o r ] l [ p o ( q o r ) ] pq r (6) ( r l s ) o ~ s ] ~ ( s l ~ r ) rs (7) (~ A B ) l ( ~ B o ~ A ) AB @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
23 ⌦ Īµ¤¦¼o ¸É 5 ´·¦´¦r (Tautology) ´ ¦· ´ ¦r º°¦¼Â
°¦³¡r ¹É ¤¸ µn ªµ¤¦·Á} ¦· »¦¸ ª·¸ µ¦¦ª°µ¦Á}´ ¦· ´¦r
°¦³¡r 1. ¦oµµ¦µnµªµ¤¦· 2. µ¦¤¤»
· °o
´ Â¥o ´ª°¥nµÉ¸ 1 ¦³¡r [( p o q ) ( qo r ) ] o ( p o r) Á}´ ·¦´ ¦®r ¦°º Ťn ª·¸ εɸ (1) ¦ª°Ã¥¦oµµ¦µnµªµ¤¦· p q r p o q q o r [(p o q ) (p o r) p o r [(p o q) (q o r)] o (p o r) TTT T T T T T TTF T F F F T TFT F T F T T TFF F T F F T FTT T T T T T FTF T F F T T FFT T T T T T FFF T T T T T µµ¦µ¡ªµn µn ªµ¤¦·
Ê´»µo ¥
°¦³¡Ár } ¦· »¦¸ ´´Ê ¦³¡r [( p oq ) ( qo r ) ] o ( p or) Á} ´·¦´ ¦r ª·¸Îµ¸É (2) ¦ª°Ã¥µ¦¤¤»·
°o
´Â¥o ª·¸¸Ê Äo¦ª°ªnµ¦³¡rÊ´Ç ¤¸Ã°µÁ·ÁÈÅo®¦º°Å¤n oµÁ·ÁÈÅoȪnµ¦³¡r Ê´ ŤnÁ}´ ·¦´ ¦r Ã¥¤¤» Ä· ®o¦³¡r´Ê¤¸µn ªµ¤¦· Á} F µ´Êª·Á¦µ³®®r µnµªµ¤¦·
°¦³¡r¥n°¥Ç Á¡°Éº ª¼ nµµn ªµ¤¦·
°¦³¡r
´ Â¥o ´®¦º°Å¤n oµ
´Â¥o ´ ªnµ Ť¤n ¸µÁ·ÁÈ Åo ¦³¡r ´ÊÁÈ } ´·¦´¦r oµÅ¤n
´Â¥o ´ ªµn ¤¸ µÁ· ÁÈ Åo ¦³¡r Ê´ÅÈ ¤nÁ} ´ ¦· ´ ¦r
⌦ 24 µ¦³¡r [( poq ) ( q o r ) ] o ( p or) ¤¤»·Ä®o¦³¡r´Ê¤¸nµªµ¤¦·Á} F ³Åo [( p o q ) ( q o r ) ] o ( p o r) F ª·Á¦µ³®r®µµn ªµ¤¦·
°¦³¡¥r °n ¥Ç Á¡É°º ¼ªnµnµªµ¤¦·
°¦³¡r
´ Â¥o´®¦°º Ťn [( p o q ) ( q o r ) ] o ( p o r) F TF TT TF TF TF ¡ªnµ nµªµ¤¦·
°¦³¡r q Á}Ê´ T ´ F ªnµ
´Â¥o´¹Å¤n¤¸µÁ·ÁÈÅo ´Ê´ ¦³¡r [( p o q ) ( q o r ) ] o ( p o r) Á} ´·¦´ ¦r ¤¤¼¨ ·Á
°¦³¡r ¦¼Â¦³¡rɸ¤¤¼¨´ ¦³¡r 2 ¦³¡r³¤¤¼¨´ Á¤ºÉ°¦³¡r´Ê° ¤¸ nµªµ¤¦· Á®¤°º ´» ¦¸ Äo ´ ¨´ ¬r “ { ” ¤¤¼¨ ¦¼Â¦³¡rɸÁ}·Á´ ¦³¡r 2 ¦³¡r³Á}·Á´ Á¤ºÉ°¦³¡rÊ´°¤¸nµ ªµ¤¦· ¦
µo ¤´ » ¦¸ Äo ´¨´¬r “ ~ ” ·Á ª·¸ µ¦¦ª°µ¦¤¤¨¼ ®¦º°·Á
°¦³¡r ª·¸ µ¦¦ª°µ¦¤¤¼¨®¦°º Á·
°¦³¡r 2 ¦³¡r µÎ ÅÃo ¥¦oµµ¦µnµªµ¤¦· ª´ °¥nµ¸É 2 ¦ª°ªµn ¦³¡r ~p o q ¤¤¨¼ ´¦³¡r p q ®¦º°Å¤n ª· ¸µÎ ¦oµµ¦µµn ªµ¤¦· Åo 4 ¦¸ p q ~p ~p o q p q TTF T T TFF T T FTT T T FFT F F µµ¦µnµªµ¤¦·
°¦³¡r ~p o q ´¦³¡r p q ¡ªnµ¤¸nµªµ¤¦·¦¸n°¦¸ Á®¤°º ´ »¦¸ ´Ê´ ¦³¡r ~p o q ¤¤¨¼ ´ ¦³¡r p q
25 ⌦ ´ª°¥nµÉ¸ 3 ¦ª°ªnµ¦³¡r ~p o q Á}·Á´ ¦³¡r ~ p ~q ®¦°º Ťn ª·¸ ε ¦oµµ¦µµn ªµ¤¦· Åo 4 ¦¸ p q ~p ~p o q ~q ~ p ~q TTF T F F TFF T T F FTT T F F FFT F T T µµ¦µnµªµ¤¦·
°¦³¡r ~po q ´¦³¡r ~ p ~q ¡ªnµ¤¸nµªµ¤¦·¦¸n°¦¸¦
oµ¤´ » ¦¸ ´ ´Ê ¦³¡r ~p oq Á} Á· ´¦³¡r ~p ~q ®¤µ¥Á®» µ¦¦ª°µ¦Á} ´·¦´¦r ¤¤¼¨ ®¦º° ·Á
°¦³¡rɸ°¥¼nĦ¼
o°ªµ¤Ä®o Á¨¸É¥¦³¡r¸É°¥n¼Ä¦¼
o°ªµ¤Ä®o°¥n¼Ä¦¼´¨´¬r ¨oª¦ª°µ¦Á} ´·¦´¦r ¤¤¼¨ ®¦º° ·Á ´¨´ ¬r Ê´ Ç ¦¼Â
°¦³¡rɸ ¤¤¼¨´ 1. ~(~p) { p 2. p q { q p 3. p q { q p 4. p l q { q l p 5. p ( q r ) { ( p q ) r 6. p ( q r ) { ( p q ) r 7. p l ( q l r ) { ( p l q ) l r 8. p ( q r ) { ( p q ) ( p r ) 9. p ( q r ) { ( p q ) ( p r ) 10. p o q { ~p q 11. p o q { ~q o ~p 12. p l q { ( p o q ) (q o p ) 13. ~( p q ) { ~p ~q 14. ~( p q ) { ~p ~q 15. ~( p o q ) { ~( ~p q ) { p ~q 16. ~( p l q ) { ~p l q { p l ~q 17. ~( p l q ) { ( p ~q ) ( q ~p )
⌦ 26 »¦³rµ¦Á¦¥¸ ¦¼o Ä®o´ Á¦¥¸ µ¤µ¦¦ª°µ¦Á}´ ¦· ´ ¦Âr ¨³¦³» ¦³¡rɸÁ} ´¦· ´¦År o ´ ¦· ´ ¦r (Tautology) ´ ·¦´ ¦r º° ¦¼Â
°¦³¡r¹É ¤¸ nµªµ¤¦·Á} ¦·» ¦¸ ª·¸µ¦¦ª°ªnµ¦³¡rÄÁ}´·¦´¦r®¦º°Å¤n εÅoª·¸®¹Éº°µ¦¦oµµ¦µnµªµ¤ ¦·
°¦³¡rÊ´ ¨ªo ¡· µ¦µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r ´Ê o°Á} ¦·»Ç ¦¸ ª´ °¥nµÉ¸ 1 ¦³¡r ( p q ) o ( p oq ) Á} ´¦· ´¦®r ¦°º Ťn ª·¸ µÎ ¦µo µ¦µnµªµ¤¦· p q p q p oq ( p q ) o ( p oq ) TT T T T TF F F T FT F T T FF F T T µµ¦µ¡ªnµ nµªµ¤¦·
°¦³¡r ( p q ) o ( p oq ) Á} ¦·» ¦¸ ´ ´Ê ¦³¡r ( p q ) o ( p oq ) Á}´ ·¦´ ¦r ª´ °¥nµ¸É 2 ¦³¡r ( p a q ) l ( q p ) Á} ´ ·¦´¦r®¦º°Å¤n ª· ¸ ε ¦oµµ¦µµn ªµ¤¦· p q a q p a q q p ( p a q ) l ( q p ) TT F F T TF T T T FT F F T FF T F F µµ¦µ¡ªµn µn ªµ¤¦·
°¦³¡r ( p a q ) l ( q p ) Á}¦· µo ÁÈoµ ´ Ê´¦³¡r ( p a q ) l ( q p ) ŤÁn } ´¦· ´ ¦r 嵤 ¦ª°¦³¡r°n ÅÁ¸Ê }´¦· ´¦®r ¦°º Ťn 1. ( p q ) op 2. ( p oq) l ( a p q ) 3. ( p lq ) ( p o q ) 4. a ( p q ) l ( ap aq )
27 ⌦ » ¦³r µ¦Á¦¥¸ ¦o¼ Ä®o ´ Á¦¥¸ µ¤µ¦¦ª¤¤¼¨´
°¦³¡Âr ¨³¦³»¦³¡r¸É ¤¤¨¼ ´ Åo ¤¤¼¨ (Equivalent forms) ¤¤¨¼ º° ¦¼ Â
°¦³¡r°¦³¡rɹ ¤¸ nµªµ¤¦·Á®¤º°´»¦¸ ª· ¸ µ¦¦ª°ªnµ¦³¡r °¦³¡r¤¤¼¨´ ®¦º°Å¤n εÅoª·®¸ ɹº°µ¦¦oµµ¦µnµªµ¤ ¦·
°¦³¡r´Ê ¨oª¡·µ¦µnµªµ¤¦·
°¦³¡r Ê´°Ê´ o°¤¸ nµªµ¤¦·Á®¤º°´ » Ǧ¸ ´ª°¥nµÉ¸ 1 ¦³¡r a( p o q ) ¤¤¼¨´ p a q ®¦°º Ťn ª· ¸ ε ¦µo µ¦µnµªµ¤¦· p q poq a( poq) a q p a q TT T FFF TF F TTT FT T FFF FF T FTF µµ¦µ¡ªnµ nµªµ¤¦·
°¦³¡r a ( p o q ) Á®¤º°´ p a q »¦¸ ´ Ê´¦³¡r a ( p o q ) ¤¤¼¨´ p a q ª´ °¥nµ¸É 2 ¦³¡r p o q ¤¤¼¨´ q op ®¦°º Ťn ª· ¸ µÎ ¦oµµ¦µnµªµ¤¦· p q p o q q op TT T T TF F T FT T F FF T T µµ¦µ¡ªµn µn ªµ¤¦·
°¦³¡r p o q Á®¤º°´ q op Ťn » ¦¸ ´ Ê´¦³¡r p o q Ťn ¤¤¼¨´ q op µÎ µ¤ ¦ª°¦³¡r °n Å¸Ê ¤¤¨¼ ´®¦º°Å¤n 1. p q ´ p q 2. p o q ´ a q o ap 3. p l q ´ ap q 4. a ( p q ) ´ ap aq
⌦ 28 » ¦³rµ¦Á¦¸¥¦o¼ Ä®o ´ Á¦¥¸ µ¤µ¦¦ªÁ·
°¦³¡Âr ¨³¦³»¦³¡r ɸÁ} ·Á´ Åo Á· ( Negation) Á· º° ¦¼Â
°¦³¡r°¦³¡r¹É¤¸µn ªµ¤¦·µn ´ »¦¸ ª·¸µ¦¦ª°ªµn ¦³¡r°¦³¡Ár } ·Á´®¦º°Å¤n εÅoª·®¸ ɹ º°µ¦¦oµµ¦µµn ªµ¤ ¦·
°¦³¡r ´Ê ¨ªo ¡·µ¦µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r ´Ê°Ê´ °o ¤¸ nµªµ¤¦·nµ´»Ç ¦¸ ª´ °¥nµ¸É 1 ¦³¡r p o q Á} Á· ´ p a q ®¦°º Ťn ª·¸Îµ ¦µo µ¦µnµªµ¤¦· p q p o q a q p a q T T TF F T F FT T F T TF F F F TT F µµ¦µ¡ªµn nµªµ¤¦·
°¦³¡r p o q µn ´ p a q »¦¸ ´Ê´ ¦³¡r p o q Á} Á· ´ p a q ª´ °¥nµ¸É 2 ¦³¡r p q Á}Á· ´ q op ®¦º°Å¤n ª·¸Îµ ¦oµµ¦µnµªµ¤¦· p q p q q op TT T T TF T T FT T F FF F T µµ¦µ¡ªµn nµªµ¤¦·
°¦³¡r p q nµ´ q op Ťn»¦¸ ´Ê´¦³¡r p q ŤnÁ}·Á´ q op 嵤 ¦ª°¦³¡r°n ÅʸÁ}Á· ´ ®¦º°Å¤n 1. p q ´ ap aq 2. p o aq ´ q p 3. p l q ´ ap q 4. a ( p q ) ´ p q
29 ⌦  f®´ ¸É 5 (1) ¦ª°¦³¡r p o( ap q ) ´¦³¡r ( p a q ) o ap ¤¤¼¨´®¦º°Á}·Á ´ ( ª·¸Îµ ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… (2) ¦ª°¦³¡r ( p o q ) ( p aq ) Á} ´ ¦· ´¦®r ¦°º Ťn ( ª· ¸µÎ ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… (3) Á
¸¥´ ¨´ ¬r¦³¡Âr ¨³®µÁ· µ¦³¡r ɸ µÎ ®Ä®o ´Ê¸ 2.1 3 < 5 ®¦°º 7 Á} 媦¦¥³ ´¨´¬Âr ¦³¡…r ………………………………………………………………………… Á· ..……………………………………………………………………………………………… 2.2 4 { 1, 2 , 3 } ¨³ { 4 } { 1, 2 , 3 } ´ ¨´ ¬r¦³¡…r …………………………………………………………………............ ·Á……………………………………………………..………………………………………… 2.3 oµ x < 10 ¨³ x > 7 ¨oª x + 5 = 12 ´¨´ ¬Âr ¦³¡…r ….……………………………………………………………………... Á· …………………………..……………………………………………………………………
⌦ 30 (4) Á¨°º ε°É¸ ¼ ¸É » . p (q r) ¤¤¨¼ ´(p q) (p r) . p l q ¤¤¼¨´ q l p 1.
°o ÄŤn ¼o° . a( p q ) ¤¤¼¨´ aq a p
. p o q ¤¤¼¨´ aq o a p 2. ¦³¡Är ¤¤¼¨´¦³¡r p aq . p aq . qo p . q a p
. po q 3.
°o ÄÁ} ´¦· ´ ¦r . po q l aq o ap . ( p q ) l ( p q ) . a ( p q ) l a p aq
. ( p q ) r l p ( q r ) 4.
o°ÄÁ} ·Á
°¦³¡r “ oµ a 2 < b2 ¨oª a = b ®¦°º a < b ” . a 2 < b 2 ¨³ a z b ®¦°º a t b . a 2 < b 2 ®¦º° a z b ¨³ a t b
. a 2 < b 2 ¨³ a z b ¨³ a t b . oµ a z b ¨³ a d b ¨oª a 2 t b 2 5. ¦³¡Är ¤¸ nµªµ¤¦· Á} ¦· Á¤° . po a p . p a p . p l a p
. p a p ( 5 ) ¦»ªµ¤¦o¼ ªµ¤Á
oµÄÄÁ¦º°É ´¦· ´¦,r ¤¤¼¨ ¨³ Á· ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀÀ
⌦ 31 Īµ¤¦¼o ¸É 6 Á¦É°º µ¦°oµÁ®» ¨ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ µ¦°oµÁ®»¨ º° µ¦¦»¨µ
°o ªµ¤Ãɸ ¥r室µÄ®o µ¦°µo Á®» ¨¦³°oª¥
°o ªµ¤ 2 ° °º
o°ªµ¤°Îµ Á¦¸¥ªnµÁ®»®¦º°É·¸Éε®Ä®o Äɸ¸ÊÂoª¥´¨´¬r P1 , P2 , P3 ,…, Pn
°o ªµ¤°µ¤ Á¦¸¥ªµn ¨®¦º°
o°¦» Äɸ ¸Êªo ¥´ ¨´¬r C µ¦¦» ¨µ
o°ªµ¤É¸Ã¥r µÎ ®Ä®¤o ¸ 2  º° Âɸ 1 oµ¨¦»Ê´°¨o°´Á®»¸Éε®Ä®o Á¦¸¥µ¦°oµÁ®»¨ªnµ ¤Á®»¤¨ ( Valid ) Âɸ 2 µo ¨¦»Ê´Å¤n°¨°o ´ Á®» ¸É ε®Ä®o Á¦¥¸ µ¦°µo Á®» ¨ªnµ Ťn ¤Á®» ¤¨ ( Invalid ) ¤Á®»¤¨ Á}µ¦¥°¤¦´ ªµn Á®Á» }¦· ¨oª¨¦» o°Á} ¦· µ¦¡·µ¦µªnµÁ®»´¨¸Éε® “ ¤Á®»¤¨®¦º°Å¤n ” ¤¸Á·Äµ¦Îµ´Ê¸Á·¸É 1 Ä´ ´ ·¦´ ¦r ¨¹É°¥¼nĦ¼´¨´¬r (P1 P2 P3 … Pn) o C Ä®o¦ª°¦³¡rɸÁ}Á®» - ªµn Á}´¦· ´¦®r ¦°º Ťn oµÁ}´ ¦· ´ ¦r µ¦°oµÁ®» ¨Ê´ ¤Á®» ¤¨
´Ê °µ¦¡· µ¦µªµn µ¦°oµÁ®»¨ ¤Á®»¤¨®¦°º Ťn ¦ª°Åo ´ ʸ 1. εÁ®» ɸ ε®Ä®o¤µÊ´ ®¤ÁÉ°º ¤´oª¥´ªÁ°Éº ¤ “ ¨³ ” ´¸Ê P1 P2 P3 … Pn 2. µÎ Á®»Ê´ ®¤Ä
°o ɸ 1 ÁÉ°º ¤´¨ªo ¥ª´ Á°ºÉ ¤ “ oµ…..¨oª…” ´ ʸ ( P1 P2 P3 … Pn ) o C 3. ¡· µ¦µ¦¼  ( P1 P2 P3 … Pn ) o C Á}´¦· ´¦r ®¦°º Ťn oµÁ}´¦· ´ ¦r ¨nµªªµn µ¦°oµÁ®»¨¸Ê ¤Á®»¤¨
32 ⌦ µo ŤÁn } ´¦· ´¦r ¨nµªªnµ µ¦°oµÁ®»¨¸Ê Ťn¤Á®» ¤¨ Á·¸É 2 Äo
°µ¦°oµÁ®»¨ åεÁ®»¸Éε®É¸°¨o°´ ¦»Ån¼¨ ¹É»
o° Á}´·¦´¦r µo Á®» ´ ¨¸É µÎ ®°¨o°´ µ¦°oµÁ®»¨Ê´ ¤Á®»¤¨
°µ¦°µo Á®»¨
o° º°É ¦¼Â
°o °ºÉ ¦¼Â 1 Á®»¦· -¨¦· 5 µ¦¨ Á®» 1. p o q Á®» 1. p q (modus ponens) (simplification ) ¨ p 2. p 2 ¨ÁÈ-Á®Á» È ¨ q 6 µ¦Á¡·É¤ ®¦º° ¨ q (modus tollens) Á®» 1. p o q (addition) Á®» 1. p ¨ p q 3 µ¦nµ¥° 2. ~q (hypothetical) ¨ ~p 7 Constructive Á®» 1. p o r Á®» 1. p o q 8 Destructive 2. q o s 2. q o r 3. p q ¨ p o r ¨ r s Á®» 1. p o r 4 µ¦´ °° Á®» 1. p q (disjunctive) 2. ~p 2. q o s 3. ~r ~s ¨ q ¨ ~ p ~q Á·¸É 3 Äoµ¦¡·¼rµ°o°¤ Ã¥®µ
o°
´Â¥oÁ}µ¦¡·¼rÃ¥¤¤»·Ä®o¨ Á}ÁÈ Â¨³ÎµÁ®» ´¨É¸ ¤¤»Å· ¡· ¼r n°Å¡
o°É¸
´Â¥o ¹¦»ªnµ¸É¤¤»·Ä®o¨Á}ÁÈÊ´Á}ÅŤnÅo ´Ê´ ¨³o°Á}¦·
⌦ 33 ª´ °¥nµÉ¸ 1 µ¦°oµÁ®»¨¸Ê ¤Á®»¤¨®¦º°Å¤n Á®» 1. p oq 2. ~ q ¨ ~ p ª·¸Îµ ÄoÁ·¸É 1 εÁ®»Â¨³¨¸ÉÃ¥r室µ¦oµµ¤¦¼Â ³Åo [(po q) ~ q ] o ~ p ¦ª°µ¦Á} ´·¦´¦r Ã¥¦oµµ¦µµn ªµ¤¦· ´ ¸Ê p q p o q ~ q (p o q) ~ q ~ p [(p o q) ~ q ] o ~ p TT T F F F T TF F T F F T FT T F F T T FF T T T T T ¡ªnµ ¦³¡r [(poq) ~ q ] o ~ p Á}´·¦´¦r ´Ê´ Á®»Â¨³¨¸ÉÃ¥rε® ¤Á®»¤¨ ´ª°¥nµ¸É 2 µ¦°µo Á®»¨¸Ê ¤Á®» ¤¨®¦°º Ťn Á®» 1. µo µ¦¸
¥´ ¨ªo µ¦¸ °Åo ɸ 1 2. µ¦¸°Åo ¸É 1 ¨ µ¦¸
¥´ ª· ¸ µÎ Á
¸¥Á®»Â¨³¨Á} ¦³Ã¥´¨´ ¬r p  µ¦¸
¥´ q  µ¦¸ °Åo ¸É 1 ³Åo Á®» 1. p o q 2. q ¨ p ª·¸µÎ µÎ Á®»Â¨³¨¸ÉÃ¥r室µ¦µo µ¤¦¼Â ³Åo [(po q) q ] o p ¦ª° µ¦Á}´¦· ´ ¦rÃ¥¦µo µ¦µnµªµ¤¦·´¸Ê p q p o q (p o q) q (p o q) q ] o p T TT T T T F TF F F T FT T T FF T F ¡ªnµ¦³¡r [(p oq) q ] o p ŤnÁ}´·¦´¦r ´´Ê Á®»Â¨³¨É¸Ã¥rε® Ťn¤Á®» ¤¨
34 ⌦ ª´ °¥µn ¸É 3 µ¦°µo Á®» ¨¸Ê¤Á®» ¤¨®¦°º Ťn Á} ´ ¦· ´¦r Á®» 1. oµ a = 5 ¨ªo a = 5 2. µo a z 5 ¨ªo a > 0 3. a z 5 ¨ a > 0 ª·¸ ε Á
¸¥Á®Â» ¨³¨Á} ¦³Ã¥´ ¨´ ¬r p  a = 5 q  a = 5 r  a > 0 ³Åo Á®» 1. p o q 2. ~p o r 3. ~q ¨ r εÁ®Â» ¨³¨É¸Ã¥r 室µ¦oµµ¤¦¼Â ³Åo [(p o q) (~p o r ) ~q] o r ¦ª°µ¦Á}´·¦´ ¦r ¡ªµn ¦³¡r [(p oq) (~p or) ~q] or ´Ê´ Á®Â» ¨³¨¸ÉÃ¥rµÎ ® ¤Á®» ¤¨ ´ª°¥µn ɸ 4 µ¦°oµÁ®»¨¸Ê ¤Á®» ¤¨®¦°º Ťn Á®» 1. p o q 2. q o r 3. ~ r ¨ ~p ¦ª°Ã¥Äo
°µ¦°oµÁ®»¨ ª· ¸Îµ 1) p o q Á®
» °o ¸É 1 2) q o r Á®»
°o ɸ 2 3) p o r µ (1) ¨³ (2) µµ¦µn ¥° 4) ~ r Á®»
°o ɸ 3 5) ~ p µ (3) ¨³ (4) µ¨ÁÈ - Á®Á» È ´ Ê´ [(p oq ) ( (qor ) ~ r ] o ~p ¤Á®» ¤¨ ª´ °¥µn ɸ 5 µ¦°µo Á®»¨Ê¸ ¤Á®»¤¨®¦°º Ťn Á®» 1. oµ x Á} µÎ ª¼n ¨³ y Á}µÎ ªÉ¸ ¨ªo xy Á}µÎ ªn¼ 2. xy ŤÁn } n 3. x ŤnÁ} µÎ ª¸É ¨ y Á} εªn¼
⌦ 35 ª· ¸ ε Ä®o ¦³¡r p Â
o°ªµ¤ x Á} µÎ ªn¼ q Â
o°ªµ¤ y Á}µÎ ªÉ¸ r Â
°o ªµ¤ xy Á}µÎ ª¼n Á¨¸É¥Á®Â» ¨³¨¸ÉÃ¥rµÎ ®Ä®°o ¥Än¼ ¦¼ ´ ¨´ ¬r³Åo Á®» 1. ( pq ) o r 2. ~ r 3. p ¨ ~ q ¦ª°µ¦¤Á®»¤¨Ã¥Äo
°µ¦°µo Á®»¨ 1) (pq) o r Á®
» °o ¸É 1 2) ~ r Á®»
o°¸É 2 3) ~ (pq) µ (1) ¨³ (2) µ¨ÁÈ - Á®»ÁÈ 4) ~ p~q µ (3) Á°¦r ¤°° 5) ~ (~p) Á®»
o°É¸ 3 6) ~ q µ (4) ¨³ (5) µµ¦´ °° ´´Ê [( pq ) o r ] ~ r p ) o ~ q ¤Á®»¤¨ ´ª°¥µn ¸É 6 µ¦°µo Á®»¨¸Ê¤Á®»¤¨®¦º°Å¤n Á®» 1. p o q 2. ~p o r 3. ~q ¨ r ª·¸µÎ Äoµ¦¡·¼ r µ°°o ¤ ¤¤» Ä· ®o ¨ r Á} ÁÈ ´ Ê´ ~r Á} ¦· 1) ~p o r Á®
» o°É¸ 2 2) ~r ¤¤» Ä· ®o 3) p µ
°o (1) ¨³ (2) µ¨ÁÈ - Á®Á» È 4) p o q Á®»
o°É¸ 1 5) q µ
°o (3) ¨³ (4) µÁ®»¦· -¨¦· 6) ~q Á®»
o°¸É 3 7) q ~q µ
o° (5) ¨³ (6) (
o°ªµ¤¸
É ´Â¥o ) 8) r µ
°o (1) - (6) µ¦¡· ¼ rµ°o°¤ ´´Ê [( po q ) (~ p o r) ~ q] o r ¤Á®»¤¨ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
36 ⌦  f ®´¸É 6 Á¦É°º µ¦°oµÁ®» ¨ @@@@@@@@@@@@@@0@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @ 1. Ä®o´ Á¦¸¥Á¨É¥¸ Á®Â» ¨³¨É¸ µÎ ® n°Åʸ Ħ¼ ´ ¨´¬r µ¤¦¼Â ( P1 P2 P3 … Pn ) o C Á®»Â¨³¨É¸ µÎ ® µÎ Á®Â» ¨³¨¸É µÎ ®¤µ¦oµµ¤¦¼  ( P1 P2 P3 … Pn ) o C 1.1 Á®» 1. ~A o ~B 2. B ~A ……………………………………………………… ¨ A 1.2 Á®» 1. ~ Q ~R 2. P o Q 3. P ……………………………………………………… ¨ ~R 1.3 Á®» 1. ( p Q ) o R 2. R o S 3. ~S ……………………………………………………… ¨ ~P ~Q 1.4 Á®» 1. µo 2 + 3 = 5 ¨ªo 5 + 5 = 9 p Â……………………………………………… q Â……………………………………………… 2. µo 5 + 5 = 9 ¨ªo 9 = 10 r Â………………………………………………. ……………………………………………………… 3. 9 z 10 ¨ 2 + 3 z 5 1.5 Á®» 1. oµ ®¦°º ¦· ¨ªo ¸ ¨´ ……………………………………………................ µo µo p Â……………………………………………… q Â……………………………………………… 2. ¸¨´ oµµo r Â………………………………………………. 3. ¦Å¤n· ¨ ……………………………………………………… ……………………………………………................
⌦ 37 2. Ä®o ´ Á¦¥¸ ¦ª°µ¦°µo Á®»¨
°Ã¥Är
o°É¸ 1 ªµn ¤Á®» ¤¨®¦°º Ťn ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. µ¦°µo Á®» ¨¸Ê ¤Á®»¤¨®¦º°Å¤n Á®» 1. p oq 2. ~p o ~r 3. s o r 4. ~ q ¨ ~ s ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
38 ⌦ Īµ¤¦¼o ɸ 7 Á¦°ºÉ ¦³Ã¥Ád ¨³
o°ªµ¤¤¸É ¸´ªn ¦¤· µ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ ¦³Ã¥Ád (Open Sentence) ¦³Ã¥Ád º° ¦³Ã¥°Á¨nµ®¦º°¦³Ã¥·Áɸ¤¸´ªÂ¦ ¨³Á¤ºÉ°Ânµ
°´ªÂ¦oª¥ ¤µ· ÄÁ°£¡¤´ ¡´ Âr ¨ªo Åo¦³¡r ¦³Ã¥ ¦³¡r®¦º°¦³Ã¥Ád Á®»¨ 1) 3 + 7 > 5 – ( - 2 ) Á}¦³¡r Á¡¦µ³´ · Åoªµn ¦· 2) ´Á¦¸¥Á}o¼ µ¥ Á}¦³Ã¥Ád Á¡¦µ³´ · ŤÅn Ťn¦µªµn ´ Á¦¥¸ Å® 3) 2 + 3 ¤¸µn Áµn Ŧ ŤnÁ} ´Ê °¦³Á£ Á¡¦µ³Á}¦³Ã¥Îµµ¤ 4) 2 Á}µÎ °
° Á}¦³¡r Á¡¦µ³´ · Åoªnµ ¦· ¤µ¦ 2x + 1 = 5 5) a Á}µÎ ªn¼ Á} ¦³Ã¥Ád Á¡¦µ³´ ·Å¤Ån o Ťn¦µªnµ a °º εªÄ 6) _ x + 4 _ = 7 Á}¦³Ã¥Ád Á¡¦µ³´· ŤÅn o Ťn¦µªµn x °º εªÄ 7) ª¤Âªnµ Á} ¦³Ã¥Ád Á¡¦µ³´·Å¤nÅÅo ¤n¦µªµn Å® 8) ¦»µ°¥Ä¼n ªµ¤ ŤÁn } ´Ê°¦³Á£ Á¡¦µ³Á}¦³Ã¥
°¦°o ¦³Ã¥ÁdÁ¤ºÉ°Á·¤
o°ªµ¤µ
o°ªµ¤¨ÅĦ³Ã¥ ³µ¤µ¦Á·¤´ªn¦·¤µÅo´ ´ª°¥µn ĵ¦µ°n Å¸Ê ¦³Ã¥Ád Á¤·
°o ªµ¤¨ÅĦ³Ã¥ 1) ´Á¦¥¸ Á}o¼ µ¥ ´ Á¦¸¥»Ä®°o Áʸ } o¼µ¥ 2) a Á} µÎ ªn¼ µÎ ª´ a µÎµª Á} µÎ ª¼n 3) _ x + 4 _ = 7 ¤¸ÎµªÁȤ x ¸É µÎ Ä®o _ x + 4 _ = 7 4) ª¤Âªnµ ¨n ³Ä®°o ʸª¤Âªn µ µÎ ªnµ » µ » εª ¤¸Îµª ¨n ³ Á¦¸¥ªµn ª´ n ¦¤· µ
⌦ 39 Ī·µ¦¦«µ¦r¤¸ ´ªn ¦·¤µ 2 · °º 1. x °µn ªnµ For all x ®¤µ¥¹ µÎ ®¦´»Çnµ
° x °¸É ¥¼nÄÁ°£¡¤´ ¡´r 2. x °nµªµn For some x ®¤µ¥¹ µÎ ®¦´ µµn
° x É°¸ ¥Än¼ Á°£¡´¤¡´r
°o ªµ¤¸É¤¸ ª´ n¦·¤µ ³¤¸ ª´ n¦·¤µ ¨³¦³Ã¥Ád ª´ °¥µn ´Äµ¦µ ¦³¡r ´ªn¦·¤µ ¦³Ã¥Ád ´ Á¦¥¸ Á}o¼ µ¥ 1. ´Á¦¥¸ » Ä®°o Áʸ } o¼µ¥ » a Á} n 2. µÎ ª´ a µµÎ ª Á} µÎ ª¼n µÎµª _x+4_ = 7 3. ¤¸ εªÁ¤È x ¸É εĮo ª¤Âªn µ x>1 _x+4_ = 7 ¤¸µÎ ª x+1 =5 4. ¨n ³Ä®o°Ê¸ ª¤Âªnµ 5. x [ x > 1 ] U = N Ân¨³ 6. x [ x + 1 = 5 ] ; U = I x x µ¦Á
¸¥´¨´¬Âr ¦³Ã¥Ád¤É¸ ¸ ´ªn ¦·¤µ
°o ªµ¤É¸¤¸ª´ n ¦·¤µ ĸª·¦³µÎ ª´ Á¦µ¨³ª´ n¦¤· µÅªo Án Á¤É°º ¨µn ª¹ ¤¸ e ¥n°¤ ®¤µ¥¹ “»´ª¤¸e ” Ânoµ¨µn ª¹ “ª¤Âªn ” ¤´®¤µ¥¹ “µª¤Âªn ” Á} o ¤oÂn Ī·µ· «µ¦Ár °µ¦´Êȳ¤¸ª´ n¦¤· µÅªÄo µ¸ÉÁ
µo Ä Án “Á¤É°º x Á}µÎ ª¦· x+0 = x” ´Ê ®¤µ¥¹ “宦´Îµª¦· x »Îµª x+0 = x” µ¦Á
¥¸ ´ ¨´ ¬Âr
°o ªµ¤¤¸É ¸ ´ªn ¦·¤µ Á¦µ³o°Îµ®Á°£¡¤´ ¡´ r ε´ ŪÁo ¤° Á¡°ºÉ Ä®o ¦µ¹
°Á
´ªÂ¦ªnµÂÉ·Ä oµÅ¤n ε®Á°£¡¤´ ¡´ r °µ³ÎµÄ®o µ¦Á
¥¸ °°¤µ Åo ¨nµ´ Án ¦³Ã¥ “» ª´ ¤¸ e ” µo Á°£¡¤´ ¡´rº° Á
° Á
¸¥Âoª¥ x [ x ¤¸ e ] Ân ε®Á°£¡´¤¡´ r°º Á
°´ªr Ê´®¤ Á
¸¥Âªo ¥ x [ x Á} x ¤¸ e ] ¦³Ã¥ “µª´ ·Å”o oµÁ°£¡´¤¡´r°º Á
° Á
¸¥Âoª¥ x [ x · Å]o ÂnµÎ ®Á°£¡´¤¡´rº° Á
°´ ªr´Ê ®¤ Á
¥¸ ªo ¥ x [ x Á} x · Åo ] ®¤µ¥Á®» 1.
°o ªµ¤¤É¸ ¸ª´ ¦µ
°o ªµ¤Å¤nÁ} ¦³Ã¥Ád Án “ y = 3 x + 5 Á} ¤µ¦ ¦µ¢Áo ¦” 2. Ħ¸Á°£¡´¤¡´Ár } Á媦· ¤´ ³¨³µ¦Á
¸¥Á°£¡¤´ ¡´r Án ¦³Ã¥Ád x + y = y + x Ân x y [ x + y = y + x ] Á}¦³¡r Ân x [ x + y = y + x ] Á}¦³Ã¥Ád
40 ⌦ ´ª°¥µn ɸ 1 1) Á
¸¥¦³Ã¥°n ŸÊÁ}´ ¨´¬r ¦³¡r ´ ¨´ ¬r 1. 媦· x » εªµÎ Ä®o x – 3 > 10 2. ¨n ³ÎµªÁ¤È a µÎ Ä®o a + a = a2 x [ x – 3 > 10 ] U = R 3. ¤¸ÎµªÁȤª x ¸É¤¸ µn ¤µªµn 5 4. εª´ x µÎµªµÎ Ä®o x - 1 = 0 a [ a + a = a2 ] U = I 5. 媦· x ¨³ y » µÎ ªµÎ Ä®o x > y 6. ¤¸ εªÁȤ x ¨³ y µµn εĮo x2+ y2 = 0 x [x > 5 ] U = I+ 7. Ân¨³Îµª´ a » εª ³¤¸ εª´ x [ x - 1 = 0 ] U = N b ɸεĮo 2a+ 3b = 10 xy [x >y] U = R x y [ x2 + y2 = 0 ] U = I a b [ 2a+ 3b = 10 ] U = N 2) Á
¥¸ ¦³Ã¥´ ¨´ ¬rn°ÅÊÁ¸ }
°o ªµ¤ ´ ¨´¬r
o°ªµ¤ 1. x [ x Á}µÎ ªÁ¡µ³ ] U = N ¤¸Îµª´µª´ Á}µÎ ªÁ¡µ³ 2. x [ x2 + 1 > 7 ] U = I ¨n ³ÎµªÁ¤È x x2 + 1 > 7 3. x [ x N o x I ] U = N ¤¸ x µµÎ ª¹ÉoµÁ}εª´ ¨oªÁ} εªÁȤ 4. x [ x > -1 V x < 0 ] U = R µÎ ª¦· x » εªµÎ Ä®o x > -1 ®¦°º x < 0 5. x. y [ x2 + y > 0 ] U = I µÎ ªÁ¤È x ¨³ y » µÎ ªÎµÄ®o x2 + y > 0 6. x y [ x - y = 3 ] U = R Ân¨³µÎ ª¦· x ³¤¸ 媦· y µµn εĮo 7. x y [ x2 < y2 ] U = N x-y = 3 ¤¸ µÎ ª´ x ¨³ y µµn εĮo x2 < y2 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
⌦ 41  f ®´ ɸ 7 Á¦º°É ¦³Ã¥Ád¨³¦³¡r¤É¸ ¸´ªn ¦·¤µ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ °µÎ µ¤¨Ä°n ªµn 1. ¦³Ã¥°n ÅÊÁ¸ } ¦³Ã¥Ád ®¦°º ¦³¡r Á¡¦µ³Á®Ä» ¦³Ã¥ ¦³¡r®¦º°¦³Ã¥Ád Á¡¦µ³Á®Ä» 1. 15 Á}εªÁ¡µ³ ………………………… …………………………… 2. Á
µÁ} ´· «µ¦r ………………………… …………………………… 3. x + x = x 2 ………………………… …………………………… 4. 5 Á}ε°
°¤µ¦ 3X + 1 = 7 ………………………… …………………………… 5. x 2 - 2x = 3 ………………………… …………………………… ………………………… …………………………… 6. _ - 74 _ = _ 74 _ ………………………… …………………………… 7. _ x - 4 _ > 3 ………………………… …………………………… 8. 3 < 5 ¨³ - 7 > - 4 2.Á
¸¥¦³Ã¥n°ÅÁ¸Ê } ´ ¨´ ¬r ´ ¨´ ¬r ¦³¡r ………………………………………………… ………………………………………………… 1. 媦· x » 媤µªnµ 0 ………………………………………………… 2. ¨n ³µÎ ªÁȤ a µÎ Ä®o a + a = 2a ………………………………………………… 3. εªÁȤª x µµÎ ª ¤¸ µn °o ¥ªµn 5 ………………………………………………… 4. ¤¸ 媦¦¥³ x Á¸É }µÎ ª°¦¦¥³ ………………………………………………… 5. »Ç 媦· x µÎ Ä®o 2x > x ………………………………………………… 6. εªÁȤ x µÎµªµÎ Ä®o x 2 - 1 = 0 ………………………………………………… 7. ¤¸µÎ ªÁȤ x ¨³ y µÎµªÎµÄ®o x2 > y 8. µÎ ªÁ¤È x » µÎ ª³¤¸ εªÁ¤È y µ ………………………………………………… εªÉ¸ µÎ Ä®o x+ 2y = 5 9. 宦´µÎ ª´ a ¨³ b »ÎµªÎµÄ®o 2a z 3b
42 ⌦ 3. Á
¥¸ ¦³Ã¥´ ¨´ ¬r°n ÅÁʸ }
o°ªµ¤ ´¨´¬r
o°ªµ¤ 1. x [ x Á}εªn¼ ] , U = R ……………………………………………………… 2. x [ 3x + 1 = 7 ] , U = I ……………………………………………………… 3. x [ x R ¨³ x I ] , U = R ……………………………………………………… 4. x [ x > 2 V x < 3 ] , U = R ……………………………………………………… 5. x [ x + x = x – x ] , U = I ……………………………………………………… 6. x [ _ x - 4 _ > 3 ] , U = I ……………………………………………………… 7. x [ x > -1 V x < 0 ] , U = R ……………………………………………………… 8. x. y [ x2 < y ] , U = I+ ……………………………………………………… 9. x y [ x - y = x + y ] , U = R ……………………………………………………… 10. x y [ x + y < y2 ] , U = N ……………………………………………………… &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
43 ⌦ Īµ¤¦o¼¸É 8 Á¦Éº°µn ªµ¤¦·
°¦³Ã¥¤¸É ¸ª´ n¦·¤µ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ ´ªn ¦·¤µµ· «µ¦r “ ” Âεªnµ “ Ê´®¤ ” x ®¤µ¥¹ µÎ ®¦´»Çnµ
° x , µÎ ®¦´Â¨n ³µn
° x “ ” Âεªnµ “ ¤¸°¥µn o°¥®¹É ” x ®¤µ¥¹ µÎ ®¦´°¥µn o°¥®É¹ µn
° x , ¤¸ µµn
° x µn ªµ¤Á} ¦·
°¦³¡rɤ¸ ¸ ´ªn¦¤· µ 1 ´ª µo P (x) ¦³Ã¥Ád°É¸ ¥¼Än ¦¼ª´ ¦ x 1. x [ P ( x ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}¦· Èn°Á¤Éº° P ( a ) Á}¦· 宦´»nµ
° a ÄÁ°£¡ ´¤¡´r x [ P ( x ) ] ¤¸nµªµ¤¦· Á} ÁÈ È n°Á¤°ºÉ ¤¸ a ÄÁ°£¡´¤¡´ r ɸ µÎ Ä®o P ( a ) Á}ÁÈ 2. x [ P ( x ) ] µn ªµ¤¦·Á}¦· Èn°Á¤ºÉ° ¤¸ a ÄÁ°£¡¤´ ¡´r ¸ÉεĮo P ( a ) Á} ÁÈ x [ P ( x ) ] nµªµ¤¦·Á}ÁÈ Èn°Á¤ºÉ° P ( a ) Á}ÁÈ Îµ®¦´»nµ
° a ÄÁ°£¡ ¤´ ¡´r µnµªµ¤¦·
°¦³Ã¥¸É¤¸´ªn¦·¤µ
oµoµ¤µ¦¦»
Ê´°Äµ¦®µnµªµ¤¦·
°¦³Ã¥¤¸É ¸ ª´ n¦·¤µÅo´Ê¸ Ä®o夵· a ÄÇ ÄÁ°£¡´¤¡´r Å´ªÂ¦ x Ħ³Ã¥Ádɸ¨³¤µ· ¨oª ¡· µ¦µµn ªµ¤¦·¸ÅÉ o Ĩn ³µn oµ 1. nµªµ¤¦·Á}¦·» ¤µ·ÄÁ°£¡´¤¡´ r x Á} ¦· x Á} ¦· 2. µn ªµ¤¦·Á} ¦· oµ Á} ÁÈ oµ x Á} ÁÈ x Á} ¦· 3. µn ªµ¤¦·Á} ÁÈ » ¤µ· ÄÁ°£¡´¤¡´r x Á} ÁÈ x Á} ¦·
o°´ Á x ; ¡ÁȦÁ¸ ¥¸ ª ³Åo µn ªµ¤¦·Á} ÁÈ x ; ¡¦·¦¸Á¥¸ ª ³Åo µn ªµ¤¦·Á} ¦·
⌦ 44 ª´ °¥nµ¸É 1 ®µnµªµ¤¦·
°¦³Ã¥¤É¸ ¸ ª´ n ¦¤· µn°Åʸ 1. x [ x + 3 < 6 ] , U = { 1 , 2 , 3 , 4 } ª·¸Îµ ¦³Ã¥Ád x + 3 < 6  x oª¥¤µ· °¸É ¥n¼ÄÁÁ°£¡´¤¡´ r ³Åo oµ x = 1 ³Åo 1 + 3 < 6 Á} ¦· µo x = 2 ³Åo 2 + 3 < 6 Á} ¦· oµ x = 3 ³Åo 3 + 3 < 6 Á} ¦· ¡ nµªµ¤¦· Á}ÁÈ ´ Ê´ x [ x + 3 < 6 ] , U = { 1 , 2 , 3 , 4 } ¤¸ µn ªµ¤¦·Á} ÁÈ 2. x [ x + x = x 2 ] , U = { -1 , 0 , 1 , 2 } ª· ¸ µÎ  x ªo ¥¤µ· °É¸ ¥n¼ÄÁÁ°£¡¤´ ¡´ r ³Åo oµ x = -1 ³Åo (-1) + (-1) = (-1) 2 Á} ÁÈ µo x = 0 ³Åo ( 0 ) + ( 0 ) = ( 0 ) 2 Á} ÁÈ ¡ µn ªµ¤¦·Á} ¦· ´ ´Ê x [ x + x = x2 ] , U = { -1 , 0 , 1 , 2 } ¤¸nµªµ¤¦·Á} ¦· 3. x [ x 2 + 2x – 1 > 0 ] , U = I+ Á} ¦· Á} ¦· ª·¸Îµ  x oª¥µÎ ª´ÄÇ Á} ¦· oµ x = 1 ³Åo ( 1 ) 2 + 2 ( 1 ) – 1 > 0 Á} ¦· oµ x = 2 ³Åo ( 2 ) 2 + 2 ( 2 ) – 1 > 0 Á} ¦· µo x = 3 ³Åo ( 3 ) 2 + 2 ( 3 ) – 1 > 0 oµ x = 4 ³Åo ( 4 ) 2 + 2 ( 4 ) – 1 > 0 oµ x = 5 ³Åo ( 5 ) 2 + 2 ( 5 ) – 1 > 0 ¡ªnµµn ªµ¤¦· Á} ¦·Á¤°Å¤nªµn  x oª¥Îµª´ ÄÇ ´ ´Ê x [ x2 + 2x – 3 = 0 ] µÎ ª´ ¤¸ µn ªµ¤¦·Á} ¦· nµªµ¤Á} ¦·
°¦³Ã¥¸¤É ¸ ª´ n ¦¤· µ 2 ´ª oµ P ( x , y ) ¦³Ã¥ÁdÉ°¸ ¥¼Än ¦¼ª´ ¦ x , y 1. x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}¦· Èn°Á¤Éº° ´ªÂ¦ x ¨³ y oª¥¤µ· a , b »´ªÄÁ°£¡¤´ ¡´ r εĮo P ( a , b ) Á} ¦· Á¤° x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}ÁÈ Èn°Á¤Éº° ´ªÂ¦ x ¨³ y oª¥¤µ· a, b µª´ ÄÁ°£¡¤´ ¡´r ¨ªo εĮo P (a, b) Á}ÁÈ 2. x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}¦· Èn°Á¤Éº° ´ªÂ¦ x ¨³ y oª¥¤µ· a, b µ´ªÄÁ°£¡´¤¡´r ¨ªo P (a, b) Á} ¦·
45 ⌦ x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á} ÁÈ Èn°Á¤ºÉ° ª´ ¦ x , y ªo ¥¤µ· a, b » ª´ ÄÁ°£¡¤´ ¡´r ¨oªÎµÄ®o P ( a , b ) Á}ÁÈ Á¤° 3. x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}¦· Èn°Á¤ºÉ° ´ªÂ¦ x oª¥¤µ· a »´ªÄ Á°£¡¤´ ¡´ r ¨ªo µÎ Ä®o y [ P ( a , y ) ] Á}¦· x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}ÁÈ Èn°Á¤Éº° ´ªÂ¦ x oª¥¤µ· a µ´ªÄ Á°£¡´¤¡´ r ¨ªo µÎ Ä®o y [ P ( a , y ) ] Á}ÁÈ 4. x y [ P ( x , y ) ] ¤¸nµªµ¤¦·Á}¦· Èn°Á¤Éº° ´ªÂ¦ x oª¥¤µ· a µ´ªÄ Á°£¡´¤¡´r ¨oªµÎ Ä®o y [ P ( a , y ) ] Á} ¦· 5. x y [ P ( x , y ) ] ¤¸µn ªµ¤¦· Á} ÁÈ È°n Á¤É°º ª´ ¦ x oª¥¤µ· a » ª´ ÄÁ° £¡´¤¡´r ¨ªo εĮo y [ P ( a , y ) ] Á} ÁÈ ®¤µ¥Á®» x y [ P ( x , y ) ] ®¤µ¥¹ x [ y [ P ( x , y ) ] x y [ P ( x , y ) ] ®¤µ¥¹ x [ y [ P ( x , y ) ] x y [ P ( x , y ) ] ®¤µ¥¹ x [ y [ P ( x , y ) ] x y [ P ( x , y ) ] ®¤µ¥¹ x [ y [ P ( x , y ) ] ´ª°¥nµÉ¸ 2 ®µµn ªµ¤¦·
°¦³¡r °n Å¸Ê 1. x y [ x + y < 0 ] Á°£¡¤´ ¡´ r = { -1 , -2 , 1 } ª·¸Îµ ¡ªµn  x oª¥ 1 ³Åo y [ 1 + y < 0 ] Á}ÁÈ ´Ê´ x y [ x + y < 0 ] Á}ÁÈ 2. x y [ x + y z 3 ] Á°£¡¤´ ¡´r = { 1 , 2 , 0 , 4 } ª· ¸Îµ ¡ªµn  x oª¥ 0 ³Åo y [ 0 + y z 3 ] Á} ¦· ´Ê´ x y [ x + y z 3 ] Á}¦· 3. x y [ x + y z 3 ] Á°£¡¤´ ¡´r = { 1 , 2 , 0 , 4 } ª·¸ ε ¡ªµn  x = 1 ³Åo y [ 1 + y z 3 ] Á} ¦·  x = 2 ³Åo y [ 2 + y z 3 ] Á}¦·  x = 0 ³Åo y [ 0 + y z 3 ] Á}¦·  x = 4 ³Åo y [ 4 + y z 3 ] Á}¦· ¡ªnµÂ a » ´ª ÄÁ°£¡´¤¡´ r µÎ Ä®o y [ P ( a , y ) ] Á}¦· ´ ´Ê x y [ x + y z 3 ] Á} ¦· 4. x y [ x + y = xy ] Á°£¡´¤¡´ r = { 0 ,1 , 2 } ª· ¸ µÎ  x = 0 ¨³ y = 0 ³Åo y [ 0 + y = ( 0 ) y ] Á}¦· ´ ´Ê x y [ x + y = xy ] Á}¦· @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
⌦ 46  f ®´¸É 8 Á¦É°º µn ªµ¤¦·
°¦³¡r ɸ¤¸ ª´ n¦·¤µ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 1) ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡r °n Å¸Ê Á¤°Éº ε® A = { 0, 1, 2, 3 } B = { - 2, - 1, 0, 1, 2 } 1. x [ x Á} µÎ ªn¼ ] ; U = A 2. x [ 3x + 1 = 7 ] ; U = A 3. x [ x > 1 ] ; U = A 4. x [ x < 5 ] ; U = A 5. x [ x + x = x – x ] ; U = A 6. x [ _ x – 4 _ > 3 ] ; U = A 7. x [ x Á} µÎ ª´ ] ; U = A 8. x [ x + 1 = 7 ] ; U = B 9. x [ x – 5 < 2 ] ; U = B 10. x [ x > 4 V x < 3 ] ; U = B 11. x [ x + 4 > 10 ] ; U = B 12. x [ _ x _ > 3 ] ; U = B 13. x [ x = 1 ] ; U = A 14. x [ x + 1 z 7 ] ; U = B 15. x [ x > 0 ¨³ x I ] ; U = A 16. x [ x + 2 = 3 V x < 5 ] ; U = A 17. x [ x Á} µÎ ª´ o x z 5 ] ; U = B 18. x [ _ x + 4 _ > 10 ] ; U = R 19. x [ x Á}µÎ ªn¼ ] ; U = R 20. x [ _ x + 4 _ = - 7 ] ; U = R 21. x [ x > 0 ¨³ x 2 - 2x = 3 ] ; U = A 22. x [ x > 1 ] V x [ x + 4 > 10 ] ; U = A 23. x [ x + x = x – x ] x [ x Á}µÎ ª´ ] ; U = A 24. x [ _ x _ > 3 ] V x [ x > - 4 ] ; U = B 25. x [ x + x = 2x ] o x [ x 2 - 2x = 3 ] ; U = B
47 ⌦ 2. ®µnµªµ¤¦·
°¦³¡rn°Åʸ Á¤É°º ε® Á°£¡´¤¡´
r ° x º° A = { 0,1,2 } Á°£¡ ¤´ ¡´r
° y °º B = { 1,2,3 } 1. x y [ x + y < 4 ] 2. x y [ x + y < 4 ] 3. x y [ x + y < 4 ] 4. x y [ x – y = 0 ] 5. x y [ x + y = 2 ] 6. x y [ x - y > 0 ] 7. y x [ x < y ] 8. y x [ x > y ] 9. y x [ x = y ] 10. y x [ xy < y ] @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
⌦ 48 Á°µ¦Â³ÂªµÉ¸ 9 Á¦ºÉ°¤¤¼¨Â¨³Á·
°¦³¡r ɸ¤¸ ª´ n ¦·¤µ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 1. Ä®o´Á¦¥¸ Á°Éº ¤Ã¥´ n¼¦³¡r ¸É ¤¤¼¨´¦³®ªnµ¦³¡r µµo ¥Â¨³µ
ªµ 1) A B . aBo aA 2) A B
. aA aB 3) A o B . B A 4) A l aB . aA aB 5) aA o a B . a( A B ) 6) aA aB . aB l A 7) a ( A B ) . aA a B 8)a ( Ao B ) . B A 2. Ä®o´ Á¦¥¸ Á·¤Îµ°¨Äµ¦µ
µo ¨µn ʸ ¤£r (n°) ¸É 2 Ä®oÁ¨¥¸É ¦³Ã¥£µ¬µÁ} ´ ¨´¬r ¤£r (°n ) ɸ 3 Ä®o®µ´ ¨´¬rɸ ¤¤¨¼ ´´¨´¬rĤ£r (°n ) ¸É 2 ¤£r (n°) ¸É 4 Ä®oÁ¨¥¸É ´¨´¬rĤ£r (n°) ¸É 3 Á}¦³Ã¥£µ¬µ ¦³Ã¥£µ¬µ ´ ¨´¬r ¤¤¼¨ ¦³Ã¥£µ¬µ¸É¤¤¨¼ 1. 2 < 4 ¨³ 3 Á} µÎ ª´ P Q Q P 3 Á}εª´ ¨³ 2 < 4 2. µo 5 > 2 ¨ªo 5 Á} µÎ ª¼n ……………… …………… …………………………… 3. 2+( - 8 ) = -6 ®¦°º ( -2 )( -5 ) = 10 ……………… …………… …………………………… 4. 7{1,3,7} È n°Á¤Éº° {3 { 1,3,7 } ……………… …………… …………………………… 5. oµ 2=3 ¨³ 3<4 ¨oª 2 3= 32 ……………… …………… …………………………… 6. µÎ ªÁ¤È x » εª x > 2 x [ P Q ] x [ Q P ] µÎ ªÁ¤È x » µÎ ª x ®¦°º x Á} µÎ ªÁ¡µ³ Á} εªÁ¡µ³®¦°º x > 2 7. ¤¸µÎ ª¦· a µµÎ ªÉ¸ µÎ Ä®o ……………… …………… …………………………… a + 5 = 5 – a ¨³ a2= a 8. ¤¸ µÎ ª´ m µÎµª¸É µÎ Ä®o ……………… …………… …………………………… m +2 = 2m È n°Á¤ºÉ° m < 2 µ¦¼Â
°¦³¡r ¸É ¤¤¼¨´ µÎ ÅÄo ´µ¦¤¤¼¨
°¦³¡r ¤¸É ¸ª´ n ¦·¤µÅoÁn Á¸¥ª´
49 ⌦ 3. Ä®o´ Á¦¥¸ «¹¬µµ¦µ
oµ¨nµÊ¸ ¦³¡r¸É ¤¤¼¨´ ¦³¡r Q(x) P(x) Q(x) P(x) P(x) Q(x) x[ Q(x) P(x) ] P(x) Q(x) x [ x>0 x2=0 ] x[ P(x) Q(x) ] x [ Q(x)] x[P(x)] x [x2=0 x>0 ] x [a Q ( x ) oa P ( x ) ] x[P(x)] x [ Q(x)] x[xt 0 o x+x z2+x ] x[ P(x)oQ(x) ] x [ x+ x = 2+ x o x < 0 ] ®¤µ¥Á®» µ¦¤¤¼¨´
°¦³Ã¥É¸¤¸´ªn¦·¤µ
°´ªÁɺ°¤°ÉºÇ µ¤µ¦ÎµÅoÄε° Á¸¥ª´ (µ¤¦¼ Âɸ ¤¤¨¼ ) 4. Ä®o ´ Á¦¸¥¡·µ¦µªnµ¦³¡Âr n¨³n¼ ¤¤¨¼ ´®¦°º Ťn 1) x [ x + 1 = 3 x z 2 ] ´ x [ x + 1 = 3 x z 2 ] 2) x [ x 2< 4 x < 2 ] ´ x [ x < 2 x 2< 4 ] 3) x [ x = 5 o x z 2 ] ´ x [ x = 2 o x z 5 ] 4) x [ x 2= 4 o x = 2 ] ´ x [ x 2 z 4 x = 2 ] 5) x[ x (x+1) = 0 o x = 0 x +1 = 0 ] ´ x [ x z 0 x +1 z 0 ox ( x+1 ) z 0 ] 5. Ä®o´ Á¦¥¸ Á
¥¸ ¦³¡r ¸É ¤¤¨¼ ´ ¦³¡r ¸É ε® 1) x [ P ( x ) Q ( x ) ] ¤¤¼¨´ …………………………………………………………….…… 2) x [ P ( x ) l Q ( x ) ] ¤¤¼¨´ ………………………………………………………………... 3) x [ P ( x ) o Q ( x ) ] ¤¤¨¼ ´ …………………………………………………………………. 4) x [ x Á}µÎ ªn¼ ¨³ x –3 > 0 ] ¤¤¼¨´……………………………………………………… 5) x [ x+x < 2x È°n Á¤°Éº x ŤÁn } µÎ ª¦· ] ¤¤¼¨´ …………………………………………... 6) x [ x2 Á} n ®¦º° x < 0 ] ¤¤¨¼ ´ ………………………………………………………... 7) x [ oµ x + 3 = 4 ¨oª x –3 > 0 ] ¤¤¨¼ ´………………………………………............................
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