Exercise_matrix-determinant

1 Á¤š¦„· Žr¨³—¸Áš°¦¤r œ· ´œšr 1. ¨„´ ¬–³…°ŠÁ¤š¦·„Žr ™oµœÎµ‹µÎ œªœ¤µÁ…¥¸ œÁ¦¥¸ Š„œ´ Áž}œÂ™ªÇ ¨³ÁšnµÇ „´œ ¨ªo ž—d ¨o°¤—ªo ¥Á‡¦°ºÉ Š®¤µ¥ªŠÁ¨ÈÁ¨„È ®¦°º ªŠÁ¨ÈÄ®n Áœn ¨§ 1 4 3 ·¸ , ª1 7º , >1 6 ª1º Ážœ} ˜œo 8 7¸ «¬4 8»¼ ¨-3 4 9 ¹¸ 7@ , ««2»» ¨© 7 «¬3¼» Á¦µÁ¦¥¸ „­´ ¨´„¬–Ár ®¨µn œªÊ¸ nµ Á¤š¦·„Žr „µ¦Á¦¸¥„É°º Á¤š¦·„Žœr ¥· ¤Ä°o ´„¬¦£µ¬µ°´Š„§¬˜´ªÄ®n Ánœ Á¤š¦·„Žr A Á¤š¦·„Žr B ¨³ Á¦¥¸ „˜¨n ³‹µÎ œªœÄœÁ¤š¦·„ŽrªnµÁž}œ­¤µ„· …°ŠÁ¤š¦„· Žr ­¤µ„· šÁ¸É ¦¸¥Š„œ´ ˜µ¤Âœªœ°œ Á¦¥¸ „ªnµ­¤µ„· Ĝ™ª (row) …°ŠÁ¤š¦·„Žr ­¤µ·„šÉ¸Á¦¥¸ Š„´œ˜µ¤Âœª˜ŠÊ´ Á¦¥¸ „ªµn ­¤µ„· Ĝ®¨´„ (column) …°ŠÁ¤š¦„· Žr Á¤š¦„· Žrš¤É¸ ¸ m ™ª n ®¨„´ Á¦¸¥„ªµn ¤¤¸ ˜· · mun (°nµœªnµ m ‡–¼ n) Áœn ª1 5 º ««6 » A= 4 » ¤¤¸ ˜· · 3u2 ®¦º°Áž}œ 3u2 Á¤š¦„· Žr ¬«7 2»¼ ª5 º ««4 » B= » ¤¸¤˜· · 3u1 ®¦°º Áž}œ 3u1 Á¤š¦„· Žr ¬«3 »¼ ª1 9 8º C = ««2 8 3»» ¤¸¤˜· · 3u3 ®¦º°Áž}œ 3u3 Á¤š¦„· Žr «¬5 4 5»¼ 2. „µ¦Á…¥¸ œ¦ž¼ šÉ´ªÅž…°ŠÁ¤š¦„· Žr ×¥šªÉ´ Şœ¥· ¤Ä°o ´„¬¦£µ¬µ°´Š„§¬˜ª´ Á¨„È šœ­¤µ„· …°ŠÁ¤š¦„· Žr ¨³Á¡É°º °„˜ÎµÂ®œnŠ ªnµ°¥Ân¼ ™ªÄ— ¨³®¨„´ ė ‹¹ŠÁ…¸¥œ˜´ª subscript ˜¦Š¤»¤¨µn Š…ªµ Áœn a11 šœ­¤µ„· …°ŠÁ¤š¦„· Žr A šÉ°¸ ¥n˜¼ µÎ ®œnŠ ™ªšÉ¸ 1 ¨³®¨´„š¸É 1 a23 šœ­¤µ„· …°ŠÁ¤š¦·„Žr A š¸É°¥n¼˜µÎ ®œŠn ™ªšÉ¸ 2 ¨³®¨´„šÉ¸ 3 a34 šœ­¤µ·„…°ŠÁ¤š¦·„Žr A š¸É°¥¼˜n µÎ ®œŠn ™ªšÉ¸ 3 ¨³®¨„´ š¸É 4 —Š´ œ´œÊ ™oµ A Ážœ} Á¤š¦„· Ž¤r ¤¸ ˜· · m x n Á…¸¥œÁžœ} ¦ž¼ šª´É Şŗ—o Š´ œ¸Ê

2

3 3. Á¤š¦„· Žr œ·—˜µn ŠÇ 3.1 Á¤š¦„· ŽÂr ™ª (row matrix) ‡°º Á¤š¦·„Žšr ¸¤É ¸Á¡¸¥Š 1 ™ª ¨³‹³¤„¸ ®É¸ ¨´„„ÅÈ —o ¤¸¤˜· ·Ážœ} 1un Áœn >2  4@ ¤¸¤·˜· 1u2 >1 5 4@ ¤¸¤·˜· 1u3 >7@ ¤¸¤˜· · 1u1 Áž}œ˜oœ 3.2 Á¤š¦·„Žr®¨´„ ( column matrix ) ‡º°Á¤š¦„· ŽršÉ¸¤Á¸ ¡¥¸ Š 1 ®¨´„ ¨³‹³¤„¸ ¸ÂÉ ™ª„Èŗo ¤¸¤˜· ·Ážœ} nu1 Ánœ ª1 º ¤¸¤·˜· 2u1 «¬9 ¼» ª10º ¤¤¸ ·˜· 3u1 « » « 2 » ¬«- 4 »¼ ª3º ««5 » » ¤¤¸ ˜· · 4u1 Áž}œ˜œo «7 » «¬8 » ¼ 3.3 Á¤š¦„· Ž«r ¼œ¥r ( Zero matrix ) ‡°º Á¤š¦„· Žšr ¸¤É ¸­¤µ·„š„» ˜ª´ Áž}œ«œ¼ ¥r ¨³‹³¤¸„Â¸É ™ª®¦º° „®É¸ ¨„´ „ÅÈ —o ª0 0º ª0 0º Áž}œ˜œo >0 0@ , ¬«0 0 ¼» , ««0 0 »» 0 ¼» «¬0 3.4 Á¤š¦·„Žr‹´˜¦» ´­ ((ssqquuaarremmaattrriixx)) ‡°º Á¤š¦·„ŽršÉ¤¸ ¸‹µÎ œªœÂ™ªÁšµn „´ ‹µÎ œªœ®¨„´ ¨³¤¤¸ ·˜· Áž}œ nun Áœn ª4 6º ª1 7 1 º ¬«5 7»¼ , ««4 » A B 8 4 » ¬«7 9 5¼» 1. ™µo A Ážœ} Á¤š¦·„ŽršÉ¸¤¤¸ ˜· ·Ážœ} 2u2 °µ‹Á…¸¥œÁ¤š¦·„Žr A Ážœ} A2u2 2. ™µo A Áž}œÁ¤š¦„· Žrš¤É¸ ¤¸ ˜· ·Áž}œ nun °µ‹Á…¥¸ œÁ¤š¦„· Žr A Áž}œ Anun 3. ­¤µ„· ĜœªšÂ¥Š®¨„´ ‡º°­¤µ„· ĜœªÁ­oœšÂ¥Š‹µ„¤¤» œŽoµ¥Åž¨nµŠ…ªµ

4 Áœn A ª4 6º ­¤µ·„ĜœªšÂ¥Š®¨„´ …°Š A ‡º° 4 , 7 ¬«5 7 »¼ ª1  7 2º B ««4 8 0»» ­¤µ·„ĜœªšÂ¥Š®¨„´ …°Š B ‡º° 1 , 8 , 6 «¬7 9 6¼» 4. „µ¦Ášµn „´œ…°ŠÁ¤š¦„· Žr œ·¥µ¤ Ä®o A [aij ]mun ¨³ A [bij ]mun ¨ªo A = B „˜È n°Á¤ºÉ° ai j = b i j š»„Ç ‡nµ…°Š i ¨³ j ˜´ª°¥µn ŠšÉ¸ 4 „ε®œ—Ä®o 4.1 A ª2 16 º B ª4 (2)2 º c ª2 16 º D ªlog 2 4 3 64 º ¬« 1 » «¬3  1 » « 1 » 1¼ , «  1 30 » , log 10 ¼ , «log ¬ ¼ sin 90 R» ¬ 10 ¼ ‹³¡ªµn A = B = C = D Á¡¦µ³ªµn ­¤µ·„Äœ˜µÎ ®œŠn Á—¥¸ ª„´œ¤‡¸ nµÁšµn „œ´ š„» ˜ª´ —Š´ œÊ¸ ˜ÎµÂ®œŠn ™ªš¸É 1 ®¨„´ š¸É 1 ‡º° 2 = 4 = log 2 4 ˜µÎ ®œŠn ™ªšÉ¸ 1 ®¨„´ š¸É 2 ‡°º 16 = (-2)2 = 3 64 ˜ÎµÂ®œnŠ ™ªšÉ¸ 2 ®¨„´ šÉ¸ 1 ‡º° -1 = 3  1 log 1 10 ˜ÎµÂ®œnŠ ™ªš¸É 2 ®¨„´ š¸É 2 ‡°º 1 = 30 = log 10 = sin 90R ª1 4 7º ª1 4 -7º 4.2 ««2 5 8»» z ««2 5 8»» Á¡¦µ³­¤µ„· Ĝ™ªš¸É 1 ®¨„´ šÉ¸ 3 ŤÁn šµn „´œ «¬3 6 9¼» «¬3 6 9¼» 4.3 ‹Š®µ a ¨³ b šš¸É εĮo >a  b a  b @ >16 4@ ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

5 5. š¦µœ­Ã¡­Á¤š¦·„Žr ( Transpose of Matrix ) š¦µœ­Ã¡­Á¤š¦·„Žr A Á…¥¸ œÂšœ—ªo ¥ “ At ” ‡º° Á¤š¦„· Žšr ¸ÁÉ „·—‹µ„„µ¦Á°µ­¤µ·„šÊŠ´ ®¤— Ĝ™ªš¸É 1 …°Š A ¤µÁ…¸¥œÁž}œ®¨„´ šÉ¸ 1 ¨³Á°µ­¤µ„· š´ÊŠ®¤—Ĝ™ªšÉ¸ 2 …°Š A ¤µÁ…¸¥œÁž}œ ®¨´„šÉ¸ 2 ¨³šÎµÁnœœ¸ÅÊ žÁ¦°Éº ¥Ç ‹œ®¤— Áœn „µÎ ®œ— A ª4 8 2 º ª4 5º ¬«5 7 1 »¼ ««8 » , At 7 » «¬2 1»¼ ˜´ª°¥µn Šš¸É 5 ‹Š­¦µo ŠÁ¤š¦·„Žr A Ä®¤o ¤¸ ˜· Á· ž}œ 2u3 , 3u4 , 4u2 ¨ªo ®µ At ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

6 6. „µ¦ª„Á¤š¦·„Žr œ·¥µ¤ Ä®o A [aij]mun ¨³ B [aij]mun ‹³Å—ªo nµ A+B = [cij]mun ×¥š¸É Cij = aij + bij ‹µ„œ¥· µ¤­¦ž» ŗoªnµ Ĝ„µ¦ª„Á¤š¦·„Ž‹r ³Á„—· …¹œÊ ŗÁo ¤Éº°¤Á¸ Š°Éº œÅ… 2 ž¦³„µ¦‡°º 1. Á¤š¦·„Žr šÊ´Š­°Š˜°o Š¤¸¤˜· ·Ášnµ„´œ 2. œÎµ­¤µ„· Ĝ˜µÎ ®œŠn Á—¥¸ ª„´œ¤µ ª„„œ´ ˜´ª°¥µn ŠšÉ¸ 6 „µÎ ®œ— A ª -1 -3 7º , B ª- 2 -4 9º , C ª1 - 5 9º ‹Š®µ ¬« 2 4 5¼» «¬ 0 -8 1»¼ «¬4- 2 - 5¼» 1. (A + B) + C ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………..……………. 2. A + (B +C) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3. (A + B)t ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4. At ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5. Bt ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 6. At + Bt ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

7 7. „µ¦¨Á¤š¦„· Žr œ·¥µ¤ Ä®o A [aij ]mun ¨³ B [bij ]mun ‹³Å—ªo nµ A– B [cij ]mun ×¥š¸É cij = aij – bij ‹µ„œ¥· µ¤­¦»žÅ—oªµn Ĝ„µ¦¨Á¤š¦·„Ž‹r ³Á„·—…ʹœÅ—oÁ¤É°º ¤Á¸ ŠÉ°º œÅ… 2 ž¦³„µ¦‡º° 1. Á¤š¦·„Žr š´ÊŠ­°Š˜°o Š¤¤¸ ˜· ·Ášnµ„œ´ 2. œµÎ ­¤µ·„Äœ˜µÎ ®œnŠÁ—¥¸ ª„´œ¤µ¨„œ´ ˜ª´ °¥µn Šš¸É 7 „µÎ ®œ— A ª -1 -3 7º , B ª- 2 -4 9º , C ª1 - 5 9º ¬« 2 4 5»¼ ¬« 0 -8 1¼» «¬4 2 - 5¼» ‹Š®µ 1. (A – B) –C ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 2. A – (B –C) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3. (A – B)t ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4. At ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5. Bt ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 6. At – Bt ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

8 8. „µ¦‡¼–Á¤š¦„· Ž—r ªo ¥‹Îµœªœ‹¦·Š œ·¥µ¤ Ä®o A [aij]mun ¨³ c Áž}œ‹Îµœªœ‹¦·ŠÄ—Ç ‹³Å—o cA = [c aij]mun ‹µ„œ¥· µ¤­¦ž» ŗoªµn Ĝ„µ¦‡–¼ Á¤š¦·„Žr—ªo ¥‹Îµœªœ‹¦Š· ė Ä®oœµÎ ‹µÎ œªœ‹¦·Šœœ´Ê ‡¼–­¤µ„· š„» ˜ª´ …°Š Á¤š¦·„Žœr Ê´œ ˜ª´ °¥nµŠšÉ¸ 8 „ε®œ— A ª -1 -3 7º , B ª- 2 -4 9º , C ª1 - 5 9º ‹Š®µ ¬« 2 4 5»¼ ¬« 0 -8 1¼» «¬4 2 - 5»¼ 1. 2A ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 2. 3B ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3. 4C ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4. 2A + 3B ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5. –5 (4C ) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 6. 2At – 3Bt ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

9

10 ˜´ª°¥µn ŠšÉ¸ 10 „µÎ ®œ— A ª1  3 7º ª 1 0 3  2º ¬« 2 4 5¼» « 1 »» B « 2 1 4 «¬ 3 4 5  1»¼ ª1 3 7º ª 1 5 2º ª 6 1 3º «¬ 2 4 5 ¼» « » C ,D «  1 0 1 » E «  1 1 2 » « » «¬ 3 2 4 »¼ «¬ 4 1 3 »¼ ™oµ®µÅ—‹o Š®µÁ¤š¦·„Žr®¦°º ‹Îµœªœ˜°n ޜʸ 1. D + E ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 2. D – E ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3. 2At + C ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4. Dt – Et ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5. (D – E)t ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

11 6. AB ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 7. BA ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 8. (3E)D ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 9. (AB)C ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 10. A(BC) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 11. (DA)t ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 12. (Ct B) At ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

12 ˜ª´ °¥µn Šš¸É 11 „ε®œ—Ä®o A , B , C , D ¨³ E Áž}œÁ¤š¦„· Žšr ɤ¸ ¤¸ ·˜·—Š´ œÊ¸ ABCDE 4u5 4u5 5u2 4u2 5u4 ‹Š¡·‹µ¦–µªnµÁ¤š¦·„Žšr ¸ÂÉ ­—Š˜°n ŞœœÊ¸ ¥· µ¤®¦º°Å¤n ™oµœ·¥µ¤‹Š®µ¤˜· …· °ŠÁ¤š¦·„ŽÄr œ…o°œ´œÊ —ªo ¥ 1. AB ………………………………………………………………….. 2. BA ………………………………………………………………….. 3. A + B ………………………………………………………………….. 4. AC + D ………………………………………………………………….. 5. AE + B ………………………………………………………………….. 6. E ( A + B ) ………………………………………………………………….. 7. EAC ………………………………………………………………….. 8. Et C ………………………………………………………………….. 9. (At + E ) D ………………………………………………………………….. ˜´ª°¥nµŠšÉ¸ 12 ‹Š®µ‡µn a , b , c , d ššÉ¸ εĮo ª a  b b  c º ª8 1º «¬3d  c 2a  4d »¼ ¬«7 6»¼ ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ……………………………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………………………………….

13 ˜ª´ °¥µn Šš¸É 13 „ε®œ— A ª2 3º , B ª4  1º , C ª 2 3º ¬«1 2»¼ ¬«0 2»¼ «¬ 1 2¼» ‹Š®µÁ¤š¦„· Ž˜r °n ޜʸ 1. A2 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 2. B2 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3. (AB) t ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4. BtAt ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5. A(B+C) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………..……..… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 6. AB +AC ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

14 7. (A+B) (A–B) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 8. A2 – B2 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 9. (A+B) (A+B) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 10. A2+2AB + B2 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ‹µ„˜ª´ °¥µn Š…oµŠœ­¦»ž­¤˜´ ·Á„¸¥É ª„´ „µ¦‡–¼ Á¤š¦„· Žr—ªo ¥Á¤š¦„· ŽÅr ——o ´ŠœÊ¸ ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

15

16

17

18  „f ®´— 4. „µÎ ®œ— A = ªsin 2x sin 3x º «¬cos 2x ‹ŠÄ­o ¤´˜…· °Š—¸Áš°¦r¤œ· œ´ šr®µ‡nµ˜n°Åžœ¸Ê cos3x¼» , 1. „ε®œ— A = ª2 3º x «ª¬ ʌ , ʌº ™oµ x ­°—‡¨°o Š„´ ¬«2 4 ¼» 2 2 »¼ B = ª1 2º ,C = ª-1 3º ‹Š®µ det (A2 ) +det ( –A) + det ( 2I) = 6 ¬«4 4 ¼» «¬ 1 2¼» ‹Š®µ x (1) det (A) =……………………………...... …………………………………………… (2) det (B) =……………………………... . …………………………………………… (3) det (C) =……………………………..... …………………………………………… (4) det (ABC ) = …………………………. …………………………………………… ………………………………………….….. …………………………………………… (5) det (AtBtCt ) = ………………………... …………………………………………… ………………………………………….….. 5. „ε®œ— A = ª2 7º (6) det (4AtBCt ) = ……………………….. «¬1 4 ¼» ……………………………………………... B = , C =ª2 5º ª2 7º (7) det (A2 B3 C2 ) =………………………. ¬«4 6»¼ ¬«1 5»¼ ‹Š®µ det ( AB + AC )t ……………………………………………... …………………………………………… 2. ™µo ª1 2º ªp qº = ª4 0º …………………………………………… «¬1 4¼» ¬«r s ¼» ¬«5 1 »¼ ‹Š®µ p q …………………………………………… rs …………………………………………… ……………………………………………... …………………………………………… ……………………………………………... …………………………………………… ……………………………………………... 6. Ä®o x Ážœ} ‹µÎ œªœÁ˜È¤ A = ª2x 1º ¬« x x ¼» 3. „ε®œ— A = ª-1 -1º ¬« 2 6»¼ ¨³ det (A) = 3 , det (BA +BA-1 ) = 1 B = ª4 6º ¨³ ‹Š®µ det (B) «¬2 y¼» det ( AB + B ) = –64 ‹Š®µ B- 1 …………………………………………… ……………………………………………... …………………………………………… ……………………………………………... …………………………………………… ……………………………………………... …………………………………………… ……………………………………………... ……………………………………………

19 —Á¸ š°¦¤r œ· ´œšr…°ŠÁ¤š¦·„Žr n u n Ĝ„µ¦®µ—¸Áš°¦r¤œ· ´œš…r °Š n u n œ´„Á¦¸¥œ˜°o Š¦o¼เกÁ„ยี่ ¸É¥วªก„บั ´ ŤÁœ°¦r…°Š­¤µ„· Ä—Ç Â¨³ Ç¢‡Á˜°¦…r °Š­¤µ·„Ä—Ç …°ŠÁ¤š¦„· Žr—´Šœ¸Ê ™ ŤÁœ°¦r ( Minor ) …°Š­¤µ„· aij Ä—Ç ‡º°‡µn —¸Áš°¦r¤·œ´œšrš¸Éŗo‹µ„„µ¦˜—´ ™ªšÉ¸ i ®¨´„šÉ¸ j …°ŠÁ¤š¦·„Žr A °°„Åž Á…¸¥œÂšœ—oª¥ Mij ªa11 a12 a13 º a11 a12 a13 a 22 » a 22 a 23 „µÎ ®œ— A = ««a21 a 23 » , det (A) = a21 «¬a31 a32 a33 »¼ a31 a32 a33 ŤÁœ°¦r…°Š a 11 ‡º° M11(A) = a22 a23 a32 =………………………………………………...…… a33 ŤÁœ°¦…r °Š a 21 ‡°º M21(A) = a12 a13 a32 =…………………………………………………….. a33 ŤÁœ°¦r…°Š a 31 ‡°º M31(A) = a12 a13 =…………………………………………………….. a22 a23 (1) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µ M21(A) =………………………………………….………. «¬52 1 21¼» , 3 (2) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µ «¬52 1 21»¼ , 3 M23(A) =………………………………………………….. (3) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µ M31(A) =……………………………….…………...…….. «¬52 1 21¼» , 3 (4) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µ M21(A) =………………………………………………….. ¬«52 1 21¼» , 3 (5) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µ ¬«52 1 21¼» , 3 M22(A) =………………………………………..…..…….. (6) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µÅ¤Áœ°¦…r °Š-1 =…………………………………...…..……. «¬52 1 21¼» , 3 (7) „ε®œ— A = ª1 4 3º ‹Š®µ ŤÁœ°¦…r °Š 4 =……………………………….….…..….. ¬«52 1 21¼» , 3

20 ™ Ç¢‡Á˜°¦r (Cofactor) …°Š­¤µ·„Ä—Ç šœ—oª¥ Cij(A) ‡°º Ÿ¨‡¼–…°Š (-1)i+j „´ ŤÁœ°¦r (Minor) …°Š­¤µ·„˜ª´ œœ´Ê —´Šœœ´Ê Ç¢‡Á˜°¦…r °Š­¤µ„· a ij šœ—ªo ¥ C ij (A) ×¥šÉ¸ C ij (A) = (-1)i+j Mij (A) ªa11 a12 a13 º a11 a12 a13 „µÎ ®œ— A = ««a21 » a22 a23 » , det (A) = a21 a22 a23 «¬a31 a32 a33 ¼» a31 a32 a33 Ç¢‡Á˜°¦r…°Š a 11 = C11(A) = (-1)1+1jM11(A) = a22 a23 = a22a33–a23a32 a32 a33 Ç¢‡Á˜°¦r…°Š a 21 = C21(A) = (-1)2+1 M21(A) a12 a13 = – (a12a33–a13a32 ) a33 = – a32 Ç¢‡Á˜°¦…r °Š a 22 = C22(A) = (-1)2+2 M22(A) = a11 a13 = a11a33–a13a31 a31 a33 ™ „µ¦®µ—Á¸ š°¦¤r œ· œ´ šr Ä®ošÎµ˜µ¤…´œÊ ˜°œ—Š´ œÊ¸ 1. Á¨º°„™ªÄ—™ª®œ¹ŠÉ Ūo 1 ™ª ( ®¦°º ®¨´„Ä—®¨„´ ®œŠ¹É ) 2. ®µÃ‡Â¢‡Á˜°¦…r °Š­¤µ·„š»„˜ª´ Ĝ™ªœœ´Ê ( ®¦º°®¨´„œ´Êœ ) 3. œµÎ ­¤µ„· š„» ˜ª´ Ĝ™ªœ´Êœ‡¼–„´ Ç¢‡Á˜°¦…r °Š˜ª´ œÊ´œ ¨ªo œµÎ Ÿ¨‡–¼ š„» ‡n¤¼ µ¦ª¤„´œ Ÿ¨š¸Éŗo‡°º ‡µn —¸Áš°¦r¤·œ´œš…r °ŠÁ¤š¦·„Žr ªa11 a12 a13 º » Ánœ „µÎ ®œ— A = ««a21 a22 a23 » ®µ—Á¸ š°¦r¤œ· ´œšrŗ—o Š´ œ¸Ê ¬«a31 a32 a33 ¼» ™oµÁ¨°º „™ªšÉ¸ 1 det (A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13 C13(A) ™µo Á¨º°„™ªš¸É 2 det (A) = a21C21(A) + a22C22(A) + a23 C23(A) ™oµÁ¨°º „®¨„´ š¸É 3 det (A) = a13C13(A) + a23C23(A) + a33 C33(A) (1) „ε®œ— ª1 4 2º A = ««2  2 1»» , ‹Š®µ det (A) ¬«3  3 5»¼ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

21 ª- 2 5 1º « -1»» , ‹Š®µ det (A) (2) „ε®œ— A= « 3 2 «¬-1 0 5¼» ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ªa b cº ««d » (3) „ε®œ— A= e f » , ‹Š®µ det (A) ¬«g h i ¼» ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ‹µ„Ÿ¨šÅ¸É —o‹µ„…o° 3 ‹³Å—®o ¨„´ Ĝ„µ¦®µ—Á¸ š°¦r¤·œœ´ š…r °ŠÁ¤š¦„· Žr¤·˜· 3 u 3 —´ŠœÊ¸ ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… (4) „µÎ ®œ— ª2 -2 1º , ‹Š®µ det (A) A = ««0 5 7»» ¬«3 1 5¼» ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

22 ™ ­¦»ž„µ¦®µ —Á¸ š°¦¤r ·œœ´ šr ( Determinant ) …°ŠÁ¤š¦„· Žrŗ—o ´Šœ¸Ê œ¥· µ¤ „µÎ ®œ— A Ážœ} Á¤š¦„· Žr‹˜´ »¦­´ š¤É¸ …¸ œµ— nun ‡nµ—¸Áš°¦¤r ·œœ´ šr…°Š A Á…¥¸ œÂšœ —oª¥ det A ®¦º° _ A _ ŽŠ¹É ®µÅ——o Š´ œ¸Ê 1. Á¤š¦·„Žr…œµ— 1 u 1 „µÎ ®œ— A = [ a ] ‹³Å—oªµn det A = _ a _ = a 2. Á¤š¦„· Žr…œµ— 2 u 2 ™µo A = ª a11 a12 º ×¥š¸É a 11 , a 12 , a 21 , a 22 Áž}œ‹µÎ œªœ‹¦Š· ¨ªo ¬«a21 a22 ¼» —Á¸ š°¦r¤œ· œ´ šr…°Š A = a11 a12 = a 1 1 a 22 – a 2 1 a 1 2 a22 det (A) = a21 3. Á¤š¦„· Žr…œµ— 3 u 3 ªa b cº A = ««d » „µÎ ®œ— e f » Ä®Áo ¡É·¤®¨´„šÉ¸ 1 ®¨„´ š¸É 2 ˜n°šµo ¥®¨„´ šÉ¸ 3 —´ŠœÊ¸ ¬«g h i¼» --- abcab det A = d e f d e = a e i + b f g + c d h – g e c – h f a – i d b ghi gh ˜´ª°¥µn Šš¸É 18 ‹Š®µ + + +Á¤Éº°„ε®œ— ª1  2 1º « » det (A ) A « 2 2  1 » «¬ 1 3 2 ¼» ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4. Á¤š¦·„Žr…œµ— n u n „µ¦®µ det Ä®—o µÎ Áœœ· „µ¦˜µ¤…Êœ´ ˜°œ—´Šœ¸Ê …œ´Ê š¸É 1 Á¨°º „™ª®¦°º ®¨´„ ¤µÁ¡¸¥Š 1 ™ª ®¦º° 1 ®¨´„ …Ê´œš¸É 2 ®µ cofactors …°Š­¤µ·„˜nµŠÇ Ĝ™ª®¦°º ®¨´„šÁɸ ¨º°„¤µ …œ´Ê šÉ¸ 3 ®µŸ¨¦ª¤…°ŠŸ¨‡–¼ …°Š­¤µ„· „´ cofactors

23 ­¦»ž­¤´˜…· °ŠÁ¤š¦·„Žr ¨³—¸Áš°¦¤r œ· ´œšr 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + ( B + C ) 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A + (–A) = (–A) + A = 0 5. AB Ťn‹ÎµÁžœ} ˜o°ŠÁšnµ„´ BA 6. A(BC) = (AB)C 7. A.I = I . A = A 8. A.A–1 =A–1.A = I Á¤ºÉ°AÁž}œÁ¤š¦„· ŽrŤÁn °„“µœ 9. k (A+B) = kA + kB , kR 10. (k1 . k2 )A = k1 ( k2A) = k2 (k1 A) 11. (k1 + k2 )A = k1 A+ k2A , k1 , k2R 12. k (AB) = (kA)B = A(kB) , kR 13. 0 A = 0 = A 0 14. A (B+C) = AB + AC 15. (At )t = A 16. (A+B)t = At + Bt 17. (AB)t = BtAt, (kA)t =kAt,kR 18. (A–1)t= (At)-1,(An)t = (At)n Á¤Éº°AÁž}œÁ¤š¦„· ŽÅr ¤Án °„ฐาน 19. (A-1)-1 = A , (AB)-1 = B-1 A-1 20. (kA)-1= 1 .A-1 ,kz0,Á¤Éº°A Áž}œÁ¤š¦„· ŽÅr ¤Án °„“µœ Á¤Éº° A , B Ážœ} Á¤š¦·„ŽÅr ¤nÁ°„“µœ k 21. det (AB) = det (A) . det (B) 22. det (A-1) = 1 , det (A) z 0 23. det (At ) = det (A) det(A) 24. det(kA) = kn det(A) , n ‡º°¤˜· …· °Š A 25. det (An) = [ det A ] n 26. ™oµ det (A) = det(B) ¨oª Ť‹n εÁžœ} š¸É A = B 27. ™µo ­¤µ„· …°ŠÁ¤š¦„· Žr A ¤Â¸ ™ªÄ—™ª®œ¹ÉŠ ®¦°º ®¨„´ ė®¨´„®œŠ¹É Ážœ} «œ¼ ¥ršŠ´Ê ®¤— ‹³Å—o det (A) = 0 234 104 Ánœ 0 0 0 0 2 0 5 126 607 28. ™oµ­¤µ„· …°ŠÁ¤š¦„· Žr A ¤­¸ °ŠÂ™ªÄ—Ç ®¦º°­°Š ®¨„´ Ä—Ç Á®¤°º œ„œ´ ‹³Å—o det (A) = 0 2 34 101 Áœn 10 5 3 0 2 5 2 2 34 676 29. ™oµÁ¤š¦·„Žr A šÉ„¸ µÎ ®œ—Ä®¤o ¸­¤µ·„Äœ­µ¤Á®¨É¸¥¤œ ®¦°º ­µ¤Á®¨É¸¥¤¨nµŠ Áž}œ«¼œ¥®r ¤— ‹³Å—o det(A) Ášµn „´ Ÿ¨‡–¼ …°Š­¤µ„· ĜÁ­oœšÂ¥Š¤¤» ®¨´„ ( Main Diagonal ) 200 234 Ánœ 3 2 0 0 2 5 2 u 2 u 6 24 126 006

24 30. ™µo ­¤µ„· Ĝ­°ŠÂ™ªÄ—Ç ®¦°º ­°Š®¨„´ Ä—Ç Áž}œ c Ášnµ…°Š„œ´ ¨³„œ´ ‹³¤¸‡nµ—¸Áš°¦¤r œ· ´œšr Ášnµ„´ «œ¼ ¥r 12 3 Áœn 5 10 15 = 0 ( ™ªšÉ¸ 2 Áž}œ 5 Ášnµ …°Š ™ªšÉ¸ 1 ) 41 7 31. ™oµÁ¤š¦·„Žr B Á„·—‹µ„„µ¦­¨´Â™ª‡¼Än —‡®n¼ œŠ¹É ®¦º°®¨´„‡Ä¼n —‡®¼n œ¹ŠÉ …°ŠÁ¤š¦„· Žr A ‹³Å—ªo µn det B = -det A Áœn ª1 2 3º A = ««4 5 6»» ­¨´šÉ¸®¨´„šÉ¸ 1 „´ ®¨„´ šÉ¸ 2 ¬«7 8 9¼» ª2 1 3º ‹³Å—o B « » B = « 5 4 6 » = –A ¬«8 7 9 »¼ 32. ™µo Á¤š¦„· Žr B Á„—· ‹µ„„µ¦œÎµ‡nµ‡Šš¸É c ‡–¼ ™ªÄ—™ª®œÉŠ¹ ®¦º°®¨„´ ė®¨´„®œŠÉ¹ …°ŠÁ¤š¦„· Žr A ‹³Å—ªo µn det B = c det A Áœn ª1 3 5º A = ««4 2 2»» «¬3 1 6»¼ ª2 6 10º B = ««4 » 2 2 » Á°µ 2 ‡–¼ ™ª 1 «¬3 1 6 »¼ ‹³Å—o B = 2 A 33. ™oµÁ¤š¦„· Žr B Á„—· ‹µ„„µ¦œµÎ ‡nµ‡ŠšÉ¸ c ‡¼–™ªÄ—®¦º°®¨´„Ä— ¨oªœÎµÅžª„„´ ™ª®¦°º 135 ®¨´„°„¸ °œ´ ®œŠ¹É ‹³Å—ªo µn det B = det A Áœn A = 4 2 2 ¨³ 316 135 B = 4 2 2 œÎµ 2 ‡¼–™ªš¸É 2 ¨ªo ª„™ª šÉ¸ 3 ‹³Å—o B = A 11 5 10

25 แ บ„fบ®ฝ—´ก หดั 1. ‹Š®µ—Á¸ š°¦r¤·œ´œš…r °ŠÁ¤š¦·„Žr šÉ¸ ª2 1 1 1º „ε®œ—Ä®˜o °n Şœ¸Ê 11. ««1 2 2 3»» «3 1 1 2» 1. ª6 1º ¬«2 3 1 4¼» «¬ 2 3»¼ ª2 0 1 3º 2. ª0 6º 12. ««1 2 0 3»» «¬4 -3¼» «3 1 2 0» ¬«0 2 1 3¼» 3. ª2 - 7º ¬«3 -1¼» ª 1 4 2º 2. ‹Š®µ x , y , z šÉš¸ µÎ Ä®o­¤„µ¦Áž}œ‹¦·Š 4. ««3 1 0»» 1. x2 6 ¬«1 2 5»¼ x3 ª1 7 1º =9 5. « 0 1 2»» « «¬1 0 1¼» z22 ª0 1 2º 2. 0 z 1 = 8 6. ««0 0 3»» ¬«1 1 1»¼ 23 131 ª4 3 2º a 2x 1 7. ««1 0 1»» 3. x 0 0 = –48 ¬« 2 3 4»¼ b 5x 1 ª«2 5 1º 4. y 5 = 1 4 « 12»»» 8. «4 2 10 y 5y « 5» « 6 0 1» 5. x 9 = 2 31 «¬ ¼» 9x -2 x ª0 1 0 2º 3. ‹Š®µ‡nµ…°Š 9. ««0 2 0 3»» x34 «2 -1 1 0» ¬«0 0 0 8¼» 1. y 4 5 ª0 0 1 2º z 56 10. ««6 0 0 1»» x11 «6 1 0 1» 2. 1 y 1 «¬6 0 0 2¼» 11z

26 13. °œ· Áª°¦­r „µ¦‡¼–…°ŠÁ¤š¦„· Žr œ¥· µ¤ A A– 1 = A– 1 A = I Á¦¸¥„ A - 1 ‡°º °·œÁª°¦­r „µ¦คณู ข‡อ–¼ ง…เม°ทŠรÁ¤กิ šซ¦ A·„Žr A ®¤µ¥Á®˜» 1. A Ážœ} Singular Matrix ( Á¤š¦·„ŽrÁ°„“µœ ) Á¤Éº° A Ť­n µ¤µ¦™®µ°œ· Áª°¦­r ŗo [ det A = 0 ] 2. A Ážœ} Non - Singular Matrix ( Á¤š¦·„ŽrŤnÁ°„“µœ ) Á¤É°º A ­µ¤µ¦™®µ°·œÁª°¦r­ ŗo [ det A z 0 ] 13.1 Á¤š¦„· Žr…œµ— 1 u 1 A = [ a ] ¨ªo A – 1 = ª1º Á¤É°º a z 0 ¬« a ¼» 13.2 Á¤š¦·„Žr…œµ— 2 u 2 A ªa b º A 1 1 A.¬ª«dc b º , det Az0 «¬c d ¼» det a ¼» 13.3 Á¤š¦·„Žr…œµ— n u n „µ¦®µ°·œÁª°¦­r …°ŠÁ¤š¦„· Ž¤r ·˜· n x n Á¤Éº° n t 3 œ„´ Á¦¥¸ œ˜o°Š¦o‹¼ ´„Á„ɸ¥ª„´ Ç¢‡Á˜°¦r Á¤š¦·„Žr ¨³Â°—‹°¥šrÁ¤š¦„· Žr…°ŠÁ¤š¦·„ŽÁr ­¥¸ „n°œ (1) Ç¢‡Á˜°¦Ár ¤š¦·„Žr…°ŠÁ¤š¦·„Žr Ç¢‡Á˜°¦rÁ¤š¦„· Ž…r °ŠÁ¤š¦„· Žr A ‡°º Á¤š¦„· Žšr ɸŗ‹o µ„„µ¦Âšœ­¤µ·„ a ij Ä—Ç …°ŠÁ¤š¦„· Žr A —oª¥ Ç¢‡Á˜°¦…r °Š­¤µ·„˜´ªœœ´Ê C ij(A) ¨³Ä­o ´ ¨´„¬–r cof (A) šœÃ‡Â¢‡Á˜°¦Ár ¤š¦„· Žr…°ŠÁ¤š¦„· Žr A ªa11 a12 a13 º ª C11 (A) C12 (A) C13 (A)º ««a21 » ««C 21 (A) C22 (A) C23 (A)»» Áœn ™oµ„ε®œ— A a22 a23 » ‹³Å—o cof(A) ¬«C31 (A) C32 (A) C33 (A)»¼ «¬a31 a32 a33 »¼

27 ‹Š®µÃ‡Â¢‡Á˜°¦rÁ¤š¦„· Ž…r °ŠÁ¤š¦·„Žr A Á¤º°É A ª1 2 3º (2) °—‹°¥šrÁ¤š¦„· Ž…r °ŠÁ¤š¦·„Žr ««4 » 5 6 » «¬7 8 9¼» °—‹°¥šrÁ¤š¦·„Ž…r °ŠÁ¤š¦·„Žr A šœ—ªo ¥ adj (A) ‡°º š¦µœ­Ã¡­…°ŠÃ‡Â¢‡Á˜°¦rÁ¤š¦„· Žr …°ŠÁ¤š¦·„Žr A adj (A) = ( cof (A) )t Áœn ™µo „µÎ ®œ— A ª a11 a12 a13 º ‹³Å—o ªC11 ( A) C12 ( A) C13 ( A)º t « » ««C21 ( A) C22 ( A) C23 ( A)»» « a 21 a 22 a 23 » adj(A) «¬C31 ( A) C32 ( A) C33 ( A)¼» ¬« a 31 a 32 a 33 ¼» ‹Š®µÂ°—‹°¥šÁr ¤š¦·„Žr…°ŠÁ¤š¦·„Žr A Á¤º°É A ª1 2 3º ««4 5 6»» ¬«7 8 9»¼ …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

28 „µ¦®µ°œ· Áª°¦r­…°Š nun Á¤š¦·„Žr ®µÅ——o Š´ œÊ¸ ™oµ A Ážœ} nun Á¤š¦„· Žr ‹³Å—o A– 1 = 1 .adj (A) det (A) ˜´ª°¥µn ŠšÉ¸ 19 ‹Š®µ°·œÁª°¦r­…°ŠÁ¤š¦·„Žr A Á¤º°É „µÎ ®œ— A ˜°n ޜʸ ª1 2 ª31º 2 3º 1. A (1) ««4A 5 ««64»» 5 6»» ¬«7 8 ¬«97¼» 8 9»¼ ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………... ª2 3 ª25º 3 5º 2. A(2) ««0 A1 ««05»» 1 5»» ¬«0 0 «¬04¼» 0 4¼» ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………...

29 ª1 3 2º ªxº ª1º 1. ««2 2 3»» ««y»» ««-1»» ¬«3 1 2¼» «¬z»¼ ¬«1»¼ ………………………………………………………..……………………………………...……….… ………..………………………………………………………..…………………………..…………… ………………..………………………………………………………..……………………..………… …………………………………………………..……………………………………………....……… …..………………………………………………………..……………………………………..……… …………..………………………………………………………..……………………………………. 2. ‹ŠÁž¨¥É¸ œ­¤„µ¦˜°n Şœ¸ÊÁžœ} ­¤„µ¦Á¤š¦„· Žr 4x + 3y + 2z = 5 3x – y – z = 6 –x + 2y + z = 1 ………………………………………………………..………………………………………………… …………..………………………………………………………..…………………………………….. …………………..………………………………………………………..…………………………….. …………………………………………………..……………………………………………………… ...………………………………………………………..……………………………………………… …………………………………..………………………………………………………..……………. „µ¦Â„­o ¤„µ¦Ã—¥Äo°·œÁª°¦­r Ä®šo µÎ ˜µ¤…Êœ´ ˜°œ—Š´ œ¸Ê 1. Áž¨¸É¥œ‹µ„­¤„µ¦ÁŠ· Á­oœÁžœ} ­¤„µ¦Á¤š¦·„Žr 2. œÎµ°œ· Áª°¦r­„µ¦‡–¼ …°ŠÁ¤š¦„· Žr­´¤ž¦³­š· ›‡·Í ¼–šŠÊ´ ­°Š…oµŠ 3. č‡o –» ­¤´˜·„µ¦Ášµn „œ´ …°ŠÁ¤š¦„· Ž®r µ‡µn …°Š˜ª´ ž¦š˜¸É °o Š„µ¦ ˜ª´ °¥µn ŠšÉ¸ 20 ‹Š®µ‡µÎ ˜°…°Š­¤„µ¦ 1. 12.x – y 2=x – 4y = 4 x + y x=+ y2 = 2 ………………………………………………………..……………………………………………..… ………..………………………………………………………..……………………………………… ………………..………………………………………………………..……………………………… …..………………………………………………………..……………………………………………

30 1. 4x + 3y + 2z = 5 3x – y – z = 6 –x + 2y + z = 1 ………………………………………………………..………………………………………………… ……..………………………………………………………..…………………………………..……… ……………..………………………………………………………..………………………….….…… ………………………………………………………..………………………………………………… .…………..………………………………………………………..…………………………………… …………………..………………………………………………………..………………………….… …………………………………………………..…………………………………………………….. 2. 2x + y – z = 5 3x – y – 2z = –3 x – 3y – 3z = –2 ………………………………………………………..………………………………………………… ……..………………………………………………………..………………………………………..… ……………..………………………………………………………..…………………………………. ………………………………………………………..………………………………………………... ……….………..………………………………………………………..……………………………… ª·›š¸ ¸É 2 čªo ·›¸„µ¦—µÎ Áœ·œ„µ¦šµŠÂ™ª ª·›„¸ µ¦®µŸ¨¨¡´ ›…r °Š¦³­¤„µ¦Á·ŠÁ­œo ץč„o µ¦—µÎ Áœ·œšµŠÂ™ªœÊ¸ Á®¤°º œ„´ „µ¦Â„o­¤„µ¦ ›¦¦¤—µ Á¡¸¥ŠÂ˜œn µÎ ­´¤ž¦³­·š›…Í· °Š˜ª´ ž¦Â¨³‡µn ‡Š˜ª´ ¤µÁ…¸¥œÁžœ} Á¤š¦·„Žr ¨³Á¦¥¸ „Á¤š¦„· Žr œÊ¸ªnµ Á¤š¦·„ŽÂr ˜Šn Á˜¤· ¨ªo ( augmented matrix ) Áœn ‹µ„¦³­¤„µ¦ Á¤š¦·„ŽÂr ˜nŠÁ˜·¤Â¨oª ‡º° a1x  b1y  ªa1 b 2 c 1 0 d 1 º a2x  b2y  c 1z d1 ««a 2 ... ... ... » a3x  b3y  c 2z d2 b2 c2 0 d 2 » c 3z d3 «¬a 3 b 3 c 3 0 d 3 ¼» Á¤Éº°Å—Áo ¤š¦·„ŽÂr ˜Šn Á˜·¤Â¨ªo œÎµÁ¤š¦„· Žr—Š´ „¨µn ª¤µž¦´ ˜Šn ץč…o ªœ„µ¦šµŠÂ™ªÁ¡Éº°Ä®°o ¥Ä¼n œ¦¼žšÉ¸ ­µ¤µ¦™®µ‡µn ŗo ¨³Á¡°Éº Ä®œo „´ Á¦¥¸ œÅ—Áo ®Èœ£µ¡¡‹œ„r µ¦Â„­o ¤„µ¦—ªo ¥ª›· Á¸ —·¤ Áž¦¥¸ Áš¸¥„´ „µ¦ —µÎ Áœœ· „µ¦šµŠÂ™ª…°ŠÁ¤š¦·„Žr‡ª‡„n¼ œ´ Ş …°Ä®—o ‹¼ µ„˜´ª°¥µn Š…oµŠ¨µn Šœ¸Ê

31 Ánœ ‹ŠÂ„­o ¤„µ¦¦³ÁŠ· Á­oœ x + 2z = 1 2x – y + z = 2 5x + y + 2z = 0 ª·›š¸ µÎ ¦³­¤„µ¦ 1 Á¤š¦„· Žr ... ... ... 2 x  2z 0 ª1 0 2 0 1º 2x  y  z 5x  y  2z ««2 - 1  1 0 2»» ¬«5 1 2 0 0»¼ œµÎ ™ª 2 ª„„´ ™ª 3‹³Å—o x  2z 1 ª1 0 2 0 1º ... ... ... ««0  1 1 0 2»» 2x  y  z 2 ¬«7 0 3 0 2»¼ 7x  3z 2 Á°µ – 7 ‡–¼ ™ª 1 ¨oª ª„„´Â™ª 3 x  2z 1 ª1 0 2 0 1º ... ... ... 2x  y  z ««0 1 1 0 2»» 2 «¬0 0 11 0  5¼»  11z -55- Á°µ  1 ‡–¼ ™ª 3 ‹³Å—o 11 x  2z 1 «ª1 0 2 ... ... ...01 º 2x  y  z » 2 «0 1 1 0 2 » z 5 « 5» 11 ¬«0 0 1 0 11¼» Á°µ – 1 ‡–¼ ™ª 3 ¨oªœµÎ ޝª„„´Â™ª 2 ‹³Å—o x 1 ª 1 0 0 ... ... ...0 1º 2x  y « 1 0 0 » 11 « 11 » 17 «2 17 » 11 « 11 » z5 « 5» ¬« 0 0 1 0 11 ¼» 11

32 Á°µ –2 ‡–¼ ™ªšÉ¸ 1 ¨oªœµÎ ޝª„„´ ™ªš¸É 2 ‹³Å—o x 1 ª 1 0 0 ... ... ...0 1º y « 0 0 » 11 « 11 » z 15 «0 -1 15 » 11 « 11 » 5 « 5» «¬ 0 0 1 0 11 ¼» 11 Á°µ –1 ‡–¼ ™ªšÉ¸ 2 ‹³Å—o x 1 ª«1 0 0 ... ... ...0 1º y « 1 0 0 » z 11 «0  11 »  15 15 » 11 « 11 » 5 «¬«0 5» 0 10 11 ¼» 11 œÉœ´ ‡º° x  1 , y 5 , z 5 11 11 11 ­¦ž» „µ¦„¦³šµÎ šµŠÂ™ª­µ¤µ¦™šµÎ ŗo—Š´ œÊ¸ 1. ‡¼–™ªÄ—™ª®œŠÉ¹ —ªo ¥‹Îµœªœ‹¦·ŠšÉŸ ¤Án šµn „´«œ¼ ¥År —o 2. ‡¼–™ªÄ—™ª®œŠ¹É —ªo ¥‹µÎ œªœ‹¦·Š k ¨oªœÎµÅžª„„´ °„¸ ™ª®œÉ¹ŠÅ—o 3. Á°µ 2 ™ªÄ—ǝª„„´œÅ—o 4. ­¨´ ¦³®ªµn Š­°ŠÂ™ªÄ—Çŗo ®¤µ¥Á®˜» ¡¥µ¥µ¤ž¦´ Ä®¤o ¸Á¨… 1 ™ª¨³ 1 ˜´ª ¨³®¨´„¨³ 1 ˜´ª ®¦º°Ä®­o ¤µ„· ĜœªÁ­œo šÂ¥Š®¨„´ Ážœ} 1 ­nªœ˜ª´ °œÉº Ä®Áo ž}œ«œ¼ ¥šr ´ŠÊ ®¤— ˜ª´ °¥µn ŠšÉ¸ 21 ‹Š®µ‡µÎ ˜°…°Š­¤„µ¦ 2x + y – z = 5 3x – 2y + 2z = - 3 x – 3y – 3z = -2 ……………………………………………………….………………………………………………… ……..………………………………………………………..………………………………………… ……………..……………………………………………………….…………………………………. ……………………..………………………………………………………..………………………… ……………………………………………………….………………………………………………… ……………..……………………………………………………….………..………………………… ……………………..………………………………………………………………………………..…

33 ……………..……………………………………………………….…………………………………. ……………………..………………………………………………………..………………………… ……………………………………………………….………………………………………………… ……………..……………………………………………………….………..………………………… ……………………..………………………………………………………………………………..… ……………..……………………………………………………….…………………………………. ……………………..………………………………………………………..………………………… ……………………………………………………….………………………………………………… ˜ª´ °¥µn Šš¸É 22 ‹Š®µ‡µÎ ˜°…°Š­¤„µ¦ (2) 2x + 3y + z = 3 x + 2y + z = 1 –x + 4y = -2 …..………………………………………………………..…………………………………….……… …………..………………………………………………………..…………………………….……… …………………….…………………………………………….……………………………………... ………….……..……………..……………..………………………………………………………..… …………….……………….….………………………..……………………………………………… ……….…………………………………………………………………………………….………..…. ………………………………………………………………………………..……………………….. …………………………………………………………………………………………….…………… …………………………………………………………………………………………….…………… ………………………………..………………………………………………………..….…………… ….……………….……………………..…………………………………………………..…….…….. ………………………………….………………..…………………………………………………….. …...……………………………………………….………..………………………………………..…. .…..………...……..……………………………………..…………………..……………………….… ……..……….………………..……………………………………………….………..…………….… ………….………………………………………………………………….……………..…………….