3-เอกสารประกอบการเรียน-เวกเตอร์

เอกสารประกอบการเรียน รหสั วชิ า 20000-1302 วิชา วิทยาศาสตร์เพ่อื พฒั นาอาชพี ช่างอุตสาหกรรม หลกั สตู รประกาศนยี บัตรวิชาชพี พทุ ธศักราช 2562 หนว่ ยท่ี 1 เรอื่ ง เวกเตอร์ ธัญพร พุ่มพวง ครชู ำนาญการพิเศษ วิทยาลยั เทคนคิ ลพบรุ ี คำแนะนำสำหรับผูเ้ รียน สำนัก1ง. ใาหนผ้ ู้เครยีณนฟะงักครำแรนมะกนำาจรากกผา้สู รออนาชีวศกึ ษา กระทรวงศกึ ษาธกิ าร 2. ใหผ้ ูเ้ รยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน จำนวน 15 ขอ้ เวลา 60 นาที 3. ใหผ้ ูเ้ รียนทำกิจกรรมการจดั การเรยี นรู้ทผี่ สู้ อนมอบหมายตามขัน้ ตอนทุก ขนั้ ตอน

45 หวั ข้อการเรียนรู้ 1. ความหมายของเวกเตอร์ 2. ประเภทของเวกเตอร์ 3. องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 4. การรวมเวกเตอร์ จดุ ประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม 1. บอกความหมายของเวกเตอรไ์ ดอ้ ยา่ งถูกต้อง 2. ยกตัวอยา่ งปรมิ าณเวกเตอรไ์ ด้อยา่ งถกู ต้อง 3. จำแนกประเภทของเวกเตอรไ์ ด้อยา่ งถกู ต้อง 4. หาเวกเตอร์องคป์ ระกอบและขนาดของเวกเตอร์ได้อย่าง ถูกต้อง 5. วเิ คราะหห์ าผลลพั ธ์ของการรวมเวกเตอร์ไดอ้ ย่างถกู ต้อง 6. คำนวณหาผลลพั ธ์ของการคูณเวกเตอรไ์ ด้อย่างถกู ตอ้ ง 7. ปฏิบตั งิ านด้วยความละเอยี ดรอบคอบ ปลอดภยั เป็นระเบียบ สะอาด ตรงตอ่ เวลา มีความ ซอ่ื สัตย์ รักษา สภาพแวดล้อม

46 แบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยท่ี 1 คำชแี้ จง 1) แบบทดสอบมี 15 ขอ้ ๆ ละ 1 คะแนน 2) ใหน้ กั เรยี นเลอื กคำตอบทถี่ กู ทส่ี ดุ เพยี งขอ้ เดียว 1. ขอ้ ใดเปน็ ความหมายของปรมิ าณเวกเตอร์ ก. เป็นปรมิ าณท่ีมที ัง้ ขนาดและทศิ ทาง ข. เป็นปรมิ าณที่มที ศิ ทางแนน่ อน ค. เป็นปรมิ าณท่มี ขี นาดเท่ากนั ง. เปน็ ปรมิ าณทม่ี ีขนาดใหญ่ 2. ขอ้ ใดจัดเปน็ ลกั ษณะของเวกเตอร์ ก. ขนาด, ทิศทาง ข. ทิศทาง, ความกว้าง ค. ความยาว, ขนาด ง. กวา้ ง, ยาว 3. ขอ้ ใดกล่าวถูกต้องเกย่ี วกบั ปรมิ าณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์ ก. ปริมาณเวกเตอร์และปรมิ าณสเกลารท์ ่ีมีขนาดเทา่ กนั สามารถนำมาบวก ลบกันได้ ข. ปรมิ าณเวกเตอร์และปริมาณสเกลารท์ ่ีมหี นว่ ยเหมือนกัน สามารถนำมาบวก ลบกันได้ ค. ปรมิ าณเวกเตอรแ์ ละปริมาณสเกลาร์ไมส่ ามารถบวกกนั ได้ แตล่ บกันได้ ง. ปรมิ าณสเกลารไ์ ม่สามารถนำมาบวก ลบกนั เหมอื นกบั ปรมิ าณเวกเตอร์ 4. ขอ้ ใด ไมเ่ ป็น ปรมิ าณเวกเตอร์ ก. ระยะทาง ข. ความเรว็ ค. แรง ง. น้ำหนัก 5. ขอ้ ใด เป็น ปรมิ าณเวกเตอร์ ก. อตั ราเร็ว ข. ระยะทาง ค. มวล ง. แรง 6. “เวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B มขี นาดเทา่ กนั แตม่ ที ิศทางตรงข้ามกัน” จากข้อความดงั กล่าวเปน็ ลกั ษณะ ของเวกเตอร์ประเภทใด ก. เวกเตอร์คงท่ี ข. เวกเตอร์อิสระ ค. เวกเตอรเ์ ลอื่ น ง. เวกเตอร์นิเสธ 7. เวกเตอร์ A มจี ดุ เริม่ ตน้ ท่ีจดุ (1,4) และจุดสดุ ทา้ ยที่ (0,0) ข้อใดถูกต้อง ก. เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอร์นิเสธ ข. เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอรอ์ ิสระ ค. เวกเตอร์ A เปน็ เวกเตอร์ตำแหนง่ ง. เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอร์ศนู ย์

47 จากภาพ ใชต้ อบคำถามขอ้ 8. และ ข้อ 9. y a =100 m 37˚ x 8. ขนาดของเวกเตอร์ a ในแกน x มคี ่าเทา่ ใด ก. -60 m ข. -80 m ค. 60 m ง. 80 m 9. ขนาดของเวกเตอร์ a ในแกน y มคี า่ เท่าใด ก. -60 m ข. -80 m ค. 60 m ง. 80 m 10. เวกเตอร์ A มีขนาด 40 เมตร ทำมมุ 53° กบั แนวราบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแกน y คือข้อใด ก. 32 m ข. 24 m ค. 18 m ง. 12 m 11. จากภาพ เวกเตอร์ใด เปน็ เวกเตอรล์ ัพธ์ c b a d e ก. bd ข. c ค. ง. a 12. ชายคนหนง่ึ เดินจากจดุ หน่งึ ไปทางทศิ เหนอื 4 เมตร ตอ่ จากนั้น เดนิ ตอ่ ไปทางทิศตะวันออกอีก 8 เมตร เขาอยหู่ า่ งจากจุดตัง้ ตน้ กี่เมตร ก. 8.94 m ข. 6.52 m ค. 5.44 m ง. 4.87 m 13. เวกเตอร์สองเวกเตอร์ มีขนาดเท่ากับ 20 หน่วย ทำมุมต่อกัน 60 องศา ข้อใดเป็นผลรวมของเวกเตอร์ ทงั้ สอง ก. 10.25 m ข. 6.94 m ค. 5.68 m ง. 3.64 m

48 14. กำหนดให้ a และ b มขี นาด 5 เมตร และ 4 เมตร ทำมุมกนั 37° ขนาดของ a  b มีค่ากเ่ี มตร ก. 10 m ข. 12 m ค. 16 m ง. 18 m 15. กำหนดให้ A และ B มีขนาด 10 เมตร และ 15 เมตร ทำมุมกัน 37° ขนาดของ A  B มคี า่ ก่ีเมตร ก. 80 m ข. 100 m ค. 120 m ง. 160 m

49 ใบความรู้ หน่วยที่ 1 เรอื่ ง เวกเตอร์ แนวคิด ปริมาณทางวิทยาศาสตร์ แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งปริมาณสเกลาร์ เป็นปริมาณที่บอกเฉพาะขนาดเท่านั้น เช่น ระยะทาง ความดัน ปริมาตร เป็นต้น และ ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว น้ำหนัก เป็นต้น ดังน้ัน การคำนวณค่าตา่ ง ๆ เชน่ การบวก ลบ หรอื คูณ จึงต้องใชว้ ิธีการของเวกเตอร์เท่าน้ัน และเครื่องหมายบวก ลบ ในปริมาณเวกเตอร์ เป็นการบอกทิศทาง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีเครื่องหมายเหมือนกันแสดงถึงทิศทาง ไปในทางเดียวกัน และปรมิ าณเวกเตอร์ท่มี ีเครือ่ งหมายตา่ งกนั แสดงถึงทศิ ทางตรงขา้ มกัน หวั ขอ้ การเรียนรู้ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ 1.2 ประเภทของเวกเตอร์ 1.3 เวกเตอร์องค์ประกอบ 1.4 การรวมเวกเตอร์ 1.5 การคณู เวกเตอร์ จดุ ประสงค์เชิงพฤตกิ รรม 1. บอกความหมายของเวกเตอร์ได้อยา่ งถูกต้อง 2. ยกตัวอยา่ งปรมิ าณเวกเตอรไ์ ด้อย่างถูกต้อง 3. จำแนกประเภทของเวกเตอรไ์ ดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง 4. หาเวกเตอร์องคป์ ระกอบและขนาดของเวกเตอรไ์ ดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง 5. คำนวณหาผลลพั ธ์ของการรวมเวกเตอรไ์ ดอ้ ยา่ งถูกต้อง 6. คำนวณหาผลลพั ธข์ องการคูณเวกเตอร์ไดอ้ ยา่ งถูกต้อง

50 ปริมาณต่าง ๆ ที่ใช้ในชีวิตประจำวัน เช่น มวล น้ำหนัก ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง เวลา อุณหภูมิ ฯลฯ เป็นต้น ปริมาณเหล่านี้บางอย่างบอกขนาดเพียงอย่างเดียวก็ให้ความหมายที่สมบูรณ์ บางอย่างต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมายที่สมบูรณ์ สามารถแบ่งปริมาณออกเป็น 2 ประเภท คือ ปรมิ าณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) และปริมาณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) ปริมาณสเกลาร์ เปน็ ปริมาณท่ีบอกเฉพาะขนาดเพียงอย่างเดยี วสามารถให้ความหมายที่สมบูรณ์ได้ เช่น วัตถุมีมวล 10 กิโลกรัม รถยนตใ์ ช้เวลาในการเคลือ่ นท่ี 5 วินาที วัตถุมีปริมาณ 20 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร เป็นต้น การหาผลลพั ธข์ องปริมาณสเกลารท์ ำไดโ้ ดยอาศัยหลกั ทางพชี คณิต คือ ใชว้ ิธกี ารบวก ลบ คูณ หาร แต่บางปรมิ าณตอ้ งบอกท้ังขนาดและทศิ ทางจึงจะให้ความหมายที่สมบูรณ์ ในหนว่ ยนี้จะกล่าวถึงความหมาย ของปริมาณเวกเตอร์ ประเภทของเวกเตอร์ เวกเตอร์องคป์ ระกอบ การรวมเวกเตอรแ์ ละการคูณเวกเตอร์ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) เปน็ ปริมาณทบ่ี อกทัง้ ขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมาย ที่สมบูรณ์ เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม เป็นต้น การบอกปริมาณเวกเตอร์จะบอกเป็นตัวเลข พรอ้ มกบั หน่วยและทิศทาง ดังภาพท่ี 1.1 v = 20 m/s N ภาพที่ 1.1 ความเรว็ ของรถยนต์ทบี่ อกทงั้ ขนาดและทศิ ทาง ปริมาณเวกเตอร์สามารถเขียนแทนด้วยลูกศร โดยให้ความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ ทิศทางของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ ความยาวของลูกศรที่แทนขนาดของเวกเตอร์นั้นจะต้อง มีความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดไว้ในแต่ละครั้ง เช่น เวกเตอร์ A มีขนาดเท่ากับ 3 หน่วย มีทิศทาง ไปทางทศิ เหนอื เวกเตอร์ B มขี นาดเท่ากับ 4 หน่วย มที ิศทางไปทางทศิ ตะวนั ออก ดังภาพ 1.2

51 A B N ภาพท่ี 1.2 การใช้ลูกศรแทนปริมาณเวกเตอร์ นอกจากนี้ เรายังสามารถเขียนตัวอักษรแทนเวกเตอร์ได้โดยเขียนตัวอักษรที่มีความหนากว่า เตแชตัว่น่บอนักAหษัวหรตปรัวือกอตักAิ ษเชรอน่นา่ นั้นAวจา่ะหมเวรีลกือูกเศตvรอกอรำ์่าAกนับแวบ่ลานะเจตวะัวกใอเชตักต้ อษวั รรอน์ ักAั้นษแรออลายะจ่าเปเงวเ็นดกลียเูกตวแศอทรรเน์ ตvข็มนหราูปรดแือขบออบางจเเวเชกข่นเียตนอAไรด์ ห้ดร้วือยลอูกักศษรครรปึง่ กซตกี ิ 1.2 ประเภทของเวกเตอร์ เวกเตอร์สามามารถแบ่งได้ 6 ประเภท ไดแ้ ก่ เวกเตอร์อสิ ระ เวกเตอร์เลือ่ น เวกเตอรค์ งที่ เวกเตอร์ ตำแหน่ง เวกเตอรน์ ิเสธ และเวกเตอร์ศนู ย์ 1.2.1 เวกเตอรอ์ ิสระ ( Free vector ) คือ เวกเตอรท์ ่มี ตี ำแหนง่ ไม่แน่นอน สามารถเปลยี่ นไปอยู่ ในตำแหนง่ ใดๆ ได้โดยมขี นาดและทศิ ทางท่ีเทา่ เดมิ ดังภาพ 1.3 y A A x ภาพท่ี 1.3 เวกเตอร์อิสระบนพิกดั ฉาก 2 มิติ 1.2.2 เวกเตอร์เลื่อนระดับ ( Sliding vector ) คือ เวกเตอร์ท่ีมีขนาดเท่าเดิมและกระทำใน ทิศทางเดียวตลอดโดยไม่มีการเปล่ยี นแปลง ดังภาพ 1.4 A x A ภาพที่ 1.4 เวกเตอร์เลื่อนระดบั บนพิกดั ฉาก 2 มติ ิ

52 1.2.3 เวกเตอร์คงที่ ( Fixed vector ) คือ เวกเตอร์ที่กระทำ ณ จุดใดจุดหนึ่งเพียงจุดเดียวบน วัตถุ โดยการกระทำของเวกเตอร์จะเกิดการเปลี่ยนแปลงภายในของวัตถุและจะขึ้นอยู่กับจุดที่ถูกกระทำ ดังภาพที่ 1.5 Ax ภาพที่ 1.5 เวกเตอร์คงท่ี ถ้าเวกเตอร์คงที่เป็นแรง F ที่มากระทำต่อวัตถุ การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของแรงจะมีผลต่อ การเปลี่ยนแปลงรปู ร่างของวัตถุ ดงั ภาพที่ 1.6 FF ภาพที่ 1.6 การเปล่ียนแปลงรปู รา่ งของวตั ถุจากการเปลี่ยนตำแหนง่ ของแรง F 1.2.4 เวกเตอร์ตำแหน่ง ( Position vector ) คือ เวกเตอร์ที่มีระบุจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย เทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง เช่น เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งที่มีจุดริ่มต้นที่จุด O (0,0) และจดุ สุดทา้ ยทีจ่ ุด P (x,y) บนพกิ ดั ฉาก 2 มิติ ดงั ภาพท่ี 1.7 y P (x,y) A x O (0,0) ภาพท่ี 1.7 เวกเตอร์ตำแหนง่ บนพิกดั ฉาก 2 มติ ิ

53 1.2.5 เวกเตอร์นิเสธ ( Negative of vector ) คือ เวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศ ทางตรงข้ามกนั ดงั ภาพ 1.8 −A A ภาพท่ี 1.8 เวกเตอร์นิเสธ เนื่องจากเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันและมีทิศทางไปทางเดียวกัน จะแทนทิศทางของเวกเตอร์ด้วย เครอื่ งหมายบวก ( + ) และเวกเตอร์ทมี่ ขี นาดเท่ากันแต่ทศิ ทางตรงขา้ มกัน จะแทนทศิ ทางของเวกเตอร์ด้วย เครอ่ื งหมายลบ ( - ) จึงกล่าวไดว้ า่ A เปน็ เวกเตอรบ์ วก และ −A เป็นเวกเตอรล์ บ 1.2.6 เวกเตอร์ศูนย์ ( Zero vector ) คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายเป็นจุดเดียวกันหรือ เวกเตอร์ทมี่ ีขนาดเท่ากบั ศนู ย์ ซง่ึ มที ศิ ทางไปทางใดก็ได้ 1.3 เวกเตอร์องค์ประกอบ ( Components of vector ) เวกเตอร์องค์ประกอบ คือ เวกเตอร์ย่อย ๆ ที่นำมารวมกันแล้วเท่ากับเวกเตอร์หลัก สามารถหาเวกเตอร์องค์ประกอบได้หลายวิธี ในท่ีนี้จะกลา่ วเฉพาะการหาเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน พิกดั ฉาก 2 มิติเท่านนั้ เมื่อเวกเตอร์อยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy ระนาบ xz หรือระนาบ yz การหา เวกเตอร์องค์ประกอบ ทำได้โดยการหาเวกเตอร์ย่อยจากการแยกเวกเตอร์ไปในแนวแกนแต่ละแกน บย่อนยรบะนนาแบกนนน้ั yๆไดเช้ A่นyในดรังะภนาาพบ1x.9y แยกเวกเตอร์ A ใหเ้ ปน็ เวกเตอรย์ อ่ ยบนแกน x ได้ Ax และเป็นเวกเตอร์

54 ก. ข. ภาพที่ 1.9 เวกเตอร์ A ทำมุม  กบั แกน x ในระนาบ xy จากภาพ 1.9 แยกเวกเตอร์ A เป็น A xA และ Ay Aดังxนแั้นละเมื่อAนy ำมาAรxวมแกลันะโดAยyกามราเรขวียมนกรันูปจจะะไไดด้้ ผลลัพธเ์ ทา่ เดมิ คือ A เน่อื งจาก Ax ตงั้ ฉากกับ y เมื่อนำ รูปสามเหลีย่ มมุมฉากดังภาพ 1.9 ข. ดงั นน้ั cos  = Ax A Ax = A cos  .................1.1 sin  = Ay A Ay = A sin  .................1.2 ฉะนั้นถ้าเวกเตอร์ที่ต้องการแยกทำมุม  กับแนวแกนอ้างอิงใด ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ หรือเวกเตอร์ย่อยในแนวแกนอ้างอิงนั้นจะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ที่จะแยกกับ cos  ส่วนเวกเตอร์ย่อยอีกเวกเตอร์หนึ่งที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ย่อยแรก จะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ ที่จะแยกกับ sin  เวกเตอร์ย่อยที่แยกให้ตั้งฉากกันบนแกน x และแกน y เมื่อรวมกันจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ เวกเตอร์ท่ตี อ้ งการแยก

55 ภาพท่ี 1.10 เวกเตอร์ A ทำมมุ  กับแกน y ในระนาบ xy เมอื่ เวกเตอร์ A ทำมมุ  กับแกน y ในระนาบ xy จะได้เวกเตอร์องค์ประกอบดงั น้ี Ax = A sin  .................1.3 จากภาพ 1.10 ขนาดของ A x Ay = A cos  4 หน่วย และ 3 .................1.4 และ A y เท่ากับ หนว่ ยตามลำดับ ตัวอยา่ งท่ี 1 เวกเตอร์ A อยู่ในระนาบ xy มขี นาด 20 เมตร ทำมมุ 37 องศา กบั แนวราบ ( แกน x ) จงหา ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x และ y วิธที ำ เขยี นเวกเตอร์ไดด้ งั นี้ y y Ax Ay A Ay A A y 37˚ A x x 37˚ A x x จากสมการ 1.1 Ax = A cos  = 20 cos 37° = 16 m และจากสมการ 1.2 Ay = A sin  = 20 sin 37° = 12 m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x เทา่ กบั 16 เมตร และในแนวแกน y เท่ากบั 12 เมตร

56 ตัวอย่างท่ี 2 เวกเตอร์ B อยู่ในระนาบ xy มีขนาด 10 เมตร ทำมุมกับแนวราบ 127 องศา จงหาขนาดของ เวกเตอร์ B ในแนวแกน x และ y วธิ ีทำ เขียนรูปเวกเตอร์ไดด้ ังนี้ yy Bx B By x B By Bx 127˚ 37˚ x จากสมการ 1.1 Bx = -B sin 37° = (-10)(0.60) = -6 m และจากสมการ 1.2 By = B cos 37° = (10)(0.80) = 8m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน x เทา่ กบั 6 เมตร มีทศิ ไปทางซา้ ย และขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน y เทา่ กับ 8 เมตร

57 กจิ กรรมการเรียนรทู้ ่ี 1.1 1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปน้ี โดยใชล้ ูกศรแทนปรมิ าณเวกเตอร์ 1.1 สมหญิงเดินไปทางทิศตะวนั ออกได้การกระจัด 300 เมตร 1.2 สมชายออกแรงดันกลอ่ ง 50 นวิ ตนั 1.3 รถยนต์กำลงั เคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันตก ด้วยความเรว็ 80 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง 1.4 ลูกแอปเปลิ้ กำลงั ตกจากต้น 1.5 กล่องกำลงั ไถลลงจากพ้ืนเอียง มุม 30 องศา 30°

58 2. จงหาขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบของเวกเตอรต์ ่อไปน้ี 2.1 y …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… c …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… x 2.2 y …………………………………………………………………………… x …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… d …………………………………………………………………………… .…………………….…………………………………………………… 2.3 y …………………………………………………………………………… a = 20 m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 37˚ x …………………………………………………………………………… 2.4 b  y …………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………… 20 …………………………………………………………………………… m …………………………………………………………………………… 60˚ …………………………………………………………………………… x …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2.5 y x …………………………………………………………………………… 30°

59 1.4 การรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ เป็นการรวมทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ย่อยที่นำมารวม ซึ่งแตกต่าง จากการรวมในทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป การรวมเวกเตอร์แบ่งเป็น 2 วิธี คือ การรวมโดยการเขียนรูป และการรวมโดยการวเิ คราะหเ์ วกเตอร์ 1.4.1 การรวมเวกเตอร์โดยการเขยี นรูป การรวมเวกเตอร์ทำได้โดยเขียนลูกศรเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นนำหางลูกศรของเวกเตอร์ ที่นำมารวมต่อกับหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวตั้ง ซึ่งการเขียนลูกศรแทนเวกเตอร์ต้องแทนทั้งขนาดและ ทิศทางแล้วทำลักษณะเดียวกันนี้จนครบเวกเตอร์ที่ต้องการนำมารวม เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จากลูกศร ที่ลากจากหางเวกเตอร์ตัวตั้งถึงหัวเวกเตอร์ที่รวมตัวสุดท้าย ความยาวที่ได้เป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ และมีทิศทางจากหางของเวกเตอร์ตัวตั้งไปยังหัวของเวกเตอร์ตัวรวมตัวสุดท้าย ดังภาพท่ี 1.11 a b c d b a c e= (a+ b+ c+ d) d ภาพท่ี 1.11 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขียนรูป เวกเตอร์ 2 เเชวก่นเต- Aอรเ์ทปี่ม็นีขเวนกาเดตเอทร่า์ทก่ีมันีขนจะาดแเททน่าทกิับศทAางขแอตงม่ เทีวกิศเทตาองรต์ดร้วงกยันเคขรา้ ื่อมงหดมังภายาพบทวกี่ 1(.1+2 ) และ เครื่องหมายลบ ( - ) A - A - B B ภาพท่ี 1.12 เวกเตอร์บวกและเวกเตอรล์ บ การลบเวกเตอร์ ทำไดใ้ นวธิ เี ดียวกนั กับการรวมเวกเตอร์ แตใ่ ห้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตวั ลบ

60 ตัวอย่างที่ 3 จากภาพ จงหาผลรวมของ a − b − c + d โดยกำหนดให้ a b c d วิธีทำ ใชห้ ลกั การหางต่อหัว d - c - b a e= (a-  - b c+ d)  ตอบ ตัวอยา่ งที่ 4 จากภาพ จงหาผลรวมของ A + B + C โดยการเขียนรปู A B C 60˚ วธิ ที ำ ใชห้ ลกั การหางต่อหัว B A C 60˚ ตอบ R =A +B +C

61 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขียนรปู กรณีเปน็ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทำมมุ ใด ๆ กนั ผลรวมของเวกเตอร์ แบ่งได้ 4 กรณี ดังน้ี ก1.ำหเนวกดเใตหอ้ รA์ทำแมลมุ ะกันB 0 องศา 0° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางไปทางเดียวกัน เขียนรูปการรวม ทำมุมกัน เวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.13 A B A B R ภาพท่ี 1.13 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมุมกัน 0° จากภาพ จะไดเ้ วกเตอรล์ ัพธ์ R = A + B R = A + B ( นำขนาดของเวกเตอร์มาบวกกนั ) .................1.5 ก2.ำหเนวกดเใตหอ้ รA์ทำแมลุมะกันB 180 องศา 180° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกันเขียนรูปการรวม ทำมุมกัน เวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.14 A 180˚ B A B R ภาพที่ 1.14 การรวมเวกเตอร์กรณเี วกเตอร์ทำมมุ กนั 180° จากภาพ จะไดเ้ วกเตอรล์ พั ธ์ R = A + B R = A - B ( นำขนาดของเวกเตอรม์ าลบกนั ) .................1.6

62 3ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ แำลมะมุ กBัน 90 องศา 90° เขยี นรูปการรวมเวกเตอร์ ดังภาพที่ 1.15 ทำมมุ กนั B R B A  A ภาพท่ี 1.15 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมมุ กัน 90° จากภาพ จะได้เวกเตอรล์ ัพธ์ R = A + B การรวมเวกเตอร์จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นการหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้จาก หลักทฤษฏพี ีทาโกรัส จะได้ R2 = A2 + B2 R = A2 + B2 .................1.7 การหาทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธใ์ ชห้ ลกั ตรโี กณมติ ิ จะได้ tan  = B .................1.8 A 4ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ ำแมลมุะกBนั   เขยี นรูปการรวมเวกเตอร์ ดังภาพท่ี 1.16 ทำมมุ กัน B R =(A +B) B  A a A  ภาพที่ 1.16 การรวมเวกเตอร์กรณีเวกเตอรท์ ำมุมกนั  จากภาพ จะได้เวกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การคำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ อาศัยการสร้างให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้น โดยลากเพิ่มเติม บางส่วน นน่ั คือ X และ Y ดงั ภาพท่ี 1.17

63 R B Y B Y a A   ก. X X ข. ภาพท่ี 1.17 การสรา้ งสามเหลี่ยมมมุ ฉากจากเวกเตอร์ทำมมุ กัน  จากภาพ 1.17 ข. จะได้ B2 = X2 + Y2 sin  = Y cos  = B X B จากภาพ 1.17 ก. ตามทฤษฎีพที าโกรัส จะได้ R2 = ( A + X )2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + X2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + B2 R2 = A 2 + B2 + 2AB cos  ดังนนั้ R = A2 + B2 + 2AB cos θ .................1.9 การหาทศิ ทางเวกเตอรล์ พั ธ์ จากตรโี กณมติ ิ Y tan a = A+X = B sin θ A + B cos θ ดังนั้น ทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ tan a = B sin θ .................1.10 A + B cos θ

64 กำหนดให้ A และ B ทำมุมกนั  เขยี นรปู การลบเวกเตอร์ ดังภาพท่ี 1.18 B A  A a  - B 180˚-  R = (A − B) - B R ภาพท่ี 1.18 การลบเวกเตอร์ จากภาพ 1.18 เวกเตอร์ - B จะทำมุม 180° -  เพราะ B กบั - B ทิศทางตรงขา้ มกนั เมือ่ แทนค่า  คา่ ของ cos (180° - ) = - cos  และ คา่ ของ sin (180° - ) = sin  จากสมการที่ 1.9 แทนค่ามมุ 180° -  จะได้ R = A2 + B2 + 2AB cos 180 - θ = A2 + B2 + 2AB (-cos θ ) R = A2 + B2 - 2AB cos θ .................1.11 ทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ หาไดจ้ าก แทนคา่ มุม 180° -  ในสมการท่ี 1.10 จะได้ tan a = B sin 180 - θ = A + B cos180 - θ B sin θ A + B (-cos θ) tan a = B sin θ .................1.12 A - B cos θ

65 ตัวอย่างที่ 5 เวกเตอร์ a และ b กระทำต่อกันด้วยมุม 60 องศา โดยเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาด 30 และ 50 หน่วย ตามลำดับ จงหาขนาดของ a + b วิธที ำ จากโจทย์เขยี นรูปได้ดังน้ี b R = (a +b) b 60˚ a a 60˚ จากสตู ร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 302 + 502 + 2(30)(50) cos 60 = 302 + 502 + 2(30)(50)(0.50) = 4900 = 70 ตอบ ขนาดของผลบวกเท่ากับ 70 หนว่ ย ตัวอย่างที่ 6 ชายคนหนึ่งเดินจากจุดหนึ่งไปทางทิศตะวันออก 50 เมตร ต่อจากนั้นเดินต่อไปทางทิศ ตะวันออกเฉยี งเหนอื อกี 40 เมตร จงหาวา่ เขาจะอย่หู ่างจากจุดตัง้ ตน้ เท่าไร วธิ ที ำ จากโจทย์จะไดว้ ่า a = เดินไปทางทศิ ตะวันออก 50 เมตร b = เดนิ ไปทางทศิ ตะวันออกเฉยี งเหนือ 40 เมตร  = 45° (ทศิ ตะวันออกทำมุมกบั ทิศตะวนั ออกเฉยี งเหนือ) จากสูตร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 502 + 402 + 2(50)(40) cos 45 = 502 + 402 + 2(50)(40)(0.71) = 6940 = 83.31 m ตอบ เขาห่างจากจดุ ตั้งตน้ 83.31 เมตร

66 1.4.2 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการวเิ คราะหเ์ วกเตอร์ เมื่อมีเวกเตอร์หลายเวกเตอรท์ ำมุมกัน การหาผลรวมของเวกเตอร์ทำได้โดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ เป็นการแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบ หรือ เวกเตอร์ย่อยท่ีตั้งฉากกัน ถ้าเป็นเวกเตอร์ 2 มิติ จะได้ 2 เวกเตอร์องค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน และถ้าเป็นเวกเตอร์ 3 มิติ จะได้ 3 เวกเตอร์องค์ประกอบ ที่ตั้งฉากกัน ขั้นตอนต่อไปเป็นการรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวเดียวกัน เมื่อนำเวกเตอร์องค์ประกอบ มารวมกันจะได้ผลลัพธ์เท่ากบั เวกเตอร์หลักหรอื เวกเตอร์ทถ่ี ูกแยก ดังภาพที่ 1.19 B A y B By = B sin 2 A A y = A sin 1 2 1 Bx = -B cos 2 2 1 x A cosCx1= -C sin 3 3 A x = A cos 1 C 3 C Cy = -C cos 3 ก. ข. ภาพที่ 1.19 การรวมเวกเตอรห์ ลายเวกเตอร์ 2 มิติ เมอื่ มีเวกเตอร์หลายเวกเตอรท์ ำมมุ กัน 2 มติ ิ ดังภาพท่ี 1.19 สามารถหาผลรวมของเวกเตอร์ได้โดย ใชห้ ลักการดงั น้ี (1) ต้ังพกิ ัดฉาก x และ y ตรงจุดตดั ของเวกเตอร์ ดงั ภาพท่ี 1.19 ข. (2) แยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบหรือเวกเตอร์ย่อยที่ตั้งฉากกัน ซึ่งจะได้เวกเตอร์ องคป์ ระกอบในแนวแกน x และเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน y จากภาพท่ี 1.19 ข. จะไดเ้ วกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน x ดงั นี้ คดิ ท่ี A จะได้ B A x = A cos 1 .................1.13 คิดที่ C จะได้ Bx = -B cos 2 .................1.14 คิดที่ จะได้ Cx = -C sin 3 .................1.15 เวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y คดิ ที่ A จะได้ คดิ ที่ B จะได้ A y = A sin 1 .................1.16 คดิ ที่ C จะได้ By = B sin 2 .................1.17 Cy = -C cos 3 .................1.18 (3) รวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวเดียวกัน จะได้ 2 เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน ผลรวมของเวกเตอร์ องคป์ ระกอบในแนวแกน x คอื  Rx และผลรวมของเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน y คอื  Ry

67 คิดทแ่ี นวแกน x  Rx = A x + Bx + Cx .................1.19 .................1.20 Rx = Ax+ Bx+ Cx แทนคา่ สมการ 1.13 1.14 และ 1.15 ลงในสมการ 1.20 Rx = A cos 1 + (-B cos 2) + (-C sin 3) ดงั น้นั  RRxy = AA cos B1 y- B cCoys 2 - C sin 3 .................1.21 คิดทแ่ี นวแกน y  = y+ + .................1.22 .................1.23 Ry = Ay+ By + Cy แทนคา่ สมการ 1.16 1.17 และ 1.18 ลงในสมการ 1.23 Ry = A sin 1 + B sin 2 + (-C cos 3) ดังนั้น Ry = A sin 1 + B sin 2 - C cos 3 .................1.24 (4) หาผลรวมของเวกเตอร์ โดยคิดเสมือนว่าผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x และ ผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y เป็นเวกเตอร์ใหม่ 2 เวกเตอร์ ซึ่งตงั้ ฉากกัน ซงึ่ จะได้วา่  R เม่ือ เป็นเวกเตอรล์ ัพธ์  Rx +  Ry  R = .................1.25 ดงั น้นั R = ΣR2x + ΣR 2 .................1.26 y yy Ry R R Ry a Rx x Rx a x ก. y y ข. Rx x x Rx a a R Ry Ry R ค. ง. ภาพท่ี 1.20 เวกเตอรล์ พั ธ์  R 2 มติ ิ

68 ด1แ.ลงั 2ภะ0ากพรขณท. จก่ีที 1ารส่ี.กณ2ี่ ภ0ีทาRีก่สพx.าทมกี่มร1ีคณ.2า่ Rทีเ0ปxสี่ กน็ อมรบงีคณว่ากีแเRปรแกx็นลละมบีคRา่ แRเxลปyะ็นมมลีคคีบ่า่าRเเปแปyล็น็นมะบลีคบว่ากเปRจแะ็นyไลลมดะบคี เ้ วา่จกเปRะเตน็ไyอดบมร้เววีค์ลกก่าัพเเจธตป์ะอ็นไรบดR์ลว้เัพวกกดธเงัจ์ ตภะอาไRรดพ์ล้เทวพัดี่กังธ1เภ์.ต2าอ0พRรทง์ล.ดี่ัพ1ังธ.ภ2์ า0พคRท.ี่ การหาทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ สามารถหาไดจ้ าก tan a = ΣR y .................1.27 ΣR x ตัวอย่างที่ 7 จากภาพ จงหาขนาดของ a + b + c b=4m a = 5 m 53˚ 37˚ c = 3 m วิธที ำ จากภาพ หาขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของแต่ละเวกเตอรใ์ นแนวแกน x และ y ax = a cos 37° b x = b cos 53° cx = 0 m = (5)(0.80) = (-4)(0.60) = 4m = -2.4 m ay = a sin 37° by = b sin 53° c y = -3 m = (5)(0.60) = (4)(0.80) = 3m = 3.2 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x Rx = 4 + (-2.4) + 0 = 1.6 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y Ry = 3 + 3.2 + (-3) = 3.2 m

69 หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ R= ΣR2x + ΣR2y = (1.6)2 + (3.2)2 = 2.56 + 10.24 = 12.8 = 3.58 m ตอบ เวกเตอร์ลพั ธ์ เท่ากบั 3.58 เมตร

70 ใบกจิ กรรมที่ 1.1 การรวมเวกเตอร์ จุดมงุ่ หมาย สามารถรวมเวกเตอร์และหาเวกเตอรล์ พั ธไ์ ดโ้ ดยการเขียนรูป เวลาทีใ่ ช้ 2 ชว่ั โมง อุปกรณ์ รายการ จำนวน 1 อัน 1. ไมโ้ ปรแทรกเตอร์ 1 แทง่ 2. ดินสอ กจิ กรรม ตอนที่ 1 บวกเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอร์ลัพธไ์ ดโ้ ดยการเขยี นรปู 1. กำหนABCดใหมมม้ ีีขีขขนนนาาาดดด 2 หนว่ ย ในแนวระนาบ 2 หน่วย ทำมมุ 60 องศากับแนวราบ 3 หนว่ ย ทำมมุ 90 องศากบั แนวราบ 2. เขียนเวกเตอร์ A BAแ+ลBะ+CCตาดม้วขยนวาิธดีกแาลระเทขศิียทนารงูปทีก่ โำดหยนเขดียนเวกเตอร์ A จากนั้นเขียน หาเวกเตอร์ลัพธ์จาก เวกเตอร์ B โดยนำหางของเวกเตอร์ B มาต่อหัวของเวกเตอร์ A และเขียนเวกเตอร์ C โดยนำหางของ เวกเตอร์ C มาต่อหวั ของเวกเตอร์ B 3. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ โดยลากเสน้ ตรงเชือ่ มต่อระหวา่ ง หางของเวกเตอร์ C มายงั หวั ของเวกเตอร์ A วดั ความยาวของเส้นตรงเป็นขนาดของเวกเตอรล์ ัพธแ์ ละมที ศิ ทางจากหางเวกเตอร์ A ไปยังหวั ของเวกเตอร์ C A + B B + C 4. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธจ์ าก และ ดว้ ยวิธกี ารคำนวณ ตอนที่ 2 ลบเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้โดยการเขยี นรูป 1. กำหนABCดใหมมม้ ขขีขีี นนนาาาดดด 2 หนว่ ย ในแนวระนาบ 2 หนว่ ย ทำมมุ 60 องศากับแนวราบ 3 หนว่ ย ทำมมุ 90 องศากบั แนวราบ เขียนเวกเตอร์ลบ A เวกเตอรล์ บ B และ C ตามขนาดและทศิ ทางทก่ี ำหนด

71 2. หาเวกเตอร์ลพั ธจ์ าก A - B - C ด้วยวิธกี ารเขียนรูป โดยเขียนเวกเตอร์ A จากนนั้ เขียนเวกเตอร์ ลบ B โดยนำหางของเวกเตอร์ลบ B มาต่อหัวของเวกเตอร์ A และเขียนเวกเตอร์ลบ C โดยนำหางของ เวกเตอรล์ บ C มาต่อหวั ของเวกเตอรล์ บ B 3. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ โดยลากเส้นตรงเช่ือมต่อระหว่าง หางของเวกเตอร์ลบ C มายังหัวของเวกเตอร์ A วัดความยาวของเส้นตรงเป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์และมีทิศทางจากหาง เวกเตอร์ A ไปยงั หวั ของเวกเตอรล์ บ C A - B และ B - C ดว้ ยวธิ ีการคำนวณ 4. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์จาก บนั ทึกผลกิจกรรม ตอนที่ 1 ผลรวมเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอร์ลพั ธ์ไดโ้ ดยการเขยี นรปู เวกเตอร์ A เวกเตอร์ B เวกเตอร์ C เวกเตอรล์ พั ธ์จาก A + B + C A +ขBนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ ดว้ ยวธิ ีการคำBน+วณC

72 ตอนท่ี 2 ผลลบเวกเตอร์และหาเวกเตอร์ลัพธไ์ ดโ้ ดยการเขียนรูป เวกเตอร์ลบ A เวกเตอรล์ บ B เวกเตอร์ลบ C เวกเตอร์ลพั ธ์จาก A - B - C A - Bขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ ด้วยBวธิ-ีกCารคำนวณ สรุปผลกิจกรรม .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................

73 คำถามทา้ ยกจิ กรรม 1. การบวกหรือลบเวกเตอร์โดยการเขยี นรปู มขี น้ั ตอนอย่างไรบา้ ง .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... 2. .จ..า..ก..ก...จิ ..ก..ร..ร..ม...ต..อ...น..ท...ี่.1....จ..ง..ห...า..เ.ว..ก..เ..ต..อ..ร..ล์...ัพ..ธ..ข์...อ..ง....A....+....B....-...C....โ.ด...ย..ก..า..ร..ว..า..ด...ร..ูป.................................................. .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................

74 กจิ กรรมการเรยี นรทู้ ่ี 1.2 1. จากภาพ จงหาเวกเตอร์ลัพธข์ อง a + b + c โดยการเขียนรูป 1.1 b a c 1.2 a 37˚ c b 2. จากภาพ จงคำนวณหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ตอ่ ไปน้ี กาหน ห้ A = 3 เมตร C = 4 เมตร เมตร B = 5 เมตร 6  = E D = 4 เมตร 60˚ 2.1 A + B + D ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

75 2.2 A - D ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.3 C.....+.....D...................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.4 D.....+.....E...................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.5 D.....-....E....................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3. กำหนดให้ ax = 3 เมตร และ ay = 4 เมตร จงหาขนาดของเวกเตอร์ a ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

76 1.5 การคูณเวกเตอร์ การนำเวกเตอร์มาคูณกันแตกต่างจากการคูณเลขทางคณิตศาสตร์เพราะต้องคูณทั้งขนาดและ ทิศทาง การคณู เวกเตอร์ แบง่ ออกเป็น 3 ประเภท คอื การคณู สเกลาร์กบั ปริมาณเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ( Dot – Product ) และ การคูณเวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ( Cross – Product ) 1.5.1 การคูณสเกลารก์ ับปริมาณเวกเตอร์ การคูณวิธีนี้เป็นการนำสเกลาร์คูณขนาดของเวกเตอร์ ผลลัพธท์ ี่ไดจ้ ะเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีท้งั ขนาดและทิศทาง ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดเท่ากับผลคูณของสเกลาร์กับขนาดของเวกเตอร์ ถ้าสเกลาร์มีเครื่องหมายเป็นบวก ทิศทางของเวกเตอรผ์ ลลพั ธ์จะมีทิศทางเดิม ถ้าสเกลารม์ ีเครือ่ งหมายเปน็ ลบ ทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธจ์ ะมีทศิ ทางตรงขา้ มกับทิศทางของเวกเตอร์เดิม ดงั ภาพท่ี 1.22 a = 3 หน่วย a 2a = (2)(3) = 6 หน่วย 2a - 2a a - 2a = (-2)(3) = - 6 หน่วย ภาพท่ี 1.22 การคูณสเกลาร์กับปรมิ าณเวกเตอร์ 1.5.2 การคูณเวกเตอรก์ บั เวกเตอรไ์ ด้ผลลพั ธเ์ ป็นสเกลาร์ ( Dot – Product ) การคูณเวกเตอร์กบั เวกเตอรไ์ ด้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ เป็นการคณู เวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็น ปริมาณสเกลาร์ สัญลักษณ์แทนการคูณแบบนี้ คือ “ · ” เช่น การหาผลลัพธ์ของ a dot b ซึ่งเขียนแทน ได้เป็น a  b ผลคูณของปริมาณเวกเตอร์ทั้งสองเป็นสเกลาร์ซึ่งขนาดของสเกลาร์หาได้จากความสัมพันธ์ ดงั นี้ a  b = abcos  .................1.28 เม่อื a และ b แทน ขนาดของเวกเตอรท์ ั้งสอง และ  แทน มมุ ระหว่างเวกเตอรท์ ง้ั สอง ตัวอยา่ งท่ี 8 กำหนดให้ a และ b มขี นาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกนั 60° จงหา a  b a  b = ab cos  วิธที ำ จากสูตร = (10)(20) cos 60° = (200)(0.50) = 100 m ตอบ ขนาดของ a  b เทา่ กับ 100 เมตร

77 ตัวอย่างที่ 9 จากนิยาม W = F  S ถ้ามีแรงไปกระทำต่อวตั ถุ 20 นิวตัน ทำให้วัตถุเคล่ือนที่ไปในทิศทาง ทำมุมกับแนวแรง 37° เปน็ ระยะทาง 40 เมตร จงหางานท่ีเกิดขนึ้ W = F  S วธิ ีทำ จากสตู ร = FS cos  = (20)(40) cos 37° = (800)(0.80) = 640 J ตอบ งานท่เี กิดข้นึ เท่ากบั 640 จูล 1.5.3 การคูณปริมาณเวกเตอร์ดว้ ยปริมาณเวกเตอรไ์ ดผ้ ลลพั ธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ ( Cross – Product ) การคูณปริมาณเวกเตอรด์ ้วยปริมาณเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ เป็นการคูณเวกเตอร์ ทงั้ สองและไซน์ ( sine ) ของมมุ ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลลัพธ์เปน็ ปริมาณเวกเตอรเ์ หมือนเดิม แตท่ ศิ ทาง ของเวกเตอร์ลัพธ์ต้ังฉากกับระนาบของเวกเตอร์ทั้งสอง สัญลักษณแ์ ทนการคูณแบบนี้ คือ “  ” เช่น a cross b ซึ่งเขยี นแทนไดเ้ ปน็ a  b ผลคูณของปริมาณเวกเตอรท์ ง้ั สองหาไดจ้ ากความสมั พนั ธ์ดังน้ี a  b = c .................1.29 ขนาดของ c หรอื a  b หาได้จาก a b = ab sin  .................1.30 การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ โดยใช้มือขวาในลักษณะนิ้วชี้ นิ้วกลาง และนิ้วหัวแม่มือตั้งฉาก ซึ่งกันและกัน แล้ววางนิ้วชี้ไปในทิศทางของ a นิ้วกลางชี้ตามทิศทาง b จะได้ว่าหัวแม่มือชี้ทิศทาง ของ c ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ การกำมือจากเวกเตอร์แรกไปหาเวกเตอร์ที่ 2 การคูณเวกเตอร์แบบน้ี จงึ ไม่สามารถสลับท่ีสำหรับการคูณได้

78 c a c a b b ภาพท่ี 1.31 ทิศทางผลคูณเชิงเวกเตอร์ ( Cross – Product ) ตัวอย่างท่ี 10 กำหนดให้ a และ b มีขนาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกนั 30° จงหา a b วิธที ำ จากสูตร a b = ab sin  = (10)(20) sin 30° = (200)(0.50) = 100 m ตอบ ขนาดของ a  b เท่ากับ 100 เมตร ตัวอย่างที่ 11 =ลวIดตัวนBำมถีก้ารละวแดสยไาฟวฟ2้า0ไหcลmผ่าวนาวงาทงอำมยูุ่ใมนส30น°ามกแับมส่เนหาลม็กแจมะ่เถหูกลแ็กรคงวจาามกเสขน้มาม5แมเท่เหสลล็กา กระทำมีค่า F เมอื่ ผา่ นกระแส 4 แอมแปร์ เขา้ ไป ลFวดจะถูก=แรงกระIทำเทB่าไร วธิ ที ำ จากสูตร = IBsin  = (4)(0.2)(5) sin 30° = (4)(0.50) =2 ตอบ เกิดแรงกระทำต่อลวด เทา่ กับ 2 นิวตัน

79 กจิ กรรมการเรียนร้ทู ี่ 1.3 จงแสดงวธิ ที ำ A Bและ B มีขนาด 20 เมตร และ 5 เมตร ทำมุมกัน 37° จงหา 1. กำหนกด. ใหA้ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ข. A B ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. กำหนดให้ C และ D มขี นาด 100 เมตร และ 200 เมตร ทำมุมกนั 45° จงหา ก. C D ........................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ข. C  D ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

80 แบบฝกึ หัดทา้ ยหนว่ ยที่ 1 จงแสดงวธิ ีทำอย่างละเอียด 1. จากภาพ จงหาองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ y ……………………………………………………………………………………….. x ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. 37° ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. กำหนดให้ D x = 2 เมตร และ D y = 5 เมตร จงหาขนาดของเวกเตอร์ D ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3. x และ y เป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอรท์ ม่ี ีขนาด 8 เมตร และ 4 เมตร ทำมุมกนั 60 องศา จงหา 3.1 x + y ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3.2 x - y ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

81 4. จากภาพ กำหนดให้ a และ b มขี นาด 4 เมตร และ 6 เมตร ทำมมุ กัน 60° จงหา 60° 4.1 a · b ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 4.2 ab ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

82 แบบทดสอบหลงั เรยี น หนว่ ยท่ี 1 คำชแ้ี จง 1) แบบทดสอบมี 15 ขอ้ ๆ ละ 1 คะแนน 2) ให้นกั เรียนเลือกคำตอบที่ถกู ที่สดุ เพียงขอ้ เดียว 1. ข้อใดเปน็ ความหมายของปรมิ าณเวกเตอร์ ก. เปน็ ปรมิ าณที่มีขนาดใหญ่ ข. เป็นปรมิ าณทม่ี ขี นาดเท่ากนั ค. เป็นปรมิ าณทีม่ ที ศิ ทางแนน่ อน ง. เปน็ ปริมาณทีม่ ีทงั้ ขนาดและทศิ ทาง 2. ขอ้ ใดจดั เปน็ ลกั ษณะของเวกเตอร์ ก. กว้าง, ยาว ข. ความยาว, ขนาด ค. ทศิ ทาง, ความกวา้ ง ง. ขนาด, ทศิ ทาง 3. ขอ้ ใดกล่าวถกู ตอ้ งเกย่ี วกบั ปริมาณเวกเตอรแ์ ละปรมิ าณสเกลาร์ ก. ปรมิ าณเวกเตอร์และปรมิ าณสเกลารท์ ่ีมหี น่วยเหมอื นกนั สามารถนำมาบวก ลบกันได้ ข. ปรมิ าณเวกเตอร์และปรมิ าณสเกลารท์ ี่มีขนาดเท่ากนั สามารถนำมาบวก ลบกนั ได้ ค. ปรมิ าณสเกลารไ์ มส่ ามารถนำมาบวก ลบกันเหมอื นกับปริมาณเวกเตอร์ ง. ปริมาณเวกเตอรแ์ ละปรมิ าณสเกลารไ์ ม่สามารถบวกกันได้ แต่ลบกันได้ 4. ข้อใด ไม่เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ ก. แรง ข. นำ้ หนกั ค. ระยะทาง ง. ความเรว็ 5. ข้อใด เป็น ปริมาณเวกเตอร์ ก. มวล ข. แรง ค. อตั ราเร็ว ง. ระยะทาง 6. “เวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B มีขนาดเท่ากันแตม่ ที ศิ ทางตรงขา้ มกัน” จากข้อความดงั กล่าวเป็นลักษณะ ของเวกเตอร์ประเภทใด ก. เวกเตอร์เล่ือน ข. เวกเตอร์นเิ สธ ค. เวกเตอรค์ งที่ ง. เวกเตอร์อสิ ระ 7. เวกเตอร์ A มีจดุ เรม่ิ ตน้ ที่จดุ (1,4) และจดุ สดุ ทา้ ยที่ (0,0) ข้อใดถกู ตอ้ ง ก. เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอร์ตำแหนง่ ข. เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอร์ศนู ย์ ค. เวกเตอร์ A เปน็ เวกเตอร์นเิ สธ ง. เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอร์อิสระ

83 จากภาพ ใชต้ อบคำถามขอ้ 8. และ ข้อ 9. y a =100 m 37˚ x 8. ขนาดของเวกเตอร์ a ในแกน x มคี ่าเทา่ ใด ก. 60 m ข. 80 m ค. -60 m ง. -80 m 9. ขนาดของเวกเตอร์ a ในแกน y มคี า่ เทา่ ใด ก. 60 m ข. 80 m ค. -60 m ง. -80 m 10. เวกเตอร์ A มีขนาด 40 เมตร ทำมุม 53° กบั แนวราบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแกน y คอื ข้อใด ก. 12 m ข. 18 m ค. 24 m ง. 32 m 11. จากภาพ เวกเตอรใ์ ด เป็นเวกเตอรล์ ัพธ์ c b a d e ก. a ข. db ค. c ง. 12. ชายคนหนง่ึ เดินจากจดุ หนึ่งไปทางทิศเหนือ 4 เมตร ตอ่ จากนน้ั เดนิ ตอ่ ไปทางทิศตะวันออกอีก 8 เมตร เขาอยหู่ า่ งจากจุดต้งั ต้นกเ่ี มตร ก. 4.87 m ข. 5.44 m ค. 6.52 m ง. 8.94 m 13. เวกเตอร์สองเวกเตอร์ มีขนาดเท่ากับ 20 หน่วย ทำมุมต่อกัน 60 องศา ข้อใดเป็นผลรวมของเวกเตอร์ ทัง้ สอง ก. 3.64 m ข. 5.68 m ค. 6.94 m ง. 10.25 m

84 14. กำหนดให้ a และ b มขี นาด 5 เมตร และ 4 เมตร ทำมมุ กนั 37° ขนาดของ a  b มคี า่ ก่เี มตร ก. 18 m ข. 16 m ค. 12 m ง. 10 m 15. กำหนดให้ A และ B มขี นาด 10 เมตร และ 15 เมตร ทำมุมกนั 37° ขนาดของ A  B มีคา่ กี่เมตร ก. 160 m ข. 120 m ค. 100 m ง. 80 m

85 บรรณานุกรม กอ่ งกญั จน์ ภทั รากาญจน์ และธนกาญจน์ ภัทรากาญจน.์ ฟิสกิ ส์ 1. สำนักพิมพ์แห่งชาตจิ ุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลยั , 2552. ชลธชิ า เหล็กกล้า และปูริ า สขุ รนื่ . วทิ ยาศาสตร์เพอื่ งานไฟฟา้ และการสื่อสาร. นนทบุรี : ศนู ย์หนังสอื เมอื งไทย จำกั , 2558. ชศู รี มังกะระ และสมนึก มังกะระ. วิทยาศาสตร์ 8. กรุงเทพฯ : ศนู ยส์ ่งเสริมอาชีวะ, มปป. ทัชพงษ์ จนั ทร์ล.ี วิทยาศาสตร์เพอื่ พัฒนาอาชีพช่างอตุ สาหกรรม. สมทุ รปราการ : บรษิ ัทเจรญิ ปัญญา เอ็ เู คชน่ั จำกั , 2563. พงษ์ศกั ิ์ ชินาบญุ . ฟิสกิ สม์ หาวทิ ยาลยั 1 เลม่ 2. พมิ พค์ ร้ังที่ 2. กรงุ เทพฯ : วทิ ยพัฒน์, 2553. ______________. ฟิสิกส์มหาวทิ ยาลยั 2 เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : วิทยพฒั น์, 2552. บญุ ธรรม เกษมทะเล. วิทยาศาสตรเ์ พื่อพฒั นาอาชีพช่างอุตสาหกรรม. นนทบรุ ี : ศนู ย์หนงั สอื เมอื งไทย, 2556. บญุ ธรรม ภัทราจารุกลุ . กลศาสตรเ์ คร่อื งกล. กรุงเทพฯ : ซีเอ็ ยูเคช่นั . 2553. ปรเมษฐ์ ปญั ญาเหลก็ . ฟสิ ิกส์ 2. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพม์ หาวิทยาลยั ศรปี ทมุ , 2551. เปรมจิต ลมิ ปะพนั ธุ์. วทิ ยาศาสตร์ 8. กรงุ เทพฯ : ศูนย์สง่ เสรมิ วิชาการ, 2551. ไพศาล ตปู้ ระกาย. วิทยาศาสตรส์ ำหรบั เทคโนโลยีสารสนเทศและการสอื่ สาร. นนทบุรี. มหาวทิ ยาลยั สโุ ขทยั ธรรมาธริ าช, 2555. วรรณา ก่อสกลุ . วิทยาศาสตร์อุตสาหกรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพมิ พแ์ มค็ , 2550. วกิ ิเพยี เดยี สารานกุ รมเสรี. ผลคณู เชิงเวกเตอร์ [ออนไลน]์ เข้าถึงไ ้จาก https://en.wikipedia.org/ wiki/Cross_product [2564, พฤศจิกายน 20] ศวิ รักษ์ บญุ ประเสริฐ. วิทยาศาสตรเ์ พอ่ื พัฒนาอาชพี ช่างอตุ สาหกรรม. นนทบรุ ี : ศนู ย์หนงั สือเมอื งไทย, 2556. สมพงษ์ จ ี. ฟสิ กิ สม์ หาวิทยาลยั 4. พมิ พค์ รง้ั ท่ี 3. กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพ์แหง่ จุฬาลงกรณ์ มหาวทิ ยาลยั , 2551. _________. ฟิสกิ ส์สู่มหาวทิ ยาลัย 15. กรงุ เทพฯ : สำนักพมิ พแ์ ห่งจฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย, 2553. สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.). หนงั สอื เรยี นสาระการเรยี นร้พู ืน้ ฐานและ เพ่ิมเตมิ ฟิสกิ ส์ เลม่ 3. กรงุ เทพฯ : ครุ ุสภาลา พรา้ ว, 2554. สชุ าติ ปูชะพนั ธ์ และสุ ปล้มื จ. วทิ ยาศาสตร์เพ่ือพัฒนาอาชีพช่างอตุ สาหกรรม. นนทบรุ ี : ศนู ย์ หนังสอื เมืองไทย จำกั , 2556.

86 สุ ปลมื้ จ. วิทยาศาสตรเ์ พื่องานไฟฟา้ และการสือ่ สาร. กรงุ เทพฯ : สำนกั พิมพศ์ ูนยส์ ่งเสรมิ อาชวี ะ, 2558. สุเทพ สุขเจริญ. วิทยาศาสตรง์ านไฟฟา้ อิเลก็ ทรอนกิ ส์และการสอ่ื สาร. กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพ์ เอมพนั ธ์, 2563. สเุ ทพ สขุ เจรญิ . วิทยาศาสตรเ์ พื่องานไฟฟ้าและการสือ่ สาร. กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพเ์ อมพันธ์, 2558. สเุ ทพ สุขเจริญ. วทิ ยาศาสตร์เพอ่ื พฒั นาอาชีพช่างอตุ สาหกรรม. กรงุ เทพฯ : สำนักพิมพ์เอมพนั ธ์, 2558. สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สอื เรียนรายวิชาพ้ืนฐาน ฟสิ กิ ส์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลา พร้าว, 2554. ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ ฟสิ กิ ส์ เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลา พรา้ ว, 2563. ไสว ฟักขาว และคณะ. วิทยาศาสตร์ 8. กรุงเทพฯ : สำนกั พมิ พ์เอมพนั ธ,์ 2549. อุทมุ พร แกว้ สามศรี. วทิ ยาศาสตรเ์ พ่ือพัฒนาอาชพี ช่างอตุ สาหกรรม. กรงุ เทพฯ : ศนู ยส์ ่งเสริมอาชวี ะ, 2556. การบวกเวกเตอร์โ ยการวา รูป. ปรมิ าณเวกเตอร์ [ออนไลน]์ เข้าถึงไ จ้ าก https://sites.google.com /site/patcharin1342/bth-thi-1/1-1-priman-wek-texr [2564, พฤศจกิ ายน 2] มหาวทิ ยาลัยรังสติ . เวกเตอร์. [ออนไลน]์ เข้าถงึ ไ จ้ าก https://www.rsu.ac.th/science/physics /kan/general_phy/vector/vector.htm [2564, พฤศจิกายน 2] Hany El-Gezawy. MOTION [ออนไลน]์ เข้าถงึ ไ ้จาก http://hgphysics.com/gph/b-motion [2564, พฤศจิกายน 2] Young, H.D. and Freedman, R.A. University Physics. Twlfth edition. Pearson Addisom Wesley, 2008.