E-book 30000-1303-1 เวกเตอร์

เอกสารประกอบการเรียน รหัสวชิ า 30000-1303 วชิ า วทิ ยาศาสตร์งานไฟฟ้า อิเลก็ ทรอนกิ ส์ และการสอื่ สาแรละการสอื่ สาร หลกั สูตรประกาศนยี บัตรวชิ าชพี ชัน้ สูง (ปวส.) พทุ ธศักราช 2563 หนว่ ยท่ี 1 เรอ่ื ง เวกเตอร์ ธัญพร พมุ่ พวง ครชู ำนาญการพิเศษ วิทยาลยั เทคนิคลพบุรี สำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศกึ ษา กระทรวงศึกษาธกิ าร

2 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 1 เรื่อง เวกเตอร์ แนวคิด ปริมาณทางวิทยาศาสตร์ แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งปริมาณสเกลาร์ เป็นปริมาณทีบ่ อกเฉพาะขนาดเท่านั้น เช่น ระยะทาง ความดัน ปริมาตร เป็นต้น และ ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว น้ำหนัก เป็นต้น ดังนั้น การคำนวณคา่ ตา่ ง ๆ เชน่ การบวก ลบ หรอื คูณ จึงต้องใชว้ ิธีการของเวกเตอร์เท่านน้ั และเครื่องหมายบวก ลบ ในปริมาณเวกเตอร์ เป็นการบอกทิศทาง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีเครื่องหมายเหมือนกันแสดงถึงทิศทาง ไปในทางเดยี วกัน และปริมาณเวกเตอรท์ ีม่ เี ครอ่ื งหมายต่างกันแสดงถงึ ทิศทางตรงขา้ มกัน สาระการเรยี นรู้ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ 1.2 เวกเตอร์องค์ประกอบ 1.3 การรวมเวกเตอร์ 1.4 การคูณเวกเตอร์ จุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม 1. นกั ศกึ ษาบอกความหมายของเวกเตอร์ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง 2. นักศึกษายกตัวอยา่ งปรมิ าณเวกเตอรไ์ ด้อยา่ งถูกต้อง 3. นกั ศกึ ษาหาเวกเตอร์องคป์ ระกอบและขนาดของเวกเตอร์ได้อยา่ งถูกต้อง 4. นกั ศึกษาวิเคราะห์หาผลลัพธข์ องการรวมเวกเตอรไ์ ด้อยา่ งถกู ต้อง 5. นกั ศกึ ษาคำนวณหาผลลัพธข์ องการคณู เวกเตอรไ์ ด้อยา่ งถูกตอ้ ง

3 ผังมโนทัศน์

4 ปริมาณต่าง ๆ ที่ใช้ในชีวิตประจำวัน เช่น มวล น้ำหนัก ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง เวลา อุณหภูมิ ฯลฯ เป็นต้น ปริมาณเหล่านี้บางอย่างบอกขนาดเพียงอย่างเดียวก็ให้ความหมายที่สมบูรณ์ บางอย่างต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมายที่สมบูรณ์ สามารถแบ่งปริมาณออกเป็น 2 ประเภท คือ ปรมิ าณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) และปริมาณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) ปรมิ าณสเกลาร์ เปน็ ปรมิ าณทบี่ อกเฉพาะขนาดเพียงอยา่ งเดยี วสามารถให้ความหมายท่ีสมบูรณ์ได้ เช่น วตั ถุมมี วล 10 กโิ ลกรัม รถยนต์ใชเ้ วลาในการเคลื่อนท่ี 5 วินาที วัตถมุ ปี รมิ าณ 20 ลูกบาศก์เซนติเมตร เปน็ ต้น การหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกลาร์ทำได้โดยอาศัยหลกั ทางพีชคณิต คือ ใชว้ ธิ ีการบวก ลบ คณู หาร แตบ่ างปรมิ าณตอ้ งบอกท้ังขนาดและทิศทางจงึ จะให้ความหมายที่สมบรู ณ์ ในหน่วยนจ้ี ะกล่าวถึงความหมาย ของปรมิ าณเวกเตอร์ เวกเตอร์องค์ประกอบ การรวมเวกเตอร์และการคณู เวกเตอร์ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) เป็นปริมาณท่บี อกท้ังขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมาย ที่สมบูรณ์ เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม เป็นต้น การบอกปริมาณเวกเตอร์จะบอกเป็นตัวเลข พรอ้ มกบั หนว่ ยและทศิ ทาง ดงั ภาพท่ี 1.1 v = 20 m/s N ภาพท่ี 1.1 ความเร็วของรถยนต์ที่บอกทั้งขนาดและทศิ ทาง ปริมาณเวกเตอร์สามารถเขยี นแทนดว้ ยลูกศร โดยให้ความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ ทิศทางของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ ความยาวของลูกศรที่แทนขนาดของเวกเตอร์นั้นจะต้อง มีความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดไว้ในแต่ละครั้ง เช่น เวกเตอร์ A มีขนาดเท่ากับ 3 หน่วย มีทิศทาง ไปทางทศิ เหนอื เวกเตอร์ B มีขนาดเทา่ กับ 4 หนว่ ย มีทิศทางไปทางทศิ ตะวันออก ดงั ภาพ 1.2

5 A B N ภาพท่ี 1.2 การใช้ลกู ศรแทนปริมาณเวกเตอร์ นอกจากนี้ เรายังสามารถเขียนตัวอักษรแทนเวกเตอร์ได้โดยเขียนตัวอักษรที่มีความหนากว่า เแตชตัวน่ บ่อนักAหษวัรหตปรวั อืกอตกั Aิ ษเชรอน่นา่ น้ันAจว่าะหมเวรีลกือูกเศตvรอกอรำ์่าAกนับแวบล่านะเตจวัวะกอใเชักตต้ ษอัวรรอน์ ักAั้นษรแออลายะจา่เปงเวเน็ ดกลยี เกูวตศแอรทรเน์ตvข็มนรหปูารดแือขบออบางจเเวเชกข่นเียตนอAไรด์ ห้ดร้วือยลอูกักศษรครรป่ึงกซตีกิ 1.2 เวกเตอร์องคป์ ระกอบ ( Components of vector ) เวกเตอร์องค์ประกอบ คือ เวกเตอร์ย่อย ๆ ที่นำมารวมกันแล้วเท่ากับเวกเตอร์หลัก สามารถหาเวกเตอรอ์ งค์ประกอบได้หลายวธิ ี ในท่นี ี้จะกล่าวเฉพาะการหาเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน พิกดั ฉากเทา่ นัน้ นน่ั คอื เวกเตอร์องคป์ ระกอบ 2 มิติ และเวกเตอร์องคป์ ระกอบ 3 มติ ิ 1.2.1 เวกเตอร์องคป์ ระกอบ 2 มิติ เมื่อเวกเตอร์อยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy ระนาบ xz หรือระนาบ yz การหา เวกเตอร์องค์ประกอบ ทำได้โดยการหาเวกเตอร์ย่อยจากการแยกเวกเตอร์ไปในแนวแกนแต่ละแกน A x บนระนาบน้ัน ๆ เชน่ ในระนาบ xy แยกเวกเตอร์ A ใหเ้ ปน็ เวกเตอรย์ ่อยบนแกน x ได้ และเป็นเวกเตอร์ ยอ่ ยบนแกน y ได้ Ay ดังภาพ 1.3 zz A y A x x A y A x x y Aq A y Aq ก. y ข. ภาพที่ 1.3 เวกเตอร์ A ทำมุม q กบั แกน x ในระนาบ xy

6 จากภาพ 1.3 แยกเวกเตอร์ A เป็น A xA และ Ay ดAังxนแั้นลเะมื่อAนyำมAารxวมแกลนัะโดAยyกามราเรขวยี มนกรันปู จจะะไไดด้้ ผลลัพธเ์ ท่าเดมิ คือ A เนอื่ งจาก A x ต้งั ฉากกับ y เมื่อนำ รูปสามเหล่ยี มมุมฉากดังภาพ 1.3 ข. ดังน้ัน cos q = Ax A Ax = A cos q .................1.1 sin q = Ay A Ay = A sin q .................1.2 ฉะนั้นถ้าเวกเตอร์ที่ต้องการแยกทำมุม q กับแนวแกนอ้างอิงใด ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ หรือเวกเตอร์ย่อยในแนวแกนอ้างอิงนั้นจะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ที่จะแยกกับ cos q ส่วนเวกเตอร์ย่อยอีกเวกเตอร์หนึ่งที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ย่อยแรก จะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ ที่จะแยกกับ sin q เวกเตอรย์ ่อยทีแ่ ยกให้ต้ังฉากกันบนแกน x และแกน y เมื่อรวมกันจะไดผ้ ลลัพธเ์ ท่ากับ เวกเตอรท์ ต่ี ้องการแยก z A y q A A x x y ภาพที่ 1.4 เวกเตอร์ A ทำมุม q กับแกน y ในระนาบ xy จากภาพ 1.4 เมอ่ื เวกเตอร์ A ทำมมุ q กับแกน y ในระนาบ xy จะไดเ้ วกเตอร์องค์ประกอบดังนี้ Ax = A sin q .................1.3 จากภาพ 1.3 และ 1.4 Ay = A cos q เท่ากับ 4 หน่วย และ .................1.4 ขนาดของ A x และ A y 3 หน่วยตามลำดบั

7 ตวั อย่างท่ี 1 เวกเตอร์ A อย่ใู นระนาบ xy มีขนาด 10 เมตร ทำมมุ 53 องศา กบั แนวราบ ( แกน x ) จงหา ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x และ y วิธีทำ เขียนเวกเตอรไ์ ด้ดังนี้ y y Ax Ay A Ay A A y 53˚ A x x 53˚ A x x จากสมการ 1.1 Ax = A cos q = 10 cos 53° = 6m และจากสมการ 1.2 Ay = A sin q = 10 sin 53° = 8m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x เทา่ กับ 6 หนว่ ย และ ในแนวแกน y เท่ากับ 8 หนว่ ย ตวั อยา่ งที่ 2 เวกเตอร์ B อยู่ในระนาบ xy มขี นาด 20 เมตร ทำมุมกับแนวราบ 127 องศา จงหาขนาดของ เวกเตอร์ B ในแนวแกน x และ y วธิ ีทำ เขยี นรูปเวกเตอรไ์ ด้ดังน้ี yy Bx B By x B By Bx 127˚ 37˚ x

8 จาก Bx = -B sin 37° = (-20)(0.60) = -12 m By = B cos 37° = (20)(0.80) = 16 m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน x เทา่ กับ 12 มีทิศไปทางซา้ ย และขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน y เท่ากับ 16 เมตร 1.2.2 เวกเตอร์องค์ประกอบ 3 มติ ิ เวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบ 3 มติ เิ ป็นเวกเตอร์ทไี่ ม่อยใู่ นระนาบใดระนาบหน่ึง แตก่ ระทำกับแนวแกนทั้ง 3 แกน การหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 3 มิติ ทำได้โดยการแยกเวกเตอร์ให้อยู่ในแกน x y และ z ซึ่งการแยกใช้หลักการเดียวกับเวกเตอร์องค์ประกอบ 2 มิติ โดยแยกให้เป็นเวกเตอร์ย่อยที่ตั้งฉากกัน จากน้นั แยกเวกเตอร์ย่อยอันหนึ่งใหเ้ ปน็ 2 เวกเตอร์ยอ่ ยทต่ี ัง้ ฉากกับเวกเตอร์อนั ที่ 2 เวกเตอร์ 3 มติ ิ ดังภาพ ที่ 1.5 และภาพท่ี 1.8 zz A A z A A x Az = A sin f A A =A cos f sin q fA xy y q x A y =A cos f cos q q fA xy x x y y ก. ข. ภาพที่ 1.5 เวกเตอร์ 3 มติ ิ การหาเวกเตอร์องคป์ ระกอบ 3 มิติ สามารถทำได้โดยการคิดทีละระนาบ โดยแยกเวกเตอร์ให้เป็น A x ทAำyกับแแลนะวแAกzนจyากจภะาไพด้เทวี่ ก1เ.ต5อเรม์อื่องคA์ปรทะำกมอุมบขfองกับAระนดาังบภาxพy เวกเตอร์ย่อยบนแกน x y และ z ได้ xy และ q เป็นมุมเงาของ A บนระนาบ ท่ี 1.5 ข. ทำได้โดยแบ่งการแยกเวกเตอร์ออกเป็น 2 ข้นั ตอน คือ ขนั้ ตอนที่ 1 คดิ จากแนวแกน z กบั ระนาบ xy ( เงาของ A ) โดยแยก A ออกเป็น A z และ Axy ทตี่ ้ังฉากกนั ดังนัน้ เมอ่ื นำ A z และ Axy มารวมกัน โดยการเขยี นรปู จะไดร้ ปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ดงั ภาพที่ 1.6

9 z Az A A x x A y q fA xy y Az A A Az f A xy f A xy ภาพที่ 1.6 เวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน z กบั ระนาบ xy จากภาพ 1.6 จะได้ sin f = Az A Az = A sin f .................1.5 cos f = A xy A Axy = A cos f .................1.6 ขั้นตอนที่ 2 คิดจากเวกเตอร์บนระนาบ xy กับแนวแกน x และ y จะได้เวกเตอร์องค์ประกอบ x ( A เนA่อื yง)จโาดกยแAยxก A xy Aออyกตเปง้ั ฉ็นากกAนั x และ A y ในแนวแกน และ Ax )yแมลาะรเววมกกเตันอจระ์อไงดค้ผ์ปลรละพักธอ์เบทใ่านเแดนิมวคแือกนAyxy( และ เม่ือนำมา เมื่อนำ A x รวมกันโดยการเขยี นรปู จะไดร้ ูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ดงั ภาพท่ี 1.7

10 z A y A x x y q A xy A x A xy A xy A x q A y q A y ภาพท่ี 1.7 เวกเตอร์องคป์ ระกอบในระนาบ xy กับแนวแกน x และ y จากภาพที่ 1.7 จะได้ sin q = Ax A xy A x = Axy sin q .................1.7 cos q = Ay A xy Ay = Axy cos q .................1.8 แทนคา่ Axy จากสมการ 1.6 ลงในสมการ 1.7 และ 1.8 จะได้ .................1.9 A x = A cos f sin q ถ้ารวม 2 Ay = A าcรoแs ยfกcoAs q A x A y .................1.10 ขั้นตอนเข้าด้วยกันจะเป็นก และ A z ที่ตั้งฉากกันและได้ เป็น ขเขดอนิมงาดคBขืออทเงBมเำวื่อไกดเนเ้โBตดื่ออยงทรกจอ์ ำาางมรกคแุม์ปยBqรกxะxกqBBอyyบเแปตแลาน็ละมะสqBมzBxกzกาับBตรแทyั้งนฉ่ี 1แวา.ลกแ5ะกกนัน1B.เ9zxมื่อแเyมนล่ือะำแนมล1ำาะ.ร1Bวz0xมตกBาันyมโลดแำยลดกะับารBกเzาขมรียหานรารวเูปวมกจกเะันตไจอดะร้รไ์อูปดง้สผคาล์ปมลรเัพหะธลก์เี่ยอทมบ่า มมุ ฉาก ดังภาพท่ี 1.8

11 Bzz B z qz qx Bx x Bz = B cos qz qz qx B x qy y O qy By B x = B cos qx y By = B cos qy B B Bz B O qx Bx By ข. qy O O qz ก. ค. ภาพที่ 1.8 เวกเตอร์องค์ประกอบของ B .................1.11 .................1.12 จากภาพที่ 1.8 ก. จะได้ cos qx = Bx .................1.13 จากภาพที่ 1.8 ข. จะได้ B จากภาพที่ 1.8 ค. จะได้ Bx = B cos qx cos qy = By B By = B cos qy cos qz = Bz B Bz = B cos qz 1.2.3 เวกเตอร์หนว่ ย ( Unit vector ) เวกเตอร์หน่วย เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งหน่วย และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ใด ๆ ทมีที่กิศำทหานงดไปขทึ้นาเงขเดียยี นวแกทบั นAโดยดใชงั ภ้สาัญพลทักี่ 1ษ.ณ9 ์ “ ^ ” กำกับไว้บนตัวอักษร เช่น aˆ มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย aˆ A ภาพท่ี 1.9 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย

12 นิยาม ถา้ กำหนดให้ aˆ เป็นเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยของ A แลว้ จะไดว้ ่า A aˆ = A หรอื A = A aˆ ในระบบพิกัดฉากเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ ˆi ˆj และ kˆ ดังภาพที่ 1.10 โดยกำหนดดังน้ี ˆi เป็นเวกเตอร์หน่ึงหนว่ ยในแนวแกน x ˆj เป็นเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในแนวแกน y เชน่ AB = kˆ +เป5น็ kˆเวกเตหหอมมราา์หยยนคค่ึงววหาามมนววว่ า่่ายใABนแมมนีีขขวนนแกาาดดนเเทท่า่ากกับบั z x = 2 ˆi 2 หนว่ ยในแนวแกน x ˆi + 3 ˆj 1 หน่วยในแนวแกน มขี นาดเท่ากบั 3 หน่วยในแนวแกน y และ มีขนาดเท่ากับ 5 หน่วยในแนวแกน z z z A y A z f A ˆi Ax x A zA= A sin f kˆ f sixn q ˆi ˆjkˆ A x = cos f A q A q ˆj y ก. y yข=. A cos f cos q ภาพท่ี 1.10 เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยในระบบพิกัดฉาก เแแดนนิมววคแแอื กกนนAจาxyเกนภเy่อืวางกแพจลเาตะ1กอ.1zร0A์ยตxกา่อม.ยAเลมyำAอื่ ดแxับลAะAดทAyังำภzแมาตลมุพง้ั ะฉทfาAี่ ก1zกก.เ1ับนัป0ร็นะขนเ.วาเกบมเื่อตxนyอำรแ์อลAงะคxq์ปAเรปyะน็ กแมอลุมบะเงทAาี่ไขzดอม้จงาารAกวกมบากนรันแรจะยะนกไาดใบน้ผลxAลyัพทไธำป์เกทใบัน่า พิจารณาแนวแกน x จะได้ A x = A x ˆi แทนค่า Ax จากสมการ 1.9 A x = A cos f sin q ˆi .................1.14

13 พิจารณาแนวแกน y จะได้ Ay = A y ˆj แทนคา่ Ay จากสมการ 1.10 A y = A cos f cos q ˆj .................1.15 .................1.16 พิจารณาแนวแกน z จะได้ A z = A z kˆ แทนคา่ Az จากสมการ 1.5 A z = A sin f kˆ Bzz z ˆjkˆ qz qx ˆi B Bx x Bz = B cos qz kˆ BBx qy By qz qx = B cos qx ˆi qy x By = B cos qy ˆj y ก. y ข. ภาพที่ 1.11 เวกเตอร์ B ทำมมุ qx qy และ qz กับแนวแกน x y และ z ตามลำดบั Bx BBxy BจแyาลกะแภลBาะzพเBปz1็นต.1เงั้ว1ฉกาเเกมตกือ่อนัร์อBเงมค่อืท์ปนำรมำะมุมการqอวxบมqทกyี่ไันดแจ้จละาะไกดกq้ผาzลรกลแับพั ยแธก์เนใทนวา่ แเดกBิมนไคxปือในyBแแนลวะแzกนตาxมลyำแดลับะเวzกตเตามอลร์ยำด่อับย ซึ่ง พิจารณาแนวแกน x จะได้ Bx = Bx ˆi แทนคา่ Bx จากสมการ 1.11 Bx = B cos qx ˆi .................1.17 พจิ ารณาแนวแกน y จะได้ By = By ˆj แทนค่า By จากสมการ 1.12 By = B cos qy ˆj .................1.18

14 พจิ ารณาแนวแกน z จะได้ Bz = Bz kˆ แทนคา่ Bz จากสมการ 1.13 Bz = B cos qz kˆ .................1.19 ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบของ A = ˆi + 4 ˆj A x = ˆi วธิ ีทำ ในแนวแกน x ในแนวแกน y A x = 1 หนว่ ย A y = 4 ˆj ตอบ Ay = 4 หนว่ ย x และ y เทา่ กบั 1 หนว่ ย และ 4 หน่วย ขนาดของเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบของ A ในแนวแกน ตามลำดบั วติธวั ทีอยำา่ งทใน่ี 4แนจวแงหกานขxนาดของเวกเตBอxรอ์ =งค์ป3รˆiะกอบของ B = 3 ˆi - 9kˆ ในแนวแกน z BBzx = 3 หนว่ ย = -9 kˆ ตอบ Bz = 9 หBนว่ในยแนวแกน x และ z เท่ากบั 3 หน่วย และ 9 หนว่ ย ขนาดของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบของ ตามลำดับ ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาขนาดของเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบของ C = 4 ˆi + 5 ˆj - kˆ Cx = 4 ˆi วธิ ที ำ ในแนวแกน x ในแนวแกน y CCyx = 4 หน่วย = 5 ˆj CCzy = 5 หน่วย = - kˆ ในแนวแกน z ตอบ Cz = 1 หCนว่ในยแนวแกน x y และ z เทา่ กับ 4 หนว่ ย 5 หนว่ ย และ ขนาดของเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบของ 1 หนว่ ย ตามลำดับ

15 กจิ กรรมการเรียนรทู้ ี่ 1.1 1. จงหาขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1.1 y …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… c …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… x 1.2 y x …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… d …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… .…………………….…………………………………………………… 1.3 y a = 20 เมตร x …………………………………………………………………………… 37˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.4 b  y …………………………………………………………………………… = 20 …………………………………………………………………………… m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 60˚ …………………………………………………………………………… x

16 1.5 z …………………………………………………………………………… A = 20 เมตร x …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 37˚53˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… y …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2. จงหาAขน=าด4ขˆiอง+เวก3เˆjตอร์องค์ประกอบของเวกเตอรห์ นว่ ยตอ่ ไปนี้ 2.1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.2 …B…=……7…ˆi …-……9k…ˆ …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.3 …C…=……4…ˆi …+…ˆj……- …3…kˆ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.4 …D…=……2…ˆi …+…5…ˆj……- …kˆ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

17 1.3 การรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ เป็นการรวมทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ย่อยที่นำมารวม ซึ่งแตกต่าง จากการรวมในทางคณติ ศาสตร์โดยท่วั ไป การรวมเวกเตอรแ์ บ่งเป็น 2 วิธคี อื การรวมโดยการเขียนรปู และ การรวมโดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ 1.3.1 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขียนรปู การรวมเวกเตอร์ทำได้โดยเขียนลูกศรเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นนำหางลูกศรของเวกเตอร์ ที่นำมารวมต่อกับหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวตั้ง ซึ่งการเขียนลูกศรแทนเวกเตอร์ต้องแทนทั้งขนาดและ ทิศทางแล้วทำลักษณะเดียวกันนี้จนครบเวกเตอร์ที่ต้องการนำมารวม เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จากลูกศร ที่ลากจากหางเวกเตอร์ตัวตั้งถึงหัวเวกเตอร์ที่รวมตัวสุดท้าย ความยาวที่ได้เป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ และมีทิศทางจากหางของเวกเตอร์ตัวต้ังไปยังหัวของเวกเตอร์ตัวรวมตัวสุดท้าย ดงั ภาพที่ 1.12 a b c d b a c e= (a+ d b  c+ + d) ภาพที่ 1.12 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขยี นรปู เวกเตอร์ 2 เเชวน่กเต- Aอร์ทเปี่มน็ ีขเวนกาเดตเอทร่า์ทกม่ี ันีขนจาะดแเททน่าทกบัิศทAางขแอตงม่ เวีทกิศเทตาองรต์ดร้วงยกเันคขร้าื่อมงหดมงั ภายาบพวทก่ี 1(.1+3 ) และ เครอื่ งหมายลบ ( - ) A - A - B B ภาพที่ 1.13 เวกเตอรบ์ วกและเวกเตอร์ลบ การลบเวกเตอร์ ทำไดใ้ นวิธเี ดียวกนั กับการรวมเวกเตอร์ แต่ให้กลบั ทศิ ทางของเวกเตอรต์ ัวลบ

18 ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาผลรวมของ a − b − c + d โดยกำหนดให้ d a b c วิธีทำ ใช้หลักการหางตอ่ หัว d - c - b a e= (a-  - b c+ d) q ตอบ ตวั อยา่ งที่ 7 จากภาพ จงหาผลรวมของ A + B + C โดยการเขยี นรปู A B 60˚ C วธิ ที ำ ใช้หลักการหางตอ่ หัว B A C 60˚ ตอบ R =A +B +C

19 การรวมเวกเตอร์โดยการเขยี นรูปกรณเี ป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทำมุมใด ๆ กัน ผลรวมของเวกเตอร์ แบง่ ได้ 4 กรณี ดงั น้ี 1ก.ำหเนวกดเใตหอ้ รA์ทำแมลมุ ะกนั B 0ทอำงมศุมากัน 0° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางไปทางเดียวกัน เขียนรูปการรวม เวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.14 A B A B R ภาพท่ี 1.14 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมุมกนั 0° จากภาพ จะไดเ้ วกเตอรล์ ัพธ์ R = A + B R = A + B ( นำขนาดของเวกเตอรม์ าบวกกัน ) .................1.20 2ก.ำหเนวกดเใตหอ้ รA์ทำแมลุมะกนั B18ท0ำมอุมงกศัาน 180° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกันเขียนรูปการรวม เวกเตอร์ ดังภาพที่ 1.15 A 180˚ B A B R ภาพที่ 1.15 การรวมเวกเตอรก์ รณเี วกเตอร์ทำมุมกัน 180° จากภาพ จะไดเ้ วกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B R = A - B ( นำขนาดของเวกเตอรม์ าลบกนั ) .................1.21

20 3ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ แำมละุมกBัน 90 องศา 90° เขยี นรปู การรวมเวกเตอร์ ดังภาพที่ 1.16 ทำมุมกนั B R B A q A ภาพท่ี 1.16 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอรท์ ำมุมกัน 90° จากภาพ จะได้เวกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การรวมเวกเตอร์จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นการหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้จาก หลักทฤษฏพี ีทาโกรัส จะได้ R2 = A2 + B2 R = A2 + B2 .................1.22 การหาทิศทางของเวกเตอรล์ ัพธใ์ ช้หลกั ตรโี กณมิติ จะได้ tan q = B .................1.23 A 4ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ แำมละุมกBัน q q เขียนรปู การรวมเวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.17 ทำมมุ กนั B R =(A +B) B q A a A q ภาพท่ี 1.17 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมมุ กนั q จากภาพ จะไดเ้ วกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การคำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ อาศัยการสร้างให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้น โดยลากเพิ่มเติม บางส่วน นน่ั คือ X และ Y ดังภาพท่ี 1.18

21 R B Y B Y a A q q ก. X X ข. ภาพที่ 1.18 การสร้างสามเหลย่ี มมุมฉากจากเวกเตอร์ทำมุมกัน q จากภาพ 1.18 ข. จะได้ B2 = X2 + Y2 sin q = Y cos q = B X B จากภาพ 1.18 ก. ตามทฤษฎพี ที าโกรสั จะได้ R2 = ( A + X )2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + X2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + B2 R2 = A 2 + B2 + 2AB cos q ดังนั้น R = A2 + B2 + 2AB cos θ .................1.24 การหาทิศทางเวกเตอรล์ ัพธ์ จากตรโี กณมิติ Y tan a = A+X = B sin θ A + B cos θ ดังนัน้ ทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ tan a = B sin θ .................1.25 A + B cos θ

22 การลบเวกเตอร์ เมื่อ A และ B ทำมุมกนั q ดงั ภาพที่ 1.19 B A q A aq q - B 180˚- q R = (A − B) - B R ภาพที่ 1.19 การลบเวกเตอร์ จากภาพ 1.19 เวกเตอร์ - B จะทำมุม 180° - q เพราะ B กบั - B ทศิ ทางตรงขา้ มกัน เมอ่ื แทนค่า q คา่ ของ cos (180° - q) = - cos q และ ค่าของ sin (180° - q) = sin q จากสมการที่ 1.24 แทนคา่ มุม 180° - q จะได้ R = A2 + B2 + 2AB cos 180 - θ = A2 + B2 + 2AB (-cos θ ) R = A2 + B2 - 2AB cos θ .................1.26 ทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ หาได้จาก แทนคา่ มุม 180° - q ในสมการท่ี 1.25 จะได้ tan a = B sin 180 - θ = A + B cos180 - θ B sin θ A + B (-cos θ) tan a = B sin θ .................1.27 A - B cos θ

23 ตหวันอ่วยยา่ ตงาทมี่ ล8ำดเวับกจเตงอหรา์ขaนาแดลขะองbaกร+ะทbำตอ่ กันดว้ ยมมุ 60 องศา โดยเวกเตอร์ท้งั สองมขี นาด 30 และ 50 วิธที ำ จากโจทยเ์ ขียนรปู ได้ดงั นี้ b R = (a +b) b 60˚ a a 60˚ จากสูตร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 302 + 502 + 2(30)(50) cos 60 = 302 + 502 + 2(30)(50)(0.50) = 4900 = 70 ตอบ ขนาดของผลบวกเท่ากับ 70 หน่วย ตัวอย่างที่ 9 ชายคนหนึ่งเดินจากจุดหนึ่งไปทางทิศตะวันออก 50 เมตร ต่อจากนั้นเดินต่อไปทางทิศ ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื อกี 40 เมตร จงหาวา่ เขาจะอยหู่ า่ งจากจุดตง้ั ต้นเทา่ ไร วธิ ที ำ จากโจทย์จะได้วา่ ba = เดนิ ไปทางทศิ ตะวันออก 50 เมตร = เดนิ ไปทางทิศตะวนั ออกเฉยี งเหนือ 40 เมตร q = 45° (ทิศตะวันออกทำมุมกบั ทิศตะวนั ออกเฉยี งเหนือ) จากสูตร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 502 + 402 + 2(50)(40) cos 45 = 502 + 402 + 2(50)(40)(0.71) = 6940 = 83.31 m ตอบ เขาหา่ งจากจุดตั้งต้น 83.31 เมตร

24 1.3.2 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการวเิ คราะหเ์ วกเตอร์ เมอ่ื มีเวกเตอร์หลายเวกเตอร์ทำมมุ กนั การหาผลรวมของเวกเตอร์ทำได้โดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ เปน็ การแยกเวกเตอรอ์ อกเปน็ เวกเตอร์องค์ประกอบ หรอื เวกเตอรย์ ่อยท่ีต้ังฉากกนั ถ้าเป็นเวกเตอร์ 2 มิติ จะได้ 2 เวกเตอร์องค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน และถ้าเป็นเวกเตอร์ 3 มิติ จะได้ 3 เวกเตอร์องค์ประกอบ ที่ตั้งฉากกัน ขั้นตอนต่อไปเป็นการรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวเดียวกนั เมื่อนำเวกเตอร์องคป์ ระกอบ มารวมกันจะได้ผลลพั ธเ์ ทา่ กบั เวกเตอร์หลกั หรือเวกเตอร์ท่ถี ูกแยก ดังภาพที่ 1.20 B A y B By = B sin q2 A A y = A sin q1 q2 q1 Bx = -B cos q2 q2 q1 x A cosCqx1= -C sin q3 q3 A x = A cos q1 C q3 C Cy = -C cos q3 ก. ข. ภาพท่ี 1.20 การรวมเวกเตอรห์ ลายเวกเตอร์ 2 มิติ เม่ือมเี วกเตอร์หลายเวกเตอร์ทำมมุ กัน 2 มติ ิ ดังภาพท่ี 1.20 สามารถหาผลรวมของเวกเตอร์ได้โดย ใชห้ ลกั การดงั น้ี (1) ตง้ั พิกัดฉาก x และ y ตรงจดุ ตัดของเวกเตอร์ ดงั ภาพท่ี 1.20 ข. (2) แยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบหรือเวกเตอร์ย่อยที่ตั้งฉากกัน ซึ่งจะได้เวกเตอร์ องคป์ ระกอบในแนวแกน x และเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน y จากภาพที่ 1.20 ข. จะไดเ้ วกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x ดงั น้ี คดิ ที่ A จะได้ คดิ ที่ B จะได้ A x = A cos q1 .................1.28 คดิ ท่ี C จะได้ Bx = -B cos q2 .................1.29 Cx = -C sin q3 .................1.30 เวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y คดิ ท่ี A จะได้ คดิ ที่ B จะได้ A y = A sin q1 .................1.31 คิดที่ C จะได้ By = B sin q2 .................1.32 Cy = -C cos q3 .................1.33 องค์ประก(3อ)บใรนวแมนเววกแเกตนอรx์อคงือค์ปรRะกx อแบลใะนผแลนรววเมดขียอวงกเันวกจเตะอไดร้์อ2งคเว์ปกรเะตกออรบท์ ใี่ตนั้งแฉนาวกแกกันนผyลรควือมขอRงyเวกเตอร์

25 คดิ ทแ่ี นวแกน x  Rx = A x + Bx + Cx .................1.34 .................1.35 Rx = Ax+ Bx+ Cx แทนคา่ สมการ 1.28 1.29 และ 1.30 ลงในสมการ 1.35 Rx = A cos q1 + (-B cos q2) + (-C sin q3) ดงั นั้น  RRxy = AA cos qB1y- B cCoys q2 - C sin q3 .................1.36 คดิ ท่ีแนวแกน y  = y+ + .................1.37 .................1.38 Ry = Ay+ By + Cy แทนคา่ สมการ 1.31 1.32 และ 1.33 ลงในสมการ 1.38 Ry = A sin q1 + B sin q2 + (-C cos q3) ดังนั้น Ry = A sin q1 + B sin q2 - C cos q3 .................1.39 (4) หาผลรวมของเวกเตอร์ โดยคิดเสมอื นวา่ ผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x และ ผลรวมของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน y เปน็ เวกเตอรใ์ หม่ 2 เวกเตอร์ ซ่งึ ตั้งฉากกัน ซงึ่ จะไดว้ ่า  R เมื่อ เปน็ เวกเตอรล์ พั ธ์  Rx +  Ry  R = .................1.40 ดงั นนั้ R = ΣR2x + ΣR2y .................1.41 yy Ry R R Ry a Rx x Rx a x ก. y y ข. Rx ax xa Rx R ค. Ry Ry R ง. ภาพท่ี 1.21 เวกเตอรล์ พั ธ์  R 2 มิติ

26 1แด.ลงั 2ภะ1ากพรขณท. จก่ีีท1ารส่ี.กณ2่ี ภ1ีทาRกี่สพx.าทมกมี่ ร1ีคณ.2่าRีทเ1ปxี่ส็นกอมรบงีคณว่ากีแเRปรแxก็นลละมบคี R่าแRเxปลyะน็ มมลีคีคบ่าา่ Rเเปแปyล็น็นมะลบีคบว่าเกปRจแะ็นyไลมลดะคีบ้เว่าจกเปะRเต็นไyอดบมร้เววีค์ลกก่าพั เเจธตปะ์ อ็นไรดบR์ล้เววัพกกดธเังจ์ตภะอาไRรดพล์ ้เทพัวดี่กัธง1เภ์.ต2าอ1พRรงท์ล.ดี่ัพ1งั ธ.ภ2์ า1พRคท.่ี การหาทิศทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ สามารถหาไดจ้ าก tan a = ΣR y .................1.42 ΣR x การรวมเวกเตอร์หลายเวกเตอร์ 3 มิติ สามารถทำได้โดยใช้หลกั การเชน่ เดียวกับ 2 มติ ิ ซงึ่ การแยก เวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบ จะได้เวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x y และ z การรวม Rx เวกเตอร์ในแนวเดยี วกันจะได้ 3 เวกเตอร์ท่ีตัง้ ฉากกนั ผลรวมเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน x คือ  คือ Ry และผลรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน ผลรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y คือ  z  Rz ดงั ภาพท่ี 1.22 z z Az A Bz B Ax x Bx x y Ay q1z q1x q2z q2x q1y .................1.43 y By q2y .................1.44 ก. ข. .................1.45 .................1.46 ภาพที่ 1.22 การรวมเวกเตอรห์ ลายเวกเตอร์ 3 มิติ .................1.47 .................1.48 จากภาพที่ 1.22 จะได้เวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน x ดงั น้ี คิดที่ A จะได้ คิดที่ B จะได้ A x = A cos q1x Bx = B cos q2x เวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน y A คิดท่ี B จะได้ A y = A cos q1y คิดท่ี จะได้ By = B cos q2y เวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน z คิดที่ A จะได้ คดิ ที่ B จะได้ A z = A cos q1z Bz = B cos q2z

27 หาผลรวมของเวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน x y และ z  Rx = A x + Bx คดิ ที่แนวแกน x .................1.49 .................1.50 Rx = Ax+ Bx .................1.51 แทนคา่ สมการ 1.47 และ 1.48 ลงในสมการ 1.50 .................1.52 .................1.53 ดังนั้น  RRxy = AA cos qB1xy + B cos q2x คิดท่แี นวแกน y  = y+ .................1.54 .................1.55 Ry = Ay+ By .................1.56 แทนค่า สมการ 1.45 และ 1.46 ลงในสมการ 1.53 .................1.57 ดังน้ัน  RRzy = AA cos qB1zy + B cos q2y คิดทแี่ นวแกน z  = z+ Rz = Az + Bz แทนคา่ สมการ 1.47 และ 1.48 ลงในสมการ 1.56 ดังน้ัน Rz = A cos q1z + B cos q2z เวกเตอร์ลัพธ์ หาได้โดยคิดเสมือนว่าผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x y และ z เปน็ เวกเตอรใ์ หม่ 3 เวกเตอร์ ซง่ึ ต้ังฉากกนั ซงึ่ จะไดว้ ่า Ry Rz เมอื่  R เป็นเวกเตอร์ลพั ธ์  Rx +   R = +  .................1.58 ดงั นน้ั R = ΣR2x + ΣR2y + ΣR 2 .................1.59 z Rzz R Rx x az ax  ay Ry y ภาพท่ี 1.23 เวกเตอร์ลพั ธ์  R 3 มติ ิ จากภาพที่ 1.23 สามารถหาทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ไดจ้ าก สมการท่ี 1.11 1.12 และ 1.13 จะได้

28 cos ax = ΣR x .................1.60 ΣR .................1.61 .................1.62 cos ay = ΣR y ΣR cos az = ΣR z ΣR ตวั อย่างที่ 10 จากภาพ จงหาขนาดของ a + b + c b=4m a = 5 m 53˚ 37˚ c = 3 m วธิ ที ำ จากภาพ หาขนาดของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบของแตล่ ะเวกเตอร์ในแนวแกน x และ y ax = a cos 37° b x = b cos 53° cx = 0 m = (5)(0.80) = (-4)(0.60) = 4m = -2.4 m ay = a sin 37° by = b sin 53° c y = -3 m = (5)(0.60) = (4)(0.80) = 3m = 3.2 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x Rx = 4 + (-2.4) + 0 = 1.6 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน y Ry = 3 + 3.2 + (-3) = 3.2 m หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ R= ΣR 2 + ΣR2y = x (1.6)2 + (3.2)2 = 2.56 + 10.24

29 = 12.8 = 3.58 m ตอบ เวกเตอรล์ ัพธ์ เทา่ กบั 3.58 เมตร ทิศทางทกำมารมุ รวqมกเวบั กแเนตวอแรก์ยน่อยxในแรลูปะขอBงเเวปก็นเตเวอกรเ์หตนองึ่รห์ 3น่วมยติ ิ เมอ่ื AB เปน็ เวกเตอร์ 2 มติ ิอยู่ในระนาบ xy มี โดย ทำมมุ f กับระนาบ xy และมุม a กับ แนวแกน y ดงั ภาพที่ 1.24 z A yy Bz ˆj ˆjkˆ a A By f Bˆi Bx x qˆi A x x y ข. ก. ภาพท่ี 1.24 เวกเตอร์หน่ึงหน่วย 2 มติ ิและ 3 มิติ จากภาพ 1.24 ก. สามารถเขียน A ให้อยใู่ นรปู เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วย 2 มติ ไิ ด้ดังนี้ A = A x + A y A = A xˆi + Ayˆj จแาทกนภคาา่ พA1x.2ด4ว้ ขย.สสมากมาารรทถี่ เABB1ข.ยี1นแลBะ===ใAห้อy ยดู่ใน้วAยBBรสปูxxcมˆiเo+วกs+กาเBqรตByทˆiอy+่ี รˆ+j1์ห.+B2Aนzึง่จBsหะiznนไkˆด่วq้ ยˆj 3 มิติ .................1.63 ไดด้ ังน้ี แทนคา่ Bx ดว้ ยสมการท่ี 1B.9 แทนคา่ By ด้วยสมการท่ี 1.10 และ Bz ดว้ ยสมการท่ี 1.5 จะได้ = B cos f sin a ˆi + B cos f cos a ˆj + B sin f kˆ สามารถหาขนา..ด...ข..อ..ง.....A...1แ.6ล4ะ B กรณีทราบค่าขนาดของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแต่ละแนวแกน ไดโ้ ดยใช้หลกั การรวมเวกเตอร์กรณีเวกเตอรท์ ำมุมกนั 90° จากสมการที่ 1.22 จะได้

30 2 มติ ิ A= A 2 + A 2 .................1.65 x y 3 มติ ิ B = B2x + B2y + B2z .................1.66 ทิศทางของ A ไดจ้ ากสมการท่ี 1.23 จากภาพ 1.24 ข. tan q = B Ay f กับระนาบ xy .................1.67 y การหาทศิ ทางของ โดยABx ทำมุม และมมุ a กับแนวแกน เม่อื ทราบค่า Bx By และ Bz ดังภาพท่ี 1.25 Bz B By a BxByx By f Bxy Bz Bx ก. ข. ภาพที่ 1.25 ทิศทางของ B สามารถหาทิศทางของ B ไดด้ ังน้ี จากภาพที่ 1.25 ก. จะได้ tan f = Bz .................1.68 tan f = Bxy จากภาพท่ี 1.25 ข. จะได้ Bz B2x + B2y tan a = Bx .................1.69 By

31 การรวมเวกเตอร์หนง่ึ หน่วยหลายเวกเตอร์ สามารถทำไดโ้ ดยนำค่าของเวกเตอร์หน่งึ หน่วยในแกน เดยี วกนั มารวมกนั เมือ่ กำหนดให้ A = Ax ˆi + A y ˆj + A z kˆ CBRx Bx ˆi + B y ˆj + B z kˆ คิดทแี่ กน x = ˆj + kˆ คดิ ทแี่ กน y = CAxxˆi ++BxC+y Cx Cz คดิ ที่แกน z = ดังนั้น  RRyx = A x + BBxy + CCyx .................1.70  = A y + +  RRzy = AA y + BBzy + CCzy .................1.71  = + + z  RRz = ARz x++ Bz + C z Rz .................1.72  = Ry +   R =  (Ax + B x + C x) ˆi + (Ay + B y + C y) ˆj + (Az + B z + C z) kˆ .................1.73 จากสมการ 1.66 จะได้ R = ΣR2x + ΣR2y + ΣR2z ดังนัน้ R = (A x + Bx + Cx )2 + (A y + By + Cy )2 + (Az + Bz + Cz )2 .................1.74

32 ตัวอยา่ งที่ 11 กำหนดให้ A = 2 ˆi + 5 ˆj จงหา ก. ขนาดของเวกเตอร์ A แนวแกน x และ y ข. ขนาดของเวกเตอร์ A ค. ทิศทางของเวกเตอร์ A วิธที ำ วาดรปู เวกเตอร์จะได้ y Ay A Ay qx Ax ก. ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x เทา่ กับ 2 หนว่ ย ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน y เทา่ กับ 5 หนว่ ย ข. ขนาดของเวกเตอร์ A A= A 2 + Ay2 = x 22 + 52 = 29 = 5.38 หน่วย ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A เทา่ กบั 5.38 หน่วย ค. ทศิ ทางของเวกเตอร์ A tan q = Ay Ax =5 2 q = 68 ตอบ ทิศทางของเวกเตอร์ A ทำมุม 68 องศากบั แนวแกน x

33 ตัวอยา่ งที่ 12 กำหนดให้ A = 6 ˆi + 3 ˆj + 2kˆ จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ A วิธีทำ จาก A= Ax2 + Ay2 + Az2 = 62 + 32 + 22 = 49 = 7 หน่วย ทศิ ทางของเวกเตอร์ A tan f = Az A 2 + A 2 x y =2 62 + 32 = 0.30 f = 16.70 ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A เท่ากบั 7 หนว่ ย และทำมุม 16.70 องศา กับระนาบ xy ตัวอยา่ งท่ี 13 กำหนดให้ 2aaaa+-+-bb23baแbbแลล==ะแแะลลaaะะ24-+aˆˆiib2+ba+- 2-35b3ˆˆjjb + 6 kˆ + 4 kˆ จงหา ก. ข. ค. ง. วิธีทำ ก. a + b = (4 + 2) ˆi + (3 – 5) ˆj + (6 + 4) kˆ = 6 ˆi – 2 ˆj + 10kˆ a + b = 62 + (-2)2 + 102 = 140 = 11.83 หน่วย ตอบ เวกเตอร์ลัพธ์ เทา่ กบั 6 ˆi - 2 ˆj + 10kˆ และขนาดของเวกเตอรล์ ัพธ์ เทา่ กับ 11.83 หน่วย

34 ข. a - b = (4 - 2) ˆi + (3 - (-5)) ˆj + (6 - 4) kˆ = (4 - 2) ˆi + (3 +5) ˆj + (6 - 4) kˆ = 2 ˆi + 8 ˆj - 2kˆ a - b = 22 + 82 + (-2)2 = 72 = 8.49 หนว่ ย ตอบ เวกเตอรล์ ัพธ์ เทา่ กบั 2 ˆi + 8ˆj - 2kˆ และขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ เทา่ กับ 8.49 หนว่ ย ค. 2 b = 2(2) ˆi - 5(2)ˆj + 4(2) kˆ 4 ˆi - 10 ˆj + 8kˆ a + 2 b = (4 + 4) ˆi + (3 + (-10))ˆj + (6 + 8) kˆ = = 8 ˆi - 7 ˆj + 14kˆ a + 2b = 82 + (-7)2 + (14)2 = 309 = 17.58 หน่วย ตอบ เวกเตอร์ลัพธ์ เท่ากับ 8 ˆi - 7ˆj + 14kˆ และขนาดของเวกเตอรล์ พั ธ์ เท่ากบั 17.58 ง. 2 a = 4(2) ˆi + 3(2)ˆj + 6(2) kˆ = 8 ˆi + 6 ˆj + 12kˆ -3 b = 2(-3) ˆi - 5(-3)ˆj + 4(-3)kˆ = -6 ˆi + 15ˆj - 12kˆ 2 a - 3 b = (8 - 6) ˆi + (6 + 15) ˆj + (12 - 12)kˆ = 2 ˆi + 21 ˆj 2a - 3b = 22 + 212 = 445 = 21.09 หน่วย ตอบ เวกเตอร์ลัพธ์ เท่ากับ 2 ˆi + 21ˆj และขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ เท่ากับ 21.09 หน่วย

35 ใบกจิ กรรมที่ 1.1 การรวมเวกเตอร์ จดุ มุ่งหมาย สามารถรวมเวกเตอร์และหาเวกเตอร์ลพั ธไ์ ด้โดยการเขยี นรูป เวลาทใ่ี ช้ 2 ชัว่ โมง อุปกรณ์ รายการ จำนวน 1 อนั 1. ไมโ้ ปรแทรกเตอร์ 1 แท่ง 2. ดินสอ กิจกรรม ตอนที่ 1 บวกเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอร์ลัพธไ์ ดโ้ ดยการเขยี นรูป 1. กำหนABCดใหมมม้ ีีขขีขนนนาาาดดด 2 หนว่ ย ในแนวระนาบ 2 หนว่ ย ทำมมุ 60 องศากบั แนวราบ 3 หน่วย ทำมมุ 90 องศากับแนวราบ 2. หาเวกเขเตยี อนรเวล์ กัพเธตจ์อารก์ AA B Bแล+ะCCดตว้ ายมวขธิ กีนาารดเแขลยี ะนทริศปู ทโาดงยทเก่ีขียำหนนเวดกเตอร์ A จากนัน้ เขยี นเวกเตอร์ + B โดยนำหางของเวกเตอร์ B มาตอ่ หัวของเวกเตอร์ A และเขียนเวกเตอร์ C โดยนำหางของเวกเตอร์ C มา ต่อหัวของเวกเตอร์ B 3. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ โดยลากเสน้ ตรงเชื่อมต่อระหวา่ ง หางของเวกเตอร์ C มายังหัวของเวกเตอร์ A วดั ความยาวของเส้นตรงเป็นขนาดของเวกเตอรล์ พั ธ์และมีทิศทางจากหางเวกเตอร์ A ไปยงั หวั ของเวกเตอร์ C A + B B + C 4. หาขนาดและทิศทางของเวกเตอรล์ ัพธจ์ าก และ ดว้ ยวิธกี ารคำนวณ ตอนท่ี 2 ลบเวกเตอร์และหาเวกเตอรล์ ัพธไ์ ด้โดยการเขยี นรูป 1. กำหนABCดใหมมม้ ีีีขขขนนนาาาดดด 2 หนว่ ย ในแนวระนาบ 2 หน่วย ทำมุม 60 องศากับแนวราบ 3 หน่วย ทำมมุ 90 องศากบั แนวราบ เขียนเวกเตอรล์ บ A เวกเตอร์ลบ B และ C ตามขนาดและทิศทางทกี่ ำหนด

36 2. หาเวกเตอร์ลพั ธจ์ าก A - B - C ด้วยวธิ ีการเขยี นรูป โดยเขยี นเวกเตอร์ A จากนนั้ เขียนเวกเตอร์ ลบ B โดยนำหางของเวกเตอร์ลบ B มาต่อหัวของเวกเตอร์ A และเขียนเวกเตอร์ลบ C โดยนำหางของ เวกเตอร์ลบ C มาต่อหวั ของเวกเตอรล์ บ B 3. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ โดยลากเส้นตรงเชอ่ื มต่อระหว่าง หางของเวกเตอร์ลบ C มายังหัวของเวกเตอร์ A วัดความยาวของเส้นตรงเป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์และมีทิศทางจากหาง เวกเตอร์ A ไปยงั หัวของเวกเตอร์ลบ C A - B และ B - C ด้วยวธิ กี ารคำนวณ 4. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธ์จาก บนั ทกึ ผลกจิ กรรม ตอนที่ 1 ผลรวมเวกเตอร์และหาเวกเตอร์ลพั ธไ์ ด้โดยการเขยี นรปู เวกเตอร์ A เวกเตอร์ B เวกเตอร์ C เวกเตอร์ลัพธจ์ าก A + B + C A +ขBนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ ด้วยวิธีการคำBน+วณC

37 ตอนที่ 2 ผลลบเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอรล์ พั ธไ์ ด้โดยการเขยี นรปู เวกเตอรล์ บ A เวกเตอร์ลบ B เวกเตอรล์ บ C เวกเตอร์ลพั ธจ์ าก A -B - C A - Bขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ ดว้ ยBวิธ-กีCารคำนวณ สรุปผลกจิ กรรม .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................

38 กิจกรรมการเรียนรูท้ ่ี 1.2 1. จงหาผลลพั ธข์ อง a + b + c โดยการเขียนรูป 1.1 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… b …………………………………………………………………………… a c …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.2 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… a …………………………………………………………………………… 37˚ c …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… b 2. จากภาพ จงคำนวณหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ต่อไปน้ี A = 3 เมตร C = 4 เมตร เมตร B = 5 เมตร 6  = E D = 4 เมตร 60˚ 2.1 A + B + D ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.2 C......+....D...................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

39 2.3 D + E ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3. จงหาแสดงวิธีทำเพ่ือหาผลลัพธต์ ่อไปน้ี กำหนดให้ a = 8 ˆi + 4 ˆj - 10kˆ b = 4 ˆi - 5 ˆj + 6kˆ c = 7 ˆi + 6 ˆj - 8kˆ 3.1 a + b + c ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3.2 a + 2b ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3.3 2a - 3b ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3.4 a + 2b - c ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

40 1.4 การคณู เวกเตอร์ การนำเวกเตอร์มาคูณกันแตกต่างจากการคูณเลขทางคณิตศาสตร์เพราะต้องคูณทั้งขนาดและ ทิศทาง การคูณเวกเตอร์ แบง่ ออกเป็น 3 ประเภท คือ การคณู สเกลาร์กบั ปริมาณเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ( Dot – Product ) และ การคูณเวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ( Cross – Product ) 1.4.1 การคณู สเกลารก์ บั ปรมิ าณเวกเตอร์ การคูณวธิ นี ีเ้ ป็นการนำสเกลาร์คูณขนาดของเวกเตอร์ ผลลพั ธท์ ี่ได้จะเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีทั้ง ขนาดและทิศทาง ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดเท่ากับผลคูณของสเกลาร์กับขนาดของเวกเตอร์ ถา้ สเกลาร์มเี ครื่องหมายเป็นบวก ทศิ ทางของเวกเตอร์ผลลพั ธ์จะมีทิศทางเดิม ถา้ สเกลาร์มีเคร่ืองหมายเป็น ลบ ทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธจ์ ะมีทศิ ทางตรงข้ามกบั ทิศทางของเวกเตอรเ์ ดมิ ดงั ภาพที่ 1.26 a = 3 หนว่ ย a 2a = (2)(3) = 6 หนว่ ย 2a - 2a a - 2a = (-2)(3) = - 6 หนว่ ย ภาพท่ี 1.26 การคูณสเกลาร์กับปรมิ าณเวกเตอร์ 1.4.2 การคูณเวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ผลลพั ธเ์ ปน็ สเกลาร์ ( Dot – Product ) ไปดร้เมิ ปา็นณสaกเการลbคาูณรผ์ เสลวัญคกูณเลตักขอษอรณ์กงปับแ์ รเทวิมนกากเณตาอเรวรคกไ์ูณดเต้ผแอลบรลบ์ทัพนั้งธี้สเ์คอปอื งน็ เสป“เ็นก·สล”เากรเล์ชาเ่นปร็นซ์ กึ่งกาขารนรหคาาูณดผลขเวลอกัพงเสธตเ์ขอกอรลงก์ าับรaห์เวาdกไเoดตt้จอาbรกไ์ คดซว้ผึ่งาลเขมลียสัพนัมธพแ์เปทัน็นนธ์ ดังนี้ a  b = abcos q .................1.75 เมือ่ a และ b แทน ขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง และ q แทน มุมระหวา่ งเวกเตอรท์ ั้งสอง ตัวอย่างท่ี 14 กำหนดให้ a และ b bมีขน=าด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกัน 60° จงหา a  b วิธที ำ จากสตู ร a  ab cos q = (10)(20) cos 60° = (200)(0.50) = 100 m

41 ตัวอย่างที่ 15 ตอบ ขนาดของ Fa  Sb เท่ากับ 100 เมตร จากนิยาม W = ถ้ามีแรงไปกระทำต่อวัตถุ 20 นิวตัน ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ไปใน ทิศทางทำมุมกับแนวแรง 37° เปน็ ระยะทาง 40 เมตรFจงหSางานทเ่ี กิดขน้ึ วิธที ำ จากสตู ร W= = FS cos q = (20)(40) cos 37° = (800)(0.80) = 640 J ตอบ งานที่เกิดข้นึ เทา่ กบั 640 จูล กรณีเวกเจตาอกร์ทีน่ ำมaาคbูณกนั =เปน็aเbวกcเoตsอรqห์ นึ่งหน่วย ( ˆi ˆj และ kˆ ) ดงั นัน้ ถา้ ทำการคูณเวกเตอร์กันจะได้ ˆi · ˆi = (1)(1) cos 0° =1 ˆj · ˆj = (1)(1) cos 0° =1 kˆ · kˆ = (1)(1) cos 0° =1 ˆi · ˆj = (1)(1) cos 90° =0 ˆj · kˆ = (1)(1) cos 90° =0 kˆ · ˆi = (1)(1) cos 90° a =0 ax ˆi + ay ˆj + azkˆ เม่ือกำหนดให้ b b = bx ˆi + by ˆj + bzkˆ จะได้ a  = axbx (ˆi  ˆi) + ayby(ˆj  ˆj) + ayby (kˆ kˆ) = ดังนั้น .................1.76 a  b = (axbx ) + (ayby ) + (azbz )

42 ตัวอยา่ งที่ 16 กำหนดให้ a = 4 ˆi - 5 ˆj - 7kˆ วธิ ีทำ จงหา a  b b = 9 ˆi + 3ˆj - 2kˆ จาก a  b = (axbx ) + (ayby ) + (azbz ) = (4)(9) + (-5)(3) + (-7)(-2) = 36 -15 +14 a  b = 35 หนว่ ย มีขนาด 35 หน่วย ตอบ ตัวอย่างท่ี 17 กำหนดให้ dc = ˆi + 3kˆ วธิ ีทำ จงหา c  d = 2 ˆi + 5ˆj + 2kˆ จาก c  d = (cxdx ) + (cydy ) + (czdz ) = (1)(2) + (0)(5) + (3)(2) = 2+0+6 c  d =8 หน่วย มขี นาด 8 หนว่ ย ตอบ 1.4.3 การคณู ปริมาณเวกเตอร์ด้วยปริมาณเวกเตอร์ได้ผลลพั ธเ์ ปน็ ปริมาณเวกเตอร์ ( Cross – Product ) การคณู ปรมิ าณเวกเตอร์ด้วยปริมาณเวกเตอร์ได้ผลลพั ธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ เปน็ การคูณเวกเตอร์ ทงั้ สองและไซน์ ( sine ) ของมุมระหวา่ งเวกเตอร์ทั้งสอง ผลลพั ธ์เป็นปรมิ าณเวกเตอร์เหมือนเดิม แต่ทิศทาง cขrอoงsเsวกbเตซอง่ึรเ์ลขัพยี ธนต์ แงั้ ทฉนาไกดกเ้ ับปร็นะนaาบขbองผเวลกคเณู ตอขอร์ทงปั้งสริมอางณสเวญั กลเตกั อษรณท์ แ์้งั สทอนงกหาารไคดูณจ้ าแกบคบวนา้ีมคสอื ัมพ“ันธด์ ัง”นี้เช่น a a  b = c .................1.77 ขนาดของ c หรือ a  b หาไดจ้ าก

43 a b = ab sin q .................1.78 ซึ่งกันแลกะากรันหาแทลิศ้วทวาางงขนอิ้วงชเวี้ไปกเใตนอทริศ์ลทัพาธง์ขโอดงยใชa้มือนขิ้ววกาลในางลชักี้ตษาณมะทนิศิ้วทชาี้ งนิ้วbกลาจงะไแดล้วะ่านหิ้วัวหแัวมแ่มมือ่มชือี้ทติัศ้งฉทาากง ของ c ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ การกำมือจากเวกเตอร์แรกไปหาเวกเตอร์ที่ 2 การคูณเวกเตอร์แบบน้ี จงึ ไมส่ ามารถสลับทส่ี ำหรบั การคณู ได้ c a c bq a b ภาพท่ี 1.27 ทศิ ทางผลคณู เชิงเวกเตอร์ ( Cross – Product ) ทมี่ า https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product ( สบื ค้นเมื่อ 20 พ.ย. 2564 ) ตวั อยา่ งท่ี 18 กำหนดให้ a และ b มขี นาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกัน 30° จงหา a b วิธที ำ จากสูตร a b = ab sin q = (10)(20) sin 30° = (200)(0.50) ตอบ ขนาดของ a  b = 100 m เท่ากบั 100 เมตร ตัวอย่างที่ 19 =ลวIดตัวนBำมถีก้ารละวแดสยไาฟวฟ้2าไ0หลcmผ่านว าวงาทงอำยมู่ใุมนส3น0า° มกแับมส่เหนลา็กมแจมะ่เถหูกลแ็กรคงจวาากมสเขน้มาม5แมเท่เหสลล็กา กระทำมีค่า F เมอ่ื ผา่ นกระแส 4 แอมแปร์ เข้าไป ลFวดจะถกู=แรงกระIทำเทBา่ ไร วธิ ที ำ จากสูตร = IBsin q = (4)(0.2)(5) sin 30° = (4)(0.50) =2

44 ตอบ เกดิ แรงกระทำต่อลวด เท่ากบั 2 นิวตนั กรณีที่เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ( ˆi ˆj และ kˆ ) การคูณปริมาณเวกเตอร์ด้วยปริมาณเวกเตอร์ ได้ผลลพั ธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ ( Cross – Product ) ต้องใช้ทฤษฎีด้านคณิตศาสตร์ในเรอ่ื ง Determinant มาหาผลลัพธ์ โดยมหี ลักการ คอื คณู ลงใหม้ ีเครือ่ งหมายเปน็ บวก ( + ) คณู ขึ้น ใหม้ ีเครอ่ื งหมายเปน็ ลบ ( - ) ˆi  ˆi = 0 เพราะ sin 0° = 0 ˆj  ˆj = 0 kˆ  kˆ = 0 ˆi  ˆj = 1 (kˆ ) เพราะ sin 90° = 1 ˆj  kˆ = 1 ( ˆi ) สลบั ท่กี ารคณู มีค่าเปน็ ลบ kˆ  ˆi = 1 ( ˆj ) ถา้ ba = ax ˆi + a y ˆj + a z kˆ = bx ˆi + b y ˆj + b z kˆ เขียนในรปู Determinant จะได้ ijk i jk ax ay az ax ay az bx by bz bx by bz ค่าทางแกน x หรอื ทศิ ทาง ˆi คอื ay bz - az by ค่าทางแกน y หรือ ทศิ ทาง ˆj คอื az bx - ax bz คา่ ทางแกน z หรอื ทิศทาง kˆ คือ ax by - ay bx จะได้ a  b = [aybz - azby ] ˆi + [azbx - axbz ] ˆj + [axby - aybx ] kˆ .................1.79 และหาขนาดของ a  b จาก

45 a  b = (aybz - azby )2 + (azbx - axbz )2 + (axby - aybx )2 .................1.80 ตัวอย่างที่ 20 กำหนดให้ a = 5 ˆi + 4ˆj + 3kˆ b = -2 ˆi + 5ˆj - 6kˆ a  b และ a b จงหา วิธีทำ หา a  b เขียนในรปู Determinant i j k i jk 5 4 3 5 43 -2 5 -6 -2 5 -6 a  b = (4)(-6) - (5)(3)ˆi + (3)(-2) - (-6)(5)ˆj + (5)(5) - (-2)(4)kˆ = (-24) - (15)ˆi +(-6) - (-30)ˆj +(25) - (-8)kˆ = -39 ˆi + 24 ˆj + 33kˆ ab = (-39)2 + (24)2 + (33)2 = 1521 + 576 + 1089 = 3186 ตอบ a  b = 56.44 หน่วย และขนาดของ a  b เท่ากับ 56.44 หน่วย เทา่ กบั -39 ˆi + 24 ˆj + 33kˆ ตัวอยา่ งท่ี 21 กำหนดให้ C = 2 ˆj - kˆ จงหา CD = 3 ˆi + 2 ˆj + 4kˆ D วธิ ีทำ หา C  D เขียนในรูป Determinant i j k i jk 0 2 -1 0 2 -1 3 2 4 3 24

46 C  D = (2)(4) - (2)(-1)ˆi + (-1)(3) - (4)(0)ˆj + (0)(2) - (3)(2)kˆ = (8) + (2)ˆi + (-3) - (0)ˆj + (0) - (6)kˆ = 10 ˆi - 3 ˆj - 6kˆ CD = (10)2 + (-3)2 + (-6)2 = 100 + 9 + 36 = 145 = 12.04 หนว่ ย ตอบ CD เท่ากับ 12.04 หน่วย

47 กิจกรรมการเรยี นร้ทู ี่ 1.3 จงแสดงวธิ ีทำ B มขี นาด 20 เมตร และ 5 เมตร ทำมมุ กนั 37° จงหา 1. กำหนกด.ใหA้ A Bและ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ข. A B ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. กำหน.ก.ด....ใ.ห.A..้ .....B.AB.............==..............54...ˆˆii....+.-..7.2..ˆj.ˆ.j...+.+..3..6.k.ˆk.ˆ....................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ข........A........B............................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ค. A B ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

48 ........................................................................................................................................................... แบบฝึกหดั ทา้ ยหนว่ ยท่ี 1 จงแสดงวธิ ที ำอย่างละเอียด 1. จากภาพ จงหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ z ……………………………………………………………………………………….. A = 25เมตร x ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. 37˚53˚ ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. y ……………………………………………………………………………………….. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. จงหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไปน้ี 2.1 ax = 2 เมตร และ ay = 5 เมตร ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2.2 a = 10 ˆi + 4 ˆj ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... .2....3...........b.......=.....2...ˆi....+....4...ˆ.j....+....1..0...kˆ.................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3. x และ y เป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ท่มี ขี นาด 8 เมตร และ 4 เมตร ทำมุมกนั 60 องศา จงหา 3.1 x + y ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

49 ........................................................................................................................................................... 3.2 x - y ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... a + b ba + 4 ˆj - 2kˆ 4. กำหนดให้ = 8 ˆi - 4 ˆj + 7kˆ จงหา 4.1 = 5 ˆi ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 4.2 a + b ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... .4....3............a...-....b.................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 4.4 a - b ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 4.5 a - 2b ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

50 ........................................................................................................................................................... 5. กำหนดให้ a · b ba = 4 ˆi + 3 ˆj - 5kˆ จงหา 5.1 = 2 ˆi + 6 ˆj - 2kˆ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 5.2 a b ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 6. จงหาผลลพั ธข์ องการคูณเวกเตอร์ตอ่ ไปน้ี 6.2 ˆi · 4 ˆj = ……………… 6.4 4ˆj · (- ˆj ) = ……………… 6.1 2 ˆi · 3 ˆi = ……………… 6.3 (-2 ˆi ) · (-3kˆ ) = ……………… 6.5 2 ˆj · 4kˆ = ……………… 6.6 2 ˆi  3 ˆj = ……………… 6.7 (-5 ˆi )  2 ˆi = ……………… 6.8 (-ˆi )  3 ˆi = ……………… 6.9 (-2 ˆj )  (-2kˆ ) = ……………… 6.10 (-ˆi )  4kˆ = ………………