E-ใบความรู้หน่วยที่ 1 เวกเตอร์

เอกสารประกอบการเรียน รหสั วิชา 20000-1302 วชิ า วทิ ยาศาสตรเ์ พื่อพัฒนาอาชีพ ชา่ งอตุ สาหกรรม หลักสูตรประกาศนยี บตั รวิชาชีพพุทธศกั ราช 2562 หนว่ ยที่ 1 เรอื่ ง เวกเตอร์ ธัญพร พุ่มพวง ครูชำนาญการพิเศษ วิทยาลัยเทคนิคลพบุรี สำนักงานคณะกรรมการการอาชวี ศึกษากระทรวงศกึ ษาธกิ าร

45 ใบความรู้ หน่วยที่ 1 เร่อื ง เวกเตอร์ แนวคดิ ปริมาณทางวิทยาศาสตร์ แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งปริมาณสเกลาร์ เป็นปริมาณที่บอกเฉพาะขนาดเท่าน้ัน เช่น ระยะทาง ความดัน ปริมาตร เป็นต้น และ ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว น้ำหนัก เป็นต้น ดังนั้น การคำนวณค่าต่าง ๆ เช่น การบวก ลบ หรอื คณู จงึ ต้องใชว้ ิธกี ารของเวกเตอร์เท่านัน้ และเคร่ืองหมายบวก ลบ ในปริมาณเวกเตอร์ เป็นการบอกทิศทาง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีเครื่องหมายเหมือนกันแสดงถึงทิศทาง ไปในทางเดยี วกนั และปริมาณเวกเตอร์ทม่ี เี ครอื่ งหมายต่างกันแสดงถงึ ทศิ ทางตรงข้ามกัน หัวข้อการเรยี นรู้ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ 1.2 ประเภทของเวกเตอร์ 1.3 เวกเตอร์องคป์ ระกอบ 1.4 การรวมเวกเตอร์ 1.5 การคูณเวกเตอร์ จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม 1. ผเู้ รียนบอกความหมายของเวกเตอร์ได้อยา่ งถูกต้อง 2. ผูเ้ รยี นยกตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์ได้อยา่ งถูกตอ้ ง 3. ผเู้ รยี นจำแนกประเภทของเวกเตอรไ์ ดอ้ ย่างถูกต้อง 4. ผเู้ รยี นหาเวกเตอร์องค์ประกอบและขนาดของเวกเตอร์ได้อยา่ งถูกต้อง 5. ผูเ้ รียนวเิ คราะห์หาผลลพั ธ์ของการรวมเวกเตอร์ได้อยา่ งถกู ต้อง 6. ผู้เรยี นคำนวณหาผลลพั ธ์ของการคณู เวกเตอร์ไดอ้ ย่างถกู ต้อง

46 ปริมาณต่าง ๆ ที่ใช้ในชีวิตประจำวัน เช่น มวล น้ำหนัก ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง เวลา อุณหภูมิ ฯลฯ เป็นต้น ปริมาณเหล่านี้บางอย่างบอกขนาดเพียงอย่างเดียวก็ให้ความหมายที่สมบูรณ์ บางอย่างต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมายที่สมบูรณ์ สามารถแบ่งปริมาณออกเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) และปริมาณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) ปริมาณสเกลาร์ เป็นปรมิ าณที่บอกเฉพาะขนาดเพียงอยา่ งเดียวสามารถให้ความหมายที่สมบูรณ์ได้ เชน่ วตั ถุมมี วล 10 กิโลกรมั รถยนตใ์ ช้เวลาในการเคลื่อนที่ 5 วนิ าที วตั ถมุ ปี ริมาณ 20 ลกู บาศก์เซนติเมตร เปน็ ต้น การหาผลลพั ธ์ของปรมิ าณสเกลาร์ทำได้โดยอาศัยหลักทางพีชคณิต คือ ใช้วิธกี ารบวก ลบ คูณ หาร แต่บางปริมาณต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจงึ จะให้ความหมายท่สี มบูรณ์ ในหน่วยน้จี ะกล่าวถงึ ความหมาย ของปริมาณเวกเตอร์ ประเภทของเวกเตอร์ เวกเตอรอ์ งค์ประกอบ การรวมเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) เปน็ ปริมาณทบ่ี อกทงั้ ขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมาย ที่สมบูรณ์ เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม เป็นต้น การบอกปริมาณเวกเตอร์จะบอกเป็นตัวเลข พร้อมกับหนว่ ยและทิศทาง ดังภาพท่ี 1.1 v = 20 m/s N ภาพท่ี 1.1 ความเรว็ ของรถยนตท์ ีบ่ อกท้งั ขนาดและทศิ ทาง ปริมาณเวกเตอร์สามารถเขยี นแทนดว้ ยลูกศร โดยให้ความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ ทิศทางของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ ความยาวของลูกศรที่แทนขนาดของเวกเตอร์นั้นจะต้อง มีความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดไว้ในแต่ละครั้ง เช่น เวกเตอร์ A มีขนาดเท่ากับ 3 หน่วย มีทิศทาง ไปทางทศิ เหนือ เวกเตอร์ B มีขนาดเทา่ กบั 4 หนว่ ย มที ศิ ทางไปทางทศิ ตะวนั ออก ดงั ภาพ 1.2

47 A B N ภาพที่ 1.2 การใชล้ ูกศรแทนปรมิ าณเวกเตอร์ นอกจากนี้ เรายังสามารถเขียนตัวอักษรแทนเวกเตอร์ได้โดยเขียนตัวอักษรที่มีความหนากว่า เแตชตัวน่ ่บอนักAหษัวรหตปรัวือกอตกั Aิ ษเชรอน่นา่ นั้นAจวา่ะหมเวรีลกือูกเศตvรอกอรำ์่าAกนบั แวบล่านะเตจวัวะกอใเชักตต้ ษอัวรรอน์ กั Aน้ั ษรแออลายะจ่าเปงเวเน็ ดกลยี เูกวตศแอรทรเน์ตvข็มนรหูปารดแือขบออบางจเเวเชกข่นเียตนอAไรด์ ห้ดร้วือยลอูกักศษรครรป่ึงกซตีกิ 1.2 ประเภทของเวกเตอร์องคป์ ระกอบ เวกเตอร์สามามารถแบ่งได้ 6 ประเภท ไดแ้ ก่ เวกเตอรอ์ ิสระ เวกเตอร์เล่อื น เวกเตอรค์ งท่ี เวกเตอร์ ตำแหนง่ เวกเตอรน์ ิเสธ และเวกเตอร์ศูนย์ 1.2.1 เวกเตอร์อิสระ ( Free vector ) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทางเท่าเดิม สามารถ เปลย่ี นไปอยูใ่ นตำแหนง่ ใดๆ ได้ ดังภาพ 1.3 y A A x ภาพท่ี 1.3 เวกเตอรอ์ สิ ระบนพกิ ดั ฉาก 2 มิติ 1.2.2 เวกเตอร์เลอ่ื น ( Sliding vector ) คอื เวกเตอร์ทม่ี ขี นาดและทศิ ทางทแ่ี น่นอนเหมอื นเดิม ตลอดโดยไมม่ กี ารเปล่ียนแปลง ดังภาพ 1.4 A x A ภาพท่ี 1.4 เวกเตอร์เลอื่ นบนพิกดั ฉาก 2 มิติ

48 1.2.3 เวกเตอร์คงท่ี ( Fixed vector ) คือ เวกเตอร์ที่มีตำแหน่งที่แน่นอน โดยมีจุดที่แสดง ตำแหนง่ ของเวกเตอร์ ดงั ภาพท่ี 1.5 Ax ภาพท่ี 1.5 เวกเตอร์คงท่ี ถ้าเวกเตอร์คงที่เปน็ แรง F ที่มากระทำต่อวัตถุ การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของแรงจะมีผลต่อการ เปลี่ยนแปลงรปู รา่ งของวัตถุ ดงั ภาพท่ี 1.6 FF ภาพท่ี 1.6 การเปลย่ี นแปลงรปู รา่ งของวัตถุจากการเปลี่ยนตำแหนง่ ของแรง F 1.2.4 เวกเตอร์ตำแหน่ง ( Position vector ) คือ เวกเตอร์ที่มีระบุจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย เทียบกับจุดใดจดุ หนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง เช่น เวกเตอร์ A เป็นเวกเตอรต์ ำแหน่งที่มีจดุ ริม่ ต้นทีจ่ ุด O (0,0) และจดุ สดุ ทา้ ยที่จุด P (x,y) บนพกิ ดั ฉาก 2 มิติ ดังภาพที่ 1.7 y P (x,y) A x O (0,0) ภาพที่ 1.7 เวกเตอร์ตำแหนง่ บนพกิ ัดฉาก 2 มิติ

49 1.2.5 เวกเตอร์นิเสธ ( Negative of vector ) คือ เวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศ ทางตรงข้ามกนั ดังภาพ 1.8 −A A ภาพท่ี 1.8 เวกเตอรน์ เิ สธ เนื่องจากเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันและมีทิศทางไปทางเดียวกัน จะแทนทิศทางของเวกเตอร์ด้วย เครือ่ งหมายบวก ( + ) และเวกเตอร์ทมี่ ีขนาดเทา่ กันแต่ทศิ ทางตรงข้ามกัน จะแทนทศิ ทางของเวกเตอร์ด้วย เครือ่ งหมายลบ ( - ) จงึ กลา่ วได้ว่า A เป็นเวกเตอร์บวก และ −A เปน็ เวกเตอรล์ บ 1.2.6 เวกเตอร์ศูนย์ ( Zero vector ) คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายเป็นจุดเดียวกันหรือ เวกเตอร์ทม่ี ีขนาดเทา่ กับศนู ย์ ซ่ึงมีทศิ ทางไปทางใดกไ็ ด้ 1.3 เวกเตอร์องค์ประกอบ ( Components of vector ) เวกเตอร์องค์ประกอบ คือ เวกเตอร์ย่อย ๆ ที่นำมารวมกันแล้วเท่ากับเวกเตอร์หลัก สามารถหาเวกเตอรอ์ งค์ประกอบได้หลายวิธี ในทน่ี จี้ ะกลา่ วเฉพาะการหาเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน พกิ ดั ฉาก 2 มิตเิ ท่านั้น เมื่อเวกเตอร์อยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy ระนาบ xz หรือระนาบ yz การหา เวกเตอร์องค์ประกอบ ทำได้โดยการหาเวกเตอร์ย่อยจากการแยกเวกเตอร์ไปในแนวแกนแต่ละแกน A x บนระนาบนัน้ ๆ เช่น ในระนาบ xy แยกเวกเตอร์ A ให้เปน็ เวกเตอร์ย่อยบนแกน x ได้ และเป็นเวกเตอร์ ยอ่ ยบนแกน y ได้ Ay ดงั ภาพ 1.9

50 zz A y Aq A x x A y A x x y A y Aq y ก. ข. ภาพที่ 1.9 เวกเตอร์ A ทำมุม q กับแกน x ในระนาบ xy จากภาพ 1.9 แยกเวกเตอร์ A เป็น A xA และ Ay Aดังxนแั้นละเมื่อAนyำมAารxวมแกลนั ะโดAยyกามราเขรวียมนกรปูันจจะะไไดด้้ ผลลัพธเ์ ท่าเดมิ คือ A เนือ่ งจาก A x ต้ังฉากกบั y เมื่อนำ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากดงั ภาพ 1.9 ข. ดังน้ัน cos q = Ax A Ax = A cos q .................1.1 sin q = Ay A Ay = A sin q .................1.2 ฉะนั้นถ้าเวกเตอร์ที่ต้องการแยกทำมุม q กับแนวแกนอ้างอิงใด ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ หรือเวกเตอร์ย่อยในแนวแกนอ้างอิงนั้นจะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ที่จะแยกกับ cos q ส่วนเวกเตอร์ย่อยอีกเวกเตอร์หนึ่งที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ย่อยแรก จะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ ที่จะแยกกับ sin q เวกเตอรย์ ่อยทีแ่ ยกให้ตั้งฉากกันบนแกน x และแกน y เมื่อรวมกันจะไดผ้ ลลัพธ์เท่ากับ เวกเตอร์ทต่ี ้องการแยก

51 z A y q A A x x y ภาพท่ี 1.10 เวกเตอร์ A ทำมุม q กับแกน y ในระนาบ xy เมอ่ื เวกเตอร์ A ทำมุม q กบั แกน y ในระนาบ xy จะไดเ้ วกเตอรอ์ งค์ประกอบดังนี้ Ax = A sin q .................1.3 จากภาพ 1.10 ขนาดของ A x Aแลy ะ= AAy cos q 4 หนว่ ย และ 3 .................1.4 เทา่ กับ หนว่ ยตามลำดบั ตัวอย่างที่ 1 เวกเตอร์ A อยใู่ นระนาบ xy มีขนาด 20 เมตร ทำมมุ 37 องศา กบั แนวราบ ( แกน x ) จงหา ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x และ y วิธีทำ เขยี นเวกเตอรไ์ ดด้ ังน้ี y y Ax Ay A Ay A A y 37˚ A x x 37˚ A x x จากสมการ 1.1 Ax = A cos q = 20 cos 37° = 16 m และจากสมการ 1.2 Ay = A sin q = 20 sin 37° = 12 m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x เทา่ กบั 16 เมตร และในแนวแกน y เทา่ กบั 12 เมตร

52 ตัวอย่างท่ี 2 เวกเตอร์ B อยู่ในระนาบ xy มีขนาด 10 เมตร ทำมุมกับแนวราบ 127 องศา จงหาขนาดของ เวกเตอร์ B ในแนวแกน x และ y วธิ ีทำ เขียนรูปเวกเตอร์ไดด้ ังนี้ yy Bx B By B By Bx 127˚ 37˚ x x จากสมการ 1.1 Bx = -B sin 37° = (-10)(0.60) = -6 m และจากสมการ 1.2 By = B cos 37° = (10)(0.80) = 8m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน x เทา่ กบั 6 เมตร มีทศิ ไปทางซา้ ย และขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน y เทา่ กับ 8 เมตร

53 กจิ กรรมการเรียนรทู้ ่ี 1.1 1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปน้ี โดยใช้ลกู ศรแทนปรมิ าณเวกเตอร์ 1.1 สมหญงิ เดินไปทางทศิ ตะวนั ออกไดก้ ารกระจดั 300 เมตร 1.2 สมชายออกแรงดนั กลอ่ ง 50 นิวตนั 1.3 รถยนตก์ ำลังเคลอ่ื นท่ีไปทางทศิ ตะวันตก ด้วยความเรว็ 80 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง 1.4 ลูกแอปเปิ้ลกำลังตกจากตน้ 1.5 กล่องกำลงั ไถลลงจากพื้นเอยี ง มมุ 30 องศา 30°

54 2. จงหาขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ตอ่ ไปนี้ 2.1 y …………………………………………………………………………… c …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… x 2.2 y …………………………………………………………………………… x …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… d …………………………………………………………………………… .…………………….…………………………………………………… 2.3 y …………………………………………………………………………… a = 20 m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 37˚ x …………………………………………………………………………… 2.4 y ……………………………………………………………………………  b = 20 m …………………………………………………………………………… 60˚ …………………………………………………………………………… x …………………………………………………………………………… 2.5 y x …………………………………………………………………………… 30° …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

55 1.4 การรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ เป็นการรวมทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ย่อยที่นำมารวม ซึ่งแตกต่าง จากการรวมในทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป การรวมเวกเตอร์แบ่งเป็น 2 วิธี คือ การรวมโดยการเขียนรูป และการรวมโดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ 1.4.1 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขยี นรูป การรวมเวกเตอร์ทำได้โดยเขียนลูกศรเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นนำหางลูกศรของเวกเตอร์ ที่นำมารวมต่อกับหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวตั้ง ซึ่งการเขียนลูกศรแทนเวกเตอร์ต้องแทนทั้งขนาดและ ทิศทางแล้วทำลักษณะเดียวกันนี้จนครบเวกเตอร์ที่ต้องการนำมารวม เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จากลูกศร ที่ลากจากหางเวกเตอร์ตัวตั้งถึงหัวเวกเตอร์ที่รวมตัวสุดท้าย ความยาวที่ได้เป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ และมีทิศทางจากหางของเวกเตอร์ตัวต้ังไปยังหัวของเวกเตอร์ตัวรวมตัวสุดท้าย ดงั ภาพที่ 1.11 a b c d b a c e= (a+ b+ c+ d) d ภาพท่ี 1.11 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขียนรูป เวกเตอร์ 2 เเชวน่กเต- Aอรเ์ทปี่มน็ ีขเวนกาเดตเอทร่าท์ ก่ีมันขี นจาะดแเททน่าทกับิศทAางขแอตงม่ เทีวกศิ เทตาองรต์ดรง้วกยันเคขร้าื่อมงหดมงั ภายาพบทวก่ี 1.(1+2 ) และ เครอื่ งหมายลบ ( - ) A - A - B B ภาพที่ 1.12 เวกเตอร์บวกและเวกเตอร์ลบ การลบเวกเตอร์ ทำได้ในวธิ ีเดียวกันกับการรวมเวกเตอร์ แต่ให้กลับทศิ ทางของเวกเตอร์ตวั ลบ

56 ตัวอยา่ งที่ 3 จากภาพ จงหาผลรวมของ a − b − c + d โดยกำหนดให้ a b c d วิธีทำ ใชห้ ลกั การหางต่อหัว d - c - b a e= (a- b- c+ d) q ตอบ ตัวอยา่ งที่ 4 จากภาพ จงหาผลรวมของ A + B + C โดยการเขยี นรปู A B C 60˚ วธิ ที ำ ใชห้ ลกั การหางต่อหัว B A 60˚ ตอบ C R =A +B +C

57 การรวมเวกเตอร์โดยการเขียนรูปกรณเี ปน็ เวกเตอร์ 2 เวกเตอรท์ ำมมุ ใด ๆ กนั ผลรวมของเวกเตอร์ แบ่งได้ 4 กรณี ดงั น้ี 1ก.ำหเนวกดเใตหอ้ รAท์ ำแมลมุ ะกันB 0 องศา 0° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางไปทางเดียวกัน เขียนรูปการรวม ทำมุมกัน เวกเตอร์ ดังภาพที่ 1.13 A B A B R ภาพท่ี 1.13 การรวมเวกเตอร์กรณเี วกเตอร์ทำมมุ กนั 0° จากภาพ จะได้เวกเตอร์ลัพธ์ R = A + B R = A + B ( นำขนาดของเวกเตอร์มาบวกกนั ) .................1.5 ก2.ำหเนวกดเใตหอ้ รAท์ ำแมลุมะกันB1ท80ำมอุมงกศันา 180° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกันเขียนรูปการรวม เวกเตอร์ ดังภาพท่ี 1.14 A 180˚ B A B R ภาพท่ี 1.14 การรวมเวกเตอร์กรณเี วกเตอร์ทำมุมกนั 180° จากภาพ จะได้เวกเตอร์ลัพธ์ R = A + B R = A - B ( นำขนาดของเวกเตอรม์ าลบกนั ) .................1.6

58 3ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ แำลมะุมกBนั 90 องศา เขียนรปู การรวมเวกเตอร์ ดังภาพที่ 1.15 ทำมุมกนั 90° B R B A q A ภาพท่ี 1.15 การรวมเวกเตอรก์ รณเี วกเตอรท์ ำมุมกนั 90° จากภาพ จะได้เวกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การรวมเวกเตอร์จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นการหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้จาก หลักทฤษฏพี ีทาโกรัส จะได้ R2 = A2 + B2 R = A2 + B2 .................1.7 การหาทิศทางของเวกเตอรล์ ัพธใ์ ช้หลักตรีโกณมิติ จะได้ tan q = B .................1.8 A 4ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ ำแมลมุะกBนั q เขียนรปู การรวมเวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.16 ทำมุมกนั q B R =(A +B) B q A a A q ภาพที่ 1.16 การรวมเวกเตอรก์ รณเี วกเตอรท์ ำมมุ กนั q จากภาพ จะไดเ้ วกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การคำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ อาศัยการสร้างให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้น โดยลากเพิ่มเติม บางส่วน นน่ั คือ X และ Y ดงั ภาพท่ี 1.17

59 R B Y B Y a A q q ก. X X ข. ภาพที่ 1.17 การสร้างสามเหลีย่ มมมุ ฉากจากเวกเตอร์ทำมุมกนั q จากภาพ 1.17 ข. จะได้ B2 = X2 + Y2 sin q = Y cos q = B X B จากภาพ 1.17 ก. ตามทฤษฎพี ที าโกรัส จะได้ R2 = ( A + X )2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + X2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + B2 R2 = A 2 + B2 + 2AB cos q ดงั นน้ั R = A 2 + B2 + 2AB cos θ .................1.9 การหาทศิ ทางเวกเตอรล์ พั ธ์ จากตรีโกณมิติ Y tan a = A+X = B sin θ A + B cos θ ดงั น้ัน ทิศทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ tan a = B sin θ .................1.10 A + B cos θ

60 กำหนดให้ A และ B ทำมมุ กนั q เขยี นรปู การลบเวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.18 B A q A aq q - B 180˚- q R = (A − B) - B R ภาพที่ 1.18 การลบเวกเตอร์ จากภาพ 1.18 เวกเตอร์ - B จะทำมุม 180° - q เพราะ B กบั - B ทิศทางตรงขา้ มกนั เมือ่ แทนค่า q คา่ ของ cos (180° - q) = - cos q และ ค่าของ sin (180° - q) = sin q จากสมการที่ 1.9 แทนคา่ มมุ 180° - q จะได้ R = A2 + B2 + 2AB cos 180 - θ = A2 + B2 + 2AB (-cos θ ) R = A2 + B2 - 2AB cos θ .................1.11 ทิศทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ หาได้จาก แทนค่ามมุ 180° - q ในสมการท่ี 1.10 จะได้ tan a = B sin 180 - θ = A + B cos180 - θ B sin θ A + B (-cos θ) tan a = B sin θ .................1.12 A - B cos θ

61 ตัวอย่างที่ 5 เวกเตอร์ a และ b กระทำต่อกันด้วยมุม 60 องศา โดยเวกเตอร์ทั้งสองมขี นาด 30 และ 50 หน่วย ตามลำดบั จงหาขนาดของ a + b วิธที ำ จากโจทยเ์ ขียนรูปได้ดงั น้ี b R = (a +b) b 60˚ a a 60˚ จากสตู ร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 302 + 502 + 2(30)(50) cos 60 = 302 + 502 + 2(30)(50)(0.50) = 4900 = 70 ตอบ ขนาดของผลบวกเทา่ กบั 70 หนว่ ย ตัวอย่างที่ 6 ชายคนหนึ่งเดินจากจุดหนึ่งไปทางทิศตะวันออก 50 เมตร ต่อจากนั้นเดินต่อไปทางทิศ ตะวันออกเฉยี งเหนอื อีก 40 เมตร จงหาวา่ เขาจะอยหู่ า่ งจากจดุ ตัง้ ต้นเทา่ ไร วธิ ที ำ จากโจทยจ์ ะได้ว่า a = เดินไปทางทศิ ตะวันออก 50 เมตร b = เดนิ ไปทางทิศตะวนั ออกเฉยี งเหนอื 40 เมตร q = 45° (ทศิ ตะวนั ออกทำมมุ กบั ทศิ ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ) จากสตู ร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 502 + 402 + 2(50)(40) cos 45 = 502 + 402 + 2(50)(40)(0.71) = 6940 = 83.31 m ตอบ เขาหา่ งจากจดุ ต้ังต้น 83.31 เมตร

62 1.4.2 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการวเิ คราะห์เวกเตอร์ เมือ่ มเี วกเตอร์หลายเวกเตอร์ทำมมุ กัน การหาผลรวมของเวกเตอร์ทำได้โดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ เป็นการแยกเวกเตอรอ์ อกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบ หรอื เวกเตอรย์ ่อยที่ต้งั ฉากกัน ถา้ เป็นเวกเตอร์ 2 มิติ จะได้ 2 เวกเตอร์องค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน และถ้าเป็นเวกเตอร์ 3 มิติ จะได้ 3 เวกเตอร์องค์ประกอบ ที่ตั้งฉากกัน ขั้นตอนตอ่ ไปเป็นการรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวเดียวกนั เมื่อนำเวกเตอร์องคป์ ระกอบ มารวมกนั จะได้ผลลพั ธเ์ ทา่ กับเวกเตอร์หลกั หรอื เวกเตอรท์ ่ถี กู แยก ดงั ภาพที่ 1.19 B A y B By = B sin q2 A A y = A sin q1 q2 q1 Bx = -B cos q2 q2 q1 x A cosCqx1= -C sin q3 q3 A x = A cos q1 C q3 C Cy = -C cos q3 ก. ข. ภาพท่ี 1.19 การรวมเวกเตอร์หลายเวกเตอร์ 2 มิติ เมือ่ มเี วกเตอร์หลายเวกเตอร์ทำมมุ กัน 2 มติ ิ ดงั ภาพที่ 1.19 สามารถหาผลรวมของเวกเตอร์ได้โดย ใช้หลักการดงั น้ี (1) ต้งั พกิ ดั ฉาก x และ y ตรงจุดตดั ของเวกเตอร์ ดังภาพที่ 1.19 ข. (2) แยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบหรือเวกเตอร์ย่อยที่ตั้งฉากกัน ซึ่งจะได้เวกเตอร์ องค์ประกอบในแนวแกน x และเวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน y จากภาพท่ี 1.19 ข. จะไดเ้ วกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน x ดังนี้ คิดที่ A จะได้ คดิ ที่ B จะได้ A x = A cos q1 .................1.13 คิดท่ี C จะได้ Bx = -B cos q2 .................1.14 Cx = -C sin q3 .................1.15 เวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน y A คิดที่ B จะได้ A y = A sin q1 .................1.16 คดิ ท่ี C จะได้ By = B sin q2 .................1.17 คิดท่ี จะได้ Cy = -C cos q3 .................1.18 องคป์ ระก(3อ)บใรนวแมนเววกแเกตนอรx์อคงือค์ปรRะกx อแบลใะนผแลนรววเมดขียอวงกเันวกจเตะอไดร้์อ2งคเวป์ กรเะตกออรบท์ ใี่ตนั้งแฉนาวกแกกันนผyลรควอื มขอRงyเวกเตอร์

63 คดิ ทแ่ี นวแกน x  Rx = A x + Bx + Cx .................1.19 .................1.20 Rx = Ax+ Bx+ Cx แทนคา่ สมการ 1.13 1.14 และ 1.15 ลงในสมการ 1.20 Rx = A cos q1 + (-B cos q2) + (-C sin q3) ดงั น้นั  RRxy = AA cos qB1y- B cCoys q2 - C sin q3 .................1.21 คดิ ทแ่ี นวแกน y  = y+ + .................1.22 .................1.23 Ry = Ay+ By + Cy แทนค่า สมการ 1.16 1.17 และ 1.18 ลงในสมการ 1.23 Ry = A sin q1 + B sin q2 + (-C cos q3) ดงั นั้น Ry = A sin q1 + B sin q2 - C cos q3 .................1.24 (4) หาผลรวมของเวกเตอร์ โดยคดิ เสมือนว่าผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x และ ผลรวมขอเมง่ือเวกเตRอร์อเปงคน็ ์ปเวรกะเกตออบรใ์ลนัพแธน์ วแกน y เป็นเวกเตอรใ์ หม่ 2 เวกเตอร์ ซ่งึ ต้งั ฉากกนั ซงึ่ จะได้ว่า  R =  Rx +  Ry .................1.25 ดงั น้นั R = ΣR 2 + ΣR2y .................1.26 x yy Ry R R Ry a Rx x Rx a x ก. y y ข. Rx ax xa Rx R Ry Ry R ค. ง. ภาพที่ 1.20 เวกเตอร์ลพั ธ์  R 2 มติ ิ

64 1ดแ.ลัง2ภะ0ากพรขณท. จก่ีที 1ารส่ี.กณ2่ี ภ0ีทาRกี่สพx.าทมกมี่ ร1คีณ.2า่ Rีทเ0ปxส่ี น็กอมรบงีคณว่ากีแเRปรแxก็นลละมบคี R่าแRเxปลyะ็นมมลีคีคบ่าา่ Rเเปแปyล็น็นมะลบีคบ่วาเกปRจะแ็นyไลมลดะคีบเ้ วา่จกเปRะเต็นไyอดบมร้เววีค์ลกก่าัพเเจธตป์ะอ็นไรดบR์ล้เววัพกกดธเังจ์ตภะอาไRรพด์ล้เทพัวด่ีกังธ1เภ์.ต2าอ0พRรงท์ล.ดี่ัพ1งั ธ.ภ2์ า0พคRท.ี่ การหาทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ สามารถหาไดจ้ าก tan a = ΣR y .................1.27 ΣR x ตวั อยา่ งท่ี 7 จากภาพ จงหาขนาดของ a + b + c b=4m a = 5 m 53˚ 37˚ c = 3 m วธิ ที ำ จากภาพ หาขนาดของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบของแต่ละเวกเตอรใ์ นแนวแกน x และ y ax = a cos 37° b x = b cos 53° cx = 0 m = (5)(0.80) = (-4)(0.60) = 4m = -2.4 m ay = a sin 37° by = b sin 53° c y = -3 m = (5)(0.60) = (4)(0.80) = 3m = 3.2 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน x Rx = 4 + (-2.4) + 0 = 1.6 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y Ry = 3 + 3.2 + (-3) = 3.2 m

65 หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ R= ΣR 2 + ΣR2y = x (1.6)2 + (3.2)2 = 2.56 + 10.24 = 12.8 = 3.58 m ตอบ เวกเตอรล์ พั ธ์ เทา่ กับ 3.58 เมตร

66 ใบกิจกรรมการทดลองท่ี 1.1 การรวมเวกเตอร์ จุดมงุ่ หมาย สามารถรวมเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอร์ลพั ธ์ไดโ้ ดยการเขียนรปู เวลาท่ใี ช้ 2 ชว่ั โมง อปุ กรณ์ รายการ จำนวน 1 อนั 1. ไม้โปรแทรกเตอร์ 1 แทง่ 2. ดินสอ กิจกรรม ตอนท่ี 1 บวกเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอรล์ พั ธ์ได้โดยการเขียนรปู 1. กำหนABCดใหมมม้ ีขีขขี นนนาาาดดด 2 หน่วย ในแนวระนาบ 2 หน่วย ทำมุม 60 องศากบั แนวราบ 3 หนว่ ย ทำมมุ 90 องศากบั แนวราบ 2. เขยี นเวกเตอร์ A BAแ+ลBะ +CCตาดม้วขยนวาิธดีกแาลระเทขิศียทนารงูปท่ีกโำดหยนเขดียนเวกเตอร์ A จากนั้นเขียน หาเวกเตอร์ลัพธ์จาก เวกเตอร์ B โดยนำหางของเวกเตอร์ B มาต่อหัวของเวกเตอร์ A และเขียนเวกเตอร์ C โดยนำหางของ เวกเตอร์ C มาต่อหัวของเวกเตอร์ B 3. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ โดยลากเสน้ ตรงเชือ่ มตอ่ ระหวา่ ง หางของเวกเตอร์ C มายงั หัวของเวกเตอร์ A วดั ความยาวของเสน้ ตรงเป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์และมที ศิ ทางจากหางเวกเตอร์ A ไปยงั หวั ของเวกเตอร์ C A + B B + C 4. หาขนาดและทิศทางของเวกเตอรล์ ัพธจ์ าก และ ดว้ ยวธิ ีการคำนวณ ตอนที่ 2 ลบเวกเตอร์และหาเวกเตอร์ลพั ธ์ไดโ้ ดยการเขยี นรปู 1. กำหนACBดใหมมม้ ีขีขีขนนนาาาดดด 2 หน่วย ในแนวระนาบ 2 หนว่ ย ทำมุม 60 องศากบั แนวราบ 3 หน่วย ทำมมุ 90 องศากบั แนวราบ เขียนเวกเตอรล์ บ A เวกเตอรล์ บ B และ C ตามขนาดและทิศทางทกี่ ำหนด

67 2. หาเวกเตอร์ลัพธจ์ าก A - B - C ดว้ ยวธิ กี ารเขียนรูป โดยเขยี นเวกเตอร์ A จากนั้นเขียนเวกเตอร์ ลบ B โดยนำหางของเวกเตอร์ลบ B มาต่อหัวของเวกเตอร์ A และเขียนเวกเตอร์ลบ C โดยนำหางของ เวกเตอร์ลบ C มาตอ่ หัวของเวกเตอร์ลบ B 3. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ โดยลากเสน้ ตรงเชอ่ื มต่อระหว่าง หางของเวกเตอร์ลบ C มายังหัวของเวกเตอร์ A วัดความยาวของเส้นตรงเป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์และมีทิศทางจากหาง เวกเตอร์ A ไปยังหัวของเวกเตอร์ลบ C A - B และ B - C ดว้ ยวธิ ีการคำนวณ 4. หาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธจ์ าก บนั ทึกผลกิจกรรม ตอนที่ 1 ผลรวมเวกเตอร์และหาเวกเตอร์ลพั ธ์ได้โดยการเขยี นรปู เวกเตอร์ A เวกเตอร์ B เวกเตอร์ C เวกเตอร์ลพั ธจ์ าก A + B + C A +ขBนาดและทศิ ทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ ดว้ ยวิธกี ารคำBน+วณC

68 ตอนที่ 2 ผลลบเวกเตอรแ์ ละหาเวกเตอร์ลัพธไ์ ดโ้ ดยการเขยี นรปู เวกเตอร์ลบ A เวกเตอร์ลบ B เวกเตอร์ลบ C เวกเตอร์ลพั ธ์จาก A - B - C A - Bขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ ด้วยBวธิ -ีกCารคำนวณ สรุปผลกจิ กรรม .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................

69 คำถามท้ายกิจกรรม 1. การบวกหรอื ลบเวกเตอรโ์ ดยการเขียนรปู มีขั้นตอนอย่างไรบ้าง .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... 2. จากกิจกรรมตอนท่ี 1 จงหาเวกเตอรล์ ัพธ์ของ A + B - C โดยการวาดรูป .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................

70 กิจกรรมการเรยี นรู้ที่ 1.2 1. จากภาพ จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ของ a + b + c โดยการเขียนรูป 1.1 b a c 1.2 a 37˚ c b 2. จากภาพ จงคำนวณหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธต์ ่อไปนี้ A = 3 เมตร C = 4 เมตร เมตร B = 5 เมตร 6  = E D = 4 เมตร 60˚ 2.1 A + B + D ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

71 2.2 A - D ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.3 C.....+.....D...................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.4 D.....+.....E...................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 2.5 D......-...E....................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3. กำหนดให้ ax = 3 เมตร และ ay = 4 เมตร จงหาขนาดของเวกเตอร์ a ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

72 1.5 การคณู เวกเตอร์ การนำเวกเตอร์มาคูณกันแตกต่างจากการคูณเลขทางคณิตศาสตร์เพราะต้องคูณทั้งขนาดและ ทิศทาง การคูณเวกเตอร์ แบ่งออกเปน็ 3 ประเภท คอื การคูณสเกลาร์กับปรมิ าณเวกเตอร์ การคณู เวกเตอร์ กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ( Dot – Product ) และ การคูณเวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ( Cross – Product ) 1.5.1 การคณู สเกลารก์ ับปริมาณเวกเตอร์ การคูณวธิ นี ้ีเปน็ การนำสเกลาร์คณู ขนาดของเวกเตอร์ ผลลพั ธ์ท่ไี ดจ้ ะเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ คือมีท้ัง ขนาดและทิศทาง ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดเท่ากับผลคูณของสเกลาร์กับขนาดของเวกเตอร์ ถา้ สเกลาร์มเี ครื่องหมายเปน็ บวก ทิศทางของเวกเตอร์ผลลพั ธจ์ ะมีทิศทางเดิม ถา้ สเกลาร์มเี คร่ืองหมายเป็น ลบ ทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธจ์ ะมีทศิ ทางตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอรเ์ ดิม ดังภาพที่ 1.22 a = 3 หน่วย a 2a = (2)(3) = 6 หน่วย 2a - 2a a - 2a = (-2)(3) = - 6 หน่วย ภาพที่ 1.22 การคูณสเกลาร์กับปริมาณเวกเตอร์ 1.5.2 การคูณเวกเตอร์กบั เวกเตอรไ์ ดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ สเกลาร์ ( Dot – Product ) ปไดร้เิมปา็นณสaกเการลbคารูณผ์ เสลวัญคกูณเลตักขอษอรณงก์ ปับ์แรเทวิมนกากเณตาอเรวรคกไ์ูณดเตแผ้ อบลรลบ์ทพันั้งธี้ส์เคอปือง็นเสป“เ็นก·สล”เากรเลช์ าเน่ ปร์็นซกึ่งกาขรานหรคาาูณผดลขเวลอกัพงเสธตเ์ขอกอรลงก์ าบัรaห์เวาdกไเoดตt้จอาbรกไ์ คดซว้ผึ่งาลเขมลียสัพนัมธพแ์เปทัน็นนธ์ ดังนี้ a  b = abcos q .................1.28 เมื่อ a และ b แทน ขนาดของเวกเตอร์ทัง้ สอง และ q แทน มมุ ระหว่างเวกเตอร์ทัง้ สอง ตัวอย่างที่ 8 กำหนดให้ a และ b มีขนาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมมุ กนั 60° จงหา a  b วิธีทำ จากสูตร a  b = ab cos q = (10)(20) cos 60° = (200)(0.50) ตอบ ขนาดของ a  b = 100 m เทา่ กับ 100 เมตร

73 ตวั อยา่ งที่ 9 จากนยิ าม W = F  S ถ้ามแี รงไปกระทำตอ่ วตั ถุ 20 นิวตัน ทำให้วัตถเุ คล่อื นท่ีไปในทิศทาง ทำมมุ กับแนวแรง 37° เป็นระยะทาง 40 เมตร จงหางFานทSเ่ี กดิ ขนึ้ วิธที ำ จากสูตร W = = FS cos q = (20)(40) cos 37° = (800)(0.80) = 640 J ตอบ งานทีเ่ กิดข้ึน เทา่ กับ 640 จลู 1.5.3 การคูณปริมาณเวกเตอรด์ ้วยปรมิ าณเวกเตอรไ์ ดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ ปรมิ าณเวกเตอร์ ( Cross – Product ) การคูณปริมาณเวกเตอร์ด้วยปริมาณเวกเตอรไ์ ด้ผลลัพธ์เป็นปรมิ าณเวกเตอร์ เป็นการคูณเวกเตอร์ ท้ังสองและไซน์ ( sine ) ของมมุ ระหว่างเวกเตอร์ทงั้ สอง ผลลัพธ์เปน็ ปริมาณเวกเตอรเ์ หมอื นเดมิ แตท่ ิศทาง cขrอoงsเsวกbเตซอึ่งรเล์ ขัพียธนต์ แงั้ ทฉนากไดก้เบัปร็นะนaาบขbองผเวลกคเณู ตอขรอ์ทงปั้งสรอิมงาณสเวัญกลเตักอษรณ์ท์แัง้ ทสอนงกหาารไคดูณ้จาแกบคบวนา้ีมคสือัมพ“ันธด์ ัง”นเ้ี ช่น a a  b = c .................1.29 ขนาดของ c หรือ a  b หาไดจ้ าก a b = ab sin q .................1.30 ซึ่งกันแลกะากรันหาแทลิศ้วทวาางงขนอิ้วงชเวี้ไปกเใตนอทริศ์ลทัพาธง์ขโอดงยใชa้มือนขิ้ววกาลในางลชักี้ตษาณมะทนิศิ้วทชาี้ งนิ้วbกลาจงะไแดล้วะ่านหิ้วัวหแัวมแ่มมือ่มชือี้ทติศั้งฉทาากง ของ c ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ การกำมือจากเวกเตอร์แรกไปหาเวกเตอร์ที่ 2 การคูณเวกเตอร์แบบน้ี จงึ ไมส่ ามารถสลบั ท่สี ำหรบั การคณู ได้

74 c a c a bq b ภาพที่ 1.31 ทศิ ทางผลคณู เชิงเวกเตอร์ ( Cross – Product ) ตัวอย่างท่ี 10 กำหนดให้ a และ b มขี นาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกนั 30° จงหา a b วธิ ที ำ จากสตู ร a b = ab sin q = (10)(20) sin 30° = (200)(0.50) ตอบ ขนาดของ a  b = 100 m เท่ากับ 100 เมตร ตัวอย่างที่ 11 =ลวIดตัวนBำมถีก้ารละวแดสยไาฟวฟ้2าไ0หลcmผ่านวาวงาทงอำยมู่ใุมนส3น0า° มกแับมส่เหนลา็กมแจมะ่เถหูกลแ็กรคงจวาากมสเขน้มาม5แมเท่เหสลล็กา กระทำมีค่า F เมื่อผา่ นกระแส 4 แอมแปร์ เข้าไป ลFวดจะถูก=แรงกระIทำเทB่าไร วธิ ีทำ จากสูตร = IBsin q = (4)(0.2)(5) sin 30° = (4)(0.50) =2 ตอบ เกดิ แรงกระทำตอ่ ลวด เท่ากับ 2 นวิ ตนั

75 กจิ กรรมการเรยี นรู้ที่ 1.3 จงแสดงวิธที ำ A Bและ B มขี นาด 20 เมตร และ 5 เมตร ทำมุมกนั 37° จงหา 1. กำหนกด.ใหA้ ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ข. A B ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. กำหนดให้ C และ D มีขนาด 100 เมตร และ 200 เมตร ทำมุมกนั 45° จงหา ก. C D ........................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ข. C  D ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

76 แบบฝกึ หดั ท้ายหน่วยท่ี 1 จงแสดงวธิ ีทำอย่างละเอยี ด 1. จากภาพ จงหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ y ……………………………………………………………………………………….. x ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. 37° ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. กำหนดให้ D x = 2 เมตร และ D y = 5 เมตร จงหาขนาดของเวกเตอร์ D ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3. x และ y เป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทมี่ ขี นาด 8 เมตร และ 4 เมตร ทำมมุ กัน 60 องศา จงหา 3.1 x + y ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3.2 x - y ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

77 4. จากภาพ กำหนดให้ a และ b มีขนาด 4 เมตร และ 6 เมตร ทำมุมกนั 60° จงหา 60° 4.1 a · b ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 4.2 ab ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

78 บรรณานุกรม ่อง ัญจ ์ ภทั ร ญจ ์ และธ ญจ ์ ภทั ร ญจ .์ ฟสิ กิ ส์ 1. สำ ั พมิ พ์แ ่งช ติจุฬ ลง รณ์ ม วิทย ลัย, 2552. ชลธชิ เ ล็ ล และปรู ิ สุขรื่ . วทิ ยาศาสตรเ์ พ่อื งานไฟฟา้ และการส่อื สาร. ทบุรี : ศู ย์ ังสือ เมืองไทย จำ ั , 2558. ชูศรี มงั ะระ และสม ึ มัง ะระ. วิทยาศาสตร์ 8. รงุ เทพฯ : ศู ยส์ ง่ เสรมิ อ ชีวะ, มปป. ทชั พงษ์ จั ทรล์ .ี วิทยาศาสตรเ์ พอ่ื พัฒนาอาชพี ชา่ งอุตสาหกรรม. สมุทรปร ร : บรษิ ัทเจริญปัญญ เอ็ เู คชั่ จำ ั , 2563. พงษ์ศั ์ิ ชิ บญุ . ฟิสกิ ส์มหาวทิ ยาลัย 1 เล่ม 2. พมิ พ์คร้ังที่ 2. รงุ เทพฯ : วทิ ยพฒั ์, 2553. ______________. ฟิสกิ ส์มหาวทิ ยาลัย 2 เลม่ 1. รุงเทพฯ : วิทยพฒั ,์ 2552. บุญธรรม เ ษมทะเล. วทิ ยาศาสตรเ์ พือ่ พัฒนาอาชีพช่างอุตสาหกรรม. ทบุรี : ศู ย์ งั สอื เมืองไทย, 2556. บุญธรรม ภทั ร จ รุ ลุ . กลศาสตร์เครือ่ งกล. รงุ เทพฯ : ซเี อ็ ยูเคชั่ . 2553. ปรเมษฐ์ ปญั ญ เ ล็ . ฟิสิกส์ 2. รุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ม วทิ ย ลัยศรปี ทมุ , 2551. เปรมจติ ลิมปะพั ธ์.ุ วิทยาศาสตร์ 8. รุงเทพฯ : ศู ย์สง่ เสรมิ วชิ ร, 2551. ไพศ ล ตูประ ย. วิทยาศาสตรส์ ำหรับเทคโนโลยสี ารสนเทศและการสอ่ื สาร. ทบรุ ี. ม วิทย ลยั สุโขทัยธรรม ธิร ช, 2555. วรรณ อ่ ส ลุ . วิทยาศาสตร์อตุ สาหกรรม. รุงเทพฯ : สำ ั พมิ พแ์ ม็ค, 2550. วิกเิ พยี เดยี สารานุกรมเสรี. ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ [ออ ไล ์] เข ถงึ ไ จ https://en.wikipedia.org/ wiki/Cross_product [2564, พฤศจิ ย 20] ศวิ รั ษ์ บญุ ประเสรฐิ . วทิ ยาศาสตร์เพือ่ พัฒนาอาชีพช่างอตุ สาหกรรม. ทบุรี : ศู ย์ งั สือเมืองไทย, 2556. สมพงษ์ จ .ี ฟิสิกส์มหาวทิ ยาลยั 4. พิมพ์คร้ังที่ 3. รงุ เทพฯ : สำ ั พมิ พแ์ ง่ จุฬ ลง รณ์ ม วทิ ย ลยั , 2551. _________. ฟิสกิ สส์ ู่มหาวทิ ยาลยั 15. รุงเทพฯ : สำ ั พิมพแ์ ง่ จุฬ ลง รณ์ม วิทย ลัย, 2553. สถ บั สง่ เสริม รสอ วิทย ศ สตร์และเทคโ โลยี (สสวท.). หนังสือเรยี นสาระการเรียนรพู้ ื้นฐานและ เพม่ิ เตมิ ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3. รุงเทพฯ : คุรุสภ ล พร ว, 2554. สุช ติ ปูชะพั ธ์ และสุ ปลมื้ จ. วทิ ยาศาสตรเ์ พอื่ พฒั นาอาชพี ช่างอตุ สาหกรรม. ทบุรี : ศู ย์ งั สอื เมอื งไทย จำ ั , 2556.

79 สุ ปลืม้ จ. วิทยาศาสตร์เพื่องานไฟฟา้ และการสื่อสาร. รงุ เทพฯ : สำ ั พิมพศ์ ู ย์ส่งเสริมอ ชวี ะ, 2558. สเุ ทพ สขุ เจริญ. วิทยาศาสตร์งานไฟฟ้า อเิ ล็กทรอนกิ ส์และการส่ือสาร. รงุ เทพฯ : สำ ั พิมพ์ เอมพั ธ์, 2563. สเุ ทพ สุขเจริญ. วิทยาศาสตร์เพอ่ื งานไฟฟา้ และการสอื่ สาร. รงุ เทพฯ : สำ ั พิมพ์เอมพั ธ์, 2558. สุเทพ สขุ เจรญิ . วิทยาศาสตร์เพอื่ พัฒนาอาชพี ช่างอตุ สาหกรรม. รุงเทพฯ : สำ ั พิมพ์เอมพั ธ์, 2558. ส่งเสริม รสอ วทิ ย ศ สตรแ์ ละเทคโ โลย.ี หนังสือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน ฟิสิกส์. รงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ ส สค. ล พร ว, 2554. ส่งเสรมิ รสอ วทิ ย ศ สตร์และเทคโ โลยี. หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเติม ฟสิ กิ ส์ เล่ม 1. รุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ ส สค. ล พร ว, 2563. ไสว ฟั ข ว และคณะ. วิทยาศาสตร์ 8. รงุ เทพฯ : สำ ั พมิ พ์เอมพั ธ,์ 2549. อุทมุ พร แ วส มศร.ี วิทยาศาสตร์เพอ่ื พฒั นาอาชีพช่างอตุ สาหกรรม. รงุ เทพฯ : ศู ย์ส่งเสรมิ อ ชวี ะ, 2556. รบว เว เตอรโ์ ย รว รูป. ปรมิ าณเวกเตอร์ [ออ ไล ์] เข ถึงไ จ https://sites.google.com /site/patcharin1342/bth-thi-1/1-1-priman-wek-texr [2564, พฤศจิ ย 2] ม วิทย ลัยรังสติ . เวกเตอร์. [ออ ไล ์] เข ถงึ ไ จ https://www.rsu.ac.th/science/physics /kan/general_phy/vector/vector.htm [2564, พฤศจิ ย 2] Hany El-Gezawy. MOTION [ออ ไล ์] เข ถงึ ไ จ http://hgphysics.com/gph/b-motion [2564, พฤศจิ ย 2] Young, H.D. and Freedman, R.A. University Physics. Twlfth edition. Pearson Addisom Wesley, 2008.