หน่วยที่ 1 เวกเตอร์

1 หน่วยที่ 1 เวกเตอร์ แนวคิด ปริมาณทางวิทยาศาสตร์ แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งปริมาณสเกลาร์ เป็นปริมาณที่บอกเฉพาะขนาดเท่าน้ัน เช่น ระยะทาง ความดัน ปริมาตร เป็นต้น และ ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว น้ำหนัก เป็นต้น ดังน้ัน การคำนวณคา่ ตา่ ง ๆ เช่น การบวก ลบ หรือคณู จงึ ตอ้ งใช้วธิ กี ารของเวกเตอร์เทา่ นนั้ และเคร่ืองหมายบวก ลบ ในปริมาณเวกเตอร์ เป็นการบอกทิศทาง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีเครื่องหมายเหมือนกันแสดงถึงทิศทาง ไปในทางเดียวกัน และปริมาณเวกเตอร์ที่มเี ครอื่ งหมายต่างกนั แสดงถงึ ทศิ ทางตรงขา้ มกัน สาระการเรียนรู้ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ 1.2 เวกเตอร์องค์ประกอบ 1.3 การรวมเวกเตอร์ 1.4 การคูณเวกเตอร์ จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม 1. นกั ศึกษาบอกความหมายของเวกเตอร์ไดอ้ ย่างถูกต้อง 2. นกั ศึกษายกตัวอยา่ งปริมาณเวกเตอรไ์ ดอ้ ยา่ งถูกต้อง 3. นักศึกษาหาเวกเตอร์องคป์ ระกอบและขนาดของเวกเตอร์ไดอ้ ย่างถูกตอ้ ง 4. นกั ศกึ ษาวิเคราะห์หาผลลพั ธ์ของการรวมเวกเตอร์ไดอ้ ย่างถกู ต้อง 5. นกั ศกึ ษาคำนวณหาผลลัพธข์ องการคูณเวกเตอร์ได้อยา่ งถูกต้อง

ผังมโนทัศน์ 2 Dot - Product 2 Cross - Product 3

3 ปริมาณต่าง ๆ ที่ใช้ในชีวิตประจำวัน เช่น มวล น้ำหนัก ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง เวลา อุณหภูมิ ฯลฯ เป็นต้น ปริมาณเหล่านี้บางอย่างบอกขนาดเพียงอย่างเดียวก็ให้ความหมายที่สมบูรณ์ บางอย่างต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมายที่สมบูรณ์ สามารถแบ่งปริมาณออกเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) และปรมิ าณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) ปรมิ าณสเกลาร์ เปน็ ปริมาณทบี่ อกเฉพาะขนาดเพียงอย่างเดยี วสามารถให้ความหมายที่สมบูรณ์ได้ เชน่ วตั ถุมมี วล 10 กิโลกรมั รถยนต์ใช้เวลาในการเคล่ือนท่ี 5 วนิ าที วัตถุมปี ริมาณ 20 ลูกบาศก์เซนติเมตร เป็นตน้ การหาผลลพั ธ์ของปริมาณสเกลาร์ทำได้โดยอาศยั หลกั ทางพีชคณติ คือ ใช้วิธกี ารบวก ลบ คูณ หาร แต่บางปรมิ าณต้องบอกท้ังขนาดและทศิ ทางจงึ จะใหค้ วามหมายทสี่ มบูรณ์ ในหน่วยน้ีจะกล่าวถึงความหมาย ของปรมิ าณเวกเตอร์ เวกเตอร์องค์ประกอบ การรวมเวกเตอร์และการคณู เวกเตอร์ 1.1 ความหมายของเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) เป็นปรมิ าณที่บอกท้งั ขนาดและทิศทางจงึ จะให้ความหมาย ที่สมบูรณ์ เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม เป็นต้น การบอกปริมาณเวกเตอร์จะบอกเป็นตัวเลข พรอ้ มกับหนว่ ยและทิศทาง ดังภาพท่ี 1.1 v = 20 m/s N ภาพที่ 1.1 ความเรว็ ของรถยนต์ท่ีบอกทง้ั ขนาดและทิศทาง ที่มา : http://hgphysics.com/gph/b-motion ( สบื คน้ เมอื่ 10 ก.พ. 2559 ) ปริมาณเวกเตอร์สามารถเขยี นแทนดว้ ยลูกศร โดยให้ความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ ทิศทางของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ ความยาวของลูกศรที่แทนขนาดของเวกเตอร์นั้นจะต้อง มีความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดไว้ในแต่ละครั้ง เช่น เวกเตอร์ A มีขนาดเท่ากับ 3 หน่วย มีทิศทาง ไปทางทศิ เหนือ เวกเตอร์ B มีขนาดเท่ากบั 4 หน่วย มที ิศทางไปทางทศิ ตะวนั ออก ดงั ภาพ 1.2

4 A B N ภาพท่ี 1.2 การใช้ลกู ศรแทนปริมาณเวกเตอร์ นอกจากนี้ เรายังสามารถเขียนตัวอักษรแทนเวกเตอร์ได้โดยเขียนตัวอักษรที่มีความหนากว่า เแตชตัวน่ บ่อนักAหษวัรหตปรวั อืกอตกั Aิ ษเชรอน่นา่ น้ันAจว่าะหมเวรีลกือูกเศตvรอกอรำ์่าAกนับแวบล่านะเตจวัวะกอใเชักตต้ ษอัวรรอน์ ักAั้นษรแออลายะจา่เปงเวเน็ ดกลียเกูวตศแอรทรเน์ตvข็มนรหปูารดแือขบออบางจเเวเชกข่นเียตนอAไรด์ ห้ดร้วือยลอูกักศษรครรป่ึงกซตีกิ 1.2 เวกเตอร์องคป์ ระกอบ ( Components of vector ) เวกเตอร์องค์ประกอบ คือ เวกเตอร์ย่อย ๆ ที่นำมารวมกันแล้วเท่ากับเวกเตอร์หลัก สามารถหาเวกเตอรอ์ งค์ประกอบได้หลายวธิ ี ในท่นี ี้จะกล่าวเฉพาะการหาเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน พิกดั ฉากเทา่ นัน้ นน่ั คอื เวกเตอร์องคป์ ระกอบ 2 มิติ และเวกเตอร์องคป์ ระกอบ 3 มติ ิ 1.2.1 เวกเตอร์องคป์ ระกอบ 2 มิติ เมื่อเวกเตอร์อยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy ระนาบ xz หรือระนาบ yz การหา เวกเตอร์องค์ประกอบ ทำได้โดยการหาเวกเตอร์ย่อยจากการแยกเวกเตอร์ไปในแนวแกนแต่ละแกน A x บนระนาบน้ัน ๆ เชน่ ในระนาบ xy แยกเวกเตอร์ A ใหเ้ ปน็ เวกเตอรย์ ่อยบนแกน x ได้ และเป็นเวกเตอร์ ยอ่ ยบนแกน y ได้ Ay ดังภาพ 1.3 zz A y A x x A y A x x y Aq A y Aq ก. y ข. ภาพที่ 1.3 เวกเตอร์ A ทำมุม q กบั แกน x ในระนาบ xy

5 จากภาพ 1.3 แยกเวกเตอร์ A เป็น A xA และ Ay ดAังxนแั้นลเะมื่อAนyำมAารxวมแกลนัะโดAยyกามราเรขวยี มนกรันปู จจะะไไดด้้ ผลลัพธเ์ ท่าเดมิ คือ A เนอื่ งจาก A x ต้งั ฉากกับ y เมื่อนำ รูปสามเหล่ยี มมุมฉากดังภาพ 1.3 ข. ดังน้ัน cos q = Ax A Ax = A cos q .................1.1 sin q = Ay A Ay = A sin q .................1.2 ฉะนั้นถ้าเวกเตอร์ที่ต้องการแยกทำมุม q กับแนวแกนอ้างอิงใด ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ หรือเวกเตอร์ย่อยในแนวแกนอ้างอิงนั้นจะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ที่จะแยกกับ cos q ส่วนเวกเตอร์ย่อยอีกเวกเตอร์หนึ่งที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ย่อยแรก จะเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ ที่จะแยกกับ sin q เวกเตอรย์ ่อยทีแ่ ยกให้ต้ังฉากกันบนแกน x และแกน y เมื่อรวมกันจะไดผ้ ลลัพธเ์ ท่ากับ เวกเตอรท์ ต่ี ้องการแยก z A y q A A x x y ภาพที่ 1.4 เวกเตอร์ A ทำมุม q กับแกน y ในระนาบ xy จากภาพ 1.4 เมอ่ื เวกเตอร์ A ทำมมุ q กับแกน y ในระนาบ xy จะไดเ้ วกเตอร์องค์ประกอบดังนี้ Ax = A sin q .................1.3 จากภาพ 1.3 และ 1.4 Ay = A cos q เท่ากับ 4 หน่วย และ .................1.4 ขนาดของ A x และ A y 3 หน่วยตามลำดบั

6 ตวั อย่างท่ี 1 เวกเตอร์ A อย่ใู นระนาบ xy มีขนาด 10 เมตร ทำมมุ 53 องศา กบั แนวราบ ( แกน x ) จงหา ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x และ y วิธีทำ เขียนเวกเตอรไ์ ด้ดังนี้ y y Ax Ay A Ay A A y 53˚ A x x 53˚ A x x จากสมการ 1.1 Ax = A cos q = 10 cos 53° = 6m และจากสมการ 1.2 Ay = A sin q = 10 sin 53° = 8m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x เทา่ กับ 6 หนว่ ย และ ในแนวแกน y เท่ากับ 8 หนว่ ย ตวั อยา่ งที่ 2 เวกเตอร์ B อยู่ในระนาบ xy มขี นาด 20 เมตร ทำมุมกับแนวราบ 127 องศา จงหาขนาดของ เวกเตอร์ B ในแนวแกน x และ y วธิ ีทำ เขยี นรูปเวกเตอรไ์ ด้ดังน้ี yy Bx B By x B By Bx 127˚ 37˚ x

7 จาก Bx = -B sin 37° = (-20)(0.60) = -12 m By = B cos 37° = (20)(0.80) = 16 m ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน x เท่ากบั 12 มที ิศไปทางซ้าย และขนาดของเวกเตอร์ B ในแนวแกน y เทา่ กบั 16 เมตร 1.2.2 เวกเตอร์องค์ประกอบ 3 มติ ิ เวกเตอร์องคป์ ระกอบ 3 มติ ิเป็นเวกเตอร์ทไ่ี ม่อย่ใู นระนาบใดระนาบหนง่ึ แตก่ ระทำกบั แนวแกนทั้ง 3 แกน การหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 3 มิติ ทำได้โดยการแยกเวกเตอร์ให้อยู่ในแกน x y และ z ซึ่งการแยกใช้หลักการเดียวกับเวกเตอร์องค์ประกอบ 2 มิติ โดยแยกให้เป็นเวกเตอร์ย่อยที่ตั้งฉากกัน จากนน้ั แยกเวกเตอรย์ อ่ ยอนั หน่งึ ใหเ้ ปน็ 2 เวกเตอร์ยอ่ ยทตี่ ั้งฉากกบั เวกเตอร์อันท่ี 2 เวกเตอร์ 3 มิติ ดังภาพ ที่ 1.5 และภาพที่ 1.8 zz A A z A A x Az = A sin f A A =A cos f sin q fA xy y q x A y =A cos f cos q q fA xy x x y y ก. ข. ภาพท่ี 1.5 เวกเตอร์ 3 มติ ิ การหาเวกเตอร์องคป์ ระกอบ 3 มิติ สามารถทำได้โดยการคิดทีละระนาบ โดยแยกเวกเตอร์ให้เป็น A x ทAำyกับแแลนะวแAกzนจyากจภะาไพด้ทเวี่ ก1เ.ต5อเรม์อื่องคA์ปรทะำกมอุมบขfองกับAระนดาังบภาxพy เวกเตอร์ย่อยบนแกน x y และ z ได้ xy และ q เป็นมุมเงาของ A บนระนาบ ที่ 1.5 ข. ทำได้โดยแบ่งการแยกเวกเตอร์ออกเปน็ 2 ข้นั ตอน คอื ขัน้ ตอนที่ 1 คดิ จากแนวแกน z กับระนาบ xy ( เงาของ A ) โดยแยก A ออกเป็น A z และ Axy ที่ตั้งฉากกัน ดังนั้น เมื่อนำ A z และ Axy มารวมกนั โดยการเขยี นรูปจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังภาพท่ี 1.6

8 z Az A A x x A y q fA xy y Az A A Az f A xy f A xy ภาพที่ 1.6 เวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบในแนวแกน z กบั ระนาบ xy จากภาพ 1.6 จะได้ sin f = Az A Az = A sin f .................1.5 cos f = A xy A Axy = A cos f .................1.6 ขั้นตอนที่ 2 คิดจากเวกเตอร์บนระนาบ xy กับแนวแกน x และ y จะได้เวกเตอร์องค์ประกอบ x ( A เนA่อื yง)จโาดกยแAยxก A xy Aออyกตเปง้ั ฉ็นากกAนั x และ A y ในแนวแกน และ Ax )yแมลาะรเววมกเกตันอจระ์อไงดค้ผ์ปลรละพักธอ์เบทใ่านเแดนิมวคแือกนAyxy( และ เมื่อนำมา เมื่อนำ A x รวมกันโดยการเขยี นรปู จะไดร้ ปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ดงั ภาพท่ี 1.7

9 z A y A x x y q A xy A x A xy A xy A x q A y q A y ภาพที่ 1.7 เวกเตอร์องค์ประกอบในระนาบ xy กบั แนวแกน x และ y จากภาพท่ี 1.7 จะได้ sin q = Ax A xy A x = Axy sin q .................1.7 cos q = Ay A xy Ay = Axy cos q .................1.8 แทนคา่ Axy จากสมการ 1.6 ลงในสมการ 1.7 และ 1.8 จะได้ .................1.9 A x = A cos f sin q ถ้ารวม 2 ขั้นตอนเข้าด้วยAกันy จะ=เป็นAกาcรoแsยfกcoAs q A x A y .................1.10 และ A z ที่ตั้งฉากกันและได้ เป็น เขขดนอิมงาดคBขืออทเงBมเำวื่อไกดเนเ้โBตดื่ออยงทรจก์อำาางมกรคุมแป์ Bยqรxกะx กqBBอyyบเแปตแลา็นละมะสqBมzBxกzกาับตBรแทyั้งนฉี่ 1แวา.ลกแ5ะกกันน1Bเ.9zมxื่อแเyมนลื่อำะแมนล1าำะ.ร1Bวz0xมตกBาันมyโลดแำยลดกะับารBกเzขามรียหานรารวเูปวมกจกะเันตไจดอะ้รรไ์ูอปดงส้ผคาล์ปมลรเัพหะธลก์เี่ยอทมบ่า มมุ ฉาก ดงั ภาพที่ 1.8

10 Bzz B z qz qx Bx x Bz = B cos qz qz qx B x qy y O qy By B x = B cos qx y By = B cos qy B B Bz B O qx Bx By ข. qy O O qz ก. ค. ภาพที่ 1.8 เวกเตอร์องค์ประกอบของ B .................1.11 .................1.12 จากภาพที่ 1.8 ก. จะได้ cos qx = Bx .................1.13 จากภาพที่ 1.8 ข. จะได้ B จากภาพที่ 1.8 ค. จะได้ Bx = B cos qx cos qy = By B By = B cos qy cos qz = Bz B Bz = B cos qz 1.2.3 เวกเตอร์หนว่ ย ( Unit vector ) เวกเตอร์หน่วย เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งหน่วย และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ใด ๆ ทมีที่กิศำทหานงดไปขทึ้นาเงขเดียยี นวแกทบั นโAดยดใชังภ้สาัญพลทัก่ี 1ษ.ณ9 ์ “ ^ ” กำกับไว้บนตัวอักษร เช่น aˆ มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย aˆ A ภาพท่ี 1.9 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย

11 นิยาม ถา้ กำหนดให้ aˆ เป็นเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยของ A แลว้ จะไดว้ า่ A aˆ = A หรอื A = A aˆ ในระบบพิกัดฉากเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ ˆi ˆj และ kˆ ดังภาพท่ี 1.10 โดยกำหนดดังน้ี ˆi เป็นเวกเตอร์หน่งึ หน่วยในแนวแกน x ˆj เป็นเวกเตอรห์ นง่ึ หน่วยในแนวแกน y kˆ เชน่ AB = 2 ˆi +เป5น็ kˆเวกเตหหอมมราา์หยยนคค่งึววหาามมนววว่ ่าา่ยใABนแมมนีขีขวนนแกาาดดนเเทท่า่ากกบับั z x = ˆi + 3 ˆj 2 หน่วยในแนวแกน x 1 หนว่ ยในแนวแกน มขี นาดเท่ากับ 3 หนว่ ยในแนวแกน y และ มีขนาดเทา่ กับ 5 หนว่ ยในแนวแกน z z z A y A z f A ˆi Ax x A zA= A sin f kˆ f sixn q ˆi ˆjkˆ A x = cos f A q A q ˆj y ก. y yข=. A cos f cos q ภาพท่ี 1.10 เวกเตอรห์ นง่ึ หน่วยในระบบพิกัดฉาก เแแดนนมิ ววคแแือกกนนAจาxyเกนเภyื่อวางแกพจลเาตะ1กอ.1zรA0์ยตxก่าอม.ยAลเมyำA่อื ดแxับAลAะดทyAังภำzแมาตลุมพ้งั ะทฉfาAี่ 1กกz.ก1ับเันป0ร็นะขนเ.วาเกบมเื่อตxนyอำรแ์อลAงะxคq์ปAเรปyะน็ กแมอลุมบะเงทAาี่ไขzดอม้จงาารAกวกมบากนรันแรจะยะนกไาดใบน้ผลxAลyัพทไธำป์เกทใับน่า พิจารณาแนวแกน x จะได้ A x = A x ˆi แทนค่า Ax จากสมการ 1.9 A x = A cos f sin q ˆi .................1.14

12 พิจารณาแนวแกน y จะได้ Ay = A y ˆj แทนคา่ Ay จากสมการ 1.10 A y = A cos f cos q ˆj .................1.15 .................1.16 พิจารณาแนวแกน z จะได้ A z = A z kˆ แทนคา่ Az จากสมการ 1.5 A sin f kˆ A z = Bzz z ˆjkˆ qz qx ˆi B Bx x Bz = B cos qz kˆ BBx qy By qz qx = B cos qx ˆi qy x By = B cos qy ˆj y ก. y ข. ภาพที่ 1.11 เวกเตอร์ B ทำมุม qx qy และ qz กับแนวแกน x y และ z ตามลำดบั Bx BBxy BจแyาลกะแภลBาะzพเBปz1็นต.1เงั้ว1ฉกาเเกมตกือ่อนัร์อBเงมคทอ่ื ์ปนำรมำะมุมกาqรอวxบมqทกyี่ไนั ดแจ้จละาะไกดกqผ้ าzลรกลแับัพยแธกน์เใทนวา่ แเดกBิมน x y และ z ตามลำดับ เวกเตอร์ย่อย ซึ่ง ไปในแนวแกน x y และ z ตามลำดับ คือ B พิจารณาแนวแกน x จะได้ Bx = Bx ˆi แทนคา่ Bx จากสมการ 1.11 Bx = B cos qx ˆi .................1.17 พจิ ารณาแนวแกน y จะได้ By = By ˆj แทนค่า By จากสมการ 1.12 By = B cos qy ˆj .................1.18

13 พจิ ารณาแนวแกน z จะได้ Bz = Bz kˆ แทนค่า Bz จากสมการ 1.13 Bz = B cos qz kˆ .................1.19 ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของ A = ˆi + 4 ˆj A x = ˆi วธิ ีทำ ในแนวแกน x ในแนวแกน y A x = 1 หนว่ ย A y = 4 ˆj ตอบ Ay = 4 หAนใ่วนยแนวแกน x และ y เทา่ กบั 1 หนว่ ย และ 4 หน่วย ขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบของ ตามลำดบั ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบของ B = 3 ˆi - 9kˆ Bx = 3 ˆi วิธที ำ ในแนวแกน x ในแนวแกน z BBzx = 3 หนว่ ย = -9 kˆ ตอบ Bz = 9 หBน่วในยแนวแกน x และ z เท่ากบั 3 หน่วย และ 9 หน่วย ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบของ ตามลำดับ ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบของ C = 4 ˆi + 5 ˆj - kˆ Cx = 4 ˆi วิธีทำ ในแนวแกน x ในแนวแกน y CCxy = 4 หนว่ ย = 5 ˆj C y = 5 หน่วย C z = - kˆ ในแนวแกน z ตอบ Cz = 1 หCน่วในยแนวแกน x y และ z เทา่ กับ 4 หนว่ ย 5 หนว่ ย และ ขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบของ 1 หนว่ ย ตามลำดับ

14 1.3 การรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ เป็นการรวมทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ย่อยที่นำมารวม ซึ่งแตกต่าง จากการรวมในทางคณติ ศาสตร์โดยทวั่ ไป การรวมเวกเตอรแ์ บง่ เป็น 2 วธิ ีคอื การรวมโดยการเขียนรปู และ การรวมโดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ 1.3.1 การรวมเวกเตอร์โดยการเขียนรูป การรวมเวกเตอร์ทำได้โดยเขียนลูกศรเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นนำหางลูกศรของเวกเตอร์ ที่นำมารวมต่อกับหัวลูกศรของเวกเตอร์ตัวตั้ง ซึ่งการเขียนลูกศรแทนเวกเตอร์ต้องแทนทั้งขนาดและ ทิศทางแล้วทำลักษณะเดียวกันนี้จนครบเวกเตอร์ที่ต้องการนำมารวม เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จากลูกศร ที่ลากจากหางเวกเตอร์ตัวตั้งถึงหัวเวกเตอร์ที่รวมตัวสุดท้าย ความยาวที่ได้เป็นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ และมีทิศทางจากหางของเวกเตอร์ตัวต้ังไปยังหัวของเวกเตอร์ตัวรวมตัวสุดท้าย ดงั ภาพที่ 1.12 a b c d b a c e= (a+ d b  c+ + ) d ภาพที่ 1.12 การรวมเวกเตอรโ์ ดยการเขยี นรปู เวกเตอร์ 2 เเชวน่กเต- Aอร์ทเปี่มน็ ีขเวนกาเดตเอทร่า์ทกม่ี ันีขนจาะดแเททน่าทกับิศทAางขแอตงม่ เวีทกิศเทตาองรต์ดร้วงกยเนั คขร้าื่อมงหดมงั ภายาพบทวก่ี 1.(1+3 ) และ เครอื่ งหมายลบ ( - ) A - A - B B ภาพที่ 1.13 เวกเตอรบ์ วกและเวกเตอร์ลบ การลบเวกเตอร์ ทำไดใ้ นวิธเี ดียวกันกับการรวมเวกเตอร์ แต่ให้กลบั ทิศทางของเวกเตอรต์ ัวลบ

15 ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาผลรวมของ a − b − c + d โดยกำหนดให้ d a b c วิธีทำ ใช้หลักการหางตอ่ หัว d - c - b a e= (a-  - b c+ d) q ตอบ ตวั อยา่ งที่ 7 จากภาพ จงหาผลรวมของ A + B + C โดยการเขยี นรปู A B C 60˚ วธิ ที ำ ใช้หลักการหางตอ่ หัว B A 60˚ ตอบ C R =A +B +C

16 การรวมเวกเตอร์โดยการเขยี นรูปกรณีเป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอรท์ ำมุมใด ๆ กนั ผลรวมของเวกเตอร์ แบง่ ได้ 4 กรณี ดงั น้ี 1ก.ำหเนวกดเใตหอ้ รA์ทำแมลมุ ะกนั B 0 องศา 0° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางไปทางเดียวกัน เขียนรูปการรวม ทำมุมกัน เวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.14 A B A B R ภาพท่ี 1.14 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมุมกนั 0° จากภาพ จะไดเ้ วกเตอรล์ ัพธ์ R = A + B R = A + B ( นำขนาดของเวกเตอรม์ าบวกกัน ) .................1.20 2ก.ำหเนวกดเใตหอ้ รA์ทำแมลุมะกนั B1ท80ำมอุมงกศันา 180° นั่นคือเวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกันเขียนรูปการรวม เวกเตอร์ ดังภาพท่ี 1.15 A 180˚ B A B R ภาพที่ 1.15 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมุมกัน 180° จากภาพ จะไดเ้ วกเตอร์ลัพธ์ R = A + B R = A - B ( นำขนาดของเวกเตอรม์ าลบกนั ) .................1.21

17 3ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ แำมละุมกBัน 90 องศา 90° เขยี นรปู การรวมเวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.16 ทำมมุ กนั B R B A q A ภาพท่ี 1.16 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอรท์ ำมุมกัน 90° จากภาพ จะได้เวกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การรวมเวกเตอร์จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นการหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้จาก หลักทฤษฏพี ีทาโกรัส จะได้ R2 = A2 + B2 R = A2 + B2 .................1.22 การหาทิศทางของเวกเตอรล์ ัพธใ์ ช้หลกั ตรีโกณมิติ จะได้ tan q = B .................1.23 A 4ก.ำหเนวดกใเหตอ้ Aรท์ แำมละุมกBัน q q เขียนรูปการรวมเวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.17 ทำมมุ กัน B R =(A +B) B q A a A q ภาพท่ี 1.17 การรวมเวกเตอรก์ รณีเวกเตอร์ทำมมุ กนั q จากภาพ จะไดเ้ วกเตอร์ลพั ธ์ R = A + B การคำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ อาศัยการสร้างให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้น โดยลากเพิ่มเติม บางส่วน นน่ั คือ X และ Y ดังภาพท่ี 1.18

18 R B Y B Y a A q q ก. X X ข. ภาพที่ 1.18 การสร้างสามเหลย่ี มมุมฉากจากเวกเตอร์ทำมุมกัน q จากภาพ 1.18 ข. จะได้ B2 = X2 + Y2 sin q = Y cos q = B X B จากภาพ 1.18 ก. ตามทฤษฎพี ที าโกรสั จะได้ R2 = ( A + X )2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + X2 + Y2 R2 = A 2 + 2AX + B2 R2 = A 2 + B2 + 2AB cos q ดังนั้น R = A2 + B2 + 2AB cos θ .................1.24 การหาทิศทางเวกเตอรล์ ัพธ์ จากตรโี กณมิติ Y tan a = A+X = B sin θ A + B cos θ ดังนัน้ ทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ tan a = B sin θ .................1.25 A + B cos θ

19 การลบเวกเตอร์ เมื่อ A และ B ทำมมุ กนั q ดงั ภาพท่ี 1.19 B A q A aq q - B 180˚- q R = (A − B) - B R ภาพที่ 1.19 การลบเวกเตอร์ จากภาพ 1.19 เวกเตอร์ - B จะทำมุม 180° - q เพราะ B กับ - B ทิศทางตรงข้ามกัน เมือ่ แทนค่า q คา่ ของ cos (180° - q) = - cos q และ คา่ ของ sin (180° - q) = sin q จากสมการที่ 1.24 แทนคา่ มุม 180° - q จะได้ R = A2 + B2 + 2AB cos 180 - θ = A2 + B2 + 2AB (-cos θ ) R = A2 + B2 - 2AB cos θ .................1.26 ทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ หาได้จาก แทนค่ามุม 180° - q ในสมการที่ 1.25 จะได้ tan a = B sin 180 - θ = A + B cos180 - θ B sin θ A + B (-cos θ) tan a = B sin θ .................1.27 A - B cos θ

20 ตหวันอ่วยยา่ ตงาทมี่ ล8ำดเวับกจเตงอหรา์ขaนาแดลขะองbaกร+ะทbำตอ่ กนั ดว้ ยมมุ 60 องศา โดยเวกเตอรท์ งั้ สองมขี นาด 30 และ 50 วิธที ำ จากโจทยเ์ ขียนรปู ได้ดงั นี้ b R = (a +b) b 60˚ a a 60˚ จากสูตร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 302 + 502 + 2(30)(50) cos 60 = 302 + 502 + 2(30)(50)(0.50) = 4900 = 70 ตอบ ขนาดของผลบวกเท่ากับ 70 หน่วย ตัวอย่างที่ 9 ชายคนหนึ่งเดินจากจุดหนึ่งไปทางทิศตะวันออก 50 เมตร ต่อจากนั้นเดินต่อไปทางทิศ ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื อกี 40 เมตร จงหาวา่ เขาจะอยูห่ า่ งจากจุดตง้ั ตน้ เท่าไร วธิ ที ำ จากโจทย์จะได้วา่ ba = เดนิ ไปทางทศิ ตะวันออก 50 เมตร = เดนิ ไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื 40 เมตร q = 45° (ทิศตะวันออกทำมุมกบั ทศิ ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ) จากสูตร R = a2 + b2 + 2ab cosθ = 502 + 402 + 2(50)(40) cos 45 = 502 + 402 + 2(50)(40)(0.71) = 6940 = 83.31 m ตอบ เขาหา่ งจากจุดตั้งต้น 83.31 เมตร

21 1.3.2 การรวมเวกเตอร์โดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ เมื่อมเี วกเตอร์หลายเวกเตอร์ทำมมุ กนั การหาผลรวมของเวกเตอร์ทำได้โดยการวิเคราะห์เวกเตอร์ เปน็ การแยกเวกเตอรอ์ อกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบ หรอื เวกเตอร์ย่อยที่ต้งั ฉากกนั ถา้ เป็นเวกเตอร์ 2 มิติ จะได้ 2 เวกเตอร์องค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน และถ้าเป็นเวกเตอร์ 3 มิติ จะได้ 3 เวกเตอร์องค์ประกอบ ที่ตั้งฉากกัน ขั้นตอนตอ่ ไปเป็นการรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวเดียวกนั เมื่อนำเวกเตอรอ์ งค์ประกอบ มารวมกันจะไดผ้ ลลัพธ์เท่ากับเวกเตอรห์ ลกั หรือเวกเตอร์ทีถ่ ูกแยก ดงั ภาพที่ 1.20 B A y B By = B sin q2 A A y = A sin q1 q2 q1 Bx = -B cos q2 q2 q1 x A cosCqx1= -C sin q3 q3 A x = A cos q1 C q3 C Cy = -C cos q3 ก. ข. ภาพที่ 1.20 การรวมเวกเตอรห์ ลายเวกเตอร์ 2 มิติ เมอ่ื มีเวกเตอรห์ ลายเวกเตอรท์ ำมุมกนั 2 มิติ ดังภาพท่ี 1.20 สามารถหาผลรวมของเวกเตอร์ได้โดย ใช้หลกั การดังน้ี (1) ตั้งพิกัดฉาก x และ y ตรงจดุ ตัดของเวกเตอร์ ดงั ภาพที่ 1.20 ข. (2) แยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบหรือเวกเตอร์ย่อยที่ตั้งฉากกัน ซึ่งจะได้เวกเตอร์ องค์ประกอบในแนวแกน x และเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน y จากภาพที่ 1.20 ข. จะไดเ้ วกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x ดงั นี้ A คดิ ท่ี B จะได้ A x = A cos q1 .................1.28 คิดที่ จะได้ Bx = -B cos q2 .................1.29 คิดที่ C จะได้ Cx = -C sin q3 .................1.30 เวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน y A คดิ ที่ B จะได้ A y = A sin q1 .................1.31 คิดท่ี C จะได้ By = B sin q2 .................1.32 คดิ ท่ี จะได้ Cy = -C cos q3 .................1.33 องค์ประก(3อ)บใรนวแมนเววกแเกตนอรx์อคงอืค์ปรRะกx อแบลใะนผแลนรววเมดขียอวงกเันวกจเตะอไดร้์อ2งคเว์ปกรเะตกออรบ์ทใี่ตนั้งแฉนาวกแกกันนผyลรควอื มขอRงyเวกเตอร์

22 คดิ ทแ่ี นวแกน x  Rx = A x + Bx + Cx .................1.34 .................1.35 Rx = Ax+ Bx+ Cx แทนคา่ สมการ 1.28 1.29 และ 1.30 ลงในสมการ 1.35 Rx = A cos q1 + (-B cos q2) + (-C sin q3) ดงั นั้น  RRxy = AA cos qB1 y- B cos q2 - C sin q3 .................1.36 คดิ ท่ีแนวแกน y  = y+ + Cy .................1.37 .................1.38 Ry = Ay+ By + Cy แทนคา่ สมการ 1.31 1.32 และ 1.33 ลงในสมการ 1.38 Ry = A sin q1 + B sin q2 + (-C cos q3) ดังนั้น Ry = A sin q1 + B sin q2 - C cos q3 .................1.39 (4) หาผลรวมของเวกเตอร์ โดยคิดเสมอื นวา่ ผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x และ ผลรวมขอเมงื่อเวกเตRอรอ์ เปงค็น์ปเวรกะเกตออบรใล์ นพั แธน์ วแกน y เปน็ เวกเตอรใ์ หม่ 2 เวกเตอร์ ซง่ึ ตั้งฉากกัน ซงึ่ จะไดว้ ่า  R =  Rx +  Ry .................1.40 ดงั นนั้ R = ΣR 2 + ΣR2y .................1.41 x yy Ry R R Ry a Rx x Rx a x ก. y y ข. Rx ax xa Rx R ค. Ry Ry R ง. ภาพท่ี 1.21 เวกเตอรล์ ัพธ์  R 2 มติ ิ

23 1แด.ลงั 2ภะ1ากพรขณท. จก่ีีท1ารส่ี.กณ2่ี ภ1ีทาRกี่สพx.าทมกมี่ ร1คี ณ.2า่ Rทีเ1ปxี่สน็กอมรบงีคณว่ากีแเRปรแxก็นลละมบคี R่าแRเxปลyะน็ มมลีคีคบ่า่าRเเปแปyล็น็นมะลบีคบ่วาเกปRจะแ็นyไลมลดะคีบเ้ ว่าจกเปะRเตน็ไyอดบมร้เววีค์ลกก่ัพาเเจธตป์ะอ็นไรดบR์ล้เววัพกกดธเังจ์ตภะอาไRรพดล์ ้เทัพวดี่ กังธ1ภเ์.ต2า1อพRรงทล์ .ดี่ัพ1งั ธ.ภ2์ า1พคRท.่ี การหาทิศทางของเวกเตอรล์ พั ธ์ สามารถหาได้จาก tan a = ΣR y .................1.42 ΣR x การรวมเวกเตอร์หลายเวกเตอร์ 3 มติ ิ สามารถทำไดโ้ ดยใช้หลักการเช่นเดียวกับ 2 มติ ิ ซงึ่ การแยก เวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์องค์ประกอบ จะได้เวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x y และ z การรวม Rx เวกเตอร์ในแนวเดียวกนั จะได้ 3 เวกเตอร์ทตี่ งั้ ฉากกัน ผลรวมเวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน x คือ  คือ Ry และผลรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน ผลรวมเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน y คือ  z  Rz ดงั ภาพท่ี 1.22 z z Az A Bz B Ax x Bx x y Ay q1z q1x q2z q2x q1y .................1.43 y By q2y .................1.44 ก. ข. .................1.45 .................1.46 ภาพที่ 1.22 การรวมเวกเตอร์หลายเวกเตอร์ 3 มิติ .................1.47 .................1.48 จากภาพท่ี 1.22 จะได้เวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน x ดังนี้ คิดที่ A จะได้ คิดที่ B จะได้ A x = A cos q1x Bx = B cos q2x เวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน y คิดท่ี A จะได้ คิดท่ี B จะได้ A y = A cos q1y By = B cos q2y เวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแนวแกน z คิดที่ A จะได้ คดิ ที่ B จะได้ A z = A cos q1z Bz = B cos q2z

24 หาผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x y และ z  Rx = A x + Bx คดิ ที่แนวแกน x .................1.49 .................1.50 Rx = Ax+ Bx .................1.51 แทนคา่ สมการ 1.47 และ 1.48 ลงในสมการ 1.50 .................1.52 .................1.53 ดังนั้น  RRxy = AA cos qB1xy + B cos q2x คิดท่แี นวแกน y  = y+ .................1.54 .................1.55 Ry = Ay+ By .................1.56 แทนคา่ สมการ 1.45 และ 1.46 ลงในสมการ 1.53 .................1.57 ดังน้ัน  RRzy = A cos qB1yz + B cos q2y คิดทแี่ นวแกน z  = A z + Rz = Az + Bz แทนค่า สมการ 1.47 และ 1.48 ลงในสมการ 1.56 ดังน้ัน Rz = A cos q1z + B cos q2z เวกเตอร์ลัพธ์ หาได้โดยคิดเสมือนว่าผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x y และ z เปน็ เวกเตอรใ์ หม่ 3 เวกเตอร์ ซึง่ ต้งั ฉากกนั ซึ่งจะไดว้ า่  R เมอื่ เปน็ เวกเตอรล์ พั ธ์  Rx +  Ry +  Rz  R = .................1.58 ดงั นน้ั R = ΣR 2 + ΣR2y + ΣR2z .................1.59 x Rzz R Rx x az ax Ry ay y ภาพท่ี 1.23 เวกเตอร์ลพั ธ์  R 3 มติ ิ จากภาพที่ 1.23 สามารถหาทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธไ์ ด้จาก สมการท่ี 1.11 1.12 และ 1.13 จะได้

25 cos ax = ΣR x .................1.60 ΣR .................1.61 .................1.62 cos ay = ΣR y ΣR cos az = ΣR z ΣR ตวั อย่างที่ 10 จากภาพ จงหาขนาดของ a + b + c b=4m a = 5 m 53˚ 37˚ c = 3 m วธิ ที ำ จากภาพ หาขนาดของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบของแตล่ ะเวกเตอร์ในแนวแกน x และ y ax = a cos 37° b x = b cos 53° cx = 0 m = (5)(0.80) = (-4)(0.60) = 4m = -2.4 m ay = a sin 37° by = b sin 53° c y = -3 m = (5)(0.60) = (4)(0.80) = 3m = 3.2 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบในแนวแกน x Rx = 4 + (-2.4) + 0 = 1.6 m ผลรวมของขนาดของเวกเตอร์องคป์ ระกอบในแนวแกน y Ry = 3 + 3.2 + (-3) = 3.2 m หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ R= ΣR2x + ΣR 2 = y (1.6)2 + (3.2)2 = 2.56 + 10.24

26 = 12.8 = 3.58 m ตอบ เวกเตอร์ลัพธ์ เทา่ กบั 3.58 เมตร ทิศทางทกำมารมุ รวqมกเวบั กแเนตวอแรก์ยนอ่ ยxในแรลูปะขอBงเเวปกน็ เตเวอกรเ์หตนอร่ึงห์ 3น่วมยิติ เมื่อ AB เปน็ เวกเตอร์ 2 มิติอยใู่ นระนาบ xy มี โดย ทำมุม f กบั ระนาบ xy และมุม a กับ แนวแกน y ดงั ภาพที่ 1.24 z A yy Bz ˆj ˆjkˆ a A By f Bˆi Bx x qˆi Ax x y ข. ก. ภาพที่ 1.24 เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย 2 มติ แิ ละ 3 มิติ จากภาพ 1.24 ก. สามารถเขียน A ใหอ้ ยูใ่ นรูปเวกเตอร์หนงึ่ หน่วย 2 มติ ิได้ดังน้ี A = A x + A y A = A xˆi + Ayˆj จแาทกนภคา่าพA1x.24ดว้ ขย.สสมากมาารรทถี่เABB1ข.ยี 1นแลBะ===ใAหอ้yยดใู่ น้วABยรBปูสxxcˆมiเoว+กs+กาเBqรตByทˆอiy+ี่รˆ+j1ห์ .B+2นAzงึ่จBsหะinzนไkˆดว่q้ยˆj 3 มิติ .................1.63 ได้ดังน้ี แทนคา่ Bx ดว้ ยสมการที่ 1.9 แทนคา่ By ด้วยสมการท่ี 1.10 และ Bz ด้วยสมการที่ 1.5 จะได้ B = B cos f sin a ˆi + B cos f cos a ˆj + B sin f kˆ กรณีทราบค่าขนาดของเวกเตอรอ์ งค์ประกอบในแต่ละแนวแกน สามารถหาขนา..ด...ข..อ..ง.....A...1แ.6ล4ะ B ได้โดยใช้หลกั การรวมเวกเตอร์กรณีเวกเตอร์ทำมมุ กนั 90° จากสมการที่ 1.22 จะได้

27 2 มิติ A= A 2 + A 2 .................1.65 x y 3 มิติ B = B2x + B2y + B2z .................1.66 ทศิ ทางของ A ไดจ้ ากสมการที่ 1.23 จากภาพ 1.24 ข. tan q = B Ay f กับระนาบ xy .................1.67 y การหาทิศทางของ โดยABx ทำมุม และมุม a กับแนวแกน เม่ือทราบคา่ Bx By และ Bz ดงั ภาพท่ี 1.25 Bz B By a BxByx By f Bxy Bz Bx ก. ข. ภาพท่ี 1.25 ทิศทางของ B สามารถหาทิศทางของ B ได้ดงั นี้ จากภาพที่ 1.25 ก. จะได้ tan f = Bz .................1.68 tan f = Bxy จากภาพท่ี 1.25 ข. จะได้ Bz B2x + B2y tan a = Bx .................1.69 By

28 การรวมเวกเตอร์หนึง่ หน่วยหลายเวกเตอร์ สามารถทำได้โดยนำค่าของเวกเตอร์หน่งึ หน่วยในแกน เดยี วกนั มารวมกนั เมอื่ กำหนดให้ A = Ax ˆi + A y ˆj + A z kˆ CB Bx ˆi + B y ˆj + B z kˆ คดิ ทแ่ี กน x = ˆj + คิดที่แกน y = CAxxˆi ++BxC+y Cx Cz kˆ คิดที่แกน z  Rx = ดังน้ัน  RRyx = A x + BBxy + CCyx .................1.70  = A y + +  RRzy = A y + BBzy + C y .................1.71  = A z + + Cz  RRz = ARzx + Bz + C z Rz .................1.72  = + Ry +   R =  (Ax + B x + C x) ˆi + (Ay + B y + C y) ˆj + (Az + B z + C z) kˆ .................1.73 จากสมการ 1.66 จะได้ R = ΣR2x + ΣR2y + ΣR2z ดังนัน้ R = (A x + Bx + Cx )2 + (A y + By + Cy )2 + (Az + Bz + Cz )2 .................1.74

29 ตัวอยา่ งที่ 11 กำหนดให้ A = 2 ˆi + 5 ˆj จงหา ก. ขนาดของเวกเตอร์ A แนวแกน x และ y ข. ขนาดของเวกเตอร์ A ค. ทิศทางของเวกเตอร์ A วิธที ำ วาดรปู เวกเตอร์จะได้ y Ay A Ay qx Ax ก. ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x เทา่ กับ 2 หนว่ ย ขนาดของเวกเตอร์ A ในแนวแกน y เทา่ กับ 5 หนว่ ย ข. ขนาดของเวกเตอร์ A A= Ax2 + Ay2 = 22 + 52 = 29 = 5.38 หนว่ ย ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A เท่ากับ 5.38 หน่วย ค. ทศิ ทางของเวกเตอร์ A tan q = Ay Ax = 5 2 q = 68 ตอบ ทิศทางของเวกเตอร์ A ทำมมุ 68 องศากบั แนวแกน x

30 ตัวอยา่ งที่ 12 กำหนดให้ A = 6 ˆi + 3 ˆj + 2kˆ จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ A วธิ ีทำ จาก A = Ax2 + Ay2 + Az2 = 62 + 32 + 22 = 49 = 7 หน่วย ทศิ ทางของเวกเตอร์ A tan f = Az A 2 + A 2 x y =2 62 + 32 = 0.30 f = 16.70 ตอบ ขนาดของเวกเตอร์ A เท่ากบั 7 หน่วย และทำมุม 16.70 องศา กับระนาบ xy ตวั อย่างท่ี 13 กำหนดให้ a = 4 ˆi + 3 ˆj + 6kˆ -++bb2bbแแลล=ะแะลaaะ2-+aˆib+b- 5 ˆj a 2b + 4kˆ a จงหา ก. a ข. ค. ง. 2 a - 3 b และ 2a - 3b วิธีทำ ก. a + b = (4 + 2) ˆi + (3 – 5) ˆj + (6 + 4) kˆ = 6 ˆi – 2 ˆj + 10kˆ a + b = 62 + (-2)2 + 102 = 140 = 11.83 หน่วย ตอบ เวกเตอร์ลพั ธ์ เท่ากับ 6 ˆi - 2 ˆj + 10kˆ และขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ เท่ากับ 11.83 หน่วย

31 ข. a - b = (4 - 2) ˆi + (3 - (-5)) ˆj + (6 - 4) kˆ = (4 - 2) ˆi + (3 +5) ˆj + (6 - 4) kˆ = 2 ˆi + 8 ˆj - 2kˆ a - b = 22 + 82 + (-2)2 = 72 = 8.49 หนว่ ย ตอบ เวกเตอร์ลพั ธ์ เทา่ กับ 2 ˆi + 8ˆj - 2kˆ และขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ เทา่ กับ 8.49 หนว่ ย ค. 2 b = 2(2)ˆi - 5(2)ˆj + 4(2) kˆ = 4 ˆi - 10ˆj + 8kˆ a + 2 b = (4 + 4) ˆi + (3 + (-10))ˆj + (6 + 8) kˆ = 8 ˆi - 7 ˆj + 14kˆ a + 2b = 82 + (-7)2 + (14)2 = 309 = 17.58 หนว่ ย ตอบ เวกเตอรล์ พั ธ์ เทา่ กับ 8 ˆi - 7ˆj + 14kˆ และขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ เท่ากบั 17.58 ง. 2 a = 4(2)ˆi + 3(2)ˆj + 6(2) kˆ = 8ˆi + 6 ˆj + 12kˆ -3 b = 2(-3)ˆi - 5(-3)ˆj + 4(-3)kˆ = -6 ˆi + 15ˆj - 12kˆ 2 a - 3 b = (8 - 6)ˆi + (6 + 15)ˆj + (12 - 12)kˆ = 2ˆi + 21ˆj 2a - 3b = 22 + 212 = 445 = 21.09 หน่วย ตอบ เวกเตอรล์ พั ธ์ เทา่ กบั 2 ˆi + 21ˆj และขนาดของเวกเตอรล์ พั ธ์ เท่ากับ 21.09 หน่วย

32 1.4 การคณู เวกเตอร์ การนำเวกเตอร์มาคูณกันแตกต่างจากการคูณเลขทางคณิตศาสตร์เพราะต้องคูณทั้งขนาดและ ทิศทาง การคูณเวกเตอร์ แบง่ ออกเปน็ 3 ประเภท คอื การคูณสเกลารก์ บั ปริมาณเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ( Dot – Product ) และ การคูณเวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ( Cross – Product ) 1.4.1 การคูณสเกลารก์ บั ปริมาณเวกเตอร์ การคณู วธิ นี ีเ้ ป็นการนำสเกลาร์คูณขนาดของเวกเตอร์ ผลลัพธ์ทไ่ี ด้จะเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ คือมีท้ัง ขนาดและทิศทาง ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดเท่ากับผลคูณของสเกลาร์กับขนาดของเวกเตอร์ ถา้ สเกลาร์มีเคร่ืองหมายเปน็ บวก ทิศทางของเวกเตอร์ผลลพั ธจ์ ะมีทิศทางเดิม ถ้าสเกลาร์มีเครื่องหมายเป็น ลบ ทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธจ์ ะมที ิศทางตรงข้ามกบั ทศิ ทางของเวกเตอรเ์ ดิม ดงั ภาพที่ 1.26 a = 3 หนว่ ย a 2a = (2)(3) = 6 หน่วย 2a - 2a a - 2a = (-2)(3) = - 6 หนว่ ย ภาพที่ 1.26 การคูณสเกลาร์กับปรมิ าณเวกเตอร์ 1.4.2 การคูณเวกเตอร์กบั เวกเตอรไ์ ดผ้ ลลพั ธ์เปน็ สเกลาร์ ( Dot – Product ) การคณู เวกเตอรก์ ับเวกเตอรไ์ ด้ผลลัพธ์เปน็ สเกลาร์ เปน็ การคูณเวกเตอรก์ บั เวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็น ปริมาณสเกลาร์ สญั ลักษณ์แทนการคูณแบบนี้ คอื “ · ” เชน่ การหาผลลัพธ์ของ a dot b ซึ่งเขียนแทน ได้เป็น a  b ผลคูณของปริมาณเวกเตอร์ทั้งสองเป็นสเกลาร์ซึง่ ขนาดของสเกลาร์หาไดจ้ ากความสัมพนั ธ์ ดังนี้ a  b = abcos q .................1.75 เมื่อ a และ b แทน ขนาดของเวกเตอรท์ งั้ สอง และ q แทน มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ตัวอย่างท่ี 14 กำหนดให้ a และ b มีขนาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกัน 60° จงหา a  b a  b = ab cos q วิธีทำ จากสตู ร = (10)(20) cos 60° = (200)(0.50) = 100 m ตอบ ขนาดของ a  b เทา่ กับ 100 เมตร

33 ตัวอย่างที่ 15 จากนิยาม W = F  S ถ้ามีแรงไปกระทำต่อวัตถุ 20 นิวตัน ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ไปใน ทศิ ทางทำมุมกบั แนวแรง 37° เปน็ ระยะทาง 40 เมตร จงหางานท่ีเกิดขน้ึ W = F  S วิธที ำ จากสูตร = FS cos q = (20)(40) cos 37° = (800)(0.80) = 640 J ตอบ งานทเ่ี กดิ ขึ้น เทา่ กบั 640 จลู กรณเี วกเตอร์ทีน่ ำมาคูณกันเป็นเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ย ( ˆi ˆj และ kˆ ) จาก a  b = ab cos q ดงั นัน้ ถ้าทำการคูณเวกเตอรก์ ันจะได้ ˆi · ˆi = (1)(1) cos 0° =1 ˆj · ˆj = (1)(1) cos 0° =1 kˆ · kˆ = (1)(1) cos 0° =1 ˆi · ˆj = (1)(1) cos 90° =0 ˆj · kˆ = (1)(1) cos 90° =0 kˆ · ˆi = (1)(1) cos 90° a =0 ab b ax ˆi + ay ˆj + azkˆ เม่อื กำหนดให้ = bx ˆi + by ˆj + bzkˆ จะได้ = axbx (ˆi  ˆi) + ayby (ˆj  ˆj) + ayby (kˆ kˆ) = ดงั นั้น .................1.76 a  b = (axbx ) + (ayby ) + (azbz )

34 ตวั อย่างที่ 16 กำหนดให้ a = 4 ˆi - 5 ˆj - 7kˆ วธิ ที ำ จงหา a  b b = 9 ˆi + 3 ˆj - 2kˆ จาก a  b = (axbx ) + (ayby ) + (azbz ) = (4)(9) + (-5)(3) + (-7)(-2) = 36 -15 +14 a  b = 35 หนว่ ย หน่วย ตอบ มีขนาด 35 ตัวอย่างท่ี 17 กำหนดให้ c = ˆi + 3kˆ วธิ ีทำ จงหา c  d d = 2 ˆi + 5 ˆj + 2kˆ จาก c  d = (cxdx ) + (cydy ) + (czdz ) = (1)(2) + (0)(5) + (3)(2) = 2+0+6 c  d = 8 หนว่ ย หน่วย ตอบ มขี นาด 8 1.4.3 การคูณปริมาณเวกเตอร์ด้วยปริมาณเวกเตอรไ์ ดผ้ ลลพั ธ์เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ ( Cross – Product ) การคณู ปริมาณเวกเตอรด์ ้วยปรมิ าณเวกเตอร์ได้ผลลพั ธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ เป็นการคูณเวกเตอร์ ท้ังสองและไซน์ ( sine ) ของมมุ ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลลพั ธเ์ ป็นปรมิ าณเวกเตอร์เหมอื นเดมิ แตท่ ศิ ทาง ของเวกเตอรล์ ัพธต์ ัง้ ฉากกับระนาบของเวกเตอร์ท้ังสอง สัญลกั ษณแ์ ทนการคูณแบบน้ี คอื “  ” เช่น a cross b ซง่ึ เขียนแทนได้เปน็ a  b ผลคณู ของปรมิ าณเวกเตอร์ท้ังสองหาไดจ้ ากความสมั พนั ธด์ ังน้ี a  b = c .................1.77 ขนาดของ c หรือ a  b หาไดจ้ าก a b = ab sin q .................1.78

35 การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ โดยใช้มือขวาในลักษณะนิ้วชี้ นิ้วกลาง และนิ้วหัวแม่มือตั้งฉาก ซึ่งกันและกัน แล้ววางนิ้วชี้ไปในทิศทางของ a นิ้วกลางชี้ตามทิศทาง b จะได้ว่าหัวแม่มือชี้ทิศทาง ของ c ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ การกำมือจากเวกเตอร์แรกไปหาเวกเตอร์ที่ 2 การคูณเวกเตอร์แบบนี้ จงึ ไมส่ ามารถสลับท่สี ำหรบั การคณู ได้ c a c bq a b ภาพท่ี 1.27 ทศิ ทางผลคณู เชงิ เวกเตอร์ ( Cross – Product ) ท่ีมา https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product ( สืบคน้ เม่ือ 20 ก.พ. 2559 ) ตัวอยา่ งที่ 18 กำหนดให้ a และ b มขี นาด 10 เมตร และ 20 เมตร ทำมุมกนั 30° จงหา a b วธิ ที ำ จากสูตร a b = ab sin q = (10)(20) sin 30° = (200)(0.50) ตอบ ขนาดของ a  b = 100 m เท่ากับ 100 เมตร ตัวอย่างที่ 19 =ลวIดตัวนBำมถีก้ารละวแดสยไาฟวฟ้2าไ0หลcmผ่านวาวงาทงอำยมู่ใุมนส3น0า° มกแับมส่เหนลา็กมแจมะ่เถหูกลแ็กรคงจวาากมสเขน้มาม5แมเท่เหสลล็กา กระทำมีค่า F เมื่อผา่ นกระแส 4 แอมแปร์ เขา้ ไป ลFวดจะถูก=แรงกระIทำเทB่าไร วธิ ีทำ จากสตู ร = IBsin q = (4)(0.2)(5) sin 30° = (4)(0.50) =2 ตอบ เกิดแรงกระทำตอ่ ลวด เท่ากับ 2 นวิ ตนั

36 กรณีที่เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ( ˆi ˆj และ kˆ ) การคูณปริมาณเวกเตอร์ด้วยปริมาณเวกเตอร์ ได้ผลลัพธเ์ ป็นปรมิ าณเวกเตอร์ ( Cross – Product ) ตอ้ งใชท้ ฤษฎดี า้ นคณิตศาสตร์ในเรอ่ื ง Determinant มาหาผลลัพธ์ โดยมหี ลักการ คอื คูณลงให้มเี ครื่องหมายเปน็ บวก ( + ) คณู ข้นึ ให้มเี ครอ่ื งหมายเปน็ ลบ ( - ) ˆi  ˆi = 0 เพราะ sin 0° = 0 ˆj  ˆj = 0 kˆ  kˆ = 0 ˆi  ˆj = 1 (kˆ ) เพราะ sin 90° = 1 ˆj  kˆ = 1 ( ˆi ) สลับทกี่ ารคูณมีค่าเปน็ ลบ kˆ  ˆi = 1 ( ˆj ) ถา้ a = ax ˆi + a y ˆj + a z kˆ b = bx ˆi + b y ˆj + b z kˆ เขียนในรูป Determinant จะได้ ijk i jk ax ay az ax ay az bx by bz bx by bz ค่าทางแกน x หรือ ทิศทาง ˆi คือ ay bz - az by ค่าทางแกน y หรือ ทิศทาง ˆj คือ az bx - ax bz ค่าทางแกน z หรอื ทิศทาง kˆ คอื ax by - ay bx จะได้ a  b = [aybz - azby ] ˆi + [azbx - axbz ] ˆj + [axby - aybx ] kˆ .................1.79 และหาขนาดของ a  b จาก a  b = (aybz - azby )2 + (azbx - axbz )2 + (axby - aybx )2 .................1.80

37 ตวั อย่างที่ 20 กำหนดให้ a = 5 ˆi + 4 ˆj + 3kˆ b -2 ˆi + 5 ˆj - 6kˆ a  b และ = จงหา ab วธิ ที ำ หา a  b เขียนในรูป Determinant i j k i jk 5 4 3 5 43 -2 5 -6 -2 5 -6 a  b = (4)(-6) - (5)(3)ˆi + (3)(-2) - (-6)(5)ˆj + (5)(5) - (-2)(4)kˆ = (-24) - (15)ˆi +(-6) - (-30)ˆj +(25) - (-8)kˆ = -39 ˆi + 24 ˆj + 33kˆ ab = (-39)2 + (24)2 + (33)2 = 1521 + 576 + 1089 = 3186 = 56.44 หน่วย ตอบ a  b เท่ากบั -39 ˆi + 24 ˆj + 33kˆ และขนาดของ a  b เทา่ กับ 56.44 หน่วย ตัวอยา่ งท่ี 21 กำหนดให้ C = 2 ˆj - kˆ จงหา CD = 3 ˆi + 2 ˆj + 4kˆ D วธิ ที ำ หา C  D เขียนในรูป Determinant i j k i jk 0 2 -1 0 2 -1 3 2 4 3 24

38 C  D = (2)(4) - (2)(-1)ˆi + (-1)(3) - (4)(0)ˆj + (0)(2) - (3)(2)kˆ = = (8) + (2)ˆi + (-3) - (0)ˆj + (0) - (6)kˆ 10 ˆi - 3 ˆj - 6kˆ CD = (10)2 + (-3)2 + (-6)2 = 100 + 9 + 36 = 145 = 12.04 หนว่ ย ตอบ CD เท่ากับ 12.04 หน่วย