3-เอกสารประกอบการเรียน- แรงและแรงเสียดทาน

เอกสารประกอบการเรียน รหัสวชิ า 20000-1302 วชิ า วทิ ยาศาสตร์เพือ่ พัฒนาอาชพี ชา่ งอุตสาหกรรม หลกั สตู รประกาศนยี บัตรวิชาชพี พุทธศกั ราช 2562 หน่วยที่ 2 เรื่อง แรงและแรงเสยี ดทาน ธญั พร พุ่มพวง ครชู ำนาญการพิเศษ วทิ ยาลยั เทคนคิ ลพบรุ ี คำแนะนำสำหรับผเู้ รยี น สำนัก1ง. ใาหนผ้ ูเ้ครียณนฟะงักครำแรนมะกนำาจรากกผาู้สรออนาชวี ศึกษา กระทรวงศกึ ษาธกิ าร 2. ให้ผูเ้ รยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน จำนวน 15 ข้อ เวลา 60 นาที 3. ให้ผู้เรียนทำกจิ กรรมการจัดการเรียนรทู้ ีผ่ สู้ อนมอบหมายตามขนั้ ตอนทุก ขนั้ ตอน

36 หัวขอ้ การเรียนรู้ 1. ความหมายของแรงและชนิดของแรง 2. แรงเสยี ดทาน 3. การแยกแรง 4. การหาผลรวมของแรง จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม 1. บอกความหมายของแรงได้อยา่ งถกู ต้อง 2. วเิ คราะหช์ นิดของแรงทีม่ ากระทำต่อวัตถใุ นสภาพตา่ ง ๆ ไดอ้ ยา่ งถกู ต้อง 3. วเิ คราะหแ์ รงเสยี ดทานทเี่ กดิ กบั วัตถไุ ดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง 4. คำนวณหาแรงเสยี ดทานไดอ้ ยา่ งถกู ต้อง 5. คำนวณการแยกแรงได้อย่าถกู ต้อง 6. คำนวณหาผลรวมของแรงบนระนาบ 2 มติ ไิ ดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง 7. ปฏบิ ัติงานดว้ ยความละเอียดรอบคอบ ปลอดภยั เป็นระเบยี บ สะอาด ตรงตอ่ เวลา มีความ ซื่อสัตย์ รักษา สภาพแวดล้อม

37 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น หนว่ ยที่ 2 คำชแี้ จง 1) แบบทดสอบมี 15 ข้อ ๆ ละ 1 คะแนน 2) ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกทสี่ ดุ เพียงข้อเดยี ว 1. ข้อใดกล่าวความหมายของแรง ไม่ถกู ตอ้ ง ก. แรงมีหนว่ ยเป็น kg m/s2 ข. แรงเป็นปริมาณสเกลาร์ ค. แรงเป็นปรมิ าณทม่ี ีทง้ั ขนาดและทิศทาง ง. หนว่ ยของแรงตามระบบเอสไอคอื นิวตนั 2. ขอ้ ใดกลา่ วถกู ต้องเกยี่ วกบั แรง ก. สง่ิ ท่ีสามารถทำใหว้ ตั ถอุ ยนู่ ่งิ เท่าน้ัน ข. ช่วยเรง่ การเคลื่อนทข่ี องวตั ถุเทา่ นนั้ ค. ผลของแรง ทำให้เกดิ การเปล่ยี นแปลงตอ่ วตั ถทุ ถี่ กู กระทำ ง. ผลของแรงทำใหไ้ มม่ กี ารเปลย่ี นแปลงรปู ทรงของวตั ถุ 3. วตั ถุวางอยบู่ นพื้นเอยี งขรุขระ ถา้ ออกแรงกระทำให้วัตถุเคล่ือนทีข่ ้นึ ไปบนพนื้ เอียง ขอ้ ใดไมใ่ ช่แรงท่ี กระทำตอ่ วตั ถุ ก. แรงเสียดทาน ข. แรงตึง ค. แรงโนม้ ถ่วงของโลก ง. แรงปฏิกิรยิ าระหวา่ งผิวสัมผสั 4. นำ้ หนกั ของวตั ถเุ กย่ี วกับแรงชนิดใด ก. แรงโน้มถว่ งของโลก ข. แรงเสียดทาน ค. แรงแม่เหลก็ ง. แรงลอยตัว 5. วตั ถุมวล 20 กรัม จะมีนำ้ หนักเท่ากับข้อใด ก. 0.02 N ข. 0.2 N ค. 2 N ง. 20 N 6. เม่ือรถว่ิงไปขา้ งหน้า แรงเสยี ดทานของถนนจะมีทศิ ทางไปทางใด ก. ตรงขา้ มกบั รถท่วี ิง่ ข. ทิศทางเดยี วกบั รถทวี่ ่งิ ค. ทิศทางไมแ่ น่นอน ง. พ้นื ถนนมแี รงเสยี ดทานทุกทศิ ทาง 7. การเคลอ่ื นทข่ี ้อใดตอ้ งอาศยั แรงเสียดทาน ก. การเดินบนพ้นื ถนน ข. การยกของขึน้ ท่สี ูง ค. การใชร้ อกช่วยยกของ ง. การแกว่งของลูกตุ้มนาฬกิ า

38 8. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม วางอยู่บนพื้น ดึงวัตถุในแนวราบกับพื้นด้วยแรง 40 นิวตัน วัตถุเริ่มเคลื่อนที่พอดี จงหาสมั ประสทิ ธิข์ องแรงเสียดทานสถิตระหว่างพ้ืนกบั วัตถุ ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 9. กล่อง 2 กิโลกรมั วางบนพื้นที่มสี ัมประสิทธ์ิความเสียดทาน 0.1 จงหาวา่ จะใชแ้ รงสงู สดุ เท่าไรจงึ จะ เคล่อื นทกี่ ลอ่ งนี้ได้ ก. 2 N ข. 4 N ค. 6 N ง. 8 N 10. เมื่อแรงขนาด 40 นวิ ตันกระทำต่อวตั ถทุ ี่วางบนพน้ื ราบ โดยทำมมุ 53 องศากับแนวระดบั ข้อใดกลา่ ว ถกู ตอ้ ง ก. แรงกระทำแนวราบ 32 นิวตนั แรงกระทำในแนวด่งิ 24 นวิ ตัน ข. แรงกระทำแนวราบ 32 นวิ ตัน แรงกระทำในแนวด่ิง 32 นวิ ตัน ค. แรงกระทำแนวราบ 24 นวิ ตัน แรงกระทำในแนวดงิ่ 24 นวิ ตนั ง. แรงกระทำแนวราบ 24 นวิ ตัน แรงกระทำในแนวดิ่ง 32 นิวตนั 11. จากภาพ ข้อใดเปน็ ค่าแรงในแนวแกน x และ y y F = 100N 37˚ x ก. Fx = 80 N และ Fy = 60 N ข. Fx = 60 N และ Fy = 80 N ค. Fx = 40 N และ Fy = 25 N ง. Fx = 25 N และ Fy = 40 N 12. จากรูป ขอ้ ใดเป็นผลรวมของแรง Fറ2= 25 N Fറ1= 15 N m Fറ3= 30 N

39 ก. 10 N ข. 15 N ค. 20 N ง. 25 N 13. ขอ้ ใดเป็นผลรวมของแรง 4 นวิ ตนั และ 5 นิวตนั กระทำต่อวัตถเุ ดยี วกันดว้ ยมมุ 60 องศา ก. 8.64 N ข. 7.68 N ค. 6.32 N ง. 5.20 N 14. ข้อใดเป็นขนาดของแรงที่ 3 ที่มากระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุหยุดนิ่ง โดยกำหนดให้ แรงที่ 1 และแรงที่ 2 มีขนาด 4 นวิ ตนั และ 8 นิวตัน ตามลำดบั กระทำตอ่ วตั ถุเดียวกนั และทำมุมกัน 90 องศา ก. 9.87 N ข. 8.94 N ค. 7.32 N ง. 6.64 N 15. จากภาพ ขอ้ ใดคอื ขนาดของ F1 + F2 + F3 F2 = 20 N y F1 = 10 N 37˚ 60˚ x 45˚ F3 = 40 N ก. 14.17 N ข. 24.22 N ค. 36.54 N ง. 40.14 N

40 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 2 เรือ่ ง แรงและแรงเสยี ดทาน แนวคดิ แรง คือ อำนาจชนิดหนึ่ง ซึ่งเป็นปริมาณที่ได้จากพลังงานทุกชนิด เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุ วัตถุจะพยายามเปลี่ยนแปลงสภาพของวัตถุ เช่น เปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ เปลี่ยนขนาดของอัตราเร็ว หรอื เปล่ยี นขนาด รปู ร่างของวัตถุ การเปลีย่ นแปลงทีเ่ กดิ ขึ้นเกิดจากผลรวมของแรงทง้ั หมด วธิ ีการรวมแรง ใช้หลกั การรวมเวกเตอร์ แรงในหน่วยเอสไอ มหี นว่ ยเปน็ kg m/s2 หรอื นวิ ตนั หัวข้อการเรียนรู้ 2.1 ความหมายของแรงและชนิดของแรง 2.2 แรงเสยี ดทาน 2.3 การแยกแรง 2.4 การหาผลรวมของแรง จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม 1. บอกความหมายของแรงไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง 2. วเิ คราะห์ชนดิ ของแรงทมี่ ากระทำตอ่ วตั ถใุ นสภาพต่าง ๆ ได้อยา่ งถูกตอ้ ง 3. วิเคราะหแ์ รงเสยี ดทานทเี่ กดิ กบั วตั ถุไดอ้ ยา่ งถูกต้อง 4. คำนวณหาแรงเสียดทานไดอ้ ย่างถูกตอ้ ง 5. คำนวณการแยกแรงได้อยา่ งถกู ตอ้ ง 6. คำนวณหาผลรวมของแรงบนระนาบ 2 มิตไิ ด้อย่างถูกต้อง

41 2.1 ความหมายของแรงและชนิดของแรง แรงมีบทบาททีส่ ำคัญมากต่อกิจกรรมต่าง ๆ ในชีวิตประจำวัน การออกแรงกระทำต่อวัตถุสามารถ ทำให้วัตถทุ ีห่ ยุดนิง่ เกดิ การเคลือ่ นที่ หรอื วัตถทุ ่ีกำลงั เคลอ่ื นที่หยุดนง่ิ หรอื เคลือ่ นทช่ี ้าลงหรือเรว็ ขนึ้ หรืออาจ เปล่ียนทิศทางการเคล่อื นที่ 2.1.1 Fคoวrcาeมห: มFา)ยหขมอางยแถรงึง อำนาจหรือสิ่งที่ไปกระทำต่อวัตถุแล้วทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลง แรง ( การเคลื่อนที่ ความเร็ว ขนาดและรูปร่าง แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ผลซึ่งเกิดจาก การกระทำของแรงขึ้นอยู่กับลักษณะของแรง ชนิดของแรง ขนาดของแรง และจุดที่แรงกระทำต่อวัตถุ เช่น การเลื่อนเก้าอี้ต้องมีการออกแรงกระทำต่อเก้าอี้ ผลของการออกแรงกระทำตอ่ เก้าอี้จะทำให้เก้าอี้เกดิ การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ แต่การออกแรงกระทำต่อวัตถุนั้นไม่ได้ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เสมอไป เช่น การออกแรงผลกั ผนงั ตึก ผลของการออกแรงไม่ทำใหผ้ นงั ตกึ เคลอ่ื นที่ การเขยี นสัญลกั ษณ์ของแรงจึงต้องใช้ ลูกศรแสดงทิศทางและความยาวแทนขนาดของแรง ในหน่วยเอสไอ ( International system of units ) แรงมหี น่วยเปน็ kg m/s2 หรือ นวิ ตัน แรง 1 นิวตัน คือ แรงทท่ี ำใหว้ ตั ถมุ วล 1 กิโลกรมั ( kg ) มคี วามเรง่ 1 เมตรตอ่ วนิ าที2 ( m/s2 ) ดงั น้นั จึงเขียนเป็นสมการได้ว่า .................2.1 F = m a โดยท่ี F แทน แรง หนว่ ย นวิ ตัน หรอื kg m/s2 m แทน มวลของวตั ถุ หน่วย กโิ ลกรัม หรือ kg a แทน ความเร่ง หน่วย เมตรต่อวนิ าที2 หรือ m/s2 F 2 F1 FF==mmg g ภาพที่ 2.1 การเขยี นสัญลักษณข์ องแรง

42 ตัวอย่างท่ี 1 วตั ถมุ วล 4 กโิ ลกรมั ถูกแรงกระทำให้เคลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรง่ 2 เมตรตอ่ วนิ าที2 จงหาขนาด ของแรงที่มากระทำกับวตั ถุ วธิ ีทำ F = m a จากสมการท่ี 2.1 = ( 4 kg )( 2 m/s2 ) =8N ตอบ แรงทม่ี ากระทำกบั วตั ถุเทา่ กบั 8 นิวตัน 2.1.2 ชนิดของแรง เมื่อวัตถถุ ูกแรงกระทำ การเปล่ียนแปลงการเคลื่อนที่ ความเร็ว ขนาด รูปร่าง และทิศทางของวตั ถุ จะขึ้นอยู่กับขนาดและทิศทางของแรงที่มากระทำ การแบ่งชนิดของแรงโดยใช้การสัมผัสทางกายภาพของ วัตถุที่ออกแรงกระทำกับวัตถทุ ีถ่ ูกกระทำเป็นเกณฑ์ แบ่งได้ 2 ชนิด คือ แรงสัมผัส ( Contact force ) และ แรงสนาม ( Field force ) 1. แรงสัมผัส ( Contact force ) เกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่ออกแรงกระทำและวัตถุที่ถูกกระทำสัมผัส กันทางกายภาพ เช่น การออกแรงดันรถเข็น ดังภาพที่ 2.2 ก. การออกแรงเตะลูกบอล ดังภาพที่ 2.2 ข. เป็นตน้ ก. ข. ภาพท่ี 2.2 ตวั อยา่ งแรงสัมผัส แรงท่กี ระทำตอ่ วัตถดุ ังกลา่ วเป็นผลจากการสัมผสั กนั ระหว่างวัตถุ 2 ชนิดทเี่ ป็นวตั ถุออกแรงกระทำ กับวัตถุที่ถูกกระทำ fถo้าrวcัตeถ:ุทNั้งส) อแงรองยเสู่หีย่าดงทกาันนจะ( ไFมri่เcกtิดioผnลขfoอrงcแeร:ง แf ร)งแสรัมงผตัสึง (ไดT้แeกn่sแioรnงปfoฏrิกcิeริย:ารTะ)หแวล่าะง ผวิ สมั ผัส ( Normal แรงจากสปรงิ ( Spring force )

43 1.1 แรงปฏกิ ิรยิ าระหว่างผวิ สมั ผัส ( Normal force : N ) แรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัสเป็นแรงที่เกิดขึ้นเมื่อวัตถุสัมผัสกับพื้นผิวใด ๆ พื้นผิวนั้นจะมีแรง กระทำต่อวัตถุในลักษณะผลักวัตถุออกจากพื้นผิวสัมผัสโดยแรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัสมีทิศทางพุ่งออก ในแนวตั้งฉากกับพื้นผิวของวัตถุเสมอ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนแรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัส คือ “ N ” ดังภาพที่ 2.3 N N F m m W = mg f W = mg ภาพท่ี 2.3 แรงปฏกิ ริ ยิ าระหวา่ งผวิ สัมผัสที่เกดิ ข้นึ กบั วตั ถุ 1.2 แรงเสียดทาน ( Friction force : f ) แรงเสียดทานเป็นแรงที่เกิดขึ้นระหว่างผิวสัมผัสของวัตถุกับผิวใด ๆ ก็ตาม ซึ่งจะได้ศึกษาแรง เสียดทานในหวั ขอ้ 2.2 ต่อไป force : T ) 1.3 แรงตงึ ( Tension แรงตึงเป็นแรงที่เกิดขึ้นจากการทีว่ ัตถุทีม่ ีลักษณะเป็นเส้น เช่น เชือก ลวด สายเอ็นท่ีถูกทำใหต้ ึง โดยดึงปลายทัง้ สองดา้ นในเส้นเชือก ลวด สายเอ็นเดียวกันมีแรงตงึ เท่ากันทุกจุด จะเกิดเฉพาะตามแนวเสน้ สเทัญ่าลนกั ั้นษณแล์ทะใ่ี ทชแ้ิศททนาแงขรงอตงึงแรคงอื ต“ึงอTย”ู่ในดแงั นภวาขพอทงี่ เ2ส.4้นเชือกมีทิศทางพุ่งออกจากระบบที่กำลังพิจารณาเสมอ T mm พจิ ารณาที่ มวล m W ภาพที่ 2.4 แรงตงึ เชือกท่ีกระทำต่อวตั ถุ

44 1.4 แรงจากสปริง ( Spring force ) สปริงเป็นอุปกรณ์ที่มีความยืดหยุ่น เมื่อไม่มีแรงมากระทำสปริงจะอยู่ในสภาพปกติ และหากมี แรงมากระทำสามารถยืดหรือหดเข้าตามแรงที่มากระทำ แรงจากสปริง มี 2 ลักษณะ คือแรงดึงเมื่อสปริง ถูกทำใหย้ ืดออก และแรงดันออกเมื่อสปรงิ หดตวั เข้าไป ดังภาพท่ี 2.5 m xF แเมรง่อื สfปแรรงิ งถสูกปยรดื ิงอจอะกดดงึ เว้ ขยา้ m f F x m f เมอ่ื สปริงถูกดันแรง f ให้หดตัว เข้าไป แรงสปริงจะดนั ออกมา ภาพที่ 2.5 แรงสปริงเมอื่ ยดื สปริงออกและดนั สปรงิ ให้หดตวั เขา้ ไป ขนาดของแรงสปรงิ จะแปรผนั โดยตรงกับระยะทย่ี ดื หรอื หด แตต่ ้องไมเ่ กนิ ขดี จำกัดของการยืดหยนุ่ จะได้วา่ Fx F = -kx .................2.2 เม่อื F แทน แรงสปรงิ หน่วย นวิ ตนั หรอื kg m/s2 k x แทน ค่าคงตวั ของสปริง หน่วย นวิ ตนั ตอ่ เมตร หรือ N/m แเคทรน่ืองรหะมยาะยทีย่–ดื แหสรดอื งหทดิศตทวั าขงอขงอสงปรFงิ แหลนะ่วxย เมตร หรือ m วา่ ตรงข้ามกนั

45 ตัวอย่างที่ 2 ออกแรงดงึ วัตถทุ ่ตี ดิ กบั สปริงใหย้ ดื ออกเปน็ ระยะ 0.4 เซนตเิ มตร คา่ คงตวั ของสปรงิ เทา่ กบั 0.2 นิวตันต่อเมตร จงหาแรงจากสปรงิ วธิ ที ำ จากสมการที่ 2.2 F = -kx = - ( 0.2 N/m )( 0.4 X 10-2 m ) = - 0.0008 N ตอบ แรงสปริงมขี นาดเทา่ กบั 0.0008 นิวตนั 2. แรงสนาม ( Field force ) หรือแรงไม่สัมผัสเกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่ออกแรงกระทำและวัตถุที่ถูก กระทำไม่มีการสัมผัสทางกายภาพกันเลย เช่น การที่อนุภาคซึ่งมีประจุดึงดูดกันหรือผลักกันด้วยแรงทาง ไฟฟา้ และการดึงดดู ระหว่างแม่เหลก็ และเหล็กด้วยแรงทางแม่เหลก็ แรงลกั ษณะนจี้ ะเกดิ กับวัตถุโดยส่งผ่านทว่ี ่างมายังวัตถอุ ีกชนดิ หนึ่งซง่ึ ไมส่ มั ผัสกัน ไดแ้ ก่ การท่วี ตั ถุ ตกลงมาสพู่ ้นื ดว้ ยแรงโน้มถว่ งของโลก ( Gravitational force ) แรงโน้มถว่ งของโลก ( Gravitational force ) โลกจะดึงดูดวัตถุต่าง ๆ ให้ตกลงสู่ผิวโลก แรงชนิดนี้เป็นแรงที่ใกล้ตัวเราที่สุด จากการค้นคว้า ของนิวตัน อธิบายแรงโน้มถ่วงของโลกโดยใช้กฎแรงดึงดูดระหว่างมวล กล่าวคือ “วัตถุ 2 ก้อนที่อยู่ห่างกนั จะเกิดแรงดึงดดู ซ่ึงกันและกัน โดยขนาดของแรงจะแปรผันตรงกับขนาดของมวลทั้งสอง และแปรผกผันกับ ระยะหา่ งระหวา่ งมวลท้งั สอง ยกกำลงั สอง” ค่าของมวลมาก จะมแี รงดึงดดู มาก คา่ ของมวลนอ้ ย จะมแี รงดงึ ดดู น้อย ระยะห่างมาก แรงดงึ ดดู จะมีค่าน้อย ระยะหา่ งนอ้ ย แรงดงึ ดดู จะมคี า่ มาก ภาพท่ี 2.6 เซอรไ์ อแซค นิวตัน ผคู้ น้ พบแรงโน้มถว่ งของโลก ที่มา : http://www.neutron.rmutphysics.com ( สืบคน้ เมอ่ื 20 พ.ย. 2564 )

46 แรงโน้มถ่วงของโลกบางครั้งเรียกว่า น้ำหนักของวัตถุ ( Weight : W ) มีค่าเทา่ กับมวล (m) คูณกับ ความเรง่ เน่ืองจากแรงโนม้ ถว่ งของโลก ( g ) W = m g .................2.3 โดยท่ี W แทน น้ำหนักของวตั ถุ หน่วย นวิ ตนั หรือ kg m/s2 m แทน มวลของวัตถุ หนว่ ย กโิ ลกรัม หรอื kg g แทน ความเรง่ เน่อื งจากแรงโนม้ ถ่วงของโลกหน่วย เมตรตอ่ วินาที2 หรอื m/s2 มีค่าโดยประมาณ 9.81 m/s2 เพือ่ สะดวกในการคำนวณจะใช้ g = 10 m/s2 ตัวอย่างที่ 3 คอนกรีตกอ้ นหนึง่ มมี วล 4 กิโลกรมั คอนกรตี กอ้ นน้ีมนี ำ้ หนักก่นี วิ ตัน วิธที ำ W = m g จากสมการที่ 2.3 = ( 4 kg )( 10 m/s2 ) = 40 N ตอบ คอนกรตี มนี ้ำหนัก 40 นวิ ตนั 2.2 แรงเสยี ดทาน ( Friction force : f ) แรงเสียดทานเป็นแรงที่เกิดขึ้นระหว่างผิวสัมผัสของวัตถุสองชิ้น เป็นแรงซึ่งผิววัตถุหนึ่งต้าน การเคลื่อนท่ขี องผิววตั ถอุ กี ผวิ หน่งึ เชน่ การใส่รองเท้าเดินบนผิวถนน แรงเสยี ดทานจะเกดิ ขึ้นจากการสมั ผสั กันระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้า การเดินบนผิวถนนที่มีโคลนเปียกและลื่นเดินได้ยากกว่าการเดินบนผิว ถนนที่แห้ง เนื่องจากแรงที่เกิดจากการสมั ผสั ระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้า หรือแรงเสียดทานที่ผิวถนนที่มี โคลนเปียกลื่นมนี อ้ ยกว่าผวิ ถนนทแ่ี ห้ง การเดนิ บนผิวถนนต้องอาศยั แรงเสียดทานของผวิ ถนนกบั พ้นื รองเท้า ดงั ภาพที่ 2.7 คนเดนิ ไปข้างหน้า แรงเสยี ดทาน พื้นรองเทา้ เคลอื่ นทีไ่ ปข้างหลงั แรงปฏกิ ริ ิยาระหวา่ งผิวสมั ผัส ภาพท่ี 2.7 แรงเสยี ดทานระหว่างผวิ ถนนกบั พืน้ รองเทา้

47 จากภาพที่ 2.7 ในขณะที่คนเดินไปข้างหน้าที่จุดผิวสัมผัสระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้า ทิศทาง การเคลื่อนที่ของพื้นรองเท้าไปข้างหลัง แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้าจะมีทิศทาง ไปข้างหน้าซึ่งตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของพื้นรองเท้า ดคังือนแั้นรแงเรสงียเสดียทดานทสานถติ มีท(ิศfsท)าแงลตะรแงขรง้าเมสกียับด ททาศิ นทจาลงกนา์ (รเfkค)ลด่อื งันภทาข่ี พอทง่ีจ2ุด.8ผวิ สัมผัส แรงเสียดทาน มี 2 ลักษณะ N F N F m m fk W fs W ก. แรงเสยี ดทานสถติ ข. แรงเสยี ดทานจลน์ ภาพที่ 2.8 แรงเสยี ดทาน พิจารณา มวล m ที่วางอยู่บนพ้นื ดังภาพท่ี 2.8 ก. ถ้าออกแรง F ในแนวระดบั กระทำต่อมวล m ไปทางขวา ด้วยขนาดของแรงที่ไม่มากพอ มวล m ยังคงอยู่นิ่งเพราะมีแรงกระทำต่อวัตถุ มวล m : fs ) ซึ่งเกิดขณะวัตถุไม่เคลื่อนที่ ถ้าเราเพ่ิม ไปทางซ้าย คือ แรงเสียดทานสถิต ( Static friction Force จะเริ่มเคลื่อนที่ เมื่อวัตถุมวล m เริ่มเคลื่อนท่ี ขนาดของแรง F ให้มากพอ ดังภาพที่ 2.8 ข. วัตถุมวล m แรงเสียดทานสถิตจะมีค่ามากที่สุด และถ้าแรง F มีค่ามากกว่าแรงเสียดทานสถิต วัตถุมวล m จะเคลื่อน ด้วยความเร่งไปทางขวา ในขณะที่วัตถุมวล m กำลังเคลื่อนที่ แรงเสียดทานจะลดน้อยลงและน้อยกว่าแรง เสียดทานสถิต frictทioี่มnีค่าFมoาrcกeที่ส: ุดfk แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นขณะวัตถุกำลังเคลื่อนที่ เรียกว่า แรงเสียดทาน จลน์ ( Kinetic ) สำหรับวัตถุคู่หนึ่ง ๆ แรงเสียดทานสถิตและแรงเสียดทานจลน์ เป็นสัดส่วนกับแรงปฏิกิริยา ระหว่างผวิ สัมผสั กระทำกับวตั ถุในแนวต้ังฉาก ซ่ึงแรงปฏกิ ริ ิยาระหว่างผวิ สมั ผัสมีค่าเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ ที่วางในแนวราบ และจะขึ้นกับธรรมชาติของผิวสัมผัสระหว่างวัตถุ 2 ชนิดด้วย ถ้าผิวสัมผัสมีความขรุขระ มากจะมีแรงเสยี ดทานมาก เขียนเปน็ ความสมั พันfธ์ ไดด้ Nังนี้ จาก ดงั น้ัน ขนาดของแรงเสียดทานสถติ จfะไ=ด้วา่µ N .................2.4 โดยที่ f แทน แรงเสยี ดทานสถิต หน่วยเป็น นิวตัน หรือ N µN แทน สัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทาน แทน แรงปฏิกริ ิยาระหวา่ งผวิ สัมผสั หน่วยเปน็ นิวตัน หรือ N

48 2.2.1 แรงเสยี ดทานสถิต ( Static friction Force : fs ) แรงเสียดทานสถิต คอื แรงเสียดทานท่เี กดิ ขึ้นขณะวัตถุหยดุ นิ่งแล้วมีแรงอ่ืนมากระทำต่อวัตถุทำให้ วัตถุเริ่มเคลื่อนที่หรือหมุน ค่าแรงเสียดทานมีค่าเพิ่มขึ้นจากศูนย์ไปจนสูงสุดถึงจุด ๆ หนึ่งที่วัตถุจะเร่ิม เคลื่อนท่ี โดยคา่ แรงเสยี ดทานแปรผนั ไปตามแรงปฏกิ ริ ิยาระหว่างผิวสัมผสั ดงั ภาพท่ี 2.9 F N m fs W ภาพที่ 2.9 แรงเสยี ดทานสถติ จากสมการที่ 2.4 แรงเสียดทานสถิต จะไดว้ ่า fs = µs N .................2.5 โดยที่ fs แทน แรงเสียดทานสถิต หนว่ ยเป็น นวิ ตัน หรอื N µNs แทน สมั ประสทิ ธขิ์ องแรงเสียดทานสถติ แทน แรงปฏิกริ ิยาระหวา่ งผวิ สมั ผัส หน่วยเปน็ นิวตนั หรอื N 2.2 แรงเสยี ดทานจลน์ ( Kinetic friction Force : fk ) แรงเสียดทานจลน์ คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นกับวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ซึ่งมีผลทำให้วัตถุเคลื่อนท่ี ช้าลงจนหยุดนิ่ง แรงเสียดทานจลน์มีขนาดคงที่ไม่ว่าวัตถุนั้นจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลง ดังภาพท่ี 2.10 N m fk F W ภาพที่ 2.10 แรงเสยี ดทานจลน์

49 จากสมการท่ี 2.4 แรงเสียดทานสถติ จะได้วา่ .................2.6 fk = µk N โดยที่ fk แทน ขนาดของแรงเสียดทานจลน์ หน่วยเป็น นวิ ตนั หรือ N µNk แทน สัมประสิทธข์ิ องแรงเสยี ดทานจลน์ แทน แรงปฏิกิริยาระหวา่ งผวิ สัมผัส หนว่ ยเป็น นิวตนั หรือ N นอกจากนี้การหาขนาดของแรงเสียดทานจลน์ สามารถหาได้จากการเปลี่ยนรูปพลังงาน เมื่อวัตถุ เคลือ่ นท่ไี ปบนผิวสัมผัสแล้วเคล่ือนท่ีชา้ ลง ดงั ภาพท่ี 2.11 v1 v2 m f m s ภาพที่ 2.11 แรงเสียดทานจลน์กับการเปล่ียนรปู พลงั งาน การเปลี่ยนรูปพลังงาน Ek Ek + Wf จะได้ 12 1 mv12 = 1 mv 2 + fk · s .................2.7 2 2 2 โดยที่ fk แทน ขนาดของแรงเสยี ดทานจลน์ หนว่ ยเปน็ นิวตัน หรือ N s แทน ระยะทางทว่ี ตั ถุเคลื่อนท่ีไป หนว่ ยเป็น เมตร หรอื m m แทน มวลของวตั ถุ หน่วยเปน็ กโิ ลกรมั หรอื kg v1 และ v2 แทน ความเรว็ ของวตั ถุ หนว่ ยเป็น เมตรต่อวินาที หรอื m/s การเกิดแรงเสยี ดทานมีทั้งข้อดีและข้อเสีย ในขณะที่คนเดินบนถนน แรงเสียดทานระหว่างรองเท้า กับพื้นถนนทำให้คนเดินไปได้ ถ้าแรงเสียดทานน้อยมากจะทำให้ลื่นหกล้มไดง้ ่าย ดังนั้นพื้นรองเท้าจึงต้องมี ลวดลายเพื่อให้เกิดแรงเสียดทาน การเคลื่อนที่ของยานพาหนะ เช่น ในขณะที่รถเคลื่อนท่ีนั้น ล้อกับถนน จะต้องมีแรงเสียดทานเพื่อทำให้รถเคลื่อนที่ไปได้ตามทิศที่ต้องการ ถ้าไม่มีแรงเสียดทานรถจะแล่นไปไม่ได้ ล้อรถจะหมุนอยู่กับที่ และถ้ามีแรงเสียดทานน้อยจะทำให้รถเกิดอุบัติเหตุได้ง่าย เช่น เวลาฝนตกถนนลื่น รถทว่ี ิง่ ด้วยความเร็วสูงจะหยดุ ได้ยาก ยางรถยนต์จึงตอ้ งมีดอกยางเป็นลวดลายเพ่อื เพิ่มแรงเสยี ดทาน

50 การลากวัตถุบนพื้นขรุขระต้องออกแรงมากกว่าการลากวัตถุบนพื้นลื่น จึงต้องใช้แรงมากขึ้นเพ่ือ เอาชนะแรงเสียดทานซ่งึ ทำให้ส้นิ เปลืองพลงั งานมาก การลดแรงเสียดทานสามารถทำไดห้ ลายวธิ ีดังนี้ 1) การทำให้ผิวสมั ผสั เรียบลื่น เชน่ การใช้นำ้ มันหล่อลนื่ หรอื จาระบีบริเวณข้อต่อ จุดหมุน และ ผิวหนา้ สัมผัสต่างๆ 2) การใช้อุปกรณ์ต่างๆ เช่น ล้อช่วยลดแรงเสียดทานระหว่างผิวสัมผัส ตลับลูกปืนลักษณะเปน็ ลกู เหลก็ กลมอย่ใู นเบ้าท่รี องรบั ผิวเรียบล่ืนและกลง้ิ ได้ ทำให้วงแหวนทัง้ สองหมุนไดร้ อบตัว 3) การออกแบบรูปร่างของวตั ถใุ ห้เพรียวลมทำให้ลดแรงเสียดทาน 4) การลดแรงกดระหว่างผวิ สัมผัส เช่น ลดจำนวนส่งิ ของทบ่ี รรทกุ ให้น้อยลง ทำให้การลากวัตถุ ให้เคลอ่ื นที่ดว้ ยแรงดึงน้อยลง ตัวอย่างที่ 4 กล่องมีมวล 4 กิโลกรัม วางบนพื้นที่มีสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทาน 0.5 จงหาว่าจะใช้แรง สงู สดุ เทา่ ไรจงึ จะทำใหก้ ลอ่ งเคลอ่ื นทไ่ี ด้ วิธที ำ fs = µs N จากสมการท่ี 2.5 fs = µs mg เน่ืองจาก N = W ดงั น้นั = ( 0.5 )( 4 kg )( 10 m/s2 ) = 20 N ตอบ แรงสงู สดุ ทจ่ี ะทำใหก้ ล่องเคล่ือนทไี่ ดเ้ ท่ากบั 20 นวิ ตนั ตัวอย่างที่ 5 ชายคนหนงึ่ ออกแรงผลกั กล่องมวล 5 กิโลกรัม ให้เคลื่อนที่พอดบี นพืน้ ราบ และแรงทำให้วัตถุ เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ถ้าสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานสถิตมีค่า 0.2 และสัมประสิทธิ์ของแรงเสียด ทานจลนม์ คี า่ 0.4 ชายคนนี้จะใช้แรงผลักกลอ่ งเทา่ ไร วิธีทำ กรณวี ตั ถุเริม่ เคลอื่ นที่ ให้ F เปน็ แรงผลกั กล่อง จากสมการท่ี 2.5 Ffs = fs N เนือ่ งจาก N = W ดงั นัน้ = µs F = µs mg = ( 0.2 )( 5 kg )( 10 m/s2 ) = 10 N กรณวี ตั ถเุ คลื่อนท่ีดว้ ยความเรว็ คงที่ ให้ F เปน็ แรงผลักกลอ่ ง จากสมการที่ 2.6 F = fk N fk = µk

51 เนอ่ื งจาก N = W ดังน้ัน F = µk mg = ( 0.4 )( 5 kg )( 10 m/s2 ) = 20 N ตอบ แรงผลักกล่องใหเ้ ริม่ เคล่อื นทเี่ ท่ากบั 10 นวิ ตนั และแรงผลักกลอ่ งใหเ้ คลอ่ื นทดี่ ้วยความเรว็ คงที่เทา่ กบั 20 นิวตัน ตวั อยา่ งที่ 6 วตั ถุมวล 2 กิโลกรัมกำลงั เคล่ือนท่ดี ว้ ยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที ถกู แรงกระทำใหค้ วามเร็ว ลดลง 10 เมตรต่อวินาที เปน็ ระยะทาง 10 เมตร จงหาขนาดของแรงทมี่ ากระทำต่อวัตถุ วิธที ำ จากสมการท่ี 2.7 1 mv12 = 1 mv 22 + f·s 2 2 1 1 2 ( 2 kg ) ( 202m / s) = 2 (2 kg ) ( 102m / s) + f ( 10 m ) 400 = 100 + f ( 10 ) 300 = f ( 10 ) f = 30 N ตอบ แรงทที่ ำใหว้ ตั ถเุ คลอ่ื นท่ลี ดลงเทา่ กับ 30 นิวตัน

52 กจิ กรรมการเรียนร้ทู ่ี 2.1 1. จากภาพ จงบอกแรงทงั้ หมดทีก่ ระทำต่อวตั ถุ 1.1 m …................................................................................................. …................................................................................................ …................................................................................................. 1.2 f m F1 …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. 1.3 …................................................................................................. …................................................................................................. m …................................................................................................. 2. จากภาพ จงหาน้ำหนักของวัตถุ และแรงปฏริ ยิ าระหวา่ งผวิ สัมผัส …................................................................................................. 2 kg …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. 3. จากภาพ ถ้าวตั ถุหยุดน่งิ จงหาขนาดของแรงตึง …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. 3 kg ….................................................................................................

53 4. วัตถุมวล 10 กิโลกรัม วางอยู่บนพื้นดึงวัตถุในแนวราบกับพื้นด้วยแรง 20 นิวตัน วัตถุเริ่มจะเคลื่อนท่ี พอดี จงหาสมั ประสทิ ธ์ขิ องแรงเสยี ดทานระหว่างพนื้ กบั วตั ถุ …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... 5. ออกแรงดึงวัตถุที่ติดสปริงให้ยืดออกเป็นระยะ 0.8 เซนติเมตร จงหาแรงสปริง กำหนดให้ค่าคงตัวของ สปริงเทา่ กบั 0.4 นิวตนั ต่อเมตร …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …...................................................................................................................................................................... …......................................................................................................................................................................

54 2.3 การแยกแรง การแยกแรง เป็นการหาองค์ประกอบของแรงในแนวแกนต่าง ๆ ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะการแยกแรง 2 มติ ิเท่านน้ั เมื่อมีแรงมากระทำต่อวัตถุในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy สามารถแยกแรงไปในแนว แกน x ( Fx ) และ แรงในแนวแกน y ( Fy ) โดยใช้หลักการเดียวกับการหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 2 มิติ นน่ั คือใชท้ ฤษฏีพีทาโกรสั และหลักตรีโกณมิติ ในกรณีทีแ่ รง ( F ) ทำมุม  กับแนวแกน x ดังภาพท่ี 2.12 y Fy F  Fx x ภาพที่ 2.12 แรงทำมมุ กบั แกน x จากภาพที่ 2.12 ตามหลกั ตรโี กณมิติ สามารถแยกแรงได้ดังนี้ cos  = Fx F ขนาดของแรงในแนวแกน x คือ .................2.8 Fx = F cos  .................2.9 sin  = Fy F ขนาดของแรงในแนวแกน y คอื Fy = F sin  และในกรณีท่ีแรง ( F ) ทำมมุ  กับแนวแกน y ดงั ภาพที่ 2.13

55 y Fy FF  Fx x ภาพท่ี 2.13 แรงทำมุมกบั แกน y จากภาพท่ี 2.13 ตามหลกั ตรีโกณมิติ จะไดว้ า่ sin  = Fx F ขนาดของแรงในแนวแกน x คือ Fx = F sin  .................2.10 .................2.11 cos  = Fy F ขนาดของแรงในแนวแกน y คอื Fy = F cos  สรุปได้วา่ “ถา้ แรงทำมุมกับแนวแกนใด องค์ประกอบของแรงในแนวแกนน้ันจะเปน็ ผลคณู ของแรงกับ คา่ cosine ของมมุ นน้ั สว่ นอกี แกนหน่ึงจะมีคา่ เทา่ กบั ผลคณู ของแรงกบั คา่ sine ของมุมนนั้ ” เมื่อทราบค่าขนาดของแรงในแนวแกน x และ y การหาขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ ทำได้เช่นเดียวกับเวกเตอร์ โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมจากภาพที่ 2.12 ถา้ ทราบคา่ Fx และ Fy ตอ้ งการหาคา่ F จะได้ F2 = Fx2 + Fy2 F = Fx2 + Fy2 .................2.12 การหาทศิ ทางของแรงลพั ธ์ พิจารณาภาพท่ี 2.12 แรงลัพธท์ ำมุม  กับแนวแกน x ดังนี้ tan  = Fy .................2.13 Fx

56 ตัวอยา่ งที่ 7 จากภาพ จงแยกแรงต่อไปนีไ้ ปในแนวแกน x และ y y  F F1= 5 N = 2 10 N 53˚ 37˚ x F3 = 3 N วิธที ำ แยกแรงแต่ละแรงไปในแนวแกน x และ y F2 sin 53˚ F1 sin 37˚ F2cos 53˚ F1cos 37˚ F3 F1x = F1 cos 37° F1y = F1 sin 37° = (5 N)(0.80) = (5 N)(0.60) = 4N = 3N F2x = -F2 cos 53° F2y = F2 sin 53° = -(10 N)(0.60) = (10 N)(0.80) = -6 N = 8N F3x = 0 F3y = -3 N

57 กจิ กรรมการเรียนรทู้ ่ี 2.2 1. จงแยกแรงไปในแนวแกน x และ y …………………………………………………………………………… 1.1 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… y …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F = 10 N x …………………………………………………………………………… 37˚ …………………………………………………………………………… 1.2 …………………………………………………………………………… y …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F =4N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 30˚ x 1.3 y  F2= 24 N F1 = 30 N …………………………………………………………………………… 45˚ 30˚ x …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………  F3= 30 N 37˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

58 2. จงหาขนาดของแรงตอ่ ไปน้ี 2.1 y Fy F x Fx …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.2 แรง ๆ หนงึ่ มีขนาดทางแกน x และ y เท่ากับ 12 N และ 5 N ตามลำดบั จงหาขนาดของแรงน้ี และมุมท่แี รงกระทำตอ่ แกน x …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

59 2.4 การหาผลรวมของแรง เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ การหาค่าผลรวมของแรงมีหลักการเดียวกับการรวมเวกเตอร์ คือต้องรวมทั้งขนาดและทิศทาง โดยเครื่องหมายบวก ( + ) และเครื่องหมายลบ ( - ) เป็นการบอกทิศทาง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ ซึ่งวิธีการหาค่าผลรวมของแรง แบ่งตามลักษณะของแรงที่มากระทำต่อวัตถุได้ 5 ลกั ษณะ ดังน้ี 2.4.1 แรงทำมุมกนั 0 องศา กรณีแรงทำมุมกัน 0 องศา กับวัตถุเดียวกัน นั่นคือแรงอยู่ในแนวเดียวกันและมีทิศทางไปทาง เดยี วกัน ดังภาพที่ 2.14 F2 m F1 ภาพที่ 2.14 แรง 2 แรงกระทำต่อวตั ถใุ นแนวเดียวกันและมีทศิ ทางเดียวกนั จากภาพที่ 2.14 การหาผลรวมของแรง หาไดโ้ ดยนำขนาดของแรงมาบวกกัน ΣF = F1 + F2 .................2.14 2.4.2 แรงทำมุมกนั 180 องศา กรณีแรงทำมุมกัน 180 องศา กับวัตถุเดียวกัน นั่นคือแรงอยู่ในแนวเดียวกัน และมีทิศทาง ตรงข้ามกนั ดังภาพที่ 2.15 F2 m F1 ภาพท่ี 2.15 แรง 2 แรงกระทำต่อวตั ถุในแนวเดียวกันและมที ศิ ทางตรงข้ามกนั จากภาพท่ี 2.15 การหาผลรวมของแรงหาได้โดยนำขนาดของแรงมาลบกนั ΣF = F1 - F2 .................2.15

60 2.4.3 แรงทำมมุ กนั 90 องศา กรณีแรงทำมมุ กนั 90 องศา กบั วตั ถุเดยี วกนั น่นั คือ แรงทงั้ สองมีทิศทางตง้ั ฉากกนั ดงั ภาพท่ี 2.16 F2 F1 m ภาพที่ 2.16 แรง 2 แรงกระทำต่อวตั ถใุ นทิศทางตั้งฉากกนั จากภาพท่ี 2.16 สามารถหาผลรวมของแรง และทศิ ทางของแรงลพั ธ์ได้ดงั น้ี ΣF = F12 + F22 ( จากสมการที่ 2.12 ) F2 ( จากสมการที่ 2.13 ) tan  = F1 ตวั อย่างที่ 6 จากภาพ จงหาผลรวม F1 + F2 + F3 F3 = 12 N m F1 = 10 N F2 = 15 N วิธีทำ ΣF = F1 + F2 - F3 = 10 N + 15 N - 12 N = 13 N ตอบ ขนาดของผลรวมของแรง เทา่ กบั 13 นวิ ตนั 2.4.4 แรงทำมมุ กัน  องศา กรณีแรงทำมุมกัน  กบั วัตถุเดียวกนั ดงั ภาพท่ี 2.17 F1  F2 ภาพท่ี 2.17 แรง 2 แรงทำมุม  กนั

61 จากภาพที่ 2.17 ผลรวมของแรงหาได้โดยใช้หลักการเดียวกับการรวมเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทำมุมกัน จากสมการที่ 1.9 นั่นคือ ΣF = F12 + F22 + 2F1F2 cos θ .................2.16 .................2.17 การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ ได้จากสมการท่ี 1.10 tan  = F2 sin θ F1 + F2 cos θ ตัวอย่างท่ี 7 แรง 10 N และ 20 N กระทำต่อวัตถเุ ดยี วกนั ดว้ ยมมุ 60° จงหาผลรวมของแรงทงั้ สอง วธิ ที ำ จากโจทย์ F1 = 10 N F2 = 20 N  = 60° จาก ΣF = F12 + F22 + 2F1F2 cos θ = (10 N)2 + (20 N)2 + 2(10 N)(20 N) cos 60 = 100 + 400 + 200 = 700 = 26.46 N ตอบ ผลรวมของแรง เทา่ กับ 26.46 นวิ ตัน 2.4.5 แรงหลายแรงกระทำตอ่ วัตถุ โดยที่แรงอยู่ในระนาบเดียวกัน แรงมากกว่า 2 แรงกระทำตอ่ วัตถุในระนาบเดียวกัน สามารถหาผลรวมของแรงได้จากการแยกแรง ไปในแนวแกน x และ y โดยอาศยั หลกั ตรีโกณมิติ ดังภาพที่ 2.18 y F1 F2 2 1 x 3 F3 ภาพท่ี 2.18 แรงมากกวา่ 2 แรงกระทำต่อวตั ถบุ นระนาบเดยี วกัน

62 จากภาพที่ 2.18 แยกแรง F1 F2 และ F3 ไปในแนวแกน x และ y จากนั้นนำแรงในแต่ละ แนวแกนมารวมกัน ซึง่ การรวมกนั ใชว้ ธิ กี ารบวกตัวเลข เพราะมที ิศทางแนวเดยี วกัน แตห่ ากแรงในแนวแกน เดยี วกันแตม่ ที ิศทางตรงกันข้ามใหน้ ำมาลบกนั จะไดด้ ังนี้ FFFFxyyx ผลรวมของแรงในแนวแกน x คือ  จะได้วา่ + F3x .................2.18 ผลรวมของแรงในแนวแกน y คอื  = F1x + F2x + F3y .................2.19  จะไดว้ า่  = F1y + F2y จากสมการที่ 2.12 จะได้ผลรวมของแรง ดงั น้ี ΣF = (Fx )2 + (Fy )2 .................2.20 ตวั อยา่ งท่ี 8 จากภาพ จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลัพธ์ทก่ี ระทำต่อวตั ถุ F1 = 30 N 37˚ • N F3 = 5 N 20  = 2F 53˚ วิธีทำ เขียนแรงใหอ้ ยู่ในระนาบ xy และแยกแรงไปในแนวแกน x และ y y F1 = 30 N F1 sin 37˚ 37˚ x - F2cos 53˚ F1cos 37˚ 53˚ N - F2sin 53˚ F3 = 5 N - F3 20  = 2F F1x = F1 cos 37° F1y = F1 sin 37° = (30 N)(0.80) = (30 N)(0.60) = 24 N = 18 N -F2 cos 53° -F2 sin 53° F2x = -(20 N)(0.60) F2y = -(20 N)(0.80) = =

63 = -12 N F3y = -16 N F3x = 0 = -5 N หาผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน x F1x + F 2x + F 3x 24 N - 12 N + 0 Fx = 12 N = = F1y + F 2y + F 3y 18 N - 16 N - 5 N ผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน y -3 N Fy = = = จากนั้นหาผลรวมของแรง F = (Fx )2 + (Fy )2 = (12 N)2 + (-3 N)2 = = 144 + 9 = 153 12.37 N ทศิ ทางของแรงลัพธ์  Fx   Fy  F tan  =  Fy  Fx = -3 12 = -0.25  = -14.04° ตอบ ขนาดของแรง เทา่ กบั 12.37 นิวตัน และมที ศิ ทางทำมมุ -14.04 องศา กบั แนวแกน x

64 กิจกรรมการเรียนรทู้ ี่ 2.3 1. จากภาพ จงหาผลรวมของแรง …………………………………………………………………………… 1.1 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F2 = 5 N m F1 = 10 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.2 F2 = 5 N m F1 = 10 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.3 m F1 = 10 N F2 = 5 N …………………………………………………………………………… F3 = 3 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.4 F2F1 = 25 N …………………………………………………………………………… = 15 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F3 = 30 N

65 1.5 F1 = 10 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 60˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F2 = 5 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2. จากภาพ จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลัพธท์ ก่ี ระทำตอ่ วตั ถุ = 20 N  F 2 53˚ • F1 = 25 N F3 = 10 N 37˚ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

66 ใบกจิ กรรมท่ี 2.1 การรวมแรงท่กี ระทำตอ่ วตั ถุ จดุ มงุ่ หมาย ทำการทดลองการรวมแรงทีก่ ระทำต่อวัตถุได้ เวลาทใ่ี ช้ 1 ชว่ั โมง วัสดอุ ปุ กรณ์ รายการ จำนวน 2 อัน 1. เครือ่ งช่ังสปริง 1 ถุง 2. ถุงทราย 500 กรมั 1 อัน 3. ไมโ้ ปรแทรกเตอร์ กิจกรรม 1. ใช้เครื่องชั่งสปริง 1 อัน ลากถุงทรายให้เคลื่อนที่อย่างช้าๆ ในแนวราบ ด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอ สังเกต บันทกึ ขนาดและทศิ ทางของแรงจากเคร่ืองชัง่ สปรงิ ดงั ภาพที่ 2.19 ภาพท่ี 2.19 การลากถงุ ทรายด้วยเครื่องช่ังสปงิ 1 อนั ในแนวราบ 2. ใชเ้ ครอ่ื งช่ังสปริง 2 อัน ลากถงุ ทรายให้เคลอ่ื นทอี่ ย่างชา้ ๆ ในแนวราบ ด้วยอตั ราเร็วสมำ่ เสมอ โดยดึงเครอ่ื งช่งั สปริงในแนวขนานกัน และอยู่ในทศิ ทางเดียวกัน สงั เกต บันทกึ ขนาดและทศิ ทางของแรง จากเครื่องชงั่ สปริงท้งั สอง ดงั ภาพท่ี 2.20

67 ภาพที่ 2.20 การลากถุงทรายด้วยเคร่ืองช่ังสปงิ 2 อนั ในแนวราบ 3. ทำการทดลองเช่นเดยี วกับข้อ 2 โดยใหเ้ คร่ืองชง่ั สปรงิ ทำมมุ กนั 30 องศา สังเกต บนั ทกึ ขนาด และทิศทางของแรงจากเครือ่ งช่ังสปริงทัง้ สอง ดังภาพที่ 2.21 ภาพที่ 2.21 การลากถุงทรายดว้ ยเคร่ืองช่งั สปรงิ 2 อนั ด้วยมมุ 30 องศา ตารางบันทึกผลกจิ กรรม เครอื่ งชง่ั สปริง แนวการลาก ขนาดของแรงจาก ทิศทางของแรง เคร่ืองชง่ั สปรงิ ( N ) 1 อนั แนวราบ 2 อนั ขนานกนั 2 อัน ทำมุมกัน 30 องศา

68 สรุปผลกจิ กรรม ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... คำถามทา้ ยกจิ กรรม 1. ค่าของแรงท่ใี ชล้ ากถุงทรายดว้ ยเครือ่ งชัง่ สปรงิ 1 อนั กบั ผลรวมของแรงเมอ่ื ลากถงุ ทรายดว้ ยเครอ่ื งชัง่ สปริง 2 อนั ในแนวขนานกนั มีขนาดและทศิ ทางเหมือนกนั หรือไมอ่ ย่างไร ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 2. ผลรวมของแรงเมื่อลากถุงทรายด้วยเครื่องชั่งสปริง 2 อัน ในแนวขนานและไม่ขนาดกันมีขนานเท่ากัน หรอื ไม่ ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

69 แบบฝกึ หดั ทา้ ยหน่วยท่ี 2 จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด 1. ถุงทรายมวล 1 กโิ ลกรมั ตกแบบอิสระ ถงุ ทรายนีม้ ีน้ำหนักเท่าใด ณ บริเวณที่ตก ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 2. วัตถุหนกั 80 นิวตนั จงหาสัมประสิทธิข์ องแรงเสียดทาน และแรงเสยี ดทาน เมื่อกำหนดให้ 2.1 ออกแรง 10 นวิ ตัน ผลักวตั ถุในแนวราบ วตั ถยุ งั คงอยูก่ บั ท่ี ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 2.2 ออกแรง 50 นวิ ตัน ผลกั วตั ถุในแนวราบ วตั ถุเรม่ิ เคล่อื นทพี่ อดี ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 2.3 ออกแรง 100 นิวตัน ผลักวัตถใุ นแนวราบ วตั ถเุ คลอ่ื นที่ดว้ ยความเร็วคงที่ ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

70 3. วัตถุวางอยูบ่ นพืน้ ระดบั มีแรงดึง 10 นิวตนั กระทำในทิศทางทำมุม 60 องศากับพ้นื ทำให้วัตถเุ คล่อื นที่ ไปบนพื้นด้วยความเรว็ คงท่ี จงหาแรงเสียดทานทก่ี ระทำตอ่ วตั ถุ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 4. จากภาพ จงหาผลรวมของแรงท่ีกระทำต่อหว่ งที่ตดิ ผนัง F1 = 20 N 37˚ F2 = 30 N 53˚ F3 = 10 N ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

71 แบบทดสอบหลงั เรยี น หนว่ ยที่ 2 คำชี้แจง 1) แบบทดสอบมี 15 ขอ้ ๆ ละ 1 คะแนน 2) ใหน้ กั เรยี นเลือกคำตอบทีถ่ ูกท่สี ดุ เพียงขอ้ เดียว 1. ขอ้ ใดกลา่ วความหมายของแรง ไม่ถูกต้อง ก. แรงเปน็ ปริมาณท่มี ีทง้ั ขนาดและทิศทาง ข. หนว่ ยของแรงตามระบบเอสไอคอื นิวตัน ค. แรงมีหน่วยเป็น kg m/s2 ง. แรงเปน็ ปริมาณสเกลาร์ 2. ข้อใดกลา่ วถกู ต้องเกยี่ วกับแรง ก. ชว่ ยเร่งการเคล่อื นทข่ี องวตั ถุเทา่ นั้น ข. สงิ่ ทีส่ ามารถทำให้วัตถอุ ยนู่ ่งิ เทา่ นน้ั ค. ผลของแรงทำใหไ้ มม่ ีการเปล่ยี นแปลงรูปทรงของวัตถุ ง. ผลของแรง ทำให้เกดิ การเปล่ียนแปลงตอ่ วตั ถทุ ่ถี กู กระทำ 3. วตั ถุวางอยบู่ นพ้ืนเอยี งขรุขระ ถา้ ออกแรงกระทำให้วัตถเุ คล่อื นทีข่ ึน้ ไปบนพนื้ เอยี ง ขอ้ ใดไมใ่ ช่แรงทกี่ ระทำ ต่อวตั ถุ ก. แรงโนม้ ถว่ งของโลก ข. แรงปฏิกิรยิ าระหว่างผิวสัมผัส ค. แรงเสียดทาน ง. แรงตงึ 4. น้ำหนกั ของวตั ถุเกย่ี วกบั แรงชนิดใด ก. แรงแมเ่ หล็ก ข. แรงลอยตวั ค. แรงโน้มถ่วงของโลก ง. แรงเสยี ดทาน 5. วตั ถุมวล 20 กรัม จะมีน้ำหนกั เท่ากบั ขอ้ ใด ก. 20 N ข. 2 N ค. 0.2 N ง. 0.02 N 6. เมอ่ื รถวง่ิ ไปข้างหน้า แรงเสยี ดทานของถนนจะมีทศิ ทางไปทางใด ก. ทศิ ทางไม่แน่นอน ข. พน้ื ถนนมแี รงเสยี ดทานทุกทศิ ทาง ค. ตรงข้ามกบั รถท่วี ิ่ง ง. ทิศทางเดยี วกบั รถทว่ี ง่ิ 7. การเคลือ่ นทีข่ ้อใดตอ้ งอาศยั แรงเสียดทาน ก. การใชร้ อกชว่ ยยกของ ข. การแกว่งของลูกต้มุ นาฬกิ า ค. การเดินบนพ้นื ถนน ง. การยกของขึ้นท่ีสูง

72 8. วตั ถมุ วล 2 กิโลกรัม วางอยบู่ นพนื้ ดึงวัตถุในแนวราบกับพนื้ ดว้ ยแรง 40 นิวตัน วัตถเุ ริ่มเคลือ่ นทพ่ี อดี จงหาสัมประสิทธ์ิของแรงเสียดทานสถติ ระหวา่ งพนื้ กบั วัตถุ ก. 4 ข. 3 ค. 2 ง. 1 9. กล่อง 2 กิโลกรัมวางบนพื้นที่มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน 0.1 จงหาว่าจะใช้แรงสูงสุดเท่าไรจึงจะ เคลอื่ นท่ีกล่องนี้ได้ ก. 8 N ข. 6 N ค. 4 N ง. 2 N 10. เมื่อแรงขนาด 40 นิวตันกระทำต่อวัตถุที่วางบนพื้นราบ โดยทำมุม 53 องศากับแนวระดับ ข้อใดกล่าว ถกู ตอ้ ง ก. แรงกระทำแนวราบ 24 นวิ ตัน แรงกระทำในแนวดิง่ 32 นวิ ตนั ข. แรงกระทำแนวราบ 24 นวิ ตัน แรงกระทำในแนวดิ่ง 24 นิวตนั ค. แรงกระทำแนวราบ 32 นิวตัน แรงกระทำในแนวด่งิ 32 นิวตนั ง. แรงกระทำแนวราบ 32 นวิ ตัน แรงกระทำในแนวดิ่ง 24 นวิ ตนั 11. จากภาพ ขอ้ ใดเปน็ คา่ แรงในแนวแกน x และ y y F = 100N 37˚ x ก. Fx = 25 N และ Fy = 40 N ข. Fx = 40 N และ Fy = 25 N ค. Fx = 60 N และ Fy = 80 N ง. Fx = 80 N และ Fy = 60 N

73 12. จากรปู ข้อใดเป็นผลรวมของแรง Fറ2= 25 N Fറ1= 15 N m Fറ3= 30 N ก. 25 N ข. 20 N ค. 15 N ง. 10 N 13. ข้อใดเปน็ ผลรวมของแรง 4 นวิ ตนั และ 5 นวิ ตนั กระทำต่อวตั ถุเดียวกนั ดว้ ยมมุ 60 องศา ก. 5.20 N ข. 6.32 N ค. 7.68 N ง. 8.64 N 14. ขอ้ ใดเป็นขนาดของแรงท่ี 3 ทีม่ ากระทำต่อวตั ถแุ ลว้ วัตถหุ ยุดนง่ิ โดยกำหนดให้ แรงท่ี 1 และแรงท่ี 2 มีขนาด 4 นิวตนั และ 8 นวิ ตนั ตามลำดับ กระทำตอ่ วตั ถเุ ดยี วกนั และทำมุมกนั 90 องศา ก. 6.64 N ข. 7.32 N ค. 8.94 N ง. 9.87 N 15. จากภาพ ขอ้ ใดคอื ขนาดของ F1 + F2 + Fy F1 = 10 N F2 = 20 N 37˚ 60˚ x 45˚ F3 = 40 N ก. 40.14 N ข. 36.54 N ค. 24.22 N ง. 14.17 N

74 บรรณานุกรม ก่องกญั จน์ ภทั รากาญจน์ และธนกาญจน์ ภทั รากาญจน.์ ฟิสกิ ส์ 1. สำนกั พิมพ์แห่งชาติจฬุ าลงกรณ์ มหาวทิ ยาลัย, 2552. ชลธิชา เหลก็ กล้า และปูรดิ า สขุ ร่ืน. วทิ ยาศาสตรเ์ พอ่ื งานไฟฟ้าและการส่อื สาร. นนทบุรี : ศนู ย์หนงั สือ เมืองไทย จำกดั , 2558. ชศู รี มงั กะระ และสมนึก มงั กะระ. วิทยาศาสตร์ 8. กรงุ เทพฯ : ศูนยส์ ่งเสริมอาชวี ะ, มปป. ทิพรตั น์ วงษเ์ จรญิ . ฟสิ กิ สก์ ลศาสตร.์ กรงุ เทพฯ : สำนักพมิ พแ์ มค็ จำกดั , 2535. ทชั พงษ์ จนั ทร์ล.ี วิทยาศาสตร์เพอื่ พัฒนาอาชพี ชา่ งอุตสาหกรรม. สมทุ รปราการ : บริษัท เจรญิ ปญั ญา เอด็ ดเู คชัน่ , 2563. บญุ ธรรม เกษมทะเล. วทิ ยาศาสตรเ์ พ่ือพฒั นาอาชีพช่างอุตสาหกรรม. นนทบุรี : ศูนย์หนังสอื เมืองไทย, 2556. ปรเมษฐ์ ปัญญาเหลก็ . ฟสิ ิกส์ 2. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พม์ หาวทิ ยาลยั ศรปี ทมุ , 2551. เปรมจิต ลิมปะพนั ธ.์ุ วทิ ยาศาสตร์ 8. กรุงเทพฯ : ศูนย์สง่ เสริมวิชาการ, 2551. พงษศ์ ักดิ์ ชนิ าบุญ. ฟสิ กิ ส์มหาวทิ ยาลัย 1 เลม่ 2. พมิ พค์ รัง้ ที่ 2. กรงุ เทพฯ : วทิ ยพัฒน์, 2553. ______________. ฟิสกิ ส์มหาวทิ ยาลัย 2 เลม่ 1. กรุงเทพฯ : วทิ ยพฒั น์, 2552. ไพศาล ต้ปู ระกาย. วทิ ยาศาสตร์สำหรับเทคโนโลยีสารสนเทศและการสอ่ื สาร. นนทบุร.ี มหาวทิ ยาลยั สโุ ขทยั ธรรมาธริ าช, 2555. ฟิสิกสร์ าชมงคล. เซอรไ์ อแซคนิวตัน. [ออนไลน]์ เข้าถึงไดจ้ าก http://www.neutron.rmutphysics. com [2564, พฤศจิกายน 2] วรรณา ก่อสกลุ . วทิ ยาศาสตร์อุตสาหกรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพมิ พ์แมค็ , 2550. ศิวรักษ์ บญุ ประเสริฐ. วทิ ยาศาสตร์เพอื่ พฒั นาอาชพี ช่างอตุ สาหกรรม. นนทบุรี : ศูนยห์ นงั สือเมอื งไทย, 2556. สมพงษ์ ใจด.ี ฟิสกิ สม์ หาวิทยาลยั 4. พมิ พ์ครง้ั ที่ 3. กรงุ เทพฯ : สำนกั พิมพแ์ ห่งจฬุ าลงกรณ์ มหาวทิ ยาลัย, 2551. _________. ฟสิ กิ ส์สู่มหาวทิ ยาลัย 15. กรงุ เทพฯ : สำนักพิมพ์แหง่ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย, 2553. สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.). หนังสือเรยี นสาระการเรยี นรพู้ ้นื ฐานและ เพิ่มเตมิ ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3. กรงุ เทพฯ : ครุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2554. สุชาติ ปูชะพันธ์ และสุด ปล้มื ใจ. วิทยาศาสตร์เพื่อพฒั นาอาชีพช่างอตุ สาหกรรม. นนทบุรี : ศนู ย์ หนังสือเมืองไทย จำกดั , 2556. สุชาติ สภุ าพ. การเคลอื่ นท่ีและพลงั งาน. กรงุ เทพฯ : บริษทั ฐานบัณฑิต จำกดั , 2550.

75 สดุ ปลืม้ ใจ. วทิ ยาศาสตรเ์ พือ่ งานไฟฟา้ และการสอื่ สาร. กรุงเทพฯ : สำนกั พมิ พศ์ ูนย์ส่งเสริมอาชวี ะ, 2558. สุเทพ สขุ เจรญิ . วิทยาศาสตร์งานไฟฟ้า อเิ ลก็ ทรอนกิ ส์และการส่ือสาร. กรงุ เทพฯ : สำนักพมิ พ์ เอมพันธ์, 2563. สุเทพ สุขเจริญ. วทิ ยาศาสตรเ์ พอื่ งานไฟฟ้าและการสื่อสาร. กรงุ เทพฯ : สำนักพมิ พ์เอมพันธ์, 2558. ____________. วทิ ยาศาสตร์เพอื่ พัฒนาอาชีพช่างอุตสาหกรรม. กรงุ เทพฯ : สำนกั พิมพเ์ อมพนั ธ์, 2558. ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน ฟสิ กิ ส์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2554. ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี หนงั สือเรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ ฟสิ ิกส์ เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2555. สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ ฟิสกิ ส์ เล่ม 2. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2555. สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพิม่ เตมิ ฟิสิกส์ เลม่ 4. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2554. ไสว ฟักขาว และคณะ. วทิ ยาศาสตร์ 8. กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพเ์ อมพันธ์, 2549. อติวัต จานจ.ู ทศิ ทางของทอรก์ . [ออนไลน]์ เขา้ ถงึ ได้จาก http://moter3phese.blogspot.com [2564, พฤศจกิ ายน 2] อุทมุ พร แกว้ สามศร.ี วทิ ยาศาสตร์เพื่อพฒั นาอาชพี ชา่ งอุตสาหกรรม. กรงุ เทพฯ : ศูนย์ส่งเสริมอาชวี ะ, 2556. BBC. Forces at work. [ออนไลน]์ เขา้ ถึงไดจ้ าก http://www.bbc.co.uk [2564, พฤศจิกายน 2] Young, H.D. and Freedman, R.A. University Physics. Twlfth edition. Pearson Addisom Wesley, 2008.