ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ................................................................................................................................................. 1ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ .........................................................................................................4 ΘΕΩΡΙΑ ........................................................................................................................................................ 4 1-2 ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ...................................................................................................4 1-3 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.......................................................................................4 1-5 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.............................................................................................12 1-6 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ..............................................................................14 1-7 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ...............................................................................................16 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ....................................................................................................... 19 Α. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Α.Α.Τ.) .......................................................................19 Β. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ - ΣΩΜΑ...........................................................................................25 Γ. ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ..........................................................................................32 Δ. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ...............................................................................................46 Ε. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ................................................................................49 ΣΤ. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ..............................................................................................50 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ............................................................................................................... 59 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ................................................................................................ 63 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ............................................................................................................ 69 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ............................................................................................................ 71 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ................................................................................................................................................. 78 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ................................................................................ 95ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΥΜΑΤΑ ..............................................................................................................98 ΘΕΩΡΙΑ ...................................................................................................................................................... 98 2-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ .............................................................................................................................98 2-2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ........................................................................................................98 2-3 ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ Η΄ ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ......................................................................102 2-4 ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ...........................................102 2-5 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ..........................................................................................................104 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ..................................................................................................... 107 A.ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ........................................................................................................107 Β. ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ.......................................................................................................119 Γ. ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ............................................................................................................126 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ............................................................................................................. 132 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ .............................................................................................. 134 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ .......................................................................................................... 137 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ .......................................................................................................... 139 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................... 144 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ.............................................................................. 154ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5Β ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ..............................................................................157 ΘΕΩΡΙΑ .................................................................................................................................................... 157 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ..................................................................................................... 160 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 5ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ-ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ................................................................ 163 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ .............................................................................................. 165 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ........................................................................................................... 167 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ .......................................................................................................... 168 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................... 171ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΡΕΥΣΤΑ ..............................................................................................................175 ΘΕΩΡΙΑ .................................................................................................................................................... 175 3-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ...........................................................................................................................175 3-2 ΥΓΡΑ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ........................................................................................................175 3-3 ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ .........................................................................................................177 2

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 3.4 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ..................................................178 3-5 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI (ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ) ...178 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ..................................................................................................................................... 184 Α. ΥΓΡΑ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ – ΑΡΧΗ ΤΟΥ PASCAL..................................................................184 Β. ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ – ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ......................................................193 Γ. ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI ........................................................................................................195 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ - ΡΕΥΣΤΑ .......................................................................................... 204 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ .............................................................................................. 205 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ........................................................................................................... 210 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ............................................................................................................... 212 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................... 217ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ .............................................................228 ΘΕΩΡΙΑ .................................................................................................................................................... 228 4-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ...........................................................................................................................228 4-2 ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ......................................................................228 4-3 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ...............................................................................................................233 4-4 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ...................................................................................234 4-5 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ...........................................................................................................234 4-6 ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ..................................................235 4-7 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ......................................................................................................................236 4-8 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ....................................................................................237 4-9 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ...............................................................238 4-10 ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ...........................................................................238 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ..................................................................................................... 240 Α. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΥΛΙΣΗΣ ..............................................240 Β. ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ – ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ.....................................................................245 Γ. ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ..............251 Δ. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ – ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ .........................................................262 Ε. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ – ΕΡΓΟ- ΙΣΧΥΣ .....................................269 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 4ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ............................................................................................................. 282 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ .............................................................................................. 285 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ........................................................................................................... 292 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ .......................................................................................................... 294 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................... 300ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5A ΚΡΟΥΣΕΙΣ ......................................................................................................320 ΘΕΩΡΙΑ .................................................................................................................................................... 3205-2 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ................................................................................................................................320 5-3 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ .......................................................321 5-4 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ ΜΑΖΑΣ ..................................................................................................................................................... 322 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ..................................................................................................... 324 Α. ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ......................................................................................................324 Β. ΠΛΑΓΙΕΣ ΚΑΙ ΕΚΚΕΝΤΡΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ...........................................................................332 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 5ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ-ΚΡΟΥΣΕΙΣ ........................................................................................ 335 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ .............................................................................................. 336 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ........................................................................................................... 340 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ .......................................................................................................... 341 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................................................................... 344 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..................................................................................................................................... 352 3

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ1-5 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΑ. Μηχανικές ταλαντώσειςΣτα συστήματα ταλαντώσεων που αναφέραμε θεωρήσαμε ότι η ταλάντωση είναι απαλλαγμένη απότις τριβές. Κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα. Έτσι, το πλάτος της ταλάντωσηςμειώνεται διαρκώς μέχρι τελικά να μηδενιστεί και το σώμα να σταματήσει. Μια τέτοια ταλάντωσηονομάζεται φθίνουσα ή αποσβεννύμενη.Η μείωση του πλάτους οφείλεται στις τριβές και στις αντιστάσεις, οι οποίες είναι πάντα αντίθετεςστην κίνηση του σώματος. Έτσι, ενέργεια μεταφέρεται από το ταλαντούμενο σύστημα στοπεριβάλλον και το σώμα τελικά σταματάει.Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι ταλαντώσεις στις οποίες η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη τηςταχύτητας, δηλαδή είναι της μορφής: F¢ = -b×uΗ σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης και εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου στο οποίογίνεται η ταλάντωση, από το σχήμα του σώματος και από το μέγεθός του. Μονάδα μέτρησης της bείναι το kg . sΗ τιμή της σταθεράς απόσβεσης μπορεί να μεταβληθεί αν τοσύστημα ελατήριο-μάζα ταλαντώνεται μέσα σε δοχείο στοοποίο μπορούμε να ρυθμίζουμε τη πίεση του αέρα με μιααντλία. Αν το δοχείο είναι κενό (πρακτικά αδύνατο) τότε τοσύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η σταθεράαπόσβεσης είναι μηδέν. Στη πραγματικότητα όσο αυξάνεται ηπίεση του αέρα στο δοχείο, η σταθερά απόσβεσης μεγαλώνεικαι το σύστημα σταματάει την ταλάντωση ποιο γρήγορα. αντλίαΑπό την μελέτη των ταλαντώσεων στο δοχείο αυτό προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα:α. Αν η σταθερά b έχει συγκεκριμένη τιμή, η περίοδος είναι σταθερή και ανεξάρτητη από τοπλάτος. Αν η σταθερά b μεγαλώσει, το πλάτος μειώνεται ποιο γρήγορα και η περίοδος παρουσιάζειμικρή αύξηση, που θεωρείται αμελητέα.β. Αν η σταθερά b πάρει πολύ μεγάλη τιμή, τότε η κίνηση του σώματος γίνεται απεριοδική, δηλαδήτο σώμα επανέρχεται στη θέση ισορροπίας χωρίς να την ξεπεράσει.γ. Το πλάτος στην φθίνουσα ταλάντωση δίνεται από την σχέση: AK = A0e-LtΔηλαδή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Το Λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από την μάζα τουσώματος και από την σταθερά απόσβεσης ( L = b ). Μονάδα μέτρησης της Λ είναι το s-1 2m 12

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ x b=0: Α Αμείωτη 0 t-Α b1 x tΑο b2>b1 t 0 b: πολύ μεγάλο και η κίνηση-Αο είναι απεριοδική x tΑο0-ΑοΑο x 0-ΑοΟ λόγος δύο διαδοχικών πλατών, προς την ίδια κατεύθυνση, είναι σταθερός. Δηλαδή: A0 = A1 = A2 = ..... = staqerό A1 A2 A3Υπάρχουν συστήματα στα οποία θέλουμε η σταθερά απόσβεσης να είναι μεγάλη, με αποτέλεσμα ηταλάντωση να σταματάει γρήγορα (π.χ. αμορτισέρ αυτοκινήτου, οικοδομές) και συστήματα σταοποία η σταθερά απόσβεσης πρέπει να είναι μικρή (π.χ. το εκκρεμές). 13

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΑ. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Α.Α.Τ.)1. Η απόσταση των ακραίων θέσεων μιας ταλάντωσης είναι 2Α.2. Όταν απομακρύνουμε ένα σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά Dx και στη συνέχεια τοαφήνουμε ελεύθερο για να εκτελέσει Α.Α.Τ., τότε το πλάτος της ταλάντωσης είναι A = Dx .3. Όταν ένα σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και αποκτά ταχύτητα u για να εκτελέσειΑ.Α.Τ., τότε η ταχύτητα u ߭ θα είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του, δηλαδή u = u . max4. Υπολογισμός αρχικής φάσης στην απλή αρμονική ταλάντωσηΓια να υπολογίσουμε την αρχική φάση Α.Α.Τ. πρέπει να γνωρίζουμε για τη στιγμή t=0 τηναπομάκρυνση και το πρόσημο της ταχύτητας (κατεύθυνση κίνησης). Η διαδικασία πουακολουθούμε είναι η εξής:α. Στην εξίσωση της απομάκρυνσης x = Ahm(w t + f 0) αντικαθιστούμε t=0 και την αντίστοιχητιμή της απομάκρυνσης. Έτσι προκύπτουν δύο πιθανές τιμές για την αρχική φάση ( 0 £ f < 2p ).β. Στην εξίσωση της ταχύτητας u = u sun (w t +f0) αντικαθιστούμε t=0 και απαιτούμε το maxαποτέλεσμα να έχει το δοσμένο πρόσημο. Έτσι από τις δύο πιθανές τιμές της αρχικής φάσηςεπιλέγουμε τη μία.5. Σχέση επιτάχυνσης-απομάκρυνσηςΓια να υπολογίσουμε την επιτάχυνση κάποια χρονική στιγμή όταν γνωρίζουμε την απομάκρυνση (ήτο αντίστροφο) χρησιμοποιούμε τη σχέση: a = -w2 x , την οποία πρέπει να αποδείξουμε πρώτα.Απόδειξη: a = -amaxhm( wt + f ) = -w 2 Ahm( wt + f ) Þ a = -w 2 x 0 0β΄ τρόποςS F = - Dx üý Þ ma = -Dx Þ ma = -mw 2x Þ a = -w 2xS F = ma þ6. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα κάποια χρονική στιγμή όταν γνωρίζουμε την απομάκρυνσηχρησιμοποιούμε την Αρχή Διατήρησης Ενέργειας της Ταλάντωσης (Α.Δ.Ε.Τ):E = K + U Þ 1 DA2 = 1 mu 2 + 1 Dx2 Þ 1 mw 2 A2 = 1 mu 2 + 1 mw 2 x2 Þ w 2 ( A2 - x2 ) = u 2 Þ 2 22 2 22u = ±w A2 - x2 19

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ7. Για να υπολογίσουμε την απομάκρυνση κάποια χρονική στιγμή όταν γνωρίζουμε την ταχύτηταχρησιμοποιούμε την Α.Δ.Ε.Τ:E = K +U Þ 1 mum2 ax = 1 mu 2 + 1 Dx 2 Þ 1 mum2 ax = 1 mu 2 + 1 mw 2 x2 Þu2 -u2 = w2x2 Þ 2 2 2 2 2 2 maxx = ± 1 u2 -u2 w max8. Για να υπολογίσουμε την απομάκρυνση (ή την ταχύτητα) ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. στηθέση όπου ισχύει δεδομένη σχέση μεταξύ της κινητικής ενέργειας του σώματος και της δυναμικήςενέργειας ταλάντωσης τότε χρησιμοποιούμε την Α.Δ.Ε στην ταλάντωση, οπού και αντικαθιστούμετην δεδομένη σχέση. Τέλος λύνουμε ως προς την απομάκρυνση (ή την ταχύτητα). Παράδειγμα Ø Αν ζητείται να βρεθούν οι θέσεις στις οποίες ισχύει Κ=3U δουλεύουμε ως εξής: E = K +U Þ E = 3U +U Þ E = 4U Þ U = E Þ 1 Dx2 = 1 1 DA2 Þ 42 42 x2 = 1 A2 Þ x = ± A 42 Ø Αν ζητείται να βρεθούν οι τιμές της ταχύτητας στις θέσεις όπου ισχύει Κ=3U δουλεύουμε ως εξής: E = K +U Þ E = K + K Þ E = 4K Þ K = 3E Þ 1 mu 2 = 3 1 mum2ax Þ 3 3 4 2 4 2 u2 = 3 u2 Þu = ± 3 umax 4 max 29. Υπολογισμός της χρονικής διάρκεια κίνησης από μια θέση σε μια άλλη.α) Αν οι δυο θέσεις είναι ακραίες ή η θέση ισορροπίας τότε η χρονική διάρκεια είναι ακέραιοπολλαπλάσιο του T . Χαρακτηριστικές περιπτώσεις είναι: 4 - Ο χρόνος που απαιτείται για τη μετάβαση του ταλαντούμενου σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. από τη μια ακραία θέση στη θέση ισορροπίας ή αντίστροφα είναι T . 4 - Ο χρόνος που απαιτείται για την απευθείας μετάβαση το ταλαντούμενου σώματος από τη μια ακραία θέση στην άλλη είναι T . 2 - Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του σώματος από τη ΘΙ είναι T . 2β) Αν είναι ενδιάμεσες θέσεις η χρονική διάρκεια υπολογίζεται με την επίλυση τριγωνομετρικώνεξισώσεων. Επιλύουμε δηλαδή την εξίσωση x = Ahm(wt + f ) ως προς τον χρόνο και η ζητούμενη 0χρονική διάρκεια προκύπτει ως διαφορά των δύο χρονικών στιγμών. 20

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑΕξίσωση του αρμονικού κύματος: y= A×hm2p ( t - x ) Μονάδα μέτρησης (S.I): m T l Μονάδα μέτρησης (S.I): mΕξίσωση κύματος διαδιδόμενου κατά την αντίθετη φορά: Μονάδα μέτρησης (S.I): my = A ×hm 2p (t + x ) s T l Μονάδα μέτρησης (S.I): mΤαχύτητα διάδοσης του κύματος: u = x s t Μονάδα μέτρησης (S.I): radΘεμελιώδης εξίσωση της κυματικής: u = l f ή u = l . TΦάση του κύματος: j = 2p æ t - x ö èç T l ÷øΣΥΜΒΟΛΗΕξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου λόγω της συμβολής τωνδύο κυμάτων: y = 2Asun 2p r1 - r2 hm2p ( t - r1 + r2 ) Μονάδα μέτρησης (S.I): m 2l T 2l Μονάδα μέτρησης (S.I): mΠλάτος της ταλάντωσης του σημείου Μ: Μονάδα μέτρησης (S.I): mA΄ = 2 Asun 2p r1 - r2 s 2l Μονάδα μέτρησης (S.I): mΤαχύτητα της ταλάντωσης του σημείου Μ: sut = w 2 Asun 2p r1 - r2 sun 2p ( t - r1 + r2 ) Μονάδα μέτρησης (S.I): m 2l T 2l s2Μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του σημείου: u = w A΄ Μονάδα μέτρησης (S.I): m max s2Επιτάχυνση της ταλάντωσης του σημείου Μ:aT = -w 2 2 Asun 2p r1 - r2 hm 2p ( t - r1 + r2 ) 2l T 2lΜέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης του σημείου: a = w 2 A΄ maxΣημεία του μέσου που παραμένουν ακίνητα (Συνθήκηαποσβεστικής συμβολής): r1 - r2 = (2N +1)l , N = 0,±1,±2.. 2Σημεία του μέσου που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος(Συνθήκη ενισχυτικής συμβολής): r1 - r2 = Nl , N = 0,±1,±2.. 132

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑΕξίσωση στάσιμου κύματος: y = 2Asun 2p x hm 2p t Μονάδα μέτρησης (S.I): m l T Μονάδα μέτρησης (S.I): mΠλάτος στάσιμου κύματος: A΄ = 2Asun 2p x l Μονάδα μέτρησης (S.I): m sΤαχύτητα της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου: Μονάδα μέτρησης (S.I): mut = w 2Asun 2p x sun 2p t s l T Μονάδα μέτρησης (S.I): mΜέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου: s2u = wA΄ Μονάδα μέτρησης (S.I): m max s2Επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου: Μονάδα μέτρησης (S.I): m Μονάδα μέτρησης (S.I): mat = -w 2 2Asun 2p x hm 2p t l TΜέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου:amax = w 2A΄Θέσεις των δεσμών (Α΄=0): x = (2k + 1) l , k = 0, ±1, ±2.. , 4Θέσεις των κοιλιών (Α΄=2Α) x = k l , k = 0, ±1, ±2.. 2 133

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗΜηχανικά κύματα1. Ένα αρμονικό κύμα έχει εξίσωση y = 0,2hm(0,2pt - 20px) (S.I.) .Α. Η περίοδος του κύματος είναι:α. 20s β. 10s γ. 2s δ. 1sΒ. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι:α. 0,01m /s β. 5m/s γ. 0,0025m/s δ. 2,5m/sΝα επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.2. Πηγή αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στην αρχή Ο του ημιάξονα Οx και δημιουργεί κύματα σεγραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον ημιάξονα Οχ. Η εξίσωση των αρμονικώνκυμάτων είναι y = 0,5hm2p(20t-2x)(S.I.) (S.I.). Διπλασιάζουμε τη συχνότητα ταλάντωσης τηςπηγής χωρίς να μεταβάλλουμε το πλάτος της. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; Ηεξίσωση των αρμονικών κυμάτων που δημιουργούνται στο ελαστικό μέσο μετά τη μεταβολή τηςσυχνότητας της πηγής είναι:α. y = 0,5hm2p(40t-2x) (S.I.) β. y = 0,5hm2p(10t-2x) (S.I.)γ. y = 0,5hm2p(20pt-2πx) (S.I.) δ. y = 0,5hm2p(40t-4x) (S.I.)Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.3. Το σχήμα 1 παριστάνει ένα στιγμιότυπο εγκάρσιου y t = σταθερόαρμονικού κύματος, ενώ το σχήμα 2 παριστάνει την 0κατακόρυφη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός 0,5 1,5δεδομένου σημείου του ελαστικού μέσου, στο οποίο y 1 2 x(m)διαδίδεται το παραπάνω κύμα, σε συνάρτηση με το 0 Σχήμα 1χρόνο. Από τη μελέτη των δύο σχημάτων προκύπτει ότι ηταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι:α. 0,1 m/s β. 1 m/s γ. 10 m/s 0,05 0,15 0,1 0,2Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. t(s) Σχήμα 24. Ένα αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y = Ahm2p( t - x ) . Αν η μέγιστη ταχύτητα T lταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα είναι ίση με τηνταχύτητα διάδοσης του κύματος, τότε το μήκος κύματος του κύματος δίνεται από τη σχέση:α. l = 2πΑ β. l = Α γ. l = πΑ δ. l = πΑ 2π 3 2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 139

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5Β ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΘΕΩΡΙΑΌταν μια ηχητική πηγή και ένας παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση τότε η συχνότητα τουήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι διαφορετική από τη συχνότητα που εκπέμπει ηπηγή. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο Dopller.Ακίνητη πηγή-ακίνητος παρατηρητήςΌταν και η πηγή και ο παρατηρητής είναι ακίνητοι καιfs = u η συχνότητα που εκπέμπει η πηγή τότε η συχνότητα lπου αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: u S A l fA = fs =Ακίνητη πηγή-κινούμενος παρατηρητήςΑ. Όταν η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής πλησιάζειτότε η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: fA = u +uA fS uΌπου:υ: η ταχύτητα του ήχου καιυΑ: η ταχύτητα του παρατηρητήΣε αυτή τη περίπτωση ο παρατηρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας (οξύτερο) από αυτή πουπαράγει η πηγή. Απόδειξη: Όταν πλησιάζει ο παρατηρητής, η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή θα είναι u + uA . Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται S υΑ A ο παρατηρητής θα είναι: fA = u +u A Þ fA = u +u A Þ fA = u +u A fs l u u fsΒ. Όταν η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής απομακρύνεται τότε η συχνότητα πουαντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: fA = u -uA fS u 157

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣΣε αυτή τη περίπτωση ο παρατηρητής ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) από αυτή πουπαράγει η πηγή.Απόδειξη:Όταν απομακρύνεται ο παρατηρητής, η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή θα είναι u - uA . Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται S A υΑ ο παρατηρητής θα είναι: fA = u -u A Þ fA = u -u Þ fA = u -u A fs l A u u fsΓενικότερα μπορούμε να πούμε η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: fA = u ±uA fS uΌπου το (+) ισχύει όταν ο παρατηρητής πλησιάζει στην πηγή και το (-) όταν απομακρύνεται απόαυτή.Κινούμενη πηγή-ακίνητος παρατηρητήςΑ. Όταν ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή πλησιάζει τότε η συχνότητα που αντιλαμβάνεταιο παρατηρητής είναι: fA = u u fS . -u sΌπου:υ: η ταχύτητα του ήχου καιυs: η ταχύτητα της πηγήςΣε αυτή τη περίπτωση ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο μεγαλύτερης συχνότητας (οξύτερο) απόαυτή που παράγει η πηγή.Απόδειξη:Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος την απόσταση μεταξύ δύοδιαδοχικών μεγίστων που φτάνουν σ’ αυτόν. Αν τη χρονική στιγμή t η πηγή εκπέμπειένα μέγιστο τη στιγμή t+T το μέγιστο θα έχει πλησιάσει τον παρατηρητή κατά λ αλλάκαι η πηγή θα τον έχει πλησιάσει κατά υsT. Τότε εκπέμπεται από την πηγή το επόμενομέγιστο. Η απόσταση ανάμεσα στα δύο διαδοχικά μέγιστα είναι λ-υsT, οπότε οπαρατηρητής αντιλαμβάνεται μήκος κύματος: l = l -uST Þ l = u - u Þ l = u - u A A fs S A s fs fs S υs = u = u = u A lAΆρα fA u - u u - u fs s s fs λΑ 158

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣΒ. Όταν ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή απομακρύνεται τότε η συχνότητα πουαντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: fA = u u fS . +u sΣε αυτή τη περίπτωση ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) απόαυτή που παράγει η πηγή.Απόδειξη:Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος την απόσταση μεταξύ δύοδιαδοχικών μεγίστων που φτάνουν σ’ αυτόν. Αν τη χρονική στιγμή t η πηγή εκπέμπειένα μέγιστο τη στιγμή t+T το μέγιστο θα έχει πλησιάσει τον παρατηρητή κατά λ αλλάκαι η πηγή θα έχει απομακρυνθεί κατά υsT. Τότε εκπέμπεται από την πηγή το επόμενομέγιστο. Η απόσταση ανάμεσα στα δύοδιαδοχικά μέγιστα είναι λ+υsT, οπότε οπαρατηρητής αντιλαμβάνεται μήκος κύματος:l = l +uST Þl = u + uS Þl = u +us υs S A A A fs fs A fs λΑΆρα fA = u = u u = u u fs lA +u +u s s fsΓενικότερα μπορούμε να πούμε η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι: fA = u u fS ±u sΌπου το (-) ισχύει όταν ο η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή και το (+) όταν απομακρύνεται απόαυτόν.Κινούμενη πηγή-κινούμενος παρατηρητήςΑν κινείται και ο παρατηρητής και η πηγή τότε ισχύει η γενική σχέση: fA = u ±uA fS u u sΓενικά, αν η απόσταση μεταξύ πηγής και παρατηρητή μειώνεται τότε ο παρατηρητής ακούειήχο μεγαλύτερης συχνότητας, ενώ αν η μεταξύ τους απόσταση μεγαλώνει τότε ο παρατηρητήςακούει ήχο μικρότερης συχνότητας.Το φαινόμενο Doppler είναι ένα φαινόμενο που δεν ισχύει μόνο για τον ήχο αλλά και για όλα τακύματα, όπως π.χ. το φως.Τα ραντάρ της αστυνομίας εκμεταλλεύονται το φαινόμενο Doppler για να μετρήσουν την ταχύτητατων οχημάτων. Η συσκευή εκπέμπει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο ανακλάται στο όχημα.Συγκεκριμένα το όχημα γίνεται δευτερεύουσα πηγή και ανακλάει το κύμα με συχνότητα σαν αυτήπου θα αντιλαμβάνονταν αν ήταν παρατηρητής. Το ραντάρ στη συνέχεια λαμβάνει το ανακλώμενοκύμα με συχνότητα που εξαρτάται από την σχετική του κίνηση με το αυτοκίνητο και από τηνδιαφορά των συχνοτήτων, υπολογίζει την ταχύτητα του αυτοκινήτου.Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται επίσης από τους γιατρούς για τη παρακολούθηση της ροήςτου αίματος. 159

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ - ΡΕΥΣΤΑΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΠίεση: p= DF ή p= F Μονάδα μέτρησης (S.I): N DA A m2 (Pa)Υδροστατική πίεση: p = r gh Μονάδα μέτρησης (S.I): N m2 (Pa)Πυκνότητα: r = Dm ή r =m Μονάδα μέτρησης (S.I): kg DV V m3Παροχή: P = DV = Au m3 Dt Μονάδα μέτρησης (S.I): sΕξίσωση της συνέχειας: P = P Þ A1u1 = A2u2 1 2Κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου: K = 1 ru 2 Μονάδα μέτρησης (S.I): J V2 m3Δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου: U = r gy Μονάδα μέτρησης (S.I): J V m3Εξίσωση του Bernoulli: p1 + 1 ru 2 + r gy1 = p2 + 1 ru 2 + r gy2 2 1 2 2Δύναμη που απαιτείται για τη μετακίνηση πλάκας πάνω σε νευτώνειο υγρό: F = u nA LΕμβαδόν κύκλου: A = p R2 = pd 2 Μονάδα μέτρησης (S.I): m2 4 Μονάδα μέτρησης (S.I): m3Όγκος κυλίνδρου: V = A× h = p R2h 204

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΝΥΣΤΑΖΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣΥγρά σε ισορροπία – Αρχή του Pascal1. Η πίεση είναι διανυσματικό μέγεθος2. Μονάδα μέτρησης της πίεσης στο S.I είναι το 1 Pa.3. Το όργανα με τα οποία μετράμε την πίεση ονομάζονται δυναμόμετρα.4. Η υδροστατική πίεση οφείλεται στη βαρύτητα.5. Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη του είδους του υγρού.6. Σύμφωνα με την αρχή του Pascal η πίεση που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείοΑ ενός υγρού μεταφέρεται στα άλλα σημεία του υγρού πολλαπλάσια και ανάλογη της απόστασηςτων σημείων αυτών από το σημείο Α.Ρευστά σε κίνηση – Εξίσωση της συνέχειας7. Το ιδανικό ρευστό έχει σταθερό όγκο σε κάθε περίπτωση.8. Εάν κατά την κίνηση ενός ρευστού οι εσωτερικές τριβές και οι δυνάμεις συνάφειας υπερβούνκάποιο όριο, τότε στη ροή του ρευστού δημιουργούνται δίνες.9. Η ταχύτητα κάθε μορίου ενός ρευστού εφάπτεται στη ρευματική γραμμή επάνω στην οποία αυτόκινείται.10. Κατά τη στρωτή ροή ενός ρευστού οι ρευματικές γραμμές διέρχονται από ένα σημείο.11. Η μεγάλη πυκνότητα ρευματικών γραμμών σε κάποια θέση ενός σωλήνα δηλώνει ότι σε αυτήτη θέση ο σωλήνας παρουσιάζει στένωση.12. Η ποσότητα του ρευστού η οποία ρέει σε μια φλέβα δεν αναμειγνύεται με το περιεχόμενοάλλης φλέβας του σωλήνα.13. Οι ρευματικές γραμμές μιας φλέβας είναι πάντοτε παράλληλες.14. Η παροχή μιας φλέβας ρευστού το οποίο ρέει στρωτά είναι ανάλογη του εμβαδού τηςεγκάρσιας διατομής της φλέβας.15. Η ταχύτητα ροής ενός ασυμπίεστου ρευστού είναι μεγαλύτερη εκεί όπου οι ρευματικές γραμμέςείναι πυκνότερες.16. Στις περιοχές όπου ένα ποτάμι σταθερού πλάτους είναι ρηχό το νερό ρέει πιο αργά.Εξίσωση Bernoulli17. Ο νόμος του Bernoulli ισχύει για ασυμπίεστη, αστρόβιλη, στρωτή και απαλλαγμένη από τριβέςροή.18. Κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής το άθροισμα της πίεσης, της κινητικής ενέργειας ανάμονάδα όγκου και της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου είναι σταθερό σεοποιοδήποτε σημείο της.19. Εάν το μέτρο της ταχύτητας μιας στοιχειώδους μάζας του ρευστού αυξάνεται, καθώς αυτή ρέεικατά μήκος οριζόντιας ρευματικής γραμμής, η πίεση του ρευστού ελαττώνεται.20. Η ταχύτητα εκροής υγρού από στόμιο το οποίο βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερηεπιφάνεια του υγρού ισούται με την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν εκτελούσε ελεύθερη πτώσηαπό το ίδιο ύψος h.21. Σε ένα οριζόντιο ροόμετρο Ventouri η πίεση στα στενότερα τμήματα είναι μεγαλύτερη απ' ότιστα πλατύτερα. 210