ลำดับและอนุกรม

สญั ลกั ษณ์แทนการบวก ตวั อกั ษรกรีก ∑ เปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทนกำรบวก อำ่ นว่ำ ซกิ มำ นอกจำกน้ี ยังมอี ีกหน่ึงสญั ลกั ษณ์ทีจ่ ะแนะนำใหน้ ักเรยี นรจู้ กั คอื Sn ดังบทนยิ ำมต่อไปน้ี บทนยิ าม กำหนด a1 + a2 + a3 + … + an + … เปน็ อนุกรมอนันต์ ให้ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 … Sn = a1 + a2 + a3 + … + an เรยี ก Sn วำ่ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนกุ รม เมอื่ n เป็นจำนวนเตม็ บวก

สัญลักษณ์แทนการบวก นกั เรียนสำมำรถเขยี นอนกุ รม Sn ในรูปสญั ลกั ษณ์แทนกำรบวก ∑ ได้เป็น n ai ෍ i=1 ซ่ึงสญั ลกั ษณแ์ ทนกำรบวก ∑ มสี มบัติ ดงั น้ี สมบัตขิ องสัญลักษณ์แทนการบวก ∑ 1) n = nc เมือ่ c เปน็ คำ่ คงตวั ෍c i=1 nn 2) ෍cai = c ෍ai เม่ือ c เป็นค่ำคงตวั i=1 i=1 n nn 3) ෍ ai + bi = ෍ai + ෍bi i=1 i=1 i=1 n nn 4) ෍ ai − bi = ෍ai − ෍bi i=1 i=1 i=1

สญั ลกั ษณ์แทนการบวก ให้นกั เรียนศกึ ษำตวั อย่ำงเรอ่ื งสญั ลกั ษณแ์ ทนกำรบวก ∑ ต่อไปนี้ ������������ ตวั อยา่ งท่ี 7 ให้หาค่าของ ෍ 2i − 1 2 ������=������ วธิ ที า 15 15 2 15 15 i=1 i=1 = ∑ 4i − ∑ 4i + ∑15෍ 2i − 1 2 = ෍ 4i2 − 4i + 1 1i=1i=1 i=1 15 15 15 = ෍ 4i2 − ෍4i + ෍ 1 i=1 i=1 i=1 15 15 15 = 4 ෍ i2 − 4 ෍ i + ෍ 1 i=1 i=1 i=1 = 4(12 + 22 + 32 + … + 152) − 4(1 + 2 + 3 + … + 15) + 15(1)

สญั ลักษณ์แทนการบวก ������������ ตวั อยา่ งท่ี 7 ให้หาค่าของ ෍ 2i − 1 2 ������=������ วิธที า 15 ෍ 2i − 1 2 = 4(1,240) − 4(120) + 15 i=1 = 4,960 − 480 ∑+ i11=551 4i2 − ∑i1=51 4i + ∑i1=51 1 = = 4,495 ดังนัน้ 15 2i − 1 2 = 4,495 ෍ i=1

สัญลักษณแ์ ทนการบวก จำกตวั อย่ำงท่ี 7 นักเรยี นจะเห็นว่ำ เมื่อต้องกำรหำผลบวกของอนกุ รม จำนวนมำกนัน้ อำจจะไมส่ ะดวก จงึ มีสตู รกำรหำผลบวก n พจนแ์ รกในรูป ������ ������ และ ������ ෍ i, ෍ i2 ෍ i3 ������=������ ������=������ ������=������ เพ่ือใหก้ ำรหำผลบวกของอนกุ รมสะดวกมำกยง่ิ ขึ้น ดงั น้ี ∑1i=51 ∑i1=51 4i2 ∑i1=5���1��� = − 4i + 1 ������ ������ การหาผลบวก n พจนแ์ รกในรปู ෍i, ෍i2 และ ෍i3 ������=������ ������=������ ������=������ 1) ������ = n n+1 ෍i ������=������ 2 2) ������ = n n+1 2n + 1 ෍i2 6 ������=������ 2 ������ n n+1 2 ������ 3) ෍i3 = = ෍i ������=������ 2 ������=������

สญั ลักษณแ์ ทนการบวก ตวั อยา่ งที่ 8 ������������ ให้หาผลบวกของ ෍ 3i + 2 2 ������=������ วิธีทา เนือ่ งจำก nn จะได้ ෍ 3i + 2 2 = ෍ 9i2 + 12i + 4 i=1 i=1 = n nn = 9 ෍i2 + 12෍ i + ෍4 15i=1 15 ∑ 4i − ∑ 4i + ∑ 115i=1 2 i=1 = 9 in=n1+ 1 2n + 1 +i=121 n n + 1 +i=4n1 62 20 3i + 2 2=9 20 20 + 1 2 20 +1 + 12 20 20 + 1 + 4 20 ෍ i=1 6 2 = 25,830 + 2,520 + 80 = 28,430 20 ดงั นั้น ෍ 3i + 2 2 = 28,430 i=1

อนุกรมเลขคณติ ต่อไปเราจะศึกษาเกยี่ วกับอนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิตกันนะคะ โดยเรมิ่ จากอนกุ รมเลขคณติ กนั กอ่ นเลยคะ่ อนุกรมเลขคณิต คอื อนุกรมทีไ่ ด้จำกลำดับเลขคณติ โดยทีผ่ ลตำ่ งรว่ มของลำดบั เลขคณิต จะเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณติ ด้วย ซง่ึ กำรหำผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต หำได้จำกสตู ร n เมอ่ื a1 คอื พจน์ท่ี 1 ของอนกุ รมเลขคณติ Sn = 2 [2a1 + (n − 1)d] an คอื พจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณติ n คือ จำนวนพจนข์ องอนุกรมเลขคณติ หรือ d คอื ผลตำ่ งร่วมของอนกุ รมเลขคณติ n Sn = 2 (a1 + an) และ Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ

อนกุ รมเลขคณิต ตัวอยา่ งท่ี 9 ให้หาผลบวก 30 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ 5 + 8 + 11 + … วธิ ีทา เน่อื งจำก 5 + 8 + 11 + … เป็นอนุกรมเลขคณติ ที่มี a1 = 5 และ d = 3 และจำก n Sn = 2 [2a1 + (n − 1)d] จะได้ 30 S30 = 2 [2(5) + (30 − 1)(3)] = 15(10 + 87) = 1,455 ดังน้ัน ผลบวก 30 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 1,455 สำหรบั สตู ร Sn = n [2a1 + (n − 1)d] ใช้เมอ่ื ทรำบค่ำของ n, a1 และ d 2

อนุกรมเลขคณติ ตวั อยา่ งท่ี 10 ให้หาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 3 + 10 + 17 + … + 3,496 วิธที า เนือ่ งจำก a1 = 3, d = 7 และ an = 3,496 หำผลบวก 500 พจนแ์ รก หำจำนวนพจน์จำก an = a1 + (n − 1)d จะได้ 3,496 = 3 + (n − 1)(7) จำก n Sn = 2 (a1 + an) 3,496 = 3 + 7n − 7 จะได้ 500 3,496 = 7n − 4 S500 = 2 (3 + 3,496) 7n = 3,500 = 250(3,499) n = 500 = 874,750 ดงั นนั้ ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คอื 874,750 สำหรับสูตร Sn = n (a1 + an ) ใชเ้ มื่อทรำบค่ำของ n, a1 และ an 2

อนกุ รมเรขาคณติ เราทราบการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ กนั แล้ว ตอ่ ไปเราไปศึกษาอนุกรมเรขาคณติ กนั ตอ่ เลยค่ะ อนกุ รมเรขาคณติ คอื อนกุ รมทไ่ี ดจ้ ำกลำดับเรขำคณิต โดยท่อี ัตรำส่วนรว่ มของลำดบั เรขำคณิต จะเปน็ อตั รำสว่ นรว่ มของอนกุ รมเรขำคณิตด้วย ซง่ึ กำรหำผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณติ หำได้จำกสตู ร Sn = a1 1 − rn เม่อื a1 คอื พจน์ท่ี 1 ของอนุกรมเรขำคณิต 1−r an คือ พจน์ท่ี n ของอนกุ รมเรขำคณติ n คือ จำนวนพจนข์ องอนุกรมเรขำคณติ หรือ r คือ อัตรำสว่ นร่วมของอนกุ รมเรขำคณติ Sn = a1 − anr 1−r และ Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณิต

อนุกรมเรขาคณิต ตวั อยา่ งที่ 11 ใหห้ าผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 3 + 9 + 27 + … วิธีทา เน่ืองจำก 3 + 9 + 27 + … เป็นอนุกรมเรขำคณติ ทม่ี ี a1 = 3 และ r = 3 และจำก Sn = a1 1 − rn 1−r จะได้ 3 1 − 315 S15 = 1 − 3 = 21,523,359 ดังนน้ั ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขำคณติ นี้ คอื 21,523,359 สำหรบั สูตร Sn = a1 1 − rn ใช้เม่อื ทรำบคำ่ ของ n, a1 และ r 1−r

อนุกรมเรขาคณิต ตวั อย่างท่ี 12 ให้หาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 39,366 + 13,122 + 4,374 + … + 2 วธิ ที า เนือ่ งจำก a1 = 39,366, r = 1 และ an = 2 หำผลบวก 10 พจน์แรก 3 หำจำนวนพจนจ์ ำก an = a1rn − 1 จำก Sn = a1 − anr จะได้ 1−r 2 = 39,366 1 n − 1 S10 = 39,366 − 2 1 3 3 1 1 − 3 1 = 1 n−1 19,683 3 = 118,096 1 9 = 1 n−1 2 33 = 59,048 จะได้ n − 1 = 9 n = 10 ดงั นนั้ ผลบวกของอนุกรมเรขำคณติ น้ี คอื 59,048 สำหรบั สตู ร Sn = a1− anr ใช้เม่อื ทรำบค่ำของ r, a1 และ an 1−r

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ ตอ่ ไปเรำจะศกึ ษำอนกุ รมอนันต์ที่เปน็ อนกุ รมเรขำคณิต เรำไปศึกษำตวั อยำ่ งพร้อม ๆ กันเลยคะ่ โดยผลบวกของอ=นุกรมอนัน∑ต์ทi1=5เ่ี ป1น็ 4อนi2กุ ร−มเร∑ขา1iค=5ณ1ติ 4จiะ+แยก∑พ1iิจ=5า1รณ1าเปน็ 2 กรณี ดังนี้ กรณี 1 ถำ้ | r | < 1 แลว้ อนกุ รมเรขำคณติ เป็นอนกุ รมลู่เขา้ ซ่งึ มีผลบวกของอนุกรมอนันต์เท่ำกบั a1 r เขียนแทนดว้ ย lim Sn = a1 r 1− 1− n→∞ กรณี 2 ถำ้ | r | > 1 แลว้ อนกุ รมเรขำคณิตเปน็ อนกุ รมลอู่ อก

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ ตัวอย่างท่ี 13 ให้หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 3 + 9 + 27 + … + 3 3 n−1 4 16 4 +… วิธที า เนอื่ งจำกอนกุ รม 3 9 27 + … + 3 3 n−1 เป็นอนกุ รมเรขำคณติ ท่ีมี a1 = 3 และ r = 3 +4 + 16 4 4 +… ทำใหไ้ ด้วำ่ อนกุ รมท่กี ำหนดเปน็ อนุกรมเรขำคณิตทมี่ ี | r | < 1 และจำก lim Sn== a1 r ∑1iเ=ม5ื่อ1 4| ri2| <−1∑1i=51 4i + ∑i1=51 1 จะได้ 1− n→∞ lim Sn = 3 1 n→∞ − 3 4 3 =1 4 = 12 n−1 ดังนน้ั ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 3 + 9 + 27 + … + 3 3 +… เทำ่ กบั 12 4 16 4

ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ กำรหำผลบวกของอนกุ รมสำมำรถหำได้จำก ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม ดังบทนิยำมตอ่ ไปนี้ บทนิยาม ∞ กำหนดอนุกรมอนันต์ ෍=an และ S∑1,1iS=521, S43,i…2 ,−Sn,∑…i1=เ5ป1น็ ล4ำiด+ับขอ∑งผ1i=ล5บ1ว1กย่อยของอนุกรมน้ี ถ้ำลำดบั ������=������ โดยที่ lim Sn = S เม่อื S เปน็ จำนวนจรงิ แล้วกล่ำวว่ำ อนกุ รม ∞ Sn เปน็ ลำดับลู่เข้ำ n→∞ ෍an ������=������ เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ และเรยี ก S วำ่ ผลบวกของอนุกรม ∞ ถ้ำลำดบั Sn เปน็ ลำดับลู่ออก แลว้ กลำ่ ววำ่ อนกุ รม ෍an เป็นอนกุ รมลู่ออก ������=������

ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ ตวั อยา่ งท่ี 14 ให้หาผลบวก n พจน์แรกและผลบวกของอนุกรมอนนั ตต์ ่อไปน้ี (ถา้ Sn มลี มิ ติ ) 1 + 1 9 + 9 1 + …+ 1 + … 1∙5 5∙ ∙ 13 4n − 3 4n + 1 วิธที า จำกอนุกรม 1 + 1 + 9 1 + … + 1 หำลำดับของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมได้ ดงั น้ี 1∙5 5∙9 ∙ 13 4n − 3 4n + 1 =S1 = 1 = 1 ∑i1=51 4i2 − ∑1i=51 4i + ∑i1=51 1 1∙5 5 S2 = S1 + 1 = 1+1 = 10 = 2 5∙9 5∙9 9 1∙5 5∙9 S3 = S2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 27 = 3 9 ∙ 13 1 ∙ 5 5 ∙ 9 9 ∙ 13 9 ∙ 13 13 S4 = S3 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 52 = 4 13 ∙ 17 1 ∙ 5 5 ∙ 9 9 ∙ 13 13 ∙ 17 13 ∙ 17 17 …

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ ตัวอยา่ งท่ี 14 ใหห้ าผลบวก n พจน์แรกและผลบวกของอนุกรมอนันตต์ อ่ ไปนี้ (ถา้ Sn มลี มิ ติ ) 1 + 1 9 + 9 1 + …+ 1 + … 1∙5 5∙ ∙ 13 4n − 3 4n + 1 วิธที า เมอื่ นำผลบวกย่อยเขยี นเรยี งตำมลำดับ จะได้ 1 , 2 , 3 , 4 , … , Sn, … ซ่งึ มพี จนท์ ั่วไป คอื n 1 5 9 13 17 4n + ดงั นนั้ ผลบวก n พจน=์แรกของอน∑ุกi1ร=ม51เท4ำ่ กiบั2 4−nn+∑1 i1=51 4i + ∑i1=51 1 และ lim Sn = lim n n→∞ n→∞ 4n + 1 =1 4 นนั่ คือ ผลบวกของอนกุ รมอนันตเ์ ทำ่ กบั 1 4

ผลบวกของอนุกรมอนันต์ อนุกรมอนันตใ์ นรูปแบบอ่ืน ๆ ทเี่ ขยี นในรูปของ ∑ บำงอนุกรม ไม่สำมำรถนำสมบตั ขิ อง ∑ มำใช้ได้ จงึ ต้องจดั รูปพจน์ท่วั ไปของอนกุ รมให้สะดวกในกำรหำผลบวก ดงั ตัวอยำ่ งต่อไปนี้ ตวั อยา่ งที่ 15 อนกุ รม ∞ ������ เป็นอนกุ รมลู่เข้าหรอื อนุกรมลอู่ อก ถา้ เปน็ อนุกรมล่เู ข้า ෍ ������=������ ������ + ������ ������ + ������ ใหห้ าผลบวกข=องอนุกรม∑นี้ 1i=51 4i2 − ∑i1=51 4i + ∑i1=51 1 วธิ ที า เน่อื งจำก 1 เป็นพจน์ทั่วไปซึ่งอยู่ในรูปเศษสว่ นท่ีมีตัวส่วนอยู่ในรปู กำรคูณของจำนวนนับสองจำนวน n+1 n+2 จงึ เขียนในรปู กำรบวกของเศษสว่ น 2 เศษส่วน ดงั นี้ กำหนด 1 = A+B เมื่อ A และ B เป็นคำ่ คงตวั k+1 k+2 k+1 k+2 เมือ่ คูณ (k + 1)(k + 2) ทั้งสองขำ้ งของสมกำร จะได้ 1 = A(k + 2) + B(k + 1) ตอ่ ไปจะหำคำ่ ของ A และ B โดยเลือกแทนค่ำของ k ที่ทำให้ A หรอื B จำนวนใดจำนวนหนึ่งเทำ่ กับ 0

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ ตัวอยา่ งที่ 15 อนุกรม ∞ ������ เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนุกรมล่อู อก ถา้ เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้า ෍ ������=������ ������ + ������ ������ + ������ ใหห้ าผลบวกของอนุกรมน้ี วิธีทา เมอื่ แทน k ดว้ ย −2 จะได้ 1 = 0 − B เม่อื แทน k ดว้ ย −1 จะได้ 1 = A−0 A=1 B = −1 ดงั นน้ั =1 1 1i1−=5k1+1 2 ∑i1=51 ∑i1=51 น่นั คอื = ∑ 4ik+ 2 − 4i + 1 k+1 k+2 เนอื่ งจำก n ෍1 = 1−1 + 1−1 + 1−1 + … + 1 − 1 k+1 k+2 23 34 45 n+1 n+2 k=1 = 1− 1 2 n+2 n ෍ 1 เป็นกำรหำผลบวกตัง้ แตพ่ จน์ท่ี 1 ถงึ พจน์ท่ี n จะได้ k+1 k+2 k=1 n 1 Sn = ෍ k+1 k+2 k=1 = 1− 1 2 n+2

ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ ตวั อย่างที่ 15 อนุกรม ∞ ������ เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรืออนกุ รมล่อู อก ถ้าเป็นอนุกรมล่เู ขา้ ෍ ������=������ ������ + ������ ������ + ������ ใหห้ าผลบวกของอนุกรมนี้ วธิ ที า กำรตรวจสอบอนุกรมลู่เข้ำจะตอ้ งหำลมิ ติ ของ Sn เม่ือ n เข้ำใกล้ ∞ ดงั นนั้ =lim Sn = lim 1 − 1 = ∑ 4in→∞152 n +22 ∑1i=51 4i + ∑1i=51 1 n→∞ 1 − 0i=1 − 2 =1 2 ∞ นนั่ คอื อนุกรม ෍ 1 เป็นอนุกรมล่เู ข้ำ และมีผลบวกของอนุกรมเท่ำกบั 1 n+1 n+2 2 n=1

ดอกเบยี้ ทบต้น ถำ้ จะนำลำดับและอนกุ รมมำประยุกต์ในชวี ติ จริงของเรำ นกั เรียนคดิ ว่ำ เรำจะนำมำประยกุ ต์กับเร่อื งใดไดบ้ ำ้ งคะ? ถำ้ พดู ถงึ เรื่องดอกเบยี้ ทบต้น ก็เปน็ อกี หนึง่ เร่อื งในชีวติ จรงิ ทเี่ รำสำมำรถนำลำดับและอนุกรมมำประยกุ ตไ์ ด้ ดงั น้นั เรำไปทบทวนควำมร้เู กย่ี วกับดอกเบยี้ ทบต้นกันเลยค่ะ

ดอกเบี้ยทบต้น ดอกเบ้ยี ทบตน้ คือ ดอกเบี้ยทีก่ ำหนดใหม้ กี ำรนำเอำดอกเบ้ียท่เี กดิ ขน้ึ ในแตล่ ะคร้งั ทมี่ ีกำรคิดดอกเบ้ีย ไปรวมกับเงนิ ตน้ เพ่อื นำมำเป็นเงนิ ตน้ งวดถดั ไป สูตรสำหรับกำรหำเงินรวมท้ังหมด คอื A = P(1 + i)n เม่อื A แทนเงินรวมท้งั หมด P แทนเงนิ ต้น i แทนอัตรำดอกเบ้ยี ตอ่ งวด n แทนจำนวนงวดทค่ี ิดดอกเบยี้ ทบต้น เรำลองไปศึกษำตัวอย่ำงกันค่ะ

ดอกเบ้ยี ทบต้น ตัวอย่างท่ี 16 แอมฝากเงินกับธนาคารเปน็ จานวนเงิน 20,000 บาท ซงึ่ ธนาคารให้อตั ราดอกเบีย้ 2.5% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบตน้ ทกุ 6 เดอื น เม่ือเวลาผา่ นไป 2 ปี แอมจะไดร้ บั ดอกเบ้ยี ท้ังหมดเท่าไร วธิ ีทา จำกโจทย์ ธนำคำรให้อตั รำดอกเบ้ยี 2.5% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทกุ 6 เดือน จะไดว้ ำ่ ในเวลำ 1 ปี ธนำคำรให้ดอกเบย้ี ท้งั หมด 12 = 2 งวด 6 ดังน้นั ในเวลำ 2=ปี ธนำคำรใ∑หด้i1=อ5ก1เบ4ย้ี iท2ง้ั ห−มด∑21i=×5124=i 4+งว∑ดi1=51 1 และอัตรำดอกเบ้ียแตล่ ะงวดเท่ำกบั 2.5% 2 = 1.25% จะได้ P = 20,000, i = 1.25 = 0.0125 และ n = 4 100 จำกสตู ร A = P(1 + i)n จะได้ A = 20,000(1 + 0.0125)4 ≈ 21,018.91 ดังน้นั เม่ือฝำกเงนิ ครบ 2 ปี แอมจะไดร้ บั ดอกเบ้ียทง้ั หมดประมำณ 21,018.91 − 20,000 = 1,018.91 บำท

มูลค่าของเงิน ตอ่ ไปเรำจะศึกษำเรือ่ งมลู ค่ำของเงินและคำ่ รำยงวด ซงึ่ เปน็ กำรนำควำมรู้เรื่องลำดับและอนุกรมมำประยกุ ตใ์ ช้ โดยเร่มิ จำกเรือ่ งมลู คำ่ ของเงนิ กนั ก่อนนะคะ

มูลค่าของเงนิ มลู ค่ำของเงินแบง่ ได้เป็น 2 ประเภท คือ มลู คำ่ ปจั จุบนั และมลู คำ่ อนำคต โดยมสี ตู รในกำรคำนวณ ดงั นี้ FV = PV(1 + i)n หรอื PV = FV(1 + i)−n เม่อื FV แทนมลู คำ่ อนำคต PV แทนมูลค่ำปจั จบุ ัน i แทนอตั รำดอกเบ้ียตอ่ งวด n แทนจำนวนงวดเวลำ

มลู คา่ ของเงิน ตวั อย่างท่ี 17 ออ้ มฝากเงินกับธนาคารแห่งหนง่ึ ซึ่งให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ยี แบบทบต้นทกุ 4 เดือน ถา้ ออ้ มตอ้ งการใหม้ ีเงินในบัญชี 100,000 บาท ในอกี 3 ปขี ้างหน้า อ้อมต้องฝากเงินตน้ เท่าไร วิธีทา จำกโจทย์ ธนำคำรให้อตั รำดอกเบีย้ 3% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบต้นทุก 4 เดอื น จะไดว้ ำ่ ในเวลำ 1 ปี ธนำคำรให้ดอกเบ้ยี ทั้งหมด 12 = 3 งวด 4 ดแลงั นะั้นอัตรำดอกในเบเวย้ี ลแำต3่ละปง=ีวธดนเทำคำ่ กำรบั ให3้ด%∑อ=กi1เ=บ15ยี้%1ท4้ังหiม2ด −3 ×∑3 =i1=591ง4วดi + ∑1i=5101 1 2 … 9 3 จะได้ FV = 100,000, i = 1 = 0.01 และ n = 9 100 100,000 เขียนเสน้ เวลำแสดงจำนวนเงนิ ที่อ้อมตอ้ งฝำกได้ ดังน้ี 100,000(1 + 0.01)−9 จำกสตู ร PV = FV(1 + i)−n จะได้ PV = 100,000(1 + 0.01)−9 ≈ 91,433.98 ดงั น้นั ออ้ มต้องฝำกเงินตน้ ประมำณ 91,433.98 บำท

ค่ารายงวด คา่ รายงวด หมำยถงึ กำรจ่ำยเงนิ หรอื ฝำกเงนิ เป็นงวด ๆ ติดต่อกันหลำยงวด โดยกำรจำ่ ยเงินแตล่ ะงวดมีระยะเวลำหำ่ งเท่ำ ๆ กัน ค่ำรำยงวดแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ประเภท ดังน้ี 1) ค่ารายงวด ณ ตอนปลายงวด ∑1i=51 4i2 − ∑1i=51 4i + ∑i1=51 1 = FVAn = A 1+i n−1 เมื่อ FVAn แทนเงินรวมทง้ั หมดเมอื่ สิน้ งวดท่ี n i A แทนจำนวนเงนิ ทไ่ี ดร้ บั หรอื จำ่ ยแต่ละงวด 2) คา่ รายงวด ณ ตอนตน้ งวด i แทนอตั รำดอกเบ้ยี ตอ่ งวด 1+i n−1 n แทนจำนวนงวดเวลำ i FVAn = A(1 + i)

ค่ารายงวด ตวั อย่างที่ 18 ปอมฝากเงิน 5,000 บาท กบั ธนาคารแหง่ หนึ่งทกุ เดอื นเปน็ เวลา 2 ปี ซ่ึงธนาคารให้อัตราดอกเบ้ีย 2.4% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบีย้ แบบทบต้นทุกเดอื น เม่อื สนิ้ ปีท่ี 2 ใหห้ า 1) จานวนเงินท่ีปอมไดร้ บั โดยที่ปอมฝากเงนิ กับธนาคารทกุ ต้นเดือน 2) จานวนเงนิ ที่ปอมไดร้ บั โดยทปี่ อมฝากเงินกบั ธนาคารทกุ ส้นิ เดือน วิธที า 1) จำกโจทย์ ปอมฝำกเงนิ 5,000 บำท ทกุ ต้นเดอื นเป็นเวลำ 2 ปี จซะึง่ ธไดน้ำAคำ=รใ5ห,้อ0ตั0ร0ำ,ดi อ==กเ1บ2ี้ย2×.4210.40%=∑ต0อ่i1.0=ป50ี 12โด4แยลคiะิด2ดnอ−=กเบ1∑ี้ย2แi1×บ=5บ21ท=บ4ต2iน้ 4ท+ุกเด∑ือนi1=51 1 เขียนเสน้ เวลำแสดงจำนวนเงินรวมทง้ั หมดเม่อื ส้ินปที ่ี 2 ได้ ดังน้ี 0 1 2 … 23 24 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000(1.002) … 5,000(1.002)22 5,000(1.002)23 5,000(1.002)24

ค่ารายงวด ตวั อย่างที่ 18 ปอมฝากเงนิ 5,000 บาท กบั ธนาคารแห่งหนง่ึ ทุกเดอื นเป็นเวลา 2 ปี ซ่งึ ธนาคารใหอ้ ัตราดอกเบี้ย 2.4% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทกุ เดือน เม่ือสน้ิ ปที ่ี 2 ให้หา 1) จานวนเงนิ ที่ปอมได้รับโดยที่ปอมฝากเงนิ กบั ธนาคารทกุ ตน้ เดือน 2) จานวนเงนิ ที่ปอมได้รับโดยท่ปี อมฝากเงนิ กับธนาคารทุกสิน้ เดอื น วิธีทา 1) จะได้ FVAn = 5,000(1.002) + 5,000(1.002)2 + 5,000(1.002)3 + … + 5,000(1.002)24 จะเห็นว่ำ เงินรวมทัง้ ห=มดเม่ือส้นิ ป∑ที ่ี 21i=5เป1น็ 4อนiกุ 2รม−เรข∑ำคณi1=ิต5ท1่ีม4พี จiน+แ์ รก∑คือi1=551,0010(1.002) และมอี ัตรำสว่ นรว่ ม คอื 1.002 ดงั น้ัน FVAn = 5,000(1.002) 1.002 24 − 1 0.002 = 5,010 1.002 24 − 1 0.002 ≈ 123,046.51 น่ันคือ เม่ือสน้ิ ปที ่ี 2 ปอมจะได้รับเงินทง้ั หมดประมำณ 123,046.51 บำท

คา่ รายงวด ตัวอยา่ งที่ 18 ปอมฝากเงนิ 5,000 บาท กับธนาคารแหง่ หนงึ่ ทุกเดอื นเปน็ เวลา 2 ปี ซึง่ ธนาคารใหอ้ ัตราดอกเบ้ีย 2.4% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตน้ ทุกเดอื น เมือ่ ส้นิ ปที ี่ 2 ให้หา 1) จานวนเงินที่ปอมได้รับโดยที่ปอมฝากเงนิ กบั ธนาคารทุกตน้ เดือน 2) จานวนเงินทปี่ อมได้รบั โดยท่ีปอมฝากเงินกับธนาคารทกุ สนิ้ เดอื น วิธีทา 2) จำกโจทย์ ปอมฝำกเงนิ 5,000 บำท ทกุ ส้ินเดอื นเปน็ เวลำ 2 ปี จซะ่ึงธไดน้ำAคำ=รใ5ห,อ้0ตั0ร0ำ,ดi อ==กเบย้ี 2.42.4%=∑ต0อ่i1.0=ป50ี 12โด4แยลคiะิด2ดnอ−=กเบ1∑้ยี 2แi1×บ=5บ21ท=บ4ต2i้น4ท+ุกเด∑อื นi1=51 1 12 × 100 เขยี นเส้นเวลำแสดงจำนวนเงินรวมท้ังหมดเมอ่ื สนิ้ ปีที่ 2 ได้ ดังน้ี 0 1 2 … 23 24 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000(1.002) … 5,000(1.002)22 5,000(1.002)23

ค่ารายงวด ตัวอยา่ งท่ี 18 ปอมฝากเงิน 5,000 บาท กับธนาคารแห่งหนง่ึ ทุกเดือนเป็นเวลา 2 ปี ซ่งึ ธนาคารใหอ้ ตั ราดอกเบี้ย 2.4% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตน้ ทุกเดือน เม่อื สิ้นปีที่ 2 ให้หา 1) จานวนเงนิ ทีป่ อมไดร้ ับโดยทีป่ อมฝากเงนิ กับธนาคารทุกต้นเดือน 2) จานวนเงินทปี่ อมได้รบั โดยที่ปอมฝากเงนิ กบั ธนาคารทกุ สิน้ เดือน วิธที า 2) จะได้ FVAn = 5,000 + 5,000(1.002) + 5,000(1.002)2 + … + 5,000(1.002)23 จะเหน็ วำ่ เงินรวมท้ัง=หมดเมือ่ สิน้ ป∑ีที่ 2i1=5เป1็น4อนiกุ2รม−เรข∑ำคณ1i=ิต5ท1ีม่ 4พี จiน+์แรก∑คi1ือ=551,0010 และมีอัตรำสว่ นร่วม คอื 1.002 ดังนนั้ FVAn = 5,000 1.002 24 − 1 0.002 ≈ 122,800.91 นน่ั คือ เมอื่ สิ้นปีท่ี 2 ปอมจะได้รับเงนิ ท้งั หมดประมำณ 122,800.91 บำท จำกตวั อย่ำงท่ี 18 นักเรียนจะเหน็ ว่ำ เงนิ รวมทัง้ หมดเม่อื สิ้นปที ี่ 2 ทไ่ี ดจ้ ำกกำรฝำกตอนต้นงวดจะมากกว่าฝำกตอนปลำยงวด

นอกจากการหาคา่ รายงวดโดยใช้สูตรแลว้ นกั เรยี นคิดวา่ เรามวี ธิ กี ารอืน่ อีกหรือไม่ ? วนั น้คี รมู วี ิธกี ารหาค่ารายงวดมาแนะนาให้กบั นกั เรียนอีก 1 วิธี นน่ั คือ การหาคา่ รายงวดโดยใช้โปรแกรม Microsoft Excel ถา้ พรอ้ มแลว้ ไปชมพร้อม ๆ กันเลยค่ะ



นกั เรยี นยงั จาคาถามเกีย่ วกับเงินผ่อนชาระได้ไหมคะ ? “การกู้เงนิ กบั ธนาคาร ทางธนาคารจะพิจารณาเงนิ เดอื นของผกู้ ู้เพอ่ื จะคานวณเงินผ่อนชาระ ในแตล่ ะเดือน ซึ่งเงินผอ่ นชาระจะประกอบดว้ ยเงินต้นและดอกเบยี้ ตามทธ่ี นาคารกาหนด” นักเรียนจะนาความรเู้ กยี่ วกับลาดบั และอนุกรมมาช่วยในการคานวณเงนิ ที่ผอ่ นชาระ ในแต่ละเดอื นไดอ้ ยา่ งไร ?

จากคาถามน้นั เราสามารถนาสตู รการคานวณคา่ รายงวด มาชว่ ยในการคานวณเงินผ่อนชาระในแตล่ ะเดือนได้ ซึง่ เราจะต้องเลือกใชส้ ตู รใหถ้ ูกต้องว่า ✓ เราผอ่ นชาระทกุ ตน้ เดือนหรือปลายเดือน ✓ ธนาคารคิดดอกเบยี้ อย่างไร ✓ ยอดเงนิ กู้ทัง้ หมดเท่าไร

เปน็ อย่างไรกันบ้างคะ สาหรบั การนาความรทู้ ีเ่ ราศกึ ษา มาประยกุ ต์ใชก้ บั ชีวติ จริง นกั เรยี นได้รับความรู้เรื่องลาดบั และอนกุ รมอย่างครบถ้วนแลว้ หวังว่านกั เรยี นจะนาความรไู้ ปใชใ้ นชวี ติ จริงได้อีกหลาย ๆ เร่ืองเลยนะคะ แล้วพบกันใหม่ค่ะ