ความหมายของลาดบั บทนิยาม1 ลาดับ(Sequence) คือ ฟังก์ชนั ทีม่ ีโดเมนเป็นเซต {1,2,3,…,n} หรอื มีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็ม บวก ลาดับจากัด(Finite Sequence) : โดเมนเปน็ เซต {1,2,3,…,n} ������1, ������2, ������3, … , ������������ ลาดับอนันต์(Infinite Sequence) : โดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก ������1, ������2, ������3, … , ������������, …
การเขียนแสดงลาดับ โดยเขยี นแจกแจงพจน์ของลาดบั โดยเขยี นพจนท์ ั่วไปของลาดบั โดยใช้ความสัมพันธเ์ วยี นเกดิ (Recurrence Relation) โดยการบอกเงื่อนไขของลาดับหรือสมบตั ิของพจนข์ องลาดบั
ลาดบั เลขคณิต บทนยิ าม2 ลาดับเลขคณติ (Arithmetic Sequence) คอื ลาดบั ซึง่ มี ผลตา่ งท่ีได้มาจากการนาพจน์ที่ n+1 ลบดว้ ยพจน์ทnี่ เป็นค่าคงตัวท่เี ท่ากัน สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวกn และเรียกค่าคงตวั ทเ่ี ป็นผลต่างนีว้ า่ ผลต่างรว่ ม (Common Difference) จากบทนิยาม ลาดบั ������1, ������2, ������3, … , ������������, … จะ เปน็ ลาดับเลขคณิต กต็ อ่ เมือ่ มีค่าคงตวั d ที่ ������������+1 − ������������ = ������ สาหรบั ทุกจานวนเต็มบวก ������
������������ = ������1 + ������ − 1 ������ ตัวอย่าง ถา้ ลาดบั เลขคณติ มพี จน์ท่ี 5 คอื 3 และพจนท์ ี่ 10 คือ 13 จงหา พจนท์ ี่ 100 วธิ ีทา จาก ������������ = ������1 + ������ − 1 ������ จะได้ 3 = ������1 + 5 − 1 ������ ------- 1 และ 13 = ������1 + 10 − 1 ������ ------- 2 จาก 1 และ 2 จะได้ ������ = 2 และ ������1 = −5 ดงั นั้น ������100 = −5 + 100 − 1 2 = 193 นนั่ คอื พจนท์ ่ี 100 ของลาดับเลขคณิตนี้ คอื 193
ลาดับเรขาคณติ บทนยิ าม3 ลาดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) คอื ลาดับ ซง่ึ มอี ัตราสว่ นของพจนท์ ่ี n+1 ต่อพจนท์ ี่ n เป็นคา่ คงตวั ทเี่ ทา่ กนั สาหรบั ทกุ จานวนเต็มบวก n และ เรียกค่าคงตวั ทเ่ี ปน็ อัตราส่วนนีว้ ่า อัตราส่วนรว่ ม (Common Ratio) จากบทนิยาม ลาดบั ������1, ������2, ������3, … , ������������, … จะเป็น ลาดบั เรขาคณติ กต็ อ่ เม่อื มีค่าคงตวั r ที่ ������������+1 = ������ ������������ สาหรับทุกจานวนเต็มบวก ������
������������ = ������1������������−1 ตวั อยา่ ง จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต 8, 16, 32, 64, … วิธีทา จากลาดบั เรขาคณิต 8, 16, 32, 64, … จะได้ ������1 = 8 และ ������ = 16 = 2 8 จาก ������������ = ������1������������−1 จะได้ ������������ = 8(2������−1) = 23 2������−1 = 2������+2 ดงั นน้ั พจนท์ ่ี ������ ของลาดบั เรขาคณติ น้ี คอื 2������+2
อนุกรม ถา้ ������1, ������2, ������3, … , ������������ เป็นลาดบั จากัดท่ีมี n พจน์ จะ เรียกการเขยี นแสดงการบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องลาดบั ใน รปู ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ วา่ อนุกรมจากัด (Finite Series) ให้ ������������ แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม
อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) คอื อนุกรมทีไ่ ดจ้ ากลาดบั เลขคณิต ให้ ������1, ������2, ������3, … , ������������ เปน็ ลาดับเลขคณติ ซงึ่ มี d เป็นผลตา่ งรว่ ม ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คอื ������������ = ������ ������1 + ������������ หรือ ������������ = ������ 2������1 + ������ − 1 ������ 2 2 ตัวอยา่ ง จงหาผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมท่ีไดจ้ ากลาดบั เลขคณติ 7, 15, 23, … วิธที า ลาดบั ที่กาหนดใหม้ ี ������1 = 7 และ ������ = 8 แทน ������ ดว้ ย 7 ใน ������������ = ������1 + ������ − 1 ������ จะได้ ������7 = 7 + 7 − 1 8 = 55 จาก ������������ = ������ ������1 + ������������ 2 จะได้ 7 ������7 = 2 7 + 55 = 217 ดงั นน้ั ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คอื 217
อนกุ รมเรขาคณติ (Geometric Series) คอื อนกุ รมที่ได้จากลาดับเรขาคณติ ให้ ������1, ������2, ������3, … , ������������ เปน็ ลาดับเลขคณิต ซง่ึ มี r เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม ผลบวก n พจน์แรก ของอนกุ รมเลขคณิต คอื ������������ = ������1(1−������������) เมื่อ ������ ≠ 1 1−������ ตัวอยา่ ง จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมทไ่ี ด้จากลาดบั เรขาคณิต 1, 2, 4, 8, … วิธีทา ลาดับที่กาหนดให้มี ������1 = 1 และ r = 2 แทน ������ ด้วย 8 ใน ������������ = ������1(1−������������) จะได้ 1−������ (1−28) ������8 = 1 1−2 = 28 −1 2−1 = 255 ดงั นน้ั ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี คือ 255
การประยกุ ต์ของลาดับและอนกุ รม ดอกเบย้ี ทบตน้ มูลคา่ ปัจจบุ นั ������ = ������(1 + ������)������ ������ −������������ ������ ������������ ������ = ������ 1 + ������ ������ = ������ 1 + ������ มูลคา่ อนาคต ������ ������������ ������ = ������ 1 + ������ ค่างวด(จ่ายตอนต้นงวด) ������(1 + ������) (1 + ������)������−1 ������ = ������ ค่างวด(จ่ายตอนสน้ิ งวด) ������ (1 + ������)������−1 ������ = ������
ตวั อย่าง วารกี ้เู งินจากณัชชา โดยมีกาหนดชาระหน้ีทงั้ หมดในอกี 2 ปีขา้ งหน้า เปน็ เงนิ 46,656 บาท ถา้ ณัชชากาหนดอัตราดอกเบย้ี 8% ต่อปี โดยคิด ดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทุกปี จงหาจานวนเงินทีว่ ารีกูจ้ ากณัชชา วธิ ีทา ให้ ������ เปน็ มลู ค่าของหนปี้ ัจจุบนั ในทีน่ ี้ ������ = 46,656 , ������ = 1 , ������ = 2 และ������ = 0.08 จะได้ ������ = 46,656 1 + 0.08 −2 = 40,000 ดงั นนั้ วารกี เู้ งนิ จากณัชชา 40,000 บาท
แบบฝึกหัด 1. จงหาพจน์ท่ี 100 ของลาดับเลขคณิตที่มีพจนท์ ่ี 7 คือ 5 และพจน์ท่ี 12 คือ 10 2. จงหาพจน์ที่ 12 ของลาดับเรขาคณติ -162, 54, -18, 6, … 3. จงหาอตั ราส่วนร่วมของลาดบั เรขาคณิตทม่ี ี ������2 = 8 และ ������5 = 64 3 81 4. 5,103 เปน็ พจนท์ ่เี ทา่ ใดของลาดบั เรขาคณิต 7, -21, 63, -189, … 5. จงหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ 19+23+27+…+999 6. จงหาผลบวกของจานวนท่ี 7 หารลงตวั ตั้งแต่ 9 ถงึ 357 7. จงหาผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิต 6+18+54+…+1,458 8. ลาดบั เรขาคณติ ลาดบั หนงึ่ มีพจน์ที่ 5 คอื -4 และพจนท์ ่ี 8 คอื 1 2 จงหาผลบวกของพจนท์ ี่ 2 ถงึ พจนท์ ่ี 9 9. ฝากเงินกับธนาคารแหง่ หนึ่งจานวน 5,000 บาท ได้รับอัตรา ดอกเบี้ยร้อยละ 1.5 ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทุก 3 เดือน จงหาจานวนเงนิ ในบัญชี เมื่อฝากเงนิ ครบ 3 ปี 10. วชิ ยั ตอ้ งการฝากเงนิ กับธนาคารแหง่ หน่ึงซง่ึ กาหนดอตั ราดอกเบย้ี 5% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน้ ทุกปี ถา้ วชิ ัยตอ้ งการใหม้ ีเงนิ ในบญั ชี ประมาณ 250,000 บาท ในเวลา 10 ปี เขาตอ้ งฝากเงนิ ต้นไวอ้ ย่าง นอ้ ยเทา่ ใด
น.ส.ศริ ิยากร ถ่นิ นอก ม.5/8 เลขท่ี17
Search
Read the Text Version
- 1 - 14
Pages: