Persamaan Kuadrat (bag. 1) Oleh : Ekriyani MTsN 2 Hulu Sungai Utara
BENTUK UMUM Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: ������������������ + ������������ + ������ = ������ Dengan a, b, c R dan a 0. Keterangan: ������ adalah variabel atau peubah ������ adalah koefisien ������������ Created by Ekriyani ������ adalah koefisien ������ ������ adalah konstanta persamaan
Kadang-kadang persamaan kuadrat disajikan tidak dalam bentuk baku. Persamaan kuadrat seperti itu dapat dituliskan ke dalam bentuk baku dengan memperhatikan sifat-sifat persamaan berikut: 1. Kedua ruas suatu persamaan boleh ditambahkan atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang didapat ekuivalen dengan persamaan semula. 2. Kedua ruas suatu persamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang didapat ekuivalen dengan persamaan semula. Created by Ekriyani
Contoh: Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat: ������ ������ ������ − ������ + ������ − ������ = ������ Jawab: ������ + ������ = ������ persamaan awal kedua ruas dikalikan dengan (������ − ������)(������ − ������) ������−������ ������−������ ������ + ������ (������ − ������)(������ − ������) = ������(������ − ������)(������ − ������) ������−������ ������−������ ������ ������ − ������ + ������(������ − ������) = ������(������������ − ������������ + ������) ������ − ������ + ������ − ������ = ������������������ − ������������ + ������ ⟺ ������������ − ������ = ������������������ − ������������ + ������ ⟺ ������������������ − ������������ + ������ = ������������ − ������ ⟺ ������������������ − ������������ + ������ = ������������ − ������ kedua ruas ditambah dengan −������������ + ������ ⟺ ������������������ − ������������ + ������ = ������ Created by Ekriyani
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat Setiap pengganti ������ yang memenuhi pada persamaan kuadrat dinamakan dengan penyelesaian atau akar persamaan tersebut. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara: Pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus kuadrat Created by Ekriyani
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat Setiap pengganti ������ yang memenuhi pada persamaan kuadrat dinamakan dengan penyelesaian atau akar persamaan tersebut. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara: Pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus kuadrat Created by Ekriyani
CARA PEMFAKTORAN Bentuk ������������������ + ������������ + ������ = ������ dengan ������ = ������ Untuk memfaktorkan bentuk ������2 + ������������ + ������ = 0, mula-mula dimisalkan: ������2 + ������������ + ������ = (������ + ������)(������ + ������) Dengan menguraikan ruas sebelah kanan, kita akan memperoleh hubungan p, q dengan b, c. ������2 + ������������ + ������ = ������ + ������ ������ + ������ = ������2 + ������������ + ������������ + ������������ ������2 + ������������ + ������ = ������2 + (������ + ������)������ + ������������ Hubungan yang diperoleh adalah: ������ + ������ = ������ dan ������ × ������ = ������ Created by Ekriyani
Contoh: 1. Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut: a. ������2 + 4������ + 3 b. ������2 − 13������ + 12 Jawab: Langkah-langkah memfaktorkan dengan c > 0: - Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b. Created by Ekriyani
a. ������2 + 4������ + 3 Created by Ekriyani 3 jumlah 13 4 ������2 + 4������ + 3 = 0 ⟺ ������ + 1 ������ + 3 = 0 ⟺ ������ + 1 = 0 atau ������ + 3 = 0 ⟺ ������ = −1 atau ������ = −3 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = −1 atau ������2 = −3. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai {-1, -3}.
b. ������2 − 13������ + 12 Created by Ekriyani 12 jumlah 1 12 13 26 8 34 7 ������2 − 13������ + 12 = 0 ⟺ ������ − 1 ������ − 12 = 0 ⟺ ������ − 1 = 0 atau ������ − 12 = 0 ⟺ ������ = 1 atau ������ = 12 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = 1 atau ������2 = 12. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai {1, 12}.
Contoh: Created by Ekriyani 2. Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut: a. ������2 + 4������ − 12 b. ������2 − 15������ − 16 Jawab: Langkah-langkah memfaktorkan dengan c < 0: - Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b. - Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.
a. ������2 + 4������ − 12 Created by Ekriyani 12 selisih 1 12 11 26 4 34 1 ������2 + 4������ − 12 = 0 ⟺ ������ − 2 ������ + 6 = 0 ⟺ ������ − 2 = 0 atau ������ + 6 = 0 ⟺ ������ = 2 atau ������ = −6 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = 2 atau ������2 = −6. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai {2, -6}.
b. ������2 − 15������ − 16 selisih 15 16 6 1 16 0 28 44 ������2 − 15������ − 16 = 0 ⟺ ������ + 1 ������ − 16 = 0 ⟺ ������ + 1 = 0 atau ������ − 16 = 0 ⟺ ������ = −1 atau ������ = 16 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = −1 atau ������2 = 16. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai {-1, 16}.
CARA PEMFAKTORAN Created by Ekriyani Bentuk ������������������ + ������������ + ������ = ������ dengan ������ ������ Untuk memfaktorkan bentuk ������������2 + ������������ + ������ = 0, dapat dilakukan dengan dua cara yaitu: a. Menggunakan sifat distributif ������������2 + ������������ + ������ = ������������2 + ������������ + ������������ + ������ dengan ������ × ������ = ������ × ������ dan ������ + ������ = ������
b. Menggunakan rumus ������������2 + ������������ + ������ = 1 (������������ + ������)(������������ + ������) dengan ������ ������ × ������ = ������ × ������ dan ������ + ������ = ������ Created by Ekriyani
Contoh: 1. Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut: a. 3������2 + 14������ + 15 b. 8������2 + 2������ − 3 Jawab: a. 3������2 + 14������ + 15 Langkah-langkah memfaktorkan dengan c > 0: - Jabarkan a x c menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b. Created by Ekriyani
Cara 1: Dengan menggunakan sifat distributif Dua bilangan yang hasil kalinya a x c = 45 jumlah ac = 3 x 15 = 45 dan jumlahnya 14 1 45 46 adalah 5 dan 9, sehingga: 3 15 18 59 14 3������2 + 14������ + 15 = 3������2 + 5������ + 9������ + 15 = ������ 3������ + 5 + 3(3������ + 5) = ������ + 3 3������ + 5 Created by Ekriyani
Cara 2 : Dengan menggunakan rumus 3������2 + 14������ + 15 = 1 3������ + 5 (3������ + 9) 3 1 = 3 3������ + 9 (3������ + 5) 1 = 3 × 3 ������ + 3 (3������ + 5) = ������ + 3 (3������ + 5) Jadi, 3������2 + 14������ + 15 = ������ + 3 (3������ + 5) Created by Ekriyani
b. 8������2 + 2������ − 3 Langkah-langkah memfaktorkan dengan c < 0: - jabarkan a x c menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b. - Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya. Created by Ekriyani
Cara 1: Dengan menggunakan sifat distributif Dua bilangan yang hasil kalinya a x c = 24 selisih ac = 8 x 3 = 24 dan selisihnya 2 1 24 23 adalah 4 dan 6, sehingga: 2 12 10 38 5 8������2 + 2������ − 3 = 8������2 − 4������ + 6������ − 3 46 2 = 4������ 2������ − 1 + 3(2������ − 1) = 4������ + 3 2������ − 1 Created by Ekriyani
Cara 2 : Dengan menggunakan rumus 8������2 + 2������ − 3 = 1 8������ − 4 (8������ + 6) 8 11 = 4 × 2 8������ − 4 (8������ + 6) 11 = 4 8������ − 4 × 2 (8������ + 6) 11 = 4 × 4 2������ − 1 × 2 × 2(4������ + 3) = 2������ − 1 (4������ + 3) Jadi,8������2 + 2������ − 3 = 2������ − 1 (4������ + 3) Created by Ekriyani
CARA MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: 1) Ubahlah persamaan kuadrat semula ke dalam bentuk: ������ + ������ ������ = ������, dengan ������ ≥ ������ 2) Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. ������ + ������ = ± ������ atau ������ = −������ ± ������ Created by Ekriyani
Contoh: Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut. a. ������2 − 4������ + 1 = 0 b. ������2 − 5������ − 6 = 0 Jawab: ������ = ������ ������ Created by Ekriyani a. ������2 − 4������ + 1 = 0 ������������ ⟺ ������2 −4������ + 1 − 1 = 0 − 1 ⟺ ������2 −4������ = −1 ⟺ (������2 −4������ + ������) + (−������) = −1
⟺ ������ − 2 2 +(−������) = −1 ⟺ ������ − 2 2 + −������ + ������ = −1 + ������ ⟺ ������ − 2 2= 3 ⟺ ������ − 2 = ± 3 ⟺ ������ − 2 = 3 atau ������ − 2 = − 3 ⟺ ������ = 2 + 3 atau ������ = 2 − 3 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = 2 + 3 atau ������2 = 2 − 3 Created by Ekriyani
b. ������2 − 5������ − 6 = 0 ⟺ ������2 −5������ − 6 + 6 = 0 + 6 ⟺ ������2 −5������ = 6 ⟺ (������2 −5������ + ������������) + (− ������������) = 6 ⟺ ������ − 5 = ������������ atau ������ − 5 = − ������������ ������ ������ 2 ������ 2 ������ ⟺ ������ − 5 2 ������������ ⟺ ������ − 5 = ������ atau ������ − 5 = − ������ 2 ������ 2 ������ +(− ) = 6 2 ������ ⟺ ������ − 5 2 6 + ������������ ⟺ ������ = ������ + 5 atau ������ = − ������ + 5 ������ 2 ������ 2 = 2 ������ ⟺ ������ − 5 2 24+25 ⟺ ������ = ������ atau ������ = −1 = 24 2 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = 6 atau ������2 = −1 ⟺ ������ − 5 = ������������ Created by Ekriyani 2 ������ ⟺ ������ − 5 = ± ������������ 2 ������
CARA RUMUS KUADRAT Cara paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ������������������ + ������������ + ������ = ������ adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan ������������������ + ������������ + ������ = ������. Created by Ekriyani
������������2 + ������������ + ������ = 0 ⟺ ������ + ������ =± ������2−4������������ 4������2 ⟺ ������ ������2 + ������ ������ + ������ = 0 2������ ������ ������ + ������ 1 4������2 ⟺ ������ ������2 + ������ ������ + ������2 + − ������2 + ������ = 0 ⟺ 2������ =± × ������2 − 4������������ ⟺ ������ ������ 4������2 ⟺ ������ 2 ������2 4������ ������ + ������ − 4������ + ������ = 0 ⟺ ������ + ������ = ± 1 ������2 −4������������ 2������ 2 ������2 2������ 2������ ������ = 4������ − ������ ������ + ������ ������2 − 4������������ ⟺2������ ������ = − ± 2������ 2������ ������ 2 ������2 4������������ ⟺ ������ = −������ ± ������2 −4������������ ⟺ ������ ������ + 2������ = 4������ − 4������ 2������ ������ 2 ������2 −4������������ ⟺ ������������ = −������ + ������������ − ������������������ ⟺ ������ ������ + 2������ = 4������ ������������ ������ 2 ������2 −4������������ atau ⟺ ������ + 2������ = 4������2 Created by Ekriyani ⟺ ������������ = −������ − ������������ − ������������������ ������������
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: Penyelesaian persamaan kuadrat ������������2 + ������������ + ������ = 0 dengan a 0 adalah: ������������,������ = −������ ± ������������ − ������������������ ������������ Created by Ekriyani
Contoh: Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut. a. 9������2 − 12������ + 4 = 0 b. 2������2 + 3������ + 5 = 0 Jawab: a. 9������2 − 12������ + 4 = 0 (a = 9; b = -12; dan c = 4) −������ ± ������2 −4������������ −(−12) ± (−12)2−4(9)(4) ������1,2 = 2������ = 2(9) Created by Ekriyani
������1,2 = 12 ± 144 − 144 18 12 ± 0 ������1,2 = 18 12 ± 0 ������1,2 = 18 ������1 = 12 + 0 = 2 atau ������ 2 = 12 − 0 = 2 18 3 18 3 Jadi, penyelesaiannya adalah ������1 = ������2 = 2 3 Created by Ekriyani
b. 2������2 + 3������ + 5 = 0 (a = 2; b = 3; dan c = 5) −������ ± ������2 −4������������ −(3) ± (3)2−4(2)(5) ������1,2 = 2������ = 2(2) ������1,2 = 3 ± 9 − 40 4 3 ± −31 ������1,2 = 4 Oleh karena −31 bukan merupakan bilangan real, persamaan kuadrat 2������2 + 3������ + 5 = 0 dikatakan tidak mempunyai penyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong,atau ditulis Ø. Created by Ekriyani
Selesaikanlah: Sebuah akar positif dari persamaan kuadrat ������2 + 3������ + ������ = 0 adalah 2. Hitung nilai a, kemudian carilah akar negatifnya! Created by Ekriyani
Profil Credtor Nama : Ekriyani Tempat Tugas : MTsN 2 Hulu Sungai Utara Email : [email protected] No. HP [email protected] Chanel YT : 082177665523 Kegiatan : Ekri Channel : Kompasianer, Sekretaris MGMP Mtk MTs, Sekretaris GMT, Motto Tim mentor Sagusabot IGI : Belajar dan Berbagi meski sedikit
Search
Read the Text Version
- 1 - 33
Pages: