บทที่ 5 อัตราส่วนตรีโกณ

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 173 5.1 ความหมายของอตั ราสว่ นตรโี กณมิติ พิจารณารูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ทม่ี มี มุ C เปน็ มุมฉาก ดงั รูป เรยี กช่อื ของด้านท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ A B เรียกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก (hypotenuse) BC เรียกว่า ดา้ นตรงขา้ มมมุ A (the opposite side of angle A) AC เรียกวา่ ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A) ในรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ทีม่ ีมุม C เปน็ มุมฉาก เมื่อพิจารณาอตั ราส่วนของความยาวของ ด้านสองด้านทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั มุมมมุ หนึง่ ทีไ่ ม่ใชม่ มุ ฉาก เช่น มุม A จะพบว่ามอี ตั ราสว่ นท่ีเปน็ ไปได้ทงั้ หมด 6 แบบ ดงั นี้ ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A ความยาวของด้านประชิดมมุ A ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ A ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A ความยาวของด้านประชิดมมุ A ความยาวของด้านประชิดมมุ A ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A เรียกอัตราสว่ นทงั้ หกแบบนี้ว่า อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ (trigonometric ratio) สา� หรับรปู สามเหลีย่ มมุมฉากใดๆ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ เิ ดียวกันของมุมท่มี ขี นาดเท่ากันจะมคี ่าเทา่ กัน จากสมบตั ิข้างตน้ สามารถกลา่ วได้ว่า อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิเดียวกนั ของมมุ มุมหน่ึงเป็นค่าคงตวั คา่ หน่ึง และเพื่อความสะดวกจะเรยี กอัตราส่วนตรโี กณมติ ทิ ั้งสามมุมนัน้ ทีก่ ล่าวไวข้ า้ งตน้ วา่ ไซน์ (sine) โคไซน์ (cosine) และแทนเจนต์ (tangent) ตามบทนิยามตอ่ ไปนี้

174 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 บทนยิ ำม สา� หรบั รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ท่มี มี ุม A เป็นมุมแหลมมุมหน่ึง ไซนข์ องมมุ A คือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก โคไซน์ของมุม A คอื ความยาวของดา้ นประชดิ มุม A ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก แทนเจนตข์ องมุม A คอื ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ A นิยมเขียน sin A แทนไซน์ของมุม A อ่านว่า ไซน์ A cos A แทนโคไซนข์ องมมุ A อา่ นว่า คอส A tan A แทนแทนเจนต์ของมมุ A อ่านวา่ แทน A สา� หรบั กรณที ท่ี ราบขนาดของมุม นยิ มเขียนอตั ราส่วนตรโี กณมิติของขนาดของมุม แทนการเขยี น อัตราส่วนตรีโกณมติ ิของชือ่ มุม เช่น ถ้าทราบวา่ A = 45 � จะเขยี น sin 45 � แทนการเขียน sin A ตวั อย า่ ง จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC ทกี่ �าหนดให ้ จงหาค่าของ sin A, cos A, tan A, sin B, cos B และ tan B วิธีทำ� เนื่องจาก sin A = ค คว ว า าม มย ย า าว วข ขอ องงดดา้ า้นนตตรรงงขข้า้ามมมมุมมุ ฉ าAก จะได ้ sin A = 21 เนอื่ งจาก cos A = คควาวมามยยาวา ขว ขอองดงด้าน้านตปรงรขะ้าชมดิ มมมุ ุมฉ Aาก เน่อื งจาก tan A = คคววาามมยยาาวว ขข อองงดด้า้านนตปรรงะขชา้ ิดมมมุมุม AA จะได ้ cos A = 3 2 เนื่องจาก sin B = ค ค ว วา า ม มย ยา า ว วข ขอ องงดดา้ า้นนตตรรงงขข้า้ามมมมุมมุ ฉ าBก เนอ่ื งจาก cos B = คควาวมามยยาวา ขว ขอองดงด้าน้านตปรงรขะ้าชมิดมมุมุมฉ Bาก จะได้ tan A = 1 เนอ่ื งจาก tan B = คคววาามมยยาาวว ขข อองงดด้า้านนตปรรงะขชา้ ิดมมมมุ มุ BB 3 จะได ้ sin B = 3 2 จะได้ cos B = 1 2 จะได ้ tan B = 3

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 175 ตวั อย ่าง จากรปู จงหาค่าของ sin P – tan R วิธีทำ� จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได ้ PR2 = 8.12 + 10.82 = 182.25 PR = 13.5 หนว่ ย ดงั นน้ั sin P – tan R = 18 3 . 1. 5 – 18 0 . 1. 8 = – 11 15 ตวั อย า่ ง กา� หนดให ้ ∆ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มทม่ี มี ุม B เป็นมมุ ฉาก BC = 10 หน่วย และ tan A = 2 จงหาคา่ ของ sin A วิธีทำ� จากโจทย ์ อาจเขยี นภาพประกอบการแก้ปญั หาไดด้ ังนี้ จากภาพ จะได ้ tan A = 10 AB เน่ืองจาก tan A = 2 ดงั นน้ั 2 = 10 AB จะได ้ AB = 5 หนว่ ย จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ AC2 = 52 + 102 = 125 AC = 5 5 ดงั นนั้ sin A = 5 1 0 3 = 25 = 2 5 5 ตวั อย า่ ง กา� หนดใหร้ ูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั JKL ม ี LJ = 16 หน่วย และ LM ⊥ JK ดงั รปู จงหาค่าของ sin MK^L วธิ ีท�ำ เนื่องจาก ∆JKL เป็นรปู สามเหลี่ยมหนา้ จว่ั ทีม่ ีมมุ JLK เป็นมมุ ฉาก จะได้ LK = LJ = 16 หน่วย และ J^KL = K^JL = 45 �

176 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 พจิ ารณารูปสามเหลย่ี มมุมฉาก LMK จะได้ M^KL = M^LK = 45 � และ LM = MK จากทฤษฏบี ทพที าโกรสั จะได ้ LK2 = LM2 + MK2 162 = LM2 + LM2 256 = 2LM2 Note LM2 = 128 cosec A = 1 sin A LM = 8 2 หนว่ ย ดังน้นั sin M^KL = 8 1 6 2 = 2 sec A = 1 2 cos A แบบฝึกหัดที่ 1 จากรปู จงหาอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ cot A = 1 tan A 1 2 sin A = ________ sin B = ________ sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ tan A = ________ tan B = ________ 3 4 sin A = ________ sin B = ________ sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ tan A = ________ tan B = ________

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 177 56 sin A = ________ sin B = ________ sin A = ________ sin B = ________ cos A = ________ cos B = ________ cos A = ________ cos B = ________ tan A = ________ tan B = ________ tan A = ________ tan B = ________ 7 8 sin X = ________ sin Z = ________ sin P = ________ sin R = ________ cos X = ________ cos Z = ________ cos P = ________ cos R = ________ tan X = ________ tan Z = ________ tan P = ________ tan R = ________ แบบฝึกหดั ที่ 2 จากรปู และคา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ ทกี่ า� หนดให ้ จงเตมิ คา� ตอบใหถ้ กู ตอ้ ง 1 sin _____ = a c 2 b cos _____ = c tan _____ = b a sin _____ = AC AB AC cos _____ = AB tan _____ = AC BC

178 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 sin _____ = 3 5 3 3 4 cos _____ = 5 5 6 tan _____ = 3 7 4 8 ________ B = y x y ________ B = z ________ B = z x ________ B = 160 ________ B = 180 8 ________ A = 6 sin _____ = 1 5 2 cos _____ = 5 tan _____ = 2 ________ B = AC BC AC ________ A = AB ________ A = BC AB ________ B = 2120 ________ B = 1126 ________ A = 1206

คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 179 9 sin _____ = 153 12 cos _____ = 13 tan _____ = 5 12 10 ________ B = 3 ________ B = 3 2 1 ________ A = 2 แบบฝึกหัดที่ 3 1 กา� หนดให้รปู ∆ABC เป็นรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่า ม ี AB = 4 หน่วย และ AD = 2 หนว่ ย จงหา 1.1 sin A^BD _____________________ 1.2 cos BC^D _____________________ 1.3 tan C^BD _____________________ 2 กา� หนดให ้ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มท่มี ี AB = 3 หน่วย BD = 1 หน่วย และ DC = 4 หน่วย จงหาค่าของ 2.1 sin B ____________________ 2.2 cos B ____________________ 2.3 tan B ____________________ 2.4 sin C ____________________ 2.5 cos C ____________________ 2.6 tan C ____________________

180 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 3 ก�าหนด ∆ABC ม ี AC = 14 หน่วย BC = 15 หน่วย และ BD = 12 หน่วย จงหาคา่ ของ 3.1 sin BA^D ____________________ 3.2 sin A^BD ____________________ 3.3 cos BC^D ____________________ 3.4 cos C^BD ____________________ 4 จากรูปจงหาคา่ ของ sin D^AB, cos DC^B, tan D^BC, sin C^AB, cos A^BD และ tan AC^B ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 3.6 ______________________________________________ ______________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ แบบฝึกหัดที่ 4 1 รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC มี ^B เป็นมุมฉาก ก�าหนด a = 32 หน่วย, b = 40 หน่วย จงหาคา่ ของ cos A, sin C และ cot A ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2 รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC มี C^ เปน็ มมุ ฉาก ก�าหนด AB = 13 เซนตเิ มตร และ BC = 5 เซนติเมตร จงหาคา่ ของ sin A, cos A และ tan A ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 181 3 รปู สามเหลี่ยมมุมฉากมี ^B เปน็ มมุ ฉาก และให ้ tan A = 12 จงหาค่า cos A และ sin C ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 4 กา� หนดให ้ ∆PQR เปน็ รูปสามเหลีย่ มท่ีมีมุม Q เปน็ มมุ ฉาก มีพนื้ ท่ี 27 ตารางเซนติเมตร และ PQ ยาว 9 เซนติเมตร ดงั รูป จงหาค่าของ tan R ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 5 กา� หนดให ้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มที่มมี ุม B เป็นมมุ ฉาก AB = 5.4 หน่วย และ tan A = 43 จงหาค่าของ cos C ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 6 กา� หนดใหร้ ูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั PQR ม ี PR = 18 หนว่ ย และ RS ⊥ PQ ดงั รปู จงหาคา่ ของ cos SQR ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 7 กา� หนดให ้ ∆XYZ เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉากท่มี ี YZ ยาว 15 หน่วย และจุด W เจปง็นหจาคุดา่กขึ่งกอลง าtงaขnอ Yง Z^XXY แดลังะร ูปc oถsา้ Z∆W^XYYZ มพี น้ื ที่ 75 ตารางหน่วย ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________

182 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5.2 อตั ราสว่ นตรโี กณมิติของมุมแหลม อตั ราส่วนตรโี กณมติ ขิ องมุมที่มีขนาด 30 �, 45 � และ 60 � ค่าของอตั ราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ ที่มีขนาด 30 �, 45 � และ 60 � ดังตารางตอ่ ไปน้ี อตั รำส่วนตรีโกณมิติ ขนำดของมุม 30 � 45 � 60 � sin A 1 2 3 cos A 2 22 tan A 3 2 1 2 22 33 1 3 ตวั อย า่ ง จากรปู สามเหลี่ยม ABC ท่กี า� หนดให้ AB = 3 หน่วย และ A^BD = 60 � จงหา BC และ AC วิธที �ำ เนื่องจาก cos 60 � = BA CB = BC 3 BC = 3 cos 60 � = 3 × 21 จะได ้ ดังนั้น BC = 23 หน่วย เน่อื งจาก sin 60 � = AA CB = AC 3 3 จะได้ AC = 3 sin 60 � = 3 × 2 ดังนน้ั AC = 3 2 3 หนว่ ย ตวั อย ่า ง จงหาคา่ x จากสมการ x sin 60 � cos 30 � = 3 4 วธิ ีทำ� เนือ่ งจาก sin 60 � = 2 3 และ cos 30 � = 3 จาก x sin 60 � cos 30 � = 34 2 จะได้ x × 23 × 3 = 3 2 4 3 3 x × 4 = 4 x = 1 ดงั นั้น x = 1

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 183 ตวั อย ่าง จากรปู กา� หนดให ้ C^BD = 30 �, A^DC = 90 � และ BD = 24 หนว่ ย ถ้า ∆ACD มีพื้นที่ 32 39 ตารางหนว่ ย แล้ว AC เทา่ กบั เท่าใด วธิ ที ำ� พจิ ารณารูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก CBD จะได้ tan 30 � = CD 24 3 CD 3 = 24 ดังนน้ั CD = 8 3 หนว่ ย เนอื่ งจาก ∆ACD มีพนื้ ท่ี 32 39 ตารางหนว่ ย ดังน้ัน 32 39 = 21 × AD × 8 3 AD = 8 13 หนว่ ย พิจารณารปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ACD โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได ้ AC2 = AD2 + CD2 = (8 13 )2 + (8 3 )2 = 1,024 ดังน้ัน AC = 32 หนว่ ย

184 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 อตั ราสว่ นตรโี กณมิติของมุมแหลมขนาดอ่นื ๆ ตารางแสดงคา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ ทม่ี ขี นาดเปน็ จา� นวนเตม็ (องศา) ระหวา่ ง 0 � และ 90 � θ sin θ cos θ tan θ θ sin θ cos θ tan θ 1 0.0175 0.9998 0.0175 46 0.7193 0.6947 1.0355 2 0.0349 0.9994 0.0349 47 0.7314 0.6820 1.0724 3 0.0523 0.9986 0.0524 48 0.7431 0.6691 1.1106 4 0.0698 0.9976 0.0699 49 0.7547 0.6561 1.1504 5 0.0872 0.9962 0.0875 50 0.7660 0.6428 1.1918 6 0.1045 0.9945 0.1051 51 0.7771 0.6293 1.2349 7 0.1219 0.9925 0.1228 52 0.7880 0.6157 1.2799 8 0.1392 0.9903 0.1405 53 0.7986 0.6018 1.3270 9 0.1564 0.9877 0.1584 54 0.8090 0.5878 1.3764 10 0.1736 0.9848 0.1763 56 0.8290 0.5592 1.4826 11 0.1908 0.9816 0.1944 57 0.8387 0.5446 1.5399 12 0.2079 0.9781 0.2126 58 0.8480 0.5299 1.6003 13 0.2250 0.9744 0.2309 59 0.8572 0.5150 1.6643 14 0.2419 0.9703 0.2493 60 0.8660 0.5000 1.7321 15 0.2588 0.9659 0.2679 61 0.8746 0.4848 1.8040 16 0.2756 0.9613 0.2867 62 0.8829 0.4695 1.8807 17 0.2924 0.9563 0.3057 63 0.8910 0.4540 1.9626 18 0.3090 0.9511 0.3249 64 0.8988 0.4384 2.0503 19 0.3256 0.9455 0.3443 65 0.9063 0.4226 2.1445 20 0.3420 0.9397 0.3640 66 0.9135 0.4067 2.2460 21 0.3584 0.9336 0.3839 67 0.9205 0.3907 2.3559 22 0.3746 0.9272 0.4040 68 0.9272 0.3746 2.4751 23 0.3907 0.9205 0.4245 69 0.9336 0.3584 2.6051 24 0.4067 0.9135 0.4452 70 0.9397 0.3420 2.7475 25 0.4226 0.9063 0.4663 71 0.9455 0.3256 2.9042 26 0.4384 0.8988 0.4877 42 0.9511 0.3090 3.0777 27 0.4540 0.8910 0.5095 73 0.9563 0.2924 3.2709 28 0.4695 0.8829 0.5317 74 0.9613 0.2756 3.4874 29 0.4848 0.8746 0.5543 75 0.9659 0.2588 3.7321 30 0.5000 0.8660 0.5774 76 0.9703 0.2419 4.0108 31 0.5150 0.8572 0.6009 77 0.9744 0.2250 4.3315 32 0.5299 0.8480 0.6249 78 0.9781 0.2079 4.7046 33 0.5446 0.8387 0.6494 79 0.9816 0.1908 5.1446 34 0.5592 0.8290 0.6745 80 0.9848 0.1736 5.6713 35 0.5736 0.8192 0.7002 81 0.9877 0.1564 6.3138 36 0.5878 0.8090 0.7265 82 0.9903 0.1392 7.1154 37 0.6018 0.7986 0.7536 83 0.9925 0.1219 8.1443 38 0.6157 0.7880 0.7813 84 0.9945 0.1045 9.5144 39 0.6293 0.7771 0.8098 85 0.9962 0.0872 11.4301 40 0.6428 0.7660 0.8391 86 0.9976 0.0698 14.3007 41 0.6561 0.7547 0.8693 87 0.9986 0.0523 19.0811 42 0.6691 0.7431 0.9004 88 0.9994 0.0349 28.6363 43 0.6820 0.7314 0.9325 89 0.9998 0.0175 57.2900 44 0.6947 0.7193 0.9657 45 0.7071 0.7071 1.0000

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 185 ตวั อย ่าง จากรูป จงหา xy และ xz วธิ ที า� จากรูป จะได ้ cos 70 � = 30 xy 30 xy = cos 70 � xy = 0 . 33 0 4 2 (จากตาราง cos 70 � ≈ 0.342) ดังนัน้ xy ≈ 87.72 หน่วย จากรปู จะได้ tan 70 � = xz 30 xz = 30 × tan 70 � xz = 30 × 2.748 (จากตาราง tan 70 � ≈ 2.748) ดังน้นั xz ≈ 82.44 ตวั อย า่ ง เสน้ ทแยงมุมของรูปสเี่ หล่ียมผืนผา้ รูปหน่งึ ยาว 6 เซนตเิ มตร และท�ามมุ 55 � กบั ด้านยาว ของรปู สเ่ี หลย่ี มน้ี จงหาความยาวและความกวา้ งของรูปสี่เหล่ยี มผนื ผ้ารปู น้ี วิธที ำ� จากโจทยเ์ ขียนรปู ได้ดังน้ี ให ้ ความยาวของรูปส่ีเหล่ียมผนื ผ้ายาว x เซนติเมตร ความกว้างของรูปสี่เหล่ียมผนื ผ้ายาว y เซนติเมตร จากรปู sin 55 � = x 6 จากตาราง sin 55 � ≈ 0.819 จะได ้ 0.819 = x 6 x = 6 × 0.819 ดังนั้น x ≈ 4.914 และ cos 55 � = y 6 จากตาราง cos 55 � ≈ 0.574 จะได้ 0.574 = y 6 y = 6 × 0.574 ดงั นน้ั y ≈ 3.444 นน่ั คอื รปู สเ่ี หลย่ี มผืนผ้ายาว 4.914 เซนติเมตร และกวา้ ง 3.444 เซนติเมตร

186 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหดั ที่ 1 จงหาผลลัพธ์ 1 sin 60 � – cos 30 � _____________________________________________________________________ 2 (tan 60 �)2 – (tan 30 �)2 _____________________________________________________________________ 3 3(tan 30 )� + (sin 45 )� 2 _____________________________________________________________________ 4 (sin 45 �)(cos 45 )� – (sin 30 �)(cos 60 )� _____________________________________________________________________ 5 sin 30 � + cos 30 � – sin 60 � _____________________________________________________________________ 6 sin 60 � – cos 30 � + cot 45 � _____________________________________________________________________ 7 sin 60 � + cos 30 � – tan 45 � _____________________________________________________________________ 8 3 sin 30 � – 5 cos 60 � _____________________________________________________________________ 9 sin260 � + cos260 � _____________________________________________________________________ 10 tan260 � + 2 tan245 � _____________________________________________________________________

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 187 11 sin260 � + tan245 � + cos260 � _____________________________________________________________________ 12 sin245 .� cos245 � – sin230 .� cos260 � _____________________________________________________________________ 13 21 cosec260 � + sec245 � – 2 cot230 � _____________________________________________________________________ 14 sin 45 � + tan 45 � – cos 45 � _____________________________________________________________________ 15 sec 45 � + cot 45 � – cosec 45 � _____________________________________________________________________ 16 cos 60 .� cosec 30 .� tan 30 .� sin 60 � _____________________________________________________________________ 17 2 sin 30 � cos 30 � tan 30 � _____________________________________________________________________ 18 (sin 45 �)(cos 45 �) – (sin 60 )� (cos 30 �) _____________________________________________________________________ 19 sec230 � – tan230 � + 1 _____________________________________________________________________ 20 cot 45 � sec 60 � cos 30 � + cosec 30 � _____________________________________________________________________

188 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหดั ที่ 2 จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปน ้ี จงหาค่าของ x และ y 1 ___________________________________________ 2 ___________________________________________ 3 ___________________________________________ 4 ___________________________________________ 5 ___________________________________________ 6 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 189 แบบฝึกหดั ที่ 3 จากรูปสามเหล่ียมทกี่ �าหนดให้ตอ่ ไปน้ี จงหาความยาวของดา้ นท่ีเหลอื 1 ___________________________________________ 2 ___________________________________________ 3 ___________________________________________ 4 ___________________________________________ 5 ___________________________________________ 6 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

190 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 แบบฝึกหดั ที่ 4 จากรูป จงหาพน้ื ที่ของรปู ∆ABC โดยประมาณ 1 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ 2 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ 3 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ 4 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ 5 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 191 แบบฝึกหัดที่ 5 1 จากรปู จงหาพ้นื ท่ีของรปู ส่ีเหล่ยี มดา้ นขนาน ABCD ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2 จากรปู ก�าหนดให ้ ∆NPO เป็นรปู สามเหลี่ยมหนา้ จ่วั จงหาความยาวของ PQ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 3 จากรปู CD = 4 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ AB ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 4 จากรปู จดุ O เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลมท่มี ีรศั มยี าว 6 หนว่ ย ถ้า PQ^R = 60 � จงหาความยาว QR และ RS ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

192 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 จงหาพื้นท่โี ดยประมาณของรูปส่ีเหลี่ยมขนมเปยี กปนู ABCD ดังรูป ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ 6 จากรูป กา� หนดให้ MO = 12 หนว่ ย จงหา PQ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ 7 จากรูป ถา้ AC = 35 หน่วย จงหาพื้นท่ขี องรูปส่ีเหลย่ี มคางหม ู ACDF ______________________________________ ______________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 8 ก�าหนดให ้ ∆ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มทีม่ มี มุ C เปน็ มุมฉาก และมมุ A มขี นาด 28 � ดา้ น BC ยาว 12 หน่วย จงหาความยาวรอบรูปของสามเหลีย่ มน้ี ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 193 5.3 การนา� อตั ราส่วนตรโี กณมติ ไิ ปใช้ในการแกป้ ัญหา ขั้นตอนในการนา� อตั ราสว่ นตรโี กณมิตไิ ปแก้ปัญหาในชวี ติ จริง 1. อา่ นและวิเคราะหโ์ จทย์ว่าโจทยใ์ ห้ขอ้ มูลอะไรและตอ้ งการหาอะไร 2. แปลงข้อมลู จากโจทย์ใหเ้ ป็นปัญหาเชงิ เรขาคณิตโดยการวาดรูป และระบคุ วามยาวของดา้ น และขนาดของมมุ ท่ที ราบลงในรปู 3. วเิ คราะหว์ า่ จะหาสง่ิ ท่ีโจทยถ์ ามได้อย่างไร โดยพจิ ารณาจากขนาดของมมุ ความยาวของด้านทท่ี ราบ และอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิทตี่ อ้ งใช้ ในการแกป้ ัญหาทต่ี อ้ งใชอ้ ัตราส่วนตรีโกณมิตจิ า� เปน็ ต้องทราบขนาดของมุม ส�าหรบั ปญั หาทีเ่ กิดขึ้น ในชีวติ จรงิ จะใชม้ ุมทเ่ี กิดจากการมองดว้ ยสายตา โดยมุมทท่ี า� กบั แนวเสน้ ระดับสายตาม ี 2 แบบ คือ มมุ ก้ม (angle of depression) และมมุ เงย (angle of elevation) แนวเสน้ ระดับสายตา มุมก้ม แนวเส้นระดับสายตา วัต¶ุ วัต¶ุ มุมเงย แนวเส้นระดับสายตา มมุ ก้ม เปน็ มมุ ทเี่ กดิ จากแนวเสน้ ระดับสายตา และแนวเส้นจากตาไปยังวตั ถุโดยที่วัตถุอย่ตู ่�ากวา่ แนวเสน้ ระดบั สายตา มุมเงย เป็นมมุ ทีเ่ กดิ จากแนวเสน้ ระดับสายตา และแนวเสน้ จากตาไปยงั วัตถโุ ดยท่วี ตั ถอุ ยสู่ ูงกวา่ แนวเส้นระดับสายตา ตวั อย ่าง ปิตยิ ืนอยบู่ นหนา้ ผารมิ ทะเลซง่ึ สงู จากระดบั นา�้ ทะเล 75 เมตร มองเห็นเรือล�าหน่ึง เปน็ มมุ ก้ม 30 � จงหาว่าเรอื อยู่หา่ งจากหน้าผาประมาณกเี่ มตร วิธที �ำ ให ้ AB แทนระยะทางทเ่ี รืออยู่ห่างจากหน้าผา BC แทนความสงู ของหน้าผาทป่ี ิตอิ ยู่สูงจากระดบั นา�้ ทะเล 75 เมตร

194 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 เนือ่ งจาก CD // AB ดังนั้น DA^C = CA^B = 30 � มุมทมี่ องเห็นเรอื จากรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC จะได้ BC = tan 30 � AB AB = tanB C30 � = 75 × 3 = 75 × 1.732 ≈ 129.9 ดงั นนั้ เรืออยหู่ ่างจากหน้าผาประมาณ 129.9 เมตร ตวั อย า่ ง กมลตอ้ งการวัดความกว้างของแม่นา�้ เขายืนอยูร่ ิมฝง่ั ที่จุด A แลว้ มองขา้ มไปที่จุด B ทอี่ ยตู่ รงข้ามซ่งึ เป็นระยะทสี่ นั้ ทสี่ ุด แล้วเขาเดนิ เลยี บฝง่ั แมน่ �้าไปเป็นระยะทาง 100 เมตร กห็ ยดุ ท่ีจุด C วัดมุม ACB ได้ 40 � จงหาความกวา้ งของแม่น้�า (ก�าหนด tan 40 � = 0.839) วธิ ที �ำ จากรูป AB เปน็ ความกว้างของแมน่ า้� A BC เป็นสามเหลยี่ มมมุ ฉากมี ^A = 90 � แ ละ C^ = 40 �, AC = 100 เมตร จะได้ tan 40 � = AB AC AB = AC tan 40 � AB = 100 × 0.839 AB = 83.9 ดงั น้ัน แมน่ �้ากว้าง 83.9 เมตร ตวั อย ่าง ปกรณ์ยืนอย่บู นหอคอยซ่งึ สงู 98 เมตร มองเหน็ คนสองคนบนพน้ื ดินในทศิ ทางเดยี วกัน เป็นมุมก้ม 30 � และ 60 � ตามลา� ดบั จงหาว่าคนสองคนห่างกนั กเี่ มตร วิธที �ำ ให ้ A B เปน็ ความสงู ของหอคอย, C และ D เปน็ คนสองคนบนพื้นดนิ จากความร้เู ร่ืองเสน้ ขนาน จ ะได้ A^DB = 30 ,� AC^B = 60 � และ C^BD = 30 � ดังนนั้ BCD เปน็ สามเหลย่ี มหน้าจวั่ ที่มี BC = CD พจิ ารณาสามเหลี่ยม ABC จะได ้ sin AC^B = AB BC sinA ABC^B 98 BC = = sin 60 � ดังน้นั BC = 9 38 = 1 9 3 6 = 196 3 3 น่นั คอื คนทัง้ สองยืนห่า2งกัน 1 9 63 3 เมตร

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 195 แบบฝึกหดั ที่ 1 1 ปติ ยิ นื อยหู่ า่ งจากเสาธง 5 เมตร ปรากฏวา่ มุมเงยของยอดเสาธงเท่ากับ 60 � จงหาความสงู ของเสาธงว่ามคี วามสงู กี่เมตร ( 3 ≈ 1.732) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2 เสาต้นหนึง่ สงุ 6 ฟตุ ปักอยูร่ มิ ทะเลในตอนเช้าเมือ่ ดวงอาทิตย์สงู 47 � เงาของเสาตน้ นี้จะยาวเทา่ ไร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3 ประตูโกดังเก็บของแหง่ หนึ่งกว้าง 4 เมตร และเปดิ ประตไู ดก้ ว้างเพียง 60 � จะน�าตู้คอนเทนเนอร์ ขนาดกว้างท่ีสดุ เทา่ ไร ผ่านเขา้ ประตูนไี้ ด้ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 4 โอมยนื อยรู่ มิ ฝั่งคลองตรงจดุ A และมองไปที่จุด B ซง่ึ อยูร่ มิ ฝั่งตรงข้าม และเป็นระยะทสี่ ั้นทสี่ ดุ จากน้ันเขาเดินเลียบฝ่ังคลองไป 10 เมตร มาหยดุ อยูท่ จ่ี ดุ C และมองกลบั ไปท่จี ดุ B ทา� มุม 60 � เขาจะคา� นวณความกว้างของลา� คลองไดก้ ่ีเมตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

196 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 เม่อื เวลา 14.00 น. แสงของดวงอาทิตย์ทา� มุม 16 � กับพนื้ ดิน เสาตน้ หน่งึ ทอดเงาลงบนพนื้ ดนิ ยาว 30.5 เมตร เมือ่ ถงึ เวลา 15.00 น. ลา� แสงของดวงอาทิตย์ท�ามมุ 10 � กับพน้ื ดนิ จงหาว่าเมือ่ เวลา 15.00 น. เสาต้นนี้ทอดเงาบนพน้ื ดนิ ยาวเท่าใด (กา� หนดให้ tan 16 � = 0.287, tan 10 � = 0.176) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 6 ปิติยนื อยู่บนตึกหลังหนงึ่ เมอ่ื มองลงไปยงั ถนนหน้าตกึ เห็นรถยนต์คนั หน่งึ แล่นตรงเขา้ มา ขณะท่รี ถแล่นถึงจุด A มมี มุ กม้ ทแี่ นวสายตาท�ากับเส้นระดับมีขนาดประมาณ 15 � อีก 6 วนิ าที แลน่ ถงึ จุด B มมี ุมก้มทแ่ี นวสายตาท�ากบั เสน้ ระดับมขี นาดประมาณ 30 � ถ้ารถยนตแ์ ล่นได้ ชว่ั โมงละ 60 กิโลเมตร จงหาวา่ 6.1 จดุ A และจุด B หา่ งกันประมาณก่ีเมตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 6.2 ตึกนีส้ งู ประมาณก่เี มตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 7 เกง่ และกล้ายนื อยู่ในทิศทางเดียวกันของตกึ หลังหนึง่ ซง่ึ สูง 27 เมตร เขาทั้งสองต่างวัดมมุ เงยท่ี แนวสายตาท�ากบั เสน้ ระดับของหลังคาได้ขนาดประมาณ 45 � และ 60 � ตามล�าดับ เกง่ และกล้าอย่หู า่ งกันกเี่ มตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 8 แอนและโอมยืนหา่ งจากผนงั ในหอศิลป์แห่งหน่งึ เปน็ ระยะ 3 และ 12 เมตร ตามลา� ดับ ถ้าแอน มองภาพส้มผลหนงึ่ บนผนงั เป็นมมุ เงย x องศา ในขณะที่โอมมองภาพสม้ ผลเดียวกนั เปน็ มมุ เงย 90 – x องศา ถ้าไม่คดิ ความสูงของแอนและโอม จงหาว่าภาพสม้ ผลนี้อย่สู ูงจากพน้ื ก่เี มตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 197 แบบฝึกหดั ที่ 2 1 ตึกแห่งหนง่ึ สงู กวา่ ตกึ อีกแหง่ หน่งึ 15 ฟุต ปิติอยหู่ ่างจากตึกเตี้ย 50 ฟุต สงั เกตเหน็ ว่าเส้นตรงท่ี เชื่อมระหวา่ งยอดตึกทัง้ สองเอียงทา� มุม 27 � กบั พืน้ ราบ จงหาความสงู ของตึกทั้งสอง (กา� หนด tan 27 � = 0.51) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2 มมุ เงยไปยงั ยอดตกึ แหง่ หนึง่ วดั ได ้ 30 � และเม่อื เดินเข้าหาตึก 100 ฟตุ มุมเงยกลายเป็น 45 � จงหาความสงู ของตกึ เท่ากับเท่าไร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3 ชายคนหนึง่ ยนื อยบู่ นหน้าผาสงู 150 เมตร มองเหน็ เรอื สองล�าในทะเลที่อยู่ทางทศิ ตะวนั ตก เป็นมมุ ก้ม 30 � และ 60 � ตามลา� ดับ เรือสองลา� อยู่หา่ งกนั กีเ่ มตร ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 4 กมลสังเกตลกู บอลลนู ลูกหน่งึ ลอยอยู่เป็นมมุ เงยท่ีแนวสายตาท�ากับเสน้ ระดับมขี นาด 30 � เมอ่ื เขาเดนิ เข้าไปใกล้ลกู บอลลนู อีก 750 เมตร พบวา่ มุมเงยทแ่ี นวสายตาท�ากับเส้นระดับของ ลูกบอลลูนเป็น 60 � จงหาว่าเขาจะเดินเข้าไปอีกเทา่ ไร เขาจงึ จะไปยืนอยู่ใตล้ กู บอลลูนพอดี ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

198 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5 จากยอดอนุสาวรียซ์ ึง่ สูง 96 ฟตุ มมุ ก้มของยอดและฐานของหอคอยเป็น 30 � และ 60 � ตามล�าดบั จงหาวา่ หอคอยสูงกีฟ่ ตุ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 6 เสาอากาศรับโทรทศั น์ตัง้ อยูบ่ นยอดตกึ เมอ่ื ยนื หา่ งจากตึก 40 ฟตุ มุมเงยกับยอดเสาอากาศ และตกึ เป็น 60 � และ 30 � ตามล�าดบั จงหาความสูงของเสาอากาศเท่ากับกีฟ่ ุต ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 7 ผูกลวดกับเสาธง ดึงลวดให้ตงึ ผกู กบั หมุดบนพน้ื หา่ งจากโคนเสา 25 ฟุต ถ้าลวดท�ามมุ กบั พืน้ ดิน 55 � เสาธงต้นน้ีสูงเท่าใด (กา� หนด tan 55 � = 1.421) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 8 เสาไฟฟ้าสองตน้ มคี วามสงู เทา่ กนั อยหู่ า่ งกัน 100 ฟตุ ปกรณ์ยนื อยทู่ จ่ี ุดจดุ หนึ่งระหว่าง เสาไฟทั้งสอง และอย่บู นแนวเส้นตรงที่ลากผ่านจดุ โคนเสาทงั้ สอง สังเกตเหน็ ยอดเสาไฟทงั้ สอง เป็นมุมเงยท่แี นวสายตาท�ากับเสน้ ระดับมีขนาด 30 � และ 60 � ตามล�าดับ จงหาวา่ เสาไฟฟา้ ทง้ั สอง สงู เท่าไร (ก�าหนด 3 = 1.732) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 199 9 ตน้ ไม้ตน้ หนงึ่ ถูกพายพุ ดั หักพบั ลงมา ยอดจดพ้ืนดนิ เป็นรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก และทา� มมุ กบั พื้นดนิ 60 � พอด ี ถา้ ยอดต้นไมห้ า่ งจากโคนต้นไม้ 20 ฟุต จงหาสว่ นสูงของตน้ ไม้นีก้ อ่ นหัก ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 10 จากยอดประภาคารแหง่ หน่งึ ในทะเลอยสู่ ูงจากระดับน้�าทะเลเปน็ ระยะ 50 เมตร สังเกตเหน็ เรอื ลา� หนึง่ ในทะเลท�ามมุ ก้ม 28 � กับแนวระดับสายตา จงหาวา่ เรอื ล�านี้อยหู่ า่ งจากประภาคาร เทา่ ใด (กา� หนด tan 28 � = 0.532) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ แบบทดสอบท้ายบทท่ี 5 จงเลือกคำ� ตอบทถี่ กู ทสี่ ุด 1. ก�าหนดให ้ tan A = 1 ดงั นน้ั sin A เทา่ กบั เทา่ ไร ถา้ ก s. in2 A = 54 จงหาค่าของข .t a1n A + sec A มคี า่ เทค่า.ก ับ 1เ2ทา่ ไร ง. ไม่สามารถหาได้ 2. ก. 3 ข. 0 ค. 1 ง. 1 3 3. sin 30 � + cos 30 � + tan 30 � มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด ก. 2 + 3 ข. 3 + 2 + 1 ค. 3 32 + 1 2 3 + 5 3 ง. 6 4. ข้อใดต่อไปน้ไี มถ่ กู ต้อง ข. sin 30 � + cos 60 � = 1 ก. sin 30 � = cos 60 � ง. sin 60 � + cos 30 � = tan 60 � ค. sin 45 � + cos 45 � = tan 45 �

200 คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 5. ในรปู สามเหลย่ี ม ABC ก�าหนดให ้ AC^B = 90 �, B^AC = 30 � ดา้ น AC ยาว 55 3 น้วิ จงหาความยาวของดา้ น BC ยาวกี่น้ิว ก. 55 น้ิว ข. 55 3 นิ้ว ค. 110 นิ้ว ง. 110 3 นิว้ 6. รปู สามเหล่ยี มหน้าจ่ัวมีมมุ ยอดกาง 120 องศา ดา้ นทเ่ี ท่ากนั ยาว 6 นวิ้ จะมีพ้ืนทกี่ ี่ตารางนว้ิ ก. 3 3 ตารางนวิ้ ข. 9 2 3 ตารางน้ิว ค. 9 3 ตารางนิว้ ง. 18 3 ตารางน้ิว 7. พิจารณาทรงส่เี หลี่ยมมมุ ฉากต่อไปน้ี 12 เสน้ ทแยงมมุ DG ยาวกหี่ น่วย ก. 20 หนว่ ย ข. 22 หนว่ ย ค. 24 หนว่ ย ง. 26 หนว่ ย 8. จากรปู คา่ ของ tan θ + sin β ตรงกับขอ้ ใด ก. 5 + 3 3 5 + 2 ข. 2 ค. 2 5 + 5 5 5 ง. 3 9. จากรปู ∆ABC ถ้า AC^B = 90 ,� AB = 15 นว้ิ BC = 12 นิ้ว และ AD^E = 90 � แลว้ ค่าของ cos A^ED ตรงกบั ข้อใด ก. 4 7 5 ข. 7 ค. 4 5 3 ง. 5

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 2 201 10. จากรูป ความยาวของ AB ตรงกับขอ้ ใด ก. 7 3 หนว่ ย ข. 8 3 หนว่ ย ค. 10 3 หนว่ ย ง. 12 3 หน่วย 11. ห้างสรรพสนิ คา้ แหง่ หน่งึ ตอ้ งการทา� ทางลาดเพ่ืออา� นวยความสะดวกส�าหรับผ้พู กิ ารทีใ่ ช้รถเข็น โดยทา� ทางลาดทท่ี �ามุม 14 � กบั แนวพน้ื ดิน เพ่ือข้นึ พื้นอาคารช้นั 1 ทีส่ งู จากพนื้ ดิน 0.54 เมตร เมอ่ื ทดลองใช้งาน ปรากฏว่าทางลาดนไี้ มส่ ะดวกต่อการใชง้ าน ทางห้างจึงท�าการปรับปรุงใหม่ ให้ทางลาดทา� มมุ 5 � กบั แนวพน้ื ดิน จงหาว่าจุดเรมิ่ ตน้ ของทางลาดใหม่อยหู่ า่ งจากจดุ เร่มิ ตน้ ของ ทางลาดเดิมกีเ่ มตร (ตอบเป็นทศนยิ ม 2 ตา� แหนง่ ) กา� หนดให ้ มุม A sin A cos A tan A 5 � 0.09 1.00 0.09 14 � 0.24 0.97 0.25 ก. 3.84 เมตร ข. 2.96 เมตร ค. 3.90 เมตร ง. 2.58 เมตร 12. AB เป็นเสาต้นหนึ่งทีป่ ักอยใู่ นแนวดง่ิ สงู 12 ฟตุ C, D และ E เป็นหมดุ ท่ีปกั อยูบ่ นพ้นื ถ้าใชเ้ ชอื กโยงจากยอดเสา (จุด A) ไปยงั หมุดแล้ววกกลับไปโคนเสา (จดุ B) ทา� เช่นนไี้ ปจนครบท้ัง 3 หมดุ กา� หนด CA^B = 45 �, D^AB = 60 ,� B^AE = 30 � จงหาความยาวของเชือกทงั้ หมด ( 2 ≈ 1.41, 3 ≈ 1.73) ก. 42.92 ฟุต ข. 54.76 ฟตุ ค. 75.41 ฟุต ง. 94.44 ฟตุ 13. กมลสังเกตเห็นเงาของเสาธงยาวเทา่ กบั ความสงู ของเสาธงต้นนน้ั หลงั จากนัน้ ระยะหนง่ึ เขาสังเกตว่า มมุ ทีด่ วงอาทติ ย์ทา� กบั เสาธงเคล่ือนท่ีอีก 15 � จากเดิม ปรากฏว่าเงาเสาธงยาวกวา่ เดมิ 20 ฟตุ ขอ้ ใดเป็นความสูงของเสาธงน้ี ก. 10( 3 + 1) ฟุต ข. 20( 3 + 1) ฟุต ค. 5(2 3 + 1) ฟุต ง. 8(2 3 + 1) ฟตุ

202 คณติ ศาสตร์ ม.3 เทอม 2 14. จากรูป เสน้ ผา่ นศูนย์กลาง AB และ CD ตั้งฉากกนั ทจ่ี ุด O, OA^E = 30 � และ OE = a หนว่ ย ผลคณู ของความยาวของ AE และ CD เท่ากับข้อใด ก. 2 3 a ข. 2 3 a2 ค. 4 3 a ง. 4 3 a2 15. มานิตยืนบนยอดตึกสังเกตเหน็ ยอดอาคารทอี่ ยู่ตรงข้ามเป็นมมุ ก้ม 45 � แตเ่ ม่ือเขาลงช้ันลา่ งสดุ แล้ว มองไปที่ยอดอาคารเดิมเปน็ มมุ เงย 60 � ถ้าความสูงของอาคารหลงั นน้ั เปน็ 18 เมตร แล้วตึกที่มานติ ยนื อย่มู ีความสูงเท่าไร ก. 18(1 + 3 ) เมตร ข. 6(3 + 3 ) เมตร ค. 12(2 + 3 ) เมตร ง. 8(3 + 2 3 ) เมตร