สื่อประกอบการเรียน เรื่อง สมาการกำลังสองตัวแปรเดียว

คณติ ศาสตร์ เพม่ิ เตมิ ม.2 เล่ม 2 บทท่ี 2 สมการกาลงั สองตวั แปรเดียว

2.1 สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว สมการกาลงั สองตวั แปรเดียว คือ สมการท่ีมี x เป็นตวั แปร และมีรูป ทว่ั ไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตวั และ a ≠ 0 ตวั อยา่ งสมการกาลงั สองตวั แปรเดียว ในรูปทวั่ ไป เช่น 6x2 = 0 y2 – 9 = 0 2x2 + 4x – 8 = 0 1.5t2 – 2.75t + 1.3 = 0 ในบางคร้ัง สมการกาลงั สองตวั แปรเดียว อาจไม่ไดเ้ ขียนอยใู่ นรูปทว่ั ไป แต่เราสามารถใชส้ มบตั ิการเท่ากนั เขียนสมการใหอ้ ยใู่ นรูปทวั่ ไปได้ เช่น x2 + 1 = 2x 4x(x – 2) = 5 (3x + 1)(x – 5) = (2x – 3)(x + 4) + 1 2

คาตอบของสมการกาลงั สองตวั แปรเดียว สมการกาลงั สองตวั แปรเดียว มีคาตอบไดไ้ ม่เกิน 2 คาตอบ เม่ือแทนค่าคาตอบของสมการ ลงไปในสมการแลว้ สมการจะตอ้ งเป็น จริง Ex. จงตรวจสอบวา่ – 1 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 1 = 0 หรือไม่ Ex. จงตรวจสอบวา่ – 3 เป็นคาตอบของสมการ x2 + 9 = 0 หรือไม่ Ex. จงตรวจสอบวา่ 1 และ 3 เป็นคาตอบของ x2 – 4x + 3 = 0 หรือไม่ 3

หลกั การแกส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดียว 1. จดั ใหส้ มการอยใู่ นรูปทว่ั ไป 2. แยกตวั ประกอบของพหุนาม 3. ใชส้ มบตั ิต่อไปน้ี ในการหาคาตอบของสมการ “ถา้ a, b เป็นจานวนจริง และ ab = 0 แลว้ a = 0 หรือ b = 0” Ex. จงหาคาตอบของสมการ x2 – 4x + 3 = 0 Ex. จงหาคาตอบของสมการ 10x2 + 13x – 3 = 0 4

Ex. จงหาคาตอบของสมการ a2 + 17a = 0 Ex. จงหาคาตอบของสมการ y2 – 169 = 0 Ex. จงหาคาตอบของสมการ – x2 – 3x + 4 = 0 Ex. จงหาคาตอบของสมการ 2y2 + 3 = 7y 5

Ex. จงหาคาตอบของสมการ p2 + 25 = 10p Ex. จงหาคาตอบของสมการ ������2 − 2 = ������ 6 Ex. จงหาคาตอบของสมการ 4.5x2 – 6x – 6 = 0 6

แบบฝึ กหัด 2.1 จงหาคาตอบขอบสมการต่อไปน้ี 1.) x2 = 100 2.) x2 – 2x + 1 = 0 3.) x2 – 2x – 8 = 0 7

4.) 11 – 10x – x2 = 0 5.) x2 + 21x = – 110 6.) m2 + 35 = 12m 8

7.) x2 + x = 30 8.) 7n + 18 = n2 9.) 5x2 – 45 = 0 9

10.) (3y – 2)2 = 0 11.) 3x2 + 2x – 8 = 0 12.) 8m2 + 19m – 15 = 0 10

13.) 4a2 = 10 – 3a 14.) 1.4x2 + 3.1x = 1 15.) 3������2 + 1 = −2������ 4 11

16.) x2 – 3x = 4x2 – 36 17.) (4a – 3)2 = 49 18.) (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0 12

19.) (x – 1)2 = ( 1 – x)2 20.) x2 – 1 = x2 + 1 13

2.2 โจทย์ปัญหาเกย่ี วกบั สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว Ex. หากผลคูณของจานวนคู่จานวนหน่ึง กบั จานวนคู่อีกจานวนหน่ึงท่ีอยถู่ ดั ไป เป็น 360 แลว้ จงหาจานวนคู่ท้งั สองจานวนน้นั Ex. หากผลคูณของจานวนเตม็ บวกสองจานวนติดกนั เป็น 132 แลว้ จงหา จานวนเตม็ บวกสองจานวนน้นั 14

Ex. จานวนจานวนหน่ึงมากกวา่ 6 ถา้ กาลงั สองของผลต่างของจานวนจานวน น้นั กบั 6 เท่ากบั 6 เท่าของผลต่างของจานวนจานวนน้นั กบั 6 แลว้ จงหา จานวนจานวนน้นั Ex. ในงานเล้ียงแห่งหน่ึง ผเู้ ขา้ ร่วมงานทุกคนจบั มือซ่ึงกนั และกนั หากมีการ จบั มือเกิดข้ึนท้งั หมด 55 คร้ัง แสดงวา่ มีผมู้ าร่วมงานก่ีคน 15

แบบฝึ กหัด 2.2.1 1. จานวนสองจานวนต่างกนั อยู่ 3 และผลบวกของกาลงั สองของจานวนท้งั สองเป็น 117 จงหาจานวนท้งั สองจานวนน้นั 2. กาลงั สองของผลบวกของจานวนจานวนหน่ึงกบั 5 มากกวา่ ผลบวกของสอง เท่าของกาลงั สองของจานวนจานวนน้นั กบั 5 อยู่ 36 จงหาจานวนจานวนน้นั 3. พอ่ มีอายมุ ากกวา่ แม่ 5 ปี ถา้ ในอีก 10 ปี ขา้ งหนา้ กาลงั สองของอายขุ องพอ่ จะมากกวา่ 60 เท่าของอายขุ องแม่อยู่ 25 ปี ปัจจุบนั แม่มีอายกุ ี่ปี 16

4. พี่นอ้ งสองคนอายตุ ่างกนั 6 ปี หาก 3 เท่าของกาลงั สองของอายขุ องพ่ี มากกว่ากาลงั สองของผลบวกของอายขุ องท้งั สองคนอยู่ 44 ปี จงหาอายขุ องพ่ี และนอ้ ง Ex. รูปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ รูปหน่ึงมีความยาวรอบรูป 22 ซม. และมีพ้ืนท่ี 30 ตร.ซม. จงหาความกวา้ งและความยาวของสี่เหลี่ยมรูปน้ี Ex. สามเหลี่ยมมมุ ฉากรูปหน่ึงมีดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยาว 75 หน่วย และความ ยาวดา้ นประกอบมุมฉากสองดา้ นยาวต่างกนั 15 หน่วย สามเหล่ียมมุมฉากรูปน้ี มีพ้นื ท่ีก่ีตารางหน่วย 17

Ex. กลอ่ งกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉากใบหน่ึงสูง 15 หน่วย ความยาวของกน้ กล่องมากกวา่ ความกวา้ งของกน้ กลอ่ งอยู่ 4 หน่วย และเส้นทแยงมุมที่ยาวท่ีสุด ในกล่องยาว 25 หน่วย จงหาความกวา้ งและความยาวของกล่องใบน้ี Ex. จากรูป มีส่ีเหล่ียมจตั ุรัสสองรูป รูปใหญ่มีดา้ นยาวเป็น 3 เท่าของรูปเลก็ หากพ้นื ท่ีส่วนที่แรเงาเป็น 200 ตร.ซม. แลว้ สี่เหล่ียมจตั ุรัสรูปใหญ่มีดา้ นยาว ดา้ นละกี่เซนติเมตร 18

Ex. สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีมุม A เป็นมุมฉาก และมีดา้ น AB ขนานกบั ดา้ น CD หากดา้ น AB, CD, DA ยาว 2x + 3, x+1, x - 2 หน่วย ตามลาดบั และ สี่เหลี่ยมรูปน้ีมีพ้ืนที่ 16 ตารางหน่วย แลว้ จงหาความยาวดา้ น AD Ex. สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั ที่มีดา้ น AB ยาวเท่ากบั ดา้ น AC เท่ากบั x + 1 หน่วย และดา้ น BC ยาว x หน่วย ลากเสน้ ตรง AD ต้งั ฉากกบั ดา้ น BC พบวา่ AD ยาว x – 1 หน่วย จงหาพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABC 19

Ex. สี่เหล่ียมจตั ุรัส A มีดา้ นยาวดา้ นละ x หน่วย สี่เหล่ียมผืนผา้ B กวา้ ง 2x – 8 หน่วย ยาว 2x – 3 หน่วย หากสี่เหลี่ยมผืนผา้ B มีพ้ืนท่ีมากกวา่ ส่ีเหล่ียมจตั ุรัส A อยู่ 40 ตารางหน่วย จงหาค่า x Ex. จากรูป กาหนดให้ AB, BC, CE, DE, AC ยาว 2x + 2, x, 3, 3x, 2x+3 หน่วย ตามลาดบั จงหาวา่ ดา้ นAD ยาวกวา่ ดา้ น AC กี่หน่วย 20

Ex. กระดาษรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ กวา้ ง 3x + 2 หน่วย ยาว 4x + 3 หน่วย เมื่อตดั มุม ท้งั ส่ีออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีมีดา้ นยาวดา้ นละ 2 หน่วย แลว้ นามาพบั ขอบ ใหเ้ ป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากปริมาตร 154 ลูกบาศกห์ น่วย จงหาวา่ กระดาษแผน่ น้ีก่อนตดั มุม มีความกวา้ งและความยาวเท่าใด 21

แบบฝึ กหัด 2.2.2 1. รูปส่ีเหล่ียมขนมเปี ยกปูนมีความสูงเป็นคร่ึงหน่ึงของความยาวดา้ น ถา้ ความ ยาวรอบรูปของสี่เหล่ียมเท่ากบั พ้นื ที่ของรูปพอดี ส่ีเหล่ียมน้ีมีดา้ นยาวดา้ นละก่ี หน่วย 2. ผลบวกของดา้ นประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากรูปหน่ึงเป็น 28 เซนติเมตร และรูปสามเหล่ียมน้ีมีพ้ืนที่ 96 ตารางเซนติเมตร จงหาความยาว ดา้ นท่ียาวท่ีสุดของสามเหล่ียมรูปน้ี 22

3. ส่ีเหลี่ยมมุมฉากรูปหน่ึงมีเส้นทแยงมุมยาวกวา่ ดา้ นยาวอยู่ 2 เซนติเมตร และ ดา้ นกวา้ งส้นั กวา่ ดา้ นยาวอยู่ 7 เซนติเมตร สี่เหลี่ยมรูปน้ีมีพ้ืนท่ีเท่าใด 4. สวนสาธารณะแห่งหน่ึงเป็นรูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ กวา้ ง 14 เมตร ยาว 24 เมตร ทาทางเดินภายในสวนใหม้ ีความกวา้ งเท่ากนั โดยตลอดแลว้ จะเหลือบริเวณ สวนท่ีไม่รวมทางเดิน คิดเป็นพ้นื ท่ี 200 ตารางเมตร จงหาความกวา้ งของ ทางเดินของสวนน้ี 5. เม่ือปลอ่ ยวตั ถุตกจากท่ีสูง ระยะทางท่ีวตั ถุตกจะเปล่ียนไปตามเวลาที่ผา่ นไป และเป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่ของวตั ถุที่ตกอิสระในแนวดิ่งคือ S = 4.9t2 23

เม่ือ S แทนระยะทางเป็นเมตร และ t แทนเวลาเป็นวนิ าที ถา้ ปล่อยกอ้ นหินจาก หนา้ ผาสูง 1,960 เมตร กอ้ นหินจะใชเ้ วลากี่วินาทีจึงจะตกถึงพ้นื ดิน 6. จากจุดเริ่มตน้ เดียวกนั หากรถยนต์ A วงิ่ ไปทางทิศตะวนั ออก ในขณะท่ี รถยนต์ B วิง่ ไปทางทิศเหนือดว้ ยอตั ราเร็วที่มากกวา่ อตั ราเร็วของรถยนต์ A 15 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง หลงั จากท่ีรถท้งั สองว่งิ ไปได้ 1 ชว่ั โมง 20 นาที รถท้งั สอง คนั อยหู่ ่างกนั 100 กิโลเมตร จงหาอตั ราเร็วของรถท้งั สองคนั 24

7. พิจารณาตารางท่ีกาหนดให้ พจน์ท่ี 1 2 3 4 … 11 … n ค่าของ 4 9 16 25 … … พจน์ จงหาวา่ พจน์ที่ 11 มีค่าเท่าใด, พจน์ที่ n มีค่าเท่ากบั พหุนามใด, และถา้ พจน์ที่ k เท่ากบั 441 แลว้ k มีค่าเท่าใด 8. ตารางแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งค่า x และ y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 5 … หาก y = ax2 + bx + c เมื่อ b และ c เป็นจานวนเตม็ จงหาค่า b และ c และหาก ให้ x = 5 แลว้ จะไดค้ ่า y เป็นเท่าใด 25

ข้อสอบท้ายบทท่ี 6 คณติ ศาสตร์ เพมิ่ เติมม.2 เล่ม 2 เร่ือง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว 1. จงหาผลบวกของคาตอบของสมการ x2 = 25 a. 0 b. 5 c. 15 d. 25 2. จงหาผลบวกของคาตอบของสมการ 2x2 + 12 = 11x a. 1.5 b. 2.5 c. 5.5 d. 11.0 26

3. จงหาผลบวกของคาตอบของสมการ 8x2 – 12x = 8 เมื่อ x > 0 a. 1.5 b. 2 c. 2.5 d. 3 4. จงหาผลคูณของคาตอบของสมการ 2x2 + x = 66 เมื่อ x แทนจานวนเตม็ a. 6 b. – 6 c. 33 d. – 33 5. จงหาคาตอบของสมการ (x – 1)2 = (x + 1)2 a. - 1 b. 0 c. 1 d. 2 27

6. ในงานปี ใหม่ ผเู้ ขา้ ร่วมงานทุกคนทาการ์ดส.ค.ส. ใหแ้ ก่ผรู้ ่วมงานคน อื่นๆ ทุกคน หากมีการ์ดท้งั หมด 10,100 ใบ แลว้ มีผมู้ าร่วมงานท้งั หมดก่ี คน a. 98 b. 99 c. 100 d. 101 7. จานวนคี่บวกสองจานวนเรียงติดกนั คูณกนั ได้ 255 จานวนคี่บวกสอง จานวนน้นั มีผลรวมเป็นเท่าใด a. 26 b. 28 c. 30 d. 32 28

8. ปัจจุบนั พอ่ มีอายเุ ป็น 4 เท่าของลูก ในอีก 10 ปี ขา้ งหนา้ กาลงั สองของ อายขุ องพอ่ จะมีค่ามากกวา่ กาลงั สองของอายขุ องลกู อยู่ 2100 ปัจจุบนั ลูก มีอายกุ ี่ปี a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 9. สามเหล่ียม ABC เป็นสามเหล่ียมที่มีมุม B เป็นมุมฉาก มีดา้ น AB และ ดา้ น AC ยาว 20 และ 52 หน่วย ตามลาดบั จุด D อยบู่ นดา้ น BC ทาให้ AD ยาว 25 หน่วย จงหาวา่ CD ยาวกี่หน่วย a. 15 b. 21 c. 33 d. 51 29

10. คอกเล้ียงสัตวแ์ ห่งหน่ึง มีดา้ นยาวยาวกวา่ ดา้ นกวา้ งอยู่ 8 เมตร มี พ้นื ที่ 240 ตารางเมตร มีดา้ นยาวดา้ นหน่ึงอยตู่ ิดคลองจึงไม่ตอ้ งลอ้ มร้ัว ดา้ นน้นั จงหาวา่ จะตอ้ งใชร้ ้ัวยาวกี่เมตรในการลอ้ มร้ัว 3 ดา้ นที่เหลือ a. 12 b. 20 c. 32 d. 44 11. สี่เหลี่ยมจตั ุรัส A มีพ้นื ที่ 484 ตารางหน่วย สี่เหล่ียมจตั ุรัส B มีดา้ น ส้ันกวา่ สี่เหลี่ยมจตั ุรัส A อยู่ 7 หน่วย จงหาพ้นื ท่ีของสี่เหล่ียมจตั ุรัส B a. 49 ตารางหน่วย b. 81 ตารางหน่วย c. 169 ตารางหน่วย d. 225 ตารางหน่วย 30

12. สวนรูปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ แห่งหน่ึงมีความยาวโดยรอบ 130 เมตร และ มีพ้นื ที่ 1,000 ตารางเมตร สวนน้ีมีความยาวกี่เมตร a. 10 b. 25 c. 40 d. 65 13. ส่ีเหล่ียมรูปวา่ ว ABCD มีดา้ น AB ยาวเท่ากบั ดา้ น AD เท่ากบั 25 เซนติเมตร และดา้ น BC ยาวเท่ากบั ดา้ น CD เท่ากบั 52 เซนติเมตร หาก เสน้ ทแยงมุมตดั กนั ที่จุด E โดย AE ส้ันกวา่ BE อยู่ 5 เซนติเมตร พ้ืนที่ ของส่ีเหลี่ยม ABCD เป็นกี่ตารางเซนติเมตร a. 630 b. 1,260 c. 2,520 d. 5,040 31

14. พิจารณาความสัมพนั ธ์ที่กาหนดให้ ค่าของ n มีค่าเท่าใด พจน์ที่ 1 2 3 4 … n ค่าของพจน์ 2 6 12 20 992 a. 30 b. 31 c. 32 d. 33 15. พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ท่ีกาหนดให้ ค่าของ n มีค่าเท่าใด พจน์ท่ี 1 2 3 4 … n ค่าของพจน์ 3 8 15 24 899 a. 29 b. 30 c. 31 d. 32 32

โจทย์เสริมบทท่ี 6 คณติ ศาสตร์ เพม่ิ เตมิ ม.2 เล่ม 2 เรื่อง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว 1. ถา้ x4 – 3x2 + 2 = 0 แลว้ จงหาผลบวกของจานวนเตม็ บวกท้งั หมดท่ีเป็น คาตอบของสมการดงั กลา่ ว a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 2. รูปสี่เหล่ียมผืนผา้ รูปหน่ึง มีดา้ นยาวยาวกวา่ ดา้ นกวา้ ง 1 เซนติเมตร ถา้ ดา้ นยาวเพิ่มข้ึน 3 เซนติเมตร และดา้ นกวา้ งเพม่ิ ข้ึน 1 เซนติเมตร พ้ืนท่ี ของรูปสี่เหล่ียมผืนผา้ รูปใหม่จะเป็นสองเท่าของพ้นื ท่ีของรูป สี่เหลี่ยมผืนผา้ รูปเดิม รูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ รูปเดิมมีพ้นื ท่ีก่ีตารางเซนติเมตร a. 6 b. 12 c. 20 d. 30 33

3. จานวนเตม็ สามจานวนเรียงกนั ถา้ กาลงั สองของจานวนที่นอ้ ยที่สุด บวก ดว้ ยผลคูณของสองจานวนท่ีเหลือเท่ากบั 67 แลว้ ผลคูณของจานวนสาม จานวนน้นั เป็นเท่าไร a. 60 b. 120 c. 210 d. 336 4. จานวนเตม็ บวกสามจานวนเรียงติดกนั เม่ือนามาคูณกนั มีค่าเท่ากบั 40 เท่าของผลบวกของจานวนท้งั สามน้นั ผลคูณของท้งั สามจานวนมีค่า เท่าใด a. 990 b. 1,320 c. 1,716 d. 2,184 34

5. สวนรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ แห่งหน่ึง มีทางเดินกวา้ งเท่ากนั รอบสวนแห่งน้ี ถา้ เฉพาะส่วนท่ีปลกู ตน้ ไมก้ วา้ ง 20 เมตร ยาว 25 เมตร และพ้นื ท่ีทางเดิน โดยรอบมีพ้นื ท่ี 550 ตารางเมตร ทางเดินกวา้ งก่ีเมตร a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 6. ถา้ ������ = 1 แลว้ ������ 10������ 2 มีค่าเท่าใด ������2+3������+1 4 4+3������ 2+1 a. 1 b. 2 c. 5 d. 10 35

7. ถา้ (������2 + ���1���2)2 − 3 (������2 + ���1���2) − 10 = 0 แลว้ (������ + 1)4มีค่าเท่าใด ������ a. 5 b. 7 c. 25 d. 49 8. จงหาผลบวกของรากท่ีเป็นจานวนจริงของสมการ x2(x – 2)2 – x2 + 2x – 6 = 0 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 36

9. จงหาค่า y เมื่อ ������ = √������2 + 9������ + 30 และ ������2 + 9������ + 15 = 2√������2 + 9������ + 30 a. 3 b. 5 c. 9 d. 25 10. ค่าของ 9 − 1 ตรงกบั ตวั เลือกใด 2−2−21−1⋯ a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 37