2.2_Θεωρία στην εξίσωση β΄ βαθμούA

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια ΓΆρλγεηβργα όριος Δ. ΚΘαετρικπέςοΣπύοζυδαέςς Καθηγητής Μαθηματικών Η εξίσωση αx2+βx+γ=0, α≠0 Άλγεβρα - Γ΄ Γυμνασίου ενότητα 2.2Α Θεωρία-μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 1

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Εξισώσεις β΄ βαθμού Εισαγωγή 1. Πότε λέμε μία εξίσωση ότι είναι 2ου βαθμού ? Απάντηση : Η ισότητα η οποία περιέχει έναν άγνωστο και η μεγαλύτερη δύναμή του είναι η 2η , ονομάζεται εξίσωση 2ου βαθμού ή δευτεροβάθμια εξίσωση. Παραδείγματα o 2x2 − 3x − 1 = 0 o 4x2 + 1 = 3x o x2 − 4x = 0 o x2 + 3 = 0 2. Ποια η γενική μορφή μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού ? Απάντηση : Η γενική μορφή είναι η: αx2 + βx + γ = 0 , με το α  0 όπου η μεταβλητή x είναι ο άγνωστος και τα α , β , γ είναι πραγματικοί αριθμοί Σημείωση : Όταν καταλάβουμε ότι έχουμε μία εξίσωση 2ου βαθμού και υπάρχουν όροι και στα δύο μέλη , κάνουμε μεταφορά όλων των μελών στο πρώτο μέλος και στο δεύτερο γράφουμε μηδέν Παράδειγμα: Για την εξίσωση 3x2 − 1 = 2x θα γράψουμε 3x2 − 1 = 2x ή 3x2 − 2x − 1 = 0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 2

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές 1. Μαθαίνω να λύνω ελλιπή εξίσωση β΄ βαθμού 1.Α Να ξέρεις να κάνεις την επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής αχ²+βχ=0 με α, β0 Μέθοδος : Έχουμε αβ = 0 ή  α = 0 x = 0 ή αx2 + βx = 0 ή x(αx + β) = 0 ή ή β = 0  αx +β = 0 ή αx = −β ή x = − β α Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση 4x2 −2x = 0 Λύση :  x = 0 2x = 0 ή ή 4x2 − 2x = 0 ή 2x(2x − 1) = 0 ή ή 2x − 1 = 0  x = 1 2 1.Β. Να ξέρεις να κάνεις επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής αx²+γ=0 με α, γ0 Μέθοδος : o Αν α>0 και γ>0 είναι αδύνατη Παράδειγμα 1: Η εξίσωση 2x2 + 3 = 0 είναι αδύνατη. Είναι καλύτερα φανερό αν σκεφθούμε ότι : 2x2 + 3 = 0 ή 2x2 = −3 ή x2 = − 3 .Το πρώτο μέλος 2 είναι μη αρνητικό και το δεύτερο αρνητικό. o Αν α>0 και γ<0 έχουμε δύο αντίθετες ρίζες τις x1 = −γ , x2 = − −γ α α Παράδειγμα 2 2x2 − 4 = 0 ή 2x2 = 4 ή x2 = 4 ή x2 = 2 ή x1 = 2 , x2 = − 2 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 3

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές o Αν α<0 και γ>0 έχουμε δύο αντίθετες ρίζες , τις: x1 = −γ , x2 = − −γ α α Παράδειγμα 3 : −9x2 + 5 = 0 ή − 9x2 = −5 ή x2 = 5 ή 9 x= 5 ή x= 5 = 5 9 93 ή x=− 5 ή x=− 5 =− 5 9 93 Οπότε οι ρίζες είναι : x1 = 5 , x2 = − 5 3 3 o Αν α<0 και γ<0 είναι αδύνατη Παράδειγμα −2x2 − 1 = 0 ή 2x2 + 1 = 0 ή x2 = − 1 2 1.Γ Να ξέρεις να κάνεις την επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής αx²=0 με α0 Μέθοδος : Έχουμε αx2 = 0 ή x2 = 0 ή x = 0 αβ = 0 α0 ή β=0 Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση 4x2 = 0 Λύση : 40 4x2 = 0 ή x2 = 0 ή x = 0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 4

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές 2. Μαθαίνω να λύνω εξίσωση β΄βαθμού με συμπλήρωση τετραγώνου 2.Α Πως λύνουμε εξίσωση δευτέρου βαθμού με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου; (1ος τρόπος) Μέθοδος: o Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους τους όρους που 1ος τρόπος περιέχουν την άγνωστη μεταβλητή ως τέλειο o Προσπαθούμε στο μέλος με τις μεταβλητές να φτιάξουμε τέλειο τετράγωνο τετράγωνο και στο άλλο μέλος θα έχουμε αριθμό. o Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα : x2 = y2 ή x = y ή x = −y Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση 4x2 −12x +9 = 0 Λύση : o 4x2 −12x +9 = 0 o 22x2 − 12x + 32 = 0 1ος τρόπος o 22x2 −22x3+ 32 = 0 (ανάπτυγμα ταυτότητας ως τέλειο τετράγωνο α2 − 2αβ + β2 = (α − β)2 ) o (2x − 3)2 = 0 o Άρα πρέπει 2x − 3 = 0( δύο φορές αφού(2x − 3)2 = (2x − 3)(2x − 3) ) οπότε 2x = 3 δηλαδή τελικά x = 3 2 2.Β. Πως λύνουμε εξίσωση δευτέρου βαθμού με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου; (2ος τρόπος) Μέθοδος: o Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους τους όρους που περιέχουν την άγνωστη μεταβλητή o Διαιρούμε με το α και τα δύο μέλη της εξίσωσης αν είναι α  1 και μεταφέρω τον σταθερό όρο στο 2ο μέλος. o Φτιάχνουμε στον όρο με το x το διπλάσιο γινόμενο ➢ Π.x. αν έχω τον όρο 6x γράφω 2x3 οπότε ως α έχω x και ως β έχω το 2. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 5

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές ➢ Π.x. αν έχω τον όρο 5x γράφω 2x 5 οπότε ως α έχω x και 2 ως β έχω το 5 . 2 o Συμπληρώνω και στα δύο μέλη τον όρο β2 , οπότε στο πρώτο μέλος έχω τέλειο τετράγωνο και στο 2ο μέλος κάνω αριθμητικές πράξεις. o Πλέον είμαι σε μία μορφή (x  α)2 = β την οποία λύνουμε με προηγούμενη μεθοδολογία. Παράδειγμα 1 Να λυθεί η εξίσωση x2 −5x +6 = 0 Λύση : o x2 −5x +6 = 0 ή x2 −5x = −6 θα «φτιάξουμε» το διπλάσιο γινόμενο 2ος τρόπος o x2 −2x 5 = −6 ( έχουμε ως α το x και ως β το 5 ) μετατροπής 22 Αν έχω α=1 ( Θα «φτιάξουμε» τον όρο β2 κάνοντας πρόσθεση και στα δύο ξεκινώ από το διπλάσιο μέλη τον κατάλληλο αριθμό που είναι το  5 2 γινόμενο  2  o x2 −2 5 x +  5 2 = −6 +  5 2 ή x − 5 2 = −6 + 25 ή  x − 5 2 = 1 =  1 2 2  2   2  2  4  2  4  2  (θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα x2 = y2 ή x = y ή x = −y ) o έχουμε x − 5 = 1 1 ή x = 5 + 1 ή x = 5+ 1 = 3  − 2 = 2 2  = 2 − 2  = 2 1 = 2 x 5 x 5 1 x 2 − 2 2 5− 2 o Δηλαδή οι λύσεις είναι x1 = 2 , x2 = 3 Παράδειγμα 2 Να λυθεί η εξίσωση 4x2 −12x = 3 Λύση : o 4x2 −12x = 3 (ανάπτυγμα α2 − 2αβ + β2 = (α − β)2 ) o 22x2 −22x3 = 3 1ος τρόπος ως τέλειο o (2x)2 − 22x3 + 32 = 32 + 3 τετράγωνο o (2x − 3)2 = 12 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 6

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές o 2x − 3 = 12 ή 2x − 3 = − 12 o 2x − 3 = 2 3 ή 2x − 3 = −2 3 o x= 3+2 3 ή x= 3−2 3 22 2.Γ. Πως λύνουμε εξίσωση δευτέρου βαθμού με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου; (3ος τρόπος) Μέθοδος: o Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος όλους τους όρους που περιέχουν την άγνωστη μεταβλητή o πολλαπλασιάζω με 4α , όπου α ο συντελεστής του x2 o γράφω το πρώτο μέλος στη μορφή α2  2αβ o αντιλαμβάνομαι ποιον αριθμό έχω ως β και κάνω πρόσθεση και στα δύο μέλη του β2 . o Προκύπτει στο 1ο μέλος α2 − 2αβ + β2 = (α − β)2 o Λύνω με τον κανόνα x2 = α,άρα x =  α Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση 3x2 −8x +5 = 0 Λύση : o 3x2 −8x +5 = 0 πολλαπλασιάζω με 4α = 43 = 12 , 3ος τρόπος με 123x2 −128x + 125 = 0 όπου α =3 ( ο συντελεστής του x2 ) πολλαπλασια σμό με το 4α 36x2 −96x +60 = 0 και έχουμε : o 36x2 −96x = −60 μεταφέρω στο 2ο μέλος τον σταθερό o (6x)2 − 26x8 = −60 όρο 60 και προκύπτει: γράφω το πρώτο μέλος στη μορφή α2  2αβ o (6x)2 − 26x8 + 82 = −60 + 82 αντιλαμβάνομαι ποιον αριθμό έχω ως β και κάνω πρόσθεση και στα δύο μέλη του β2 , άρα έχω o (6x −8)2 = 4 Γράφω το πρώτο μέλος ως α2  2αβ + β2 = (α  β)2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 7

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές o 6x −8 = 4 ή 6x −8 = − 4 Λύνω με τον κανόνα x2 = α,άρα x =  α o 6x −8 = 2ή 6x −8 = −2 o 6x = 10 ή 6x =6 o x = 10 = 5 ή x = 6 = 1 63 6 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 8

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Μαθηματικά : Γρηγόριος Δ. Καρπούζας Φυσική – Χημεία : Κων/νος Δ. Καρπούζας Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 9