2.2Β_Θεωρία στην εξίσωση β΄ βαθμού με τύπο

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια ΓΆρλγεηβργα όριος Δ. ΚΘαετρικπέςοΣπύοζυδαέςς Καθηγητής Μαθηματικών Η εξίσωση αx2+βx+γ=0, α≠0 Άλγεβρα - Γ΄ Γυμνασίου ενότητα 2.2Β Θεωρία-μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 1

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 Η διακρίνουσα Δ = β2 − 4αγ Ο τύπος x1,2 = −β  Δ 2α Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 2

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α  0 ( λύση με τύπο) 1. Πως λύνουμε μία εξίσωση της μορφής αx2+βx+γ=0 , α0 Απόδειξη o Έχουμε την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α  0 τύπου : o Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με 4α και προκύπτει: 4α αx2 + 4α βx + 4α  γ = 0 o Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο στο 2ο μέλος 4α2x2 + 4α βx = −4α  γ ή (2αx)2 + 2 2α x = −4α  γ o Προσθέτω και στα δύο μέλη τον όρο β2 ώστε να προκύψει στο 1ο μέλος ταυτότητα. (2αx)2 + 22α x + β2 = β2 − 4α  γ , o Άρα πλέον έχουμε (2αx + β)2 = β2 − 4α  γ o Η παράσταση β2 − 4αγ ονομάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης και συμβολίζεται με το Δ. Δηλαδή είναι Δ= β2 − 4αγ . Προφανώς την ονομασία την πήρε από το ότι με τη βοήθειά της χωρίζουμε σε περιπτώσεις τη μελέτη μιας εξίσωσης. o Διακρίνουμε περιπτώσεις . ➢ Αν Δ>0 τότε από την (2αx + β)2 = β2 − 4α  γ προκύπτει 2αx + β =  β2 − 4α  γ ή 2αx = −β  β2 − 4α  γ ή x = −β  β2 − 4α  γ δηλαδή η εξίσωση έχει δύο άνισες 2α πραγματικές ρίζες τις x = −β + β2 − 4α  γ , 2α x = −β − β2 − 4α  γ 2α Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 3

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές ➢ Αν Δ=0 τότε από την (2αx + β)2 = β2 − 4α  γ προκύπτει 2αx + β = 0 ή 2αx = −β ή x = −β 2α Άρα η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα την x = −β 2α ➢ Αν Δ<0 , τότε η εξίσωση δεν έχει λύση στους πραγματικούς αριθμούς( λέμε ότι έχουμε αδύνατη εξίσωση) 2. Πως θα λύνουμε μία εξίσωση 2ου βαθμού ? Απάντηση : o Θα βρίσκουμε ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο α ποιος στο β και ποιος στο γ o Θα υπολογίζουμε την διακρίνουσα Δ= β2 − 4αγ a. Αν η διακρίνουσα είναι >0 ή =0 θα αντικαθιστούμε στον τύπο x1,2 = −β  β2 − 4αγ και θα κάνουμε πράξεις για να 2α προσδιορίσουμε τις ρίζες b. Αν η διακρίνουσα είναι <0 θα λέμε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς και θα σταματάμε Παράδειγμα 1 Να λυθεί η εξίσωση 2x2 − 3x + 1 = 0 Λύση o Έχουμε ως α=2 , ως β=-3 και ως γ=1 o Υπολογίζουμε την ποσότητα της διακρίνουσας που είναι Δ = β2 − 4α  γ = (−3)2 − 421 = 9 −8 = 1 o Αφού η διακρίνουσα είναι θετικός αριθμός θα έχουμε δύο ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους ( άνισες ) οι οποίες θα είναι πραγματικοί αριθμοί Αντικαθιστούμε στον τύπο της θεωρίας x1,2 = −β  β2 − 4α  γ 2α Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 4

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές και έχουμε τις ρίζες : x1 = 3+ 1 = 4 = 1 4 4 x1,2 = −(−3)  1 = 31 άρα  4 x2 3− 1 2 1 22 = 4 = 4 = 2 Παράδειγμα 2 Να λυθεί η εξίσωση 4x2 − 4x + 1 = 0 Λύση o Έχουμε ως α=4 , ως β=-4 και ως γ=1 o Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα και είναι Δ = β2 − 4α  γ = (−4)2 − 441 = 16 − 16 = 0 o Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα ( διπλή ) την οποία βρίσκουμε από τον τύπο x1,2 = −β  β2 − 4α  γ 2α Έχουμε x1,2 = −(−4)  0 = 4 = 1 διπλή ρίζα 24 2 24 Παράδειγμα 3 Να λυθεί η εξίσωση x2 − 2x + 3 = 0 Λύση o Έχουμε ως α=1 , ως β=-2 και ως γ=3 o Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα και είναι Δ = β2 − 4α  γ = (−2)2 − 413 = 4 − 12 = −8 o Οπότε η εξίσωσή μας είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Παράδειγμα 4 ( )Να επιλυθεί η εξίσωση: x2 + 3 − 1 x − 3 = 0 Λύση: Οι συντελεστές της εξίσωσης είναι: Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 5

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές α=1 β= 3−1 γ=− 3 Έτσι η διακρίνουσα είναι: 2 2 3 −1 −41 − 3 = = 3 −2 3 +1+4 3 = ( ) ( ) ( )Δ = β2 − 4αγ = ( ) ( )2 2 Δεν κάνουμε χρήση της = 3 +2 3 +1= 3 +1 0. ( )2 ιδιότητας α = α Συνεπώς: 2 3 +1 − 3 +1 = 2 ( ) ( ) ( )x1,2 − −β  Δ 3−1  3+1 = 2α = 21 = x1 = − 3 +1+ 3+1=2 =1 2 2 ή x2 = − 3 +1− 3 − 1 = −2 3 = − 3. 2 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 6

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Παραγοντοποίηση τριωνύμου 1. Τι ονομάζουμε τριώνυμο; Ορισμός : Η παράσταση αx2+ βx + γ με α  0 , λέγεται τριώνυμο. 2. Τι ονομάζουμε διακρίνουσα τριωνύμου; Ορισμός : Διακρίνουσα του τριωνύμου ονομάζεται η διακρίνουσα της αντίστοιχης εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 . Δηλαδή Δ = β2 − 4αγ 3. Τι ονομάζουμε ρίζες τριωνύμου; Ορισμός : Ρίζες του τριωνύμου ονομάζονται οι ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 4. Πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο; Μέθοδος: Η παραγοντοποίηση του τριωνύμου γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:  Αν Δ>0 και ρ1,ρ2 οι ρίζες του αx2 + βx + γ =α(x − ρ1 )(x − ρ2 ) αx2 + βx + γ =α(x −ρ)2 τριωνύμου τότε:  Αν Δ=0 και ρ η μία διπλή ρίζα δεν παραγοντοποιείται του τριωνύμου τότε:  Αν Δ<0 τότε: Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 7

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 1: Να γίνουν γινόμενα παραγόντων τα παρακάτω τριώνυμα: Λύση : (α) 2x2 − x − 1 (β) 1 x2 − 4x + 8 (γ) 2x2 − 3x + 7 Παράδειγμα 2: 2 Λύση : (α) Έχουμε Δ = β2 − 4αγ = (−1)2 − 42(−1) = 1+ 8 = 9  0 , οπότε το τριώνυμο έχει δυο ρίζες τις x1,2 = −β  Δ = −(−1)  9 = 13 2α 4 22 x1 = 1 ή x2 = − 1 . 2 Επομένως 2x2 −x −1 = 2(x − 1) x + 1  = (x − 1)(2x + 1) . 2  (β) Έχουμε Δ = β2 − 4αγ = (−4)2 − 4 1 8 = 16 − 16 = 0 , οπότε το 2 τριώνυμο έχει διπλή ρίζα την x0 = −β = − ( −4) = 4 = 4. 2α 1 2 1 2 Επομένως 1 x2 − 4x + 8 = 1 (x − 4)2 . 22 (γ) Έχουμε Δ = β2 − 4αγ = (−3)2 − 427 = 9 −56 = −47  0 , οπότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες και έτι το τριώνυμο δεν μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Να απλοποιηθεί η παράσταση: A = x2 − 7x + 12 . 2x2 − 5x − 3 Προσοχή πρέπει να τονίσουμε ότι η παράσταση Α ορίζεται αν x  3 και x  − 1 . 2 Το τριώνυμο x2 − 7x + 12 έχει ρίζες x1 = 3 και x2 = 4 , ενώ το τριώνυμο 2x2 −5x − 3 έχει ρίζες x1 = 3 και x2 = −1 . 2 Επομένως: A = (x − 3)(x −4) = x−4 . 2x + 1 2 ( x − 3) x + 1  2  Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 8

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 9

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 10

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 φροντιστήρια Άλγεβρα Θετικές Σπουδές Μαθηματικά : Γρηγόριος Δ. Καρπούζας Φυσική – Χημεία : Κων/νος Δ. Καρπούζας Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 11