9_Θεωρία Μεθοδολογία 1_1

Γρηγόριος Δ. Καρπούζαςσυνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Καθηγητής Μαθηματικών Συνάρτηση «1-1» Αρχικές έννοιες συναρτήσεων ενότητα 9 Θεωρία - μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 1

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 9. Μαθαίνω τις συναρτήσεις «1-1» Αρχικές έννοιες Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. o Γνωρίζουμε ότι σε κάθε xA αντιστοιχεί ένας μόνο πραγματικός αριθμός y = f(x) ,ο οποίος ανήκει στο σύνολο τιμών f(A) . o Όμως σε κάθε yf (A) μπορούν να αντιστοιχίζονται δύο διαφορετικά xA Για παράδειγμα στη συνάρτηση f (x) = 2x4 − 1 για x1 = −1 έχω f (−1) = 2(−1)4 − 1 = 1 , αλλά και για x2 = 1 έχω f (1) = 214 − 1 = 1 o Εμείς στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με τις συναρτήσεις για τις οποίες σε διαφορετικές τιμές xA αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές y. o Άρα σε κάθε xA αντιστοιχούν μοναδικό yf (A) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 2

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Α. θεωρία 9.A.1 Να γράφεις τον ορισμό της ¨1-1¨συνάρτησης ( διαβάζεται ένα προς ένα) Ορισμός : Μια συνάρτηση f : A →  λέγεται συνάρτηση «1-1», όταν για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η συνεπαγωγή: Προσοχή δεν είναι ορισμός , αν x1  x2 , τότε f(x1)  f(x2). αλλά ισοδύναμη Ισοδύναμα έχουμε μέθοδος για ασκήσεις Μια συνάρτηση f : A → είναι συνάρτηση «1-1», αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2 . ισχύουν τα αντίστροφα αν έχω «1-1» συνάρτηση o Για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η ισοδυναμία f(x1)  f(x2)  x1  x2 . (Έχοντας f(x1)  f(x2)αναγκαστικά πρέπει να ισχύει x1  x2 γιατί αν συνέβαινε x1 = x2 τότε και f(x1) = f(x2) , άτοπο αφού έχουμε την παραδοχή f(x1)  f(x2)). o Για κάθε συνάρτηση f : A →  αν x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2) και αν η συνάρτηση f : A → είναι συνάρτηση «1-1» για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η ισοδυναμία f(x1) = f(x2)  x1 = x2 , τότε x1 = x2 . Σχόλιο : ο ορισμός αναφέρεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και όχι σε υποσύνολό του. Αν θέλουμε να αναφερθούμε σε υποσύνολο , ορίζουμε περιορισμό της συνάρτησης σ΄ αυτό και δουλεύουμε. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 3

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 9.A.2. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού Προσοχή : o Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης Μέθοδος μιας «1-1» συνάρτησης με την ίδια τεταγμένη. απόδειξης ότι δεν έχω «1-1» ή λίγο διαφορετικά αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. συνεπώς αν μία ευθεία παράλληλη του x'x τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο ή περισσότερα σημεία δεν είναι «1-1» o Αν υπάρχει τιμή yo f(A) τέτοια ώστε η εξίσωση f (x) = yο να έχει δύο τουλάχιστον ρίζες x1,x2 A με x1  x2 ,τότε η f δεν είναι «1-1» o Αν υπάρχουν x1,x2 A με x1  x2 ώστε f (x1 ) = f (x2 ) τότε η συνάρτηση δεν είναι «1-1» Απόδειξη Αν η εξίσωση f(x) = y είχε δύο λύσεις π.χ. x1,x2 A με x1  x2 θα είχαμε f(x1) = y, f(x2) = y , άρα f(x1) = f(x2) , δηλαδή αντιβαίνει στον ορισμό του «1-1» (Σχήμα 1) Συνάρτηση όχι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 4

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Επί πλέον μέθοδοι απόδειξης του «1-1» Μέθοδος Αν μία ευθεία παράλληλη του x'x τέμνει τη γραφική απόδειξης ότι παράσταση μιας συνάρτησης, σε ένα μόνο σημείο έχω «1-1» μετατοπιζόμενη από το − έως το + τότε είναι «1-1» Μέθοδος (Σχήμα 2) Συνάρτηση «1-1» απόδειξης ότι έχω «1-1» Αν η εξίσωση f(x) = y για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της έχει ακριβώς μια λύση ως προς x η συνάρτηση είναι «1-1» ( Απόδειξη προφανής από τον ορισμό) Μέθοδος Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε απόδειξης ότι προφανώς, είναι συνάρτηση «1-1» (δες σχήμα2) έχω «1-1» Απόδειξη Αφού για κάθε x1  x2 Δ με x1  x2 ( άρα έχω x1  x2 ) ισχύει f(x1 )  f(x2 ) ή f(x1 )  f(x2 ) προφανώς ισχύει και f(x1 )  f(x2 ), άρα «1-1» Προσοχή το αντίστροφο δεν ισχύει ( χρειάζεται η συνάρτηση να είναι και συνεχής) δηλαδή υπάρχουν, συναρτήσεις που είναι «1-1» αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 5

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Πολύ καλή Για παράδειγμα η συνάρτηση g(x) =  x , x0 ερώτηση  1 , x0 αντιπαραδείγ-  x ματος Είναι «1-1» αφού κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη Cf σε ένα ακριβώς σημείο, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη αφού είναι γνησίως αύξουσα στο (−,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0,+) .( δες το παρακάτω σχήμα) Βασικότατες γνώσεις o Αν μία συνάρτηση δεν είναι «1-1» τότε δεν είναι γνησίως μονότονη( αντιθετοαντίστροφη της προηγούμενης πρότασης) o Αν μία συνάρτηση είναι άρτια , τότε δεν είναι «1-1» , αφού για κάθε xA με x 0 ισχύει ότι x  −x , ενώ f (x) = f (−x) . o Μία περιοδική συνάρτηση δεν είναι «1-1» αφού είναι x+ T  x ενώ f(x+ T) = f(x). o Ο ορισμός δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων γενικά. Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f (x) = 1 ,x  0 |x| ➢ Στο Α1 = (−,0) έχω f(x) = − 1 γνησίως φθίνουσα , x άρα «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 6

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ Στο Α2 = (0,+) έχω f(x) = 1 γνησίως αύξουσα , άρα x «1-1» ➢ Όμως στο Α = Α1  Α2 = (−,0) (0,+) = * δεν είναι «1-1» αφού κάθε οριζόντια ευθεία y = λ,λ  0 τέμνει την Cf σε δύο σημεία o Αν f,g είναι «1-1» δε σημαίνει ότι πάντα οι f + g, f − g, f g, f είναι «1-1» g Για παράδειγμα οι f(x) = x + 1, g(x) = −x είναι «1-1» ενώ η (f + g)(x) = x + 1− x = 1 δεν είναι «1-1» Για παράδειγμα οι f(x) = x + 1, g(x) = x − 1 είναι «1-1» ενώ η (f g)(x) = (x + 1)(x − 1) = x2 − 1 δεν είναι «1-1» Για παράδειγμα οι f (x) = x3, g(x) = 2x3 είναι «1-1» ενώ η  f  ( x) = x3 = 1 δεν είναι «1-1»  g  2x3 2   Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 7

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άρα αν έχω μία συνάρτηση f «1-1» καταλαβαίνω ότι : χρήσιμα: o Για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η ισοδυναμία f(x1)  f(x2)  x1  x2 . o Αν η συνάρτηση f : A → είναι συνάρτηση «1-1» για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η ισοδυναμία f(x1) = f(x2)  x1 = x2 , τότε x1 = x2 . o Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης μιας «1-1» συνάρτησης με την ίδια τεταγμένη. o Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. o Η εξίσωση f(x) = k έχει το πολύ μία λύση ως προς x ➢ Αν k στοιχείο του συνόλου τιμών της έχει ακριβώς μια λύση ως προς x, οπότε ισχύει f(x) = k  f(x) = f(xo )  x = xo ➢ Αν k δεν είναι στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = k είναι αδύνατη. ➢ Προφανώς εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία λύση ως προς x και αν 0f(A) η ρίζα είναι μοναδική. Άρα αν έχω μία συνάρτηση f όχι «1-1» καταλαβαίνω ότι : χρήσιμα : o Υπάρχουν x1,x2 A ώστε x1  x2 και f (x1 ) = f (x2 ) o Υπάρχει αf (A) ώστε η εξίσωση f (x) = α να έχει περισσότερες από μία ρίζες. o Υπάρχει ευθεία y = k, k  η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία. o Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 8

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Ποιες βασικές συναρτήσεις είναι «1-1» και ποιες δεν είναι Απάντηση : Είναι «1-1» o Η συνάρτηση f (x) = αx + β, α  0 είναι «1-1» αφού ➢ αν α>0 είναι γνησίως αύξουσα ( συνεπώς «1-1» ) ➢ αν α<0 είναι γνησίως φθίνουσα ( συνεπώς «1-1» ) o Η συνάρτηση f (x) = αx2ν+1 + β, α  0, νΝ* είναι «1-1» ➢ αν α>0 είναι γνησίως αύξουσα ( συνεπώς «1-1» ) ➢ αν α<0 είναι γνησίως φθίνουσα ( συνεπώς «1-1» ) o Η συνάρτηση f (x) = αx3, α  0 είναι «1-1» αφού ➢ αν α>0 είναι γνησίως αύξουσα ( συνεπώς «1-1» ) ➢ αν α<0 είναι γνησίως φθίνουσα ( συνεπώς «1-1» ) o Η συνάρτηση f (x) = αx, 0  α  1 είναι «1-1» αφού είναι γνησίως αύξουσα αν α>1 και γνησίως φθίνουσα αν 0<α<1. o Η συνάρτηση f (x) = ex, είναι «1-1» αφού είναι γνησίως αύξουσα. o Η συνάρτηση f (x) = logx, είναι «1-1» αφού είναι γνησίως αύξουσα. o Η συνάρτηση f(x) = lnx, είναι «1-1» αφού είναι γνησίως αύξουσα. Προσοχή!!! Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις στα πεδία ορισμού τους δεν είναι «1-1» .Με περιορισμό της συνάρτησης σε κατάλληλο διάστημα που διατηρεί σταθερή μονοτονία η «νέα» συνάρτηση είναι «1-1» Παράδειγμα : Η συνάρτηση f (x) = εφx, x  − π , π  είναι «1-1» 2 2  αφού είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 9

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Δεν είναι «1-1» o Η σταθερή συνάρτηση f (x) = c, c δεν είναι «1-1» αφού για οποιαδήποτε x1,x2 A με x1  x2 ισχύει f(x1 ) = f (x2 ) = c o Η συνάρτηση f (x) = x2 δεν είναι «1-1» αφού π.χ. ισχύει f(−1) = f(1) , ενώ −1 1 o Η συνάρτηση f(x) =|x| δεν είναι «1-1» αφού π.χ. ισχύει f(−1) = f(1) , ενώ −1 1 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 10

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = (x −k)(x −m)g(x) + c, αφού για x1 = k, x2 = m ισχύει ότι x1  x2 ενώ f (x1 ) = f (x2 ) Ερωτήσεις σωστού λάθους Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 11

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μεθοδολογία 9.Β.1. Πως εξετάζω αν μία συνάρτηση είναι «1-1» ; 1η Μέθοδος: Με τη βοήθεια του ορισμού Όταν για οποιαδήποτε x1,x2  A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1  x2 , τότε f(x1)  f(x2) λέμε ότι η συνάρτηση είναι «1-1». Παράδειγμα 1 : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με f (x) = x5 + 2 είναι «1-1» Λύση : o Είναι Af =  o Για κάθε x1 ,x2  με x1  x2 ισχύουν x1  x2  x15  x25  x15 + 2  x25 + 2  f (x1 )  f (x2 ) και συνεπώς είναι «1-1» 2η Μέθοδος: Με τον ισοδύναμο ορισμό Μια συνάρτηση f : A →  είναι συνάρτηση «1-1», αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1,x2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f(x1) = f(x2) τότε x1 = x2 . Παράδειγμα 2 : Να δείξετε ότι για x 0 η f (x) = ex2+1 − 3 είναι «1-1» Λύση : o Είναι Af = (0,+) . Για x1 ,x2 (0,+) με f(x1 ) = f (x2 ) έχουμε ( ) ( )f x1 = f x2  ex12 +1 − 3 = ex22 +1 − 3  ex12 +1 = ex22 +1  o x12 + 1 = x22 + 1  x12 = x22  x1 = x2  xx11 = x2 = −x2 o Όμως x1 ,x2 (0,+) δηλαδή ομόσημοι οπότε ισχύει x1 = x2 άρα η f είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 12

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 3η Μέθοδος: Με τη μέθοδο της μονοτονίας Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι «1-1» αρκεί να δείξουμε ότι είναι γνησίως μονότονη Παράδειγμα 3 : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = ex3 + ln2x − 1 , x  0 είναι «1-1» x Λύση : o Για κάθε x1,x2 (0,+) με x1  x2 έχουμε ( )o x1  x2  x31  x32  ex31  ex32 1 o x1  x2  2x1  2x2  ln(2x1 )  ln(2x2 ) (2) o x1  x2  1  1  −1  −1 (3) x1 x2 x1 x2 o Οπότε (1)+(2)+(3)  f(x1 )  f (x2 ) άρα η f είναι γνησίως μονότονη οπότε και «1-1». 4η Μέθοδος: Με τη λύση της εξίσωσης y = f (x) Λύνουμε την εξίσωση y = f(x) ως προς x ( αν λύνεται) . Αν η εξίσωση έχει μοναδική λύση ως προς x για κάθε yf (A) τότε η συνάρτηση είναι «1-1». Παράδειγμα 4 : Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση τύπο f(x) = 2 + ex είναι «1-1» ex − 1 Λύση : o Πρέπει ex − 1  0  ex  1  x  0 o Άρα Af = * o Λύνω την εξίσωση y = f(x) 2 + ex ex − 1 ( )y = 2 + ex  yex − y = 2 + ex  =  y ex − 1 (y − 1)ex = 2 + y y1 = 2+y  x = ln 2+y  y−1  y−1   ex  o Προκύπτει δηλαδή μοναδική λύση οπότε η f είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 13

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 5η Μέθοδος: Με τη γραφική παράσταση Με τη γραφική παράσταση. Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε ευθεία οριζόντια τέμνει τη Cf σε ένα το πολύ σημείο. Παράδειγμα 5 : Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : → . Λύση : i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη. iii. Να εξετάσετε αν η f είναι «1-1» i. Παρατηρούμε στο σχήμα ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (−,0 και είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+) . ii. Από το ερώτημα (i) προκύπτει ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη σε όλο το . iii. Αν σκεφθώ μία οριζόντια ευθεία η οποία «σαρώνει» τη γραφική παράσταση από κάτω προς τα πάνω, σε κάθε θέση της έχει με την Cf το πολύ ένα κοινό σημείο. Δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία της Cf με την ίδια τεταγμένη. Άρα η f είναι «1-1» συνάρτηση . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 14

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 6η Μέθοδος: Πολλαπλού τύπου συνάρτηση Αν η συνάρτηση είναι της μορφής f ( x ) =  f1 (x), xA1  f2 (x), xA2  ακολουθούμε τα βήματα. o Αποδεικνύω ότι κάθε κλάδος είναι «1-1» 1ος τρόπος Κατασκευαστικά αποδεικνύουμε ότι f(x) M, xA1 και ότι f (x)  M, xA2 ή αντίστροφα, οπότε αναγκαστικά ισχύει f(x1 )  f (x2 ) δηλαδή η f είναι «1-1» 2ος τρόπος o Βρίσκουμε το σύνολο τιμών για κάθε κλάδο f (A1 ) , f (A2 ). ➢ Αν τα σύνολα τιμών έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή f (A1 )  f (A2 )  τότε η f δεν είναι «1-1» ( εφόσον θα υπάρχουν x1 A1,x2 A2 άρα x1  x2 με f (x1 ) = f (x2 ) ) ➢ Αν τα σύνολα τιμών δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή f (A1 )  f (A2 ) =  τότε για κάθε x1 A1 , x2 A2 έπεται ότι f(x1 )f(A1 ) , f (x2 )f (A2 ) και επειδή f(A1 )  f(A2 ) =  θα είναι f(x1 )  f(x2 ) άρα η f είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 15

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = ex , x0  , είναι «1-1» Παράδειγμα 6 : 1 − x2 x0 Λύση : o Για τη συνάρτηση f1 (x) = ex στο Α1 = (0,+) ισχύει ότι είναι γνησίως αύξουσα , άρα «1-1» επίσης x  0  ex  e0  f1 (x)  1 . o Για τη συνάρτηση f2 (x) = 1− x2 στο Α2 = (−,0είναι γνησίως αύξουσα , άρα ¨1-1 Επίσης −x2  0  1− x2  1  f2 (x)  1 o Άρα για x1 (−,0 και x2 (0,+) ισχύει x1  x2 και f (x1 )  f (x2 ) δηλαδή η f είναι ¨1-1 o Κάνοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης προκύπτει ότι και εποπτικά η f είναι «1-1» στο πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα 7 : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = ex+2 , x0 2x − 1, είναι «1-1» x0 Λύση : Έχουμε Af = (−,0) 0,+) = o Για τα x(−,0), f (x) = 2x − 1 έχω γνησίως αύξουσα συνάρτηση ( γιατί;) , άρα «1-1» o Για τα x0,+), f (x) = ex+2 έχω γνησίως αύξουσα συνάρτηση ( γιατί;), άρα «1-1» o Βρίσκω τα σύνολα τιμών των περιορισμών ➢ x  0  x + 2  2  ex+2  e2  f (x)  e2 . Δηλαδή f (0,+)) = )e2,+ ➢ x  0  2x  0  2x − 1 −1  f (x)  −1. Δηλαδή f((−,0)) = (−,−1) . ➢ Παρατηρώ ότι f((−,0))  f(0,+)) =  , άρα για x1 (−,0), x2 0,+) (προφανώς x1  x2 ) ισχύει f(x1 )  f (x2 ) δηλαδή η f είναι “1-1” Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 16

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές εποπτικά έχω Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 17

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Εξάσκηση στο μάθημα… Άσκηση 1 : Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι «1-1» i) f (x) = 2x − 1 , x  2 ii) f ( x ) = x2 + 3x − 2, x  A = − 3 , +  2  x−2 iii) f (x) = e2x + x3 + lnx − 4 iv) f (x) = 3 − x3 Άσκηση 2 : Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι «1-1» Άσκηση 3: i) f ( x ) = ex 1 ii) f (x) = 2x + lnx iii) f (x) = 2x3 + ex+1 Άσκηση 4: ex + Άσκηση 5: Να δείξετε ότι είναι «1-1» οι συναρτήσεις i) f (x) = 2x + 1 ii) f (x) = ln(3+ x5 ) , 2 iii) f (x) = x3 + 1 , iv) f(x)= x3 + εφx , x   0, π 2  ( )Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f (x) = 2ln x3 − 1 + x5 είναι «1-1». Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x3 − 3αx2 + 3α2x + 2001 είναι «1-1». Άσκηση 6: Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με f (x) = x2 − 2x + 3 είναι «1-1» i) στο  ii) στο (− 1) Άσκηση 7: Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = x είναι «1-1» | x | +1 Άσκηση 8: Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = x −3 , x2 είναι Άσκηση 9:  x− 2, x2  «1-1» Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ( x ) = x2 − 3x + 2 , x0 3x −2 , x0 είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 18

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 9.Β.2 Πως αποδεικνύω ότι μία συνάρτηση δεν είναι «1-1» ; Μεθοδολογία : Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν είναι «1-1» αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν x1,x2  A με x1  x2 ώστε f(x1) = f(x2) . Αυτό γίνεται : o 1ος βρίσκοντας με δοκιμές δύο συγκεκριμένους αριθμούς x1  x2 ώστε f(x1) = f(x2) . o 2ος Ξεκινάμε από την ισότητα f (x1 ) = f (x2 ) ,κάνουμε πράξεις και δεν φθάνουμε αποκλειστικά στην ισότητα x1 = x2 , αλλά και σε μία ακόμη εναλλακτική σχέση μεταξύ των x1,x2 . o 3ος Αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν yf (A) για τα οποία η εξίσωση f(x) = y έχει ως προς x περισσότερες από μία λύσεις στο Α. o 4ος δείχνοντας ότι υπάρχει μία οριζόντια ευθεία y=k η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση σε τουλάχιστον δύο σημεία Υπενθυμίζω ότι : ➢ Η σταθερή συνάρτηση f(x) = β δεν είναι συνάρτηση «1-1» αφού f(x1) = f(x2) = β για οποιαδήποτε x1,x2  με x1  x2 ➢ Η συνάρτηση f(x) = x2 δεν είναι συνάρτηση \"1− 1\" , αφού για −1 1 είναι f(−1) = f(1) = 1 ➢ Μία άρτια συνάρτηση δεν είναι «1-1» αφού είναι −x  x ενώ f(−x) = f(x) ➢ Μία περιοδική συνάρτηση δεν είναι «1-1» αφού είναι x+ T  x ενώ f(x + T) = f(x) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 19

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ( )Παράδειγμα 1: Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = ln 3 − x2 δεν είναι «1-1» Λύση : o Πρέπει 3 − x2  0  x2  3  − 3  x  3 . ( )Άρα Af = − 3 , 3 ( )o Θεωρώ x1 ,x2  − 3 , 3 για παράδειγμα με x1 = −1 & x2 = 1 οπότε x1  x2 . Τότε : ( )o f(x1 ) = ln 3 − (−1)2 = ln2 και ( )f (x2 ) = ln 3 − 12 = ln2 o δηλαδή ενώ x1  x2 προέκυψε f (x1 ) = f (x2 ) άρα η f δεν είναι «1-1» στο πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα 2: Να δείξετε ότι η f (x) = ex2+1 − 3 δεν είναι «1-1» Λύση : Είναι Af =  με f(x1 ) = f (x2 ) έχουμε ( ) ( )f x1 = f x2  ex12 +1 − 3 = ex22 +1 − 3  ex12 +1 = ex22 +1  x12 + 1 = x22 + 1  x12 = x22  x1 = x2  xx11 = x2 = −x2 δηλαδή δεν είναι «1-1» Παράδειγμα 3: Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x2 − 4x + 3 είναι «1-1» Λύση : Α = (−,13,+) 1ος τρόπος Γράφουμε f (x) = x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) . Παρατηρούμε ότι f (1) = (1− 1)(1− 3) = 0 και f (3) = (3 − 1)(3 − 3) = 0 . Δηλαδή ενώ 1  3 ισχύει f(1) = f(3) , άρα η f δεν είναι «1-1». Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 20

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 2ος τρόπος Για κάθε x1,x2 Α = (−,13,+) με f(x1 ) = f(x2 ) ισχύει : f (x1 ) = f (x2 )  x12 − 4x1 + 3 = x22 − 4x2 + 3  x12 − 4x1 + 3 = x22 − 4x2 + 3  x12 − 4x1 = x22 − 4x2  x12 − x22 − 4(x1 − x2 ) = 0  (x1 − x2 )(x1 + x2 ) − 4(x1 − x2 ) = 0  (x1 − x2 )(x1 + x2 − 4) = 0  xx11 = x2 ή . + x2 =4 Άρα η f δεν είναι «1-1» Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 3x + 5 , x0 Παράδειγμα 4:  x0  4 + x3 , είναι «1-1» Λύση : Παρατηρούμε ότι : o f(−1) = 3(−1) +5 = −3+5 = 2 o f (0) = 4 + 03 = 4 = 2 Δηλαδή ενώ −1 0 ισχύει f(−1) = f(0) Παράδειγμα 5: Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει «1-1» συνάρτηση f : → ώστε f2 (x)  f(x) f (2 − x), x Λύση : o Για x =0 έχουμε f2 (0)  f(0) f(2 −0)  f2 (0)  f (0) f (2) (1) o Για x =2 έχουμε f2 (2)  f (2) f (2 −2)  f2 (2)  f (2) f (0) (2) o Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) και προκύπτει f2 (0) + f2 (2)  2f(0) f (2)  f2 (0) + f2 (2) −2f (0) f (2) 0  (f (0) − f (2))2  0  (f (0) − f (2))2 = 0  f (0) = f (2) Άρα ενώ 0  2 ισχύει f (0) = f (2) συνεπώς η f δεν είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 21

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 6: Έστω μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει (fof)(x) = −x, x (1) . i. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» ii. Να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Λύση : i. Έστω x1,x2  , ώστε f (x1 ) = f (x2 ), οπότε είναι και ( ) ( )f f (x1 ) = f f (x2 ) , άρα λόγω της (1) −x1 = −x2  x1 = x2 , δηλαδή η f είναι «1-1» ii. Έστω x1  x2 και για παράδειγμα η f είναι γνησίως αύξουσα. Τότε f(x1 )  f (x2 )  f (f (x1 ))  f (f (x2 ))  −x1  −x2  x1  x2 άτοπο . όμοια αν f γνησίως φθίνουσα. Το παράδειγμα λοιπόν αυτό είναι μία ακόμη απόδειξη ότι μία συνάρτηση «1-1» δεν είναι απαραίτητα και γνησίως μονότονη Παράδειγμα 7: Να δείξετε ότι η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει (x − 2)f (x + 2) + (x + 2)f (x −2) = 4 − x2, x δεν είναι «1-1» Λύση : o Η σχέση για x = 2 γράφεται (2 − 2)f(2 + 2) + (2 + 2)f (2 − 2) = 4 −22  4f (0) = 0  f (0) = 0 o Η σχέση για x = −2 γράφεται (2 − 2)f(2 + 2) + (2 + 2)f (2 − 2) = 4 −22  4f (0) = 0  f (0) = 0 (−2 − 2) f (2 + 2) + (−2 + 2)f (−2 − 2) = 4 − (−2)2  −4f (4) = 0  f(4) =0 o Παρατηρώ ότι ενώ 0  4 ισχύει f (0) = f (4) , άρα η συνάρτηση f δεν είναι «1-1». Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 22

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 1: Εξάσκηση στο μάθημα… Άσκηση 2 : Να δείξετε ότι δεν είναι «1-1» οι συναρτήσεις i. f(x) =|x − 1| −2, x ii. f (x) = x2 −5x + 5 Να δείξετε ότι δεν είναι «1-1» οι συναρτήσεις i) f (x) = x6 + | x | +5 ii) ( )f x = 2|x−1|+2 iii) f (x) = x4 − x + 1 iv) f (x) = συνx + 1 Άσκηση 3 : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 2x + 3 , x1 Άσκηση 4 : 3x2 , x1 είναι «1-1» Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x2 − 6x + 5 είναι «1-1». Άσκηση 5 : Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει Άσκηση 6: ( )f x2 + 2f (x) = x4 + 2x2,x .Να δείξετε ότι δεν είναι «1-1». Έστω η συνάρτηση f : → ώστε f(x) + f(x − 1) = 2, xR . i. Να δείξετε ότι δεν είναι «1-1». ii. Να δείξετε ότι δεν είναι γνησίως μονότονη. Άσκηση 7: ( )Έστω η συνάρτηση f : → ώστε f2 x2 + 9  6f (2x), x R Άσκηση 8: Να δείξετε ότι δεν είναι «1-1». Έστω η συνάρτηση f : → ώστε (fof)(x) = x2 − x + 1,xR i. Να βρείτε το f(1) ii. Να δείξετε ότι δεν είναι «1-1». iii. Δείξτε ότι η g(x) = 2ex2+x − f (x + 1),x R δεν είναι «1-1». Άσκηση 9: Θεωρούμε τη συνάρτηση f :  →  με την ιδιότητα (x −2)f(x −3) −(x −3)f(x) = 1, x . i. Να βρεθούν τα f(0),f (2) ii. Να εξετάσετε αν η f είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 23

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 9.Β.3. Να μελετώ το «1-1» σε συναρτησιακές σχέσεις. Μέθοδος : o Αν εμφανίζεται σύνθεση συναρτήσεων η οποία περιέχει τη συνάρτηση που θέλουμε να δείξουμε ότι είναι «1-1» ξεκινάμε κατασκευάζοντας το μέλος που έχει τη συνάρτηση . Παράδειγμα 1: o Με τη βοήθεια της σχέσης αντικαθιστώντας προκύπτει x1 = x2 Δίνεται μία συνάρτηση f : (0,+) → με την ιδιότητα f3 (x) +2f (x) = ln(x - 1) , x > 1Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» στο (1,+) Λύση : o Για κάθε x1,x2 (1,+) με f(x1 ) = f (x2 ) προκύπτουν: ➢ 2f(x1 )= 2f(x2 ) (1) ➢ f3 (x1 ) = f3 (x2 )  f3 (x1 ) = f3 (x2 ) (2) o Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε πλέον f3 (x1 ) +2f (x1 ) = f3 (x2 ) +2f (x2 )  ln(x1 − 1) = ln(x2 − 1)  x1 − 1 = x2 − 1  x1 = x2 o Συνεπώς η f είναι «1-1». Παράδειγμα 2: Δίνεται μία συνάρτηση f : → με την ιδιότητα f (f (x)) + x3 = f (x) − 2 Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» στο Λύση : o Η δοθείσα γράφεται f (f (x)) - f (x) = -x3 − 2 (1) o Για κάθε x1,x2  με f (x1 ) = f (x2 ) προκύπτουν: ➢ f(f(x1))=f(f(x2 )) (1) ➢ −f(x1 ) = −f(x2 ) (2) o Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε πλέον f (f (x1 )) − f (x1 )= f (f (x2 )) − f (x2 ) −x31 − 2 = −x32 − 2  −x31 = −x32  x31 = x32  x1 = x2 o Συνεπώς η f είναι «1-1». Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 24

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές εξάσκηση στο μάθημα … Άσκηση 1 : Δίνεται μία συνάρτηση f : → με την ιδιότητα ef3(x) + f5 (x) - x + 1= 0 , x Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Άσκηση 2: Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με την ιδιότητα f(f(x)) = x+ f(x) , x α) Να δείξετε ότι είναι «1-1» συνάρτηση β) Ισχύει f(0) = 0 Άσκηση 3: Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με την ιδιότητα Άσκηση 4: (fof)(x) = −x , x . i. Να δείξετε ότι f περιττή ii. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Δίνεται μία συνάρτηση f : → με την ιδιότητα (fof)(x) + f3 (x) = 3x − 2, x .Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Άσκηση 5: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → που είναι «1-1» .Να δείξετε ότι η fog είναι «1-1» Άσκηση 6: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → . Αν η συνάρτηση gof είναι «1-1» να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Άσκηση 7: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → ώστε Άσκηση 8: .Αν η f είναι «1-1» να δείξετε (gog)(x) = 2g (x) + 3f (ex ) (1) x ότι και η g είναι «1-1» Δίνεται μία συνάρτηση f : → με την ιδιότητα f(x + y) = f(x) + f(y) x,y .Να αποδείξετε ότι i. f(0) =0 ii. Η f είναι περιττή iii. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα το 0 , να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 25

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 9.Β.4. εύρεση τύπου με τη βοήθεια του «1-1». Μέθοδος : Δεν υπάρχει συγκεκριμένη μεθοδολογία. Μέλημά μας είναι να φθάσουμε σε μία μορφή g(f (x)) = g(...) . όπου g συνάρτηση «1-1» και στη συνέχεια να βρούμε τον τύπο της f. Παράδειγμα 1: i. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x + lnx .Να δείξετε ότι είναι Λύση : «1-1» ii. Να βρείτε τον τύπο της f : → για την οποία ισχύουν x f (x)  0, x + ex = f (x) + lnf (x) . i. Η g ορίζεται στο (0,+) .Για x1,x2 (0,+) με x1  x2 (1) ισχύει ότι lnx1 lnx2 (2). Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη και προκύπτει ότι x1 + lnx1  x2 + lnx2  g(x1 )  g(x2 ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+) συνεπώς και «1-1» συνάρτηση. ii. Η δοθείσα γράφεται x + ex = f (x) + lnf (x)  lnex + ex = f (x) + lnf (x)  g(ex ) = g(f(x)) Εφόσον f(x)  0 έχει νόημα το σύμβολο g(f (x)) και αφού η f είναι «1-1» προκύπτει ότι f (x) = ex Παράδειγμα 2: i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ln3 x + lnx είναι Λύση : «1-1» ii. Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν x , f(x) 0 και ln f (x) = ln2 f x + 1 , x .Να x2 +1 (x) βρείτε τον τύπο της συνάρτησης . i. Η g ορίζεται στο (0,+) .Για x1,x2 (0,+) με x1  x2 ισχύει ότι lnx1 lnx2 (1) καιln3 x1  ln3 x2 (2) . Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη και προκύπτει ότι ln3 x1 + lnx1  ln3 x2 + lnx2  g (x1 )  g (x2 ) . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 26

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+) συνεπώς και «1-1» συνάρτηση. ii. Η δοθείσα γράφεται ln f (x) = ln2 f x ) + 1  ln f ( x ) (ln2 f ( x ) + 1) = x ( x2 + 1)  x2 +1 (x ( )ln3 f (x) + lnf (x) = x3 + x  ln3 f (x) + lnf (x) = lnex 3 + lnex  ( )( ) \"1−1\" g f (x) = g ex  f (x) = ex Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 27

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές εξάσκηση στο μάθημα … Άσκηση 1: i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ex − e−x είναι «1-1» Άσκηση 2: Άσκηση 3: ii. Αν για τη συνάρτηση f : (0,+) → ισχύει ότι Άσκηση 4: ef(x) − e−f(x) = elnx − 1 , x  0 να βρεθεί ο τύπος της f . x Δίνεται η «1-1» συνάρτηση f : → ώστε f(f(x) + y) = f(x + y) + 1 (1)x,y . i.Να δείξετε ότι f (0) = 1 ii.Να βρεθεί ο τύπος της f. Δίνεται η «1-1» συνάρτηση f : * → ώστε για x  0 να ικανοποιεί τη σχέση (fof)(x) f(x) = e i. Να αποδειχθεί ότι f(x)  0 ii. Να αποδειχθεί ότι f(f (x)) = x, x  0 iii. Να βρεθεί ο τύπος της f Για τη συνάρτηση f : (0,+) →(0,+) ισχύει : xy(f (x) + f (y))  x2f (y) + y2f (x), με x,y  0, x  y i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = f (x) , x  0 είναι x γνησίως αύξουσα στο (0,+) ii. Να λυθεί η ανίσωση (f x2 )  xf (x) iii. Βρείτε τον τύπο της f αν x2f (f (x)) = f (x) f (x2 ), x  0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 28

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 9.Β.5. Λύνω εξισώσεις με τη βοήθεια του «1-1». Βοηθητικά : o Από τον ορισμό της συνάρτησης προκύπτει ότι αν x1 = x2 τότε f(x1 ) = f(x2 ) . o Aν f(x1 ) = f (x2 ) προσέχουμε ότι δεν μπορούμε πάντα να «διαγράψουμε» το f. o Αν όμως η f είναι «1-1» μπορούμε να το κάνουμε και έχουμε την ισοδυναμία f(x1 ) = f (x2 )  x1 = x2 . o Αρωγός στη λύση τέτοιου είδους εξισώσεων είναι οι ισχύουσες ιδιότητες: ➢ x 2v+1 = x 2v+1  x1 = x2 1 2 ➢ x1 = x2  x1 = x2 , με x1,x2  0 ➢ αx1 = αx2  x1 = x2 αν α  1 ➢ lnx1 = lnx2  x1 = x2 , με x1,x2  0 Μέθοδος 1 o Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο Μορφή f(x) = 0 μέλος. o Θέτουμε το πρώτο μέλος με f(x) , άρα η εξίσωση γράφεται πλέον f(x) = 0 . o Αποδεικνύουμε ότι η f είναι «1-1» o Βρίσκουμε μία προφανή ρίζα xo , άρα έχουμε f(xo ) = 0 και συνεπώς η εξίσωση γράφεται f(x) = f(xo ) . o Από τη ιδιότητα της «1-1» συνάρτησης προκύπτει ότι x = xo Μέθοδος 2 o Αν έχω εξίσωση της μορφής f(x) = k ή f (g(x)) = k τότε : Μορφή αν kf (A) και υπάρχει μοναδικό xo A ώστε f(xo ) = k f(x) =k ή γράφουμε τις εξισώσεις ισοδύναμα στη μορφή: f(g(x)) =k f ( x ) = k  f ( x) = f ( xo ) 1−1 x = xo  Μέθοδος 3: o Έστω μία συνάρτηση f : A → είναι «1-1» και μπορώ να Μορφή μετατρέψω την εξίσωση στη μορφή f (φ(x)) = f (ω(x)) . f(φ(x)) = f(ω(x)) όπου φ(x), ω(x) αλγεβρικές παραστάσεις . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 29

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Προσέχουμε ότι πρέπει να βρούμε που ορίζονται τα σύμβολα f(φ(x)), f(ω(x)). o Αφού η f είναι «1-1» η εξίσωσή μας θα είναι ισοδύναμη με την φ(x)=ω(x) την οποία και λύνουμε . ( ) ( )Παράδειγμα 1: Να λυθεί η εξίσωση ln 5 + 3 4 + 2συν3x = ln 5 + 3 4 + 2συνx Λύση : Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την 5 + 3 4 + 2συν3x = 5 + 3 4 + 2συνx εφόσον η συνάρτηση y = lnx είναι «1-1». Επίσης 5 + 3 4 + 2συν3x = 5 + 3 4 + 2συνx  3 4 + 2συν3x = 3 4 + 2συνx  4 + 2συν3x = 4 + 2συνx  2συν3x = 2συνx  συν3x = συνx  3x = 2kπ + x  2x = 2kπ  x = kπ , k  3x = 2kπ − x 4x = 2kπ x = kπ 2 Παράδειγμα 2: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + e2x − 1 . Α. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Να λυθούν οι εξισώσεις: ( )Β. i) e2x = 1− x ii) f (x) = e2 iii) f x2 − 4x = 0 iv) e2(x−3) − e2(x2 −3x) = x2 − 4x Λύση : Έχουμε Α = Α. Για κάθε x1,x2 A = με x1  x2 έχουμε ➢ x1  x2  x1 − 1 x2 − 1(1) και ( )➢ x1  x2  2x1  2x2  e2x1  e2x2 2 (1) + (2)  f(x1 )  f (x2 ) . Άρα η f είναι «1-1» Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 30

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Β. i) e2x = 1− x  e2x + x − 1 = 0  f (x) = 0 Παρατηρούμε ότι f (0) = e0 + 0 − 1 = 1− 1 = 0 . \"1−1\" Άρα f(x) = 0  f(x) = f (0)  x = 0 ii) Παρατηρούμε ότι : f (1) = e2 + 1− 1 = e2 \"1−1\" Άρα f(x) = e2  f (x) = f (1)  x = 1 iii) Παρατηρούμε ότι : f(0) = 0 Άρα αφού x2 − 4xA = ( ) ( )f (0) \"1−1\" x2 − 4x =0 f x2 − 4x = f x2 − 4x = 0   x = 0, x = 4 iv) e2(x−3) − e2(x2−3x) = x2 − 4x  e2(x−3) + x = e2(x2−3x) + x2 − 3x  e2(x−3) + x − 3 = e2(x2−3x) + x2 − 3x − 3 Προφανώς x − 3 A = και x2 − 3xA = άρα πλέον έχουμε ( )f(x − 3)= f \"1=1\" x2 − 3x  x − 3 = x2 − 3x  x2 − 4x + 3 = 0  x = 1, x = 3 Παράδειγμα 3: Να λυθεί η εξίσωση e3x = 9 − x − 2 Λύση : Η εξίσωση γράφεται e3x = 9 − x − 2  e3x − 9 − x + 2 = 0(1) Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = e3x − 9 − x + 2 με x(−,3 Η εξίσωση (1) γράφεται πλέον f(x) = 0  f(x) = f(0) (2) Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα συνεπώς και «1-1» Από τη (2) προκύπτει x=0. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 31

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 4: Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 −lnx − 2, x 0 x5 i. Να δείξετε ότι είναι «1-1» ii. Να λύσετε την εξίσωση 2 − x5 lnx = 2x5 iii. Να λύσετε την εξίσωση ln(4x − 3) − 2lnx = 2 − 2 x10 (4x − 3)5 Λύση : i. Για κάθε x1,x2 (0,+) με x1  x2 έχουμε ( )x15 1 1 2 2  x25  x15  x25  x15  x25 1 Επίσης lnx1 lnx2  −lnx1  −lnx2  −lnx1 −2  −lnx2 −2 (2) Προσθέτουμε τις (1) και (2) και προκύπτει 2 − lnx1 −2  2 − lnx2 −2  f (x1 )  f (x2 ) . x15 x25 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα οπότε και «1-1» ii. Η εξίσωση 2 − x5 lnx = 2x5 γράφεται 2 − x5 lnx = 2x5  2 = x5 lnx + 2x5 x0 2 = x5 lnx + 2x5  x5 x5 x5  2 = lnx + 2  2 − lnx − 2 =0 x5 x5 f ( x ) = 0  f ( x ) = f ( 1) \"1−1\" x = 1  iii. Η εξίσωση ορίζεται για x  3 Γράφουμε 4 ln(4x − 3) − 2lnx = 2 − 2  x10 (4x − 3)5 ln(4x − 3) − lnx2 = 2 3)5 − 2  x10 (4x − 2 − lnx2 = 2 3)5 − ln(4x − 3)  x10 (4x − ( )2 5 − lnx2 −2= 2 − ln(4x − 3) − 2  x2 (4x − 3)5 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 32

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές f (x2 ) = f (4x − 3) Η παραπάνω ορίζεται για x2  0  x 0  x  3 4x − 3 0  3 4 x 4 Εφόσον η f είναι «1-1» προκύπτει x2 = 4x − 3  x2 − 4x + 3 = 0  x = 1, x = 3 δεκτές ρίζες Παράδειγμα 5: Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :  → . Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) + x −2 είναι γνησίως αύξουσα . Να λύσετε την εξίσωση f (λ2 + 4λ) - (5λ + 12) = f (5λ + 12) - (λ2 + 4λ) Λύση : o Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ότι για x1,x2  με x1  x2 ισχύει f (x1 )  f (x2 ) . o Οπότε και f (x1 ) + x1  f (x2 ) + x2 αν προσθέσουμε τις παραπάνω . o Επίσης είναι προφανές αν αφαιρέσουμε από τα δύο μέλη το 2 προκύπτει ότι f(x1 ) + x1 −2  f (x2 ) + x2 −2  g(x1 )  g(x2 ) , άρα η g είναι γνησίως αύξουσα , οπότε θα είναι «1-1» . o Η εξίσωση γράφεται f (λ2 + 4λ) + (λ2 + 4λ) = f (5λ + 12) + (5λ + 12)  f (λ2 + 4λ) + (λ2 + 4λ) − 2 = f (5λ + 12) + (5λ + 12) − 2  g(λ2 + 4λ) = g(5λ + 12) o Εφόσον η g είναι «1-1» προκύπτει ότι λ2 + 4λ = 5λ + 12  λ2 + 4λ − 5λ − 12 = 0  λ2 − λ − 12 = 0  λ = −3 ή λ = 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 33

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές εξάσκηση στο μάθημα … Άσκηση 1 : Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → για τι οποίες ισχύει ότι (fog)(x) = x13 + 1, x . i. Να αποδείξτε ότι η g είναι «1-1» ( ) ( )ii. Να λύσετε την εξίσωση g 4x + 8 = g 2x+2 + 2x+1 Άσκηση 2: Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 − lnx, x 0 Άσκηση 3: x3 Άσκηση 4: i. Να δείξετε ότι είναι «1-1» Άσκηση 5: ii. Να λύσετε την εξίσωση 1− x3 lnx = x3 Άσκηση 6: Δίνεται η συνάρτηση f(x) =  2 x +  3 x , x   5   5  i. Να δείξετε ότι είναι «1-1» ii. Να λύσετε την εξίσωση 2x + 3x = 5x Να λυθεί η εξίσωση ex = 4 − x − 1 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x10 + 3lnx + 1 i. Να δείξετε ότι είναι «1-1» ii. Να λυθεί η εξίσωση (4|x| +1)10 −(3|x| +2)10 = ln 3| x | +2 3  4| x | +1   Δίνεται η συνάρτηση f : → ώστε: (fof)(x) − f(x) = x − 1 (1), x i. Να αποδείξετε ότι είναι «1-1» ii. Να βρείτε το f(1) ( )( )iii. Να λύσετε την εξίσωση f 2 − f 2 −ex − 1 = 0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 34

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 7: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = −2x + ln 1 + 1 x i. Να αποδείξετε ότι η f είναι «1-1» ii. Να λύσετε τις εξισώσεις ( )α) f x2 = −3 − ln2 β) ln(3x − 2) − lnx2 = 2x2 − 6x + 4 Άσκηση 8: Δίνεται η συνάρτηση f : → ώστε: (fof)(x) + f(x) = x + 1 (1), x .Να λύσετε την εξίσωση f(ex ) = f(1− x) Άσκηση 9: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x (+ ln x2 + 1) γνησίως αύξουσα στο Εξετάσεις 2010  ( 3x − 2)2 + 1  ( ).Να λύσετε την εξίσωση 2  x4  x2 − 3x + 2 = ln +1 Άσκηση 10: Δίνεται η συνάρτηση f : → ώστε: ef(x) + f3(x) = ex − 1 , x  ex + 2 i. Αν η συνάρτηση h(x) = ex − 1 είναι γνησίως αύξουσα στο ex + 2 , να δείξετε ότι η f είναι «1-1». ii. Να λύσετε την εξίσωση f (3x + 1) + f (2x + 1) = f (ex + 1) + f (πx + 1) Άσκηση 11: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 + e2x − 1 . Α. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» Να λυθούν οι εξισώσεις: ( )Β. i) ex = 1− x3 ii) f (x) = e iii) f x2 − 5x + 6 = 0 ( )( )iv) x + 3 3 − x2 + 1 3 = ex2+1 − ex+3 v) ln3 x + x = e1−x − (x − 1)3 Γ. Αν επί πλέον το σύνολο τιμών της f είναι f( ) = , να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) = eπ έχει ακριβώς μία λύση. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 35

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 12: Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : → .Να λυθεί η εξίσωση f (1− )x3 = f (1) − x5 Άσκηση 13: Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει (fof)(x) − f(x) = 2x + 2, x . i. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» ii. Να βρείτε την τιμή f(−1) iii. Να λύσετε την εξίσωση (f x2 + x − 1) + 2(x + 1) = f (f (x)) Άσκηση 14: Δίνεται η συνάρτηση f : (0,+) → για την οποία ισχύει f(x) 0 (fof)(x) = x2  f (x) , x  0 (1) . i. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» ii. Να βρείτε την τιμή f(1) ( ( ) )iii. 2 Να λύσετε την εξίσωση  x2 + 2  = f x2 + x + 1  x2 + x +  f x2 + 2  1 Άσκηση 15: Έστω συνάρτηση f : (0,+) → ώστε f(x)− f(y) = f  x  , x, y 0 και η εξίσωση f(x) =0 , έχει  y   μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε το f(1) ii. Να δείξετε ότι η f είναι «1-1» iii. Να λύσετε την εξίσωση (f x2 − 2) + f (x) = f (5x − 6) iv. Αν f(x)  0, x  1 , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 36

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 16: Δίνεται η συνάρτηση f : * → με την ιδιότητα Άσκηση 17: f (x) − f (y) = f  x για κάθε x, y  0. Αν η εξίσωση f(x) =0 έχει 1η Δέσμη1992    y  μοναδική ρίζα α) Να αποδείξετε ότι η f είναι «1-1» β) Να λύσετε την εξίσωση f (x) + (f x2 + 3) = (f x2 + 1) + f (x + 1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = αx - x , 0 < α < 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο  . Στη συνέχεια να λυθεί ως προς κ η εξίσωση ( ) ( )ακ2-4 - ακ-2 = κ2 - 4 - κ - 2 . Άσκηση 18: Αν η συνάρτηση f :  →  με (fof)(x) − f(x) = −x + 2 i. Να δείξετε ότι είναι «1-1» ii. Να βρεθεί η τιμή f (2) iii. Να λυθεί η εξίσωση f (4 − f (|x| −1)) = 2 Άσκηση 19: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 + lnx + 2010 . i. Να δείξετε ότι είναι «1-1» ii. Να λυθεί η εξίσωση ( x + 2)3 − (4 x + 1)3 = ln 4 x + 1 x +2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 37

συνάρτηση «1-1» φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθηματικά : Γρηγόριος Δ. Καρπούζας Φυσική – Χημεία : Κων/νος Δ. Καρπούζας Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 38