1_Επανάληψη Θεωρία και θέματα

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα γ. Να γίνουν οι πράξεις δ. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α για x  1 2 ε. Αν Α=2 να βρείτε την τιμή του x Θέμα 10. Δίνονται οι παραστάσεις A  (x2  5 x  2)2  4 και B  x3  6x2  5 x α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β β. Να λύσετε την εξίσωση Α=0 γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A B και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. δ. Να λύσετε την εξίσωση  Α 2  16    Β  Θέμα 11. Δίνονται οι ανισώσεις 2x  2  x  3  3x (1), 2x  5  x  2 (2) 63 2 και το πολυώνυμο A(x)  (4x3  6xk  2)  (4xk1  3x2  3x  1) α. Να λύσετε την ανίσωση (1) β. Να λύσετε την ανίσωση (2) γ. Αν k η μεγαλύτερη κοινή θετική ακέραια ρίζα των παραπάνω ανισώσεων γ1. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου Α(x) γ2. Να βρείτε τα α, β, γ ώστε τα πολυώνυμα Α(x) και B(x)  αx2  (β  1)x  γ να είναι ίσα

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 12. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α , β , γ α. Αν α  0 , β  0 , γ  0 και ισχύει β  γ  0 να αγ αβ δείξετε ότι β  γ β. Αν α  β  γ  0 να δείξετε ότι i. α2  β2  βγ  αγ ii. γ2  α(α  2β)  β2 γ . Αν α  β  γ  3 και 1  1  1  1 να δείξετε ότι α β γ αβγ α2  β2  γ2  7 Θέμα 13. Δίνονται οι μη μηδενικοί αριθμοί α ,β με α  β για τους οποίους ισχύει 1  α2  α 1  β2 β α. Να δείξετε ότι οι αριθμοί α , β είναι αντίστροφοι β. Αν επιπλέον ισχύει α  β  3 να υπολογίσετε την τιμή των 4 παραστάσεων i. Α  α2  β2 ii. Β  (2α  1)2  (2β  1)2  8(α  β) γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ  (α3β2 )5 β10 (αβ)1  α35

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)  x2  kx  λ α. Αν P(0)=5 να βρείτε την τιμή του λ β. Αν P(1)  4  P(3) να βρείτε την τιμή του k γ. Για k  2 και λ  5  kx  λy  10  γ1. Να λύσετε το σύστημα (k  4)x   λ  3  y 8   2    γ2. Να λύσετε την εξίσωση P(x)  4x  4 Θέμα 15. Δίνεται η εξίσωση x2  x  6  0 (1) α. Να λυθεί η εξίσωση (1) β. Αν x1 , x2 οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης με x1  x2 β1. Να λύσετε ως προς α και β το σύστημα (x1x1  α  x2  β  1 0 2)  α  x2  β  β2. Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο P(x)  (x  x2)2  (x  x1)(x  x1)  6x  7 είναι σταθερό πολυώνυμο Θέμα 16. Δίνεται η ισότητα α2  4α  4  β2  10β  25  0 (1) α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις α2  4α  4 , β2  10β  25

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα β. Να βρείτε τους αριθμούς α, β που επαληθεύουν την ισότητα (1) γ. Αν α=-2 και β=5 γ1. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο P(x)  x3  (α  β)x2  (β  1)x  (2β  α) γ2. Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 Θέμα 17. Δίνονται οι παραστάσεις A  (2x  1)(x  3)2  9(2x 1) και B  4x4  (2x2  1)2 α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A B και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. γ. Να λύσετε την εξίσωση A  5  0 B 2x  1 δ. Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η εξίσωση x2  5kx  k2  k  7  0 να έχει λύση την μικρότερη ρίζα της παραπάνω εξίσωσης του ερωτ. γ. Θέμα 18. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)  αx3  (β  1)x2  3x  2β  6 α. Αν P(1)  0 και P( 1)  0 να βρείτε τις τιμές των α , β β. Αν α=3 και β=5 β1. Να βρείτε το ανάπτυγμα της παράστασης A  α(x  1)2  2(x  1)2  (β  1)x β2. Αν ισχύει α  x  β να δείξετε ότι 4  Α  16

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 19. Δίνεται το σύστημα 3(3x  1)  5(y  2)  15 (1)   3(2x  3)  2(y  1)  5 α. Να λύσετε το σύστημα (1) β. Αν x=3 , y=1 η λύση του συστήματος: β1. Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε το σύστημα  αx  βy  8 να έχει την ίδια λύση (x,y)=(3,1) 3αx  2βy  10 β2. Να βρείτε την τιμή του k ώστε η ευθεία (3k  1) x 2 y  k 2 να διέρχεται από το σημείο (3,1) Θέμα 20. Δίνεται η εξίσωση αx2  7x  1  0 , α  0 η οποία έχει δυο ρίζες άνισες. Έστω Δ η διακρίνουσα για την οποία ισχύει Δ  (Δ  9)  0 Δίνεται επίσης η ευθεία ε : 2x  y  α α. Να βρείτε την διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αιτιολογώντας την απάντησή σας β. Να βρείτε τον αριθμό α γ. Αν α=10 γ1. Να λύσετε την εξίσωση γ2. Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της ευθείας ε xx , yy και στη συνέχεια να την σχεδιάσετε.

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 21. Δίνονται οι παραστάσεις A  α(α  4)  (α  β)2  3(2β  3)  α2 Β  (β  1)2  β(β  6  2α)  4(β 1) 1 και οι ευθείες ε1 , ε2 με εξισώσεις αx  y  2α και βx  y  1 αντίστοιχα. α. Να γίνουν οι πράξεις στις παραστάσεις Α και Β β. Αν Α+Β=0 να βρείτε τις τιμές των α και β γ. Αν α=2 , β=3 γ1. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε2 γ2. Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της ευθείας ε2 xx , y y γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ , όπου Ο η αρχή των αξόνων. Θέμα 22. Έστω η ευθεία ε : αx  βy  10 που διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(-3,4) α. Να βρείτε τις τιμές των αριθμών α και β και να γράψετε την εξίσωση της ευθείας ε β. Για α=2 , β=4 β1. Να βρείτε τα σημεία τομής Μ και Ν στα οποία η ευθεία ε τέμνει τους άξονες xx , y y αντίστοιχα και να σχεδιάσετε την ευθεία ε β2. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 23. Δίνεται η ευθεία ε : (λ  2)x  (λ  3)y  10 (1) α. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη στον άξονα xx β. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη στον άξονα yy γ. Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες δ. Για ποια τιμή του λ η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Κ(-1,2) Θέμα 24. Δίνεται η παραβολή y  x2  3x  k η οποία διέρχεται από το σημείο Α(1 ,7). α. Να βρείτε την τιμή του k. β. Για k = 3 να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής και τον άξονα συμμετρίας της . γ. Να αποδείξετε ότι η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα xx Θέμα 25. Δίνεται το πολυώνυμο A(x)  (2 x 1)2  (2x  1)(x  1)  6(x  3)  3 α. Να δείξετε ότι A(x)  2x2  7x  15 β. Να λύσετε την εξίσωση Α(x)=0 γ. Αν k η ακέραια ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και ισχύουν x  kσυνω , y  kημω να δείξετε ότι x2  y2  k2

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 26. Έστω μια γωνία ω για την οποία ισχύει (ημω  4)2  συν2ω  13 , 00  ω  1800 α. Να βρείτε το ημω β. Αν ημω  1 και η γωνία ω είναι αμβλεία 2 β1. Να βρείτε το συνω και την εφω β2. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ  2ημ(1800  ω)  4 3 συνω  3εφ(1800  ω) 3 Θέμα 27. Δίνονται οι παραστάσεις α  x3  3x2  3x  1 , β  12 5  8x  20 και μια γωνία ω για την οποία ισχύουν 00  ω  900 και ημω  α β α. Αν x=2 να δείξετε ότι α=3 και β=5 β. Να βρείτε το συνω και την εφω γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ  ημ(1800  ω)  συν(1800  ω) εφ(1800  ω)  εφ00 δ. Να λύσετε το σύστημα (συνω)  x  (ημω)  y  1   4(εφω)  x  y  1

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 28. Δίνεται το πολυώνυμο A(x)  (4 x 1)2  (3x  2)(3x 2) (x 3) α. Να δείξετε ότι A(x)  7x2  9x  2 β. Να λύσετε την εξίσωση Α(x)=0 γ. Αν k η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης Α(x)=0 να λύσετε το kx  5  2y  k 3   3  4k σύστημα (Σ) :  x 2  4 y6  3 2 δ. Αν (x, y) η λύση του προηγουμένου συστήματος και ημω  y με 900  ω  1800 να υπολογίσετε την παράσταση x Κ  ημ(1800  ω)  2  συν(1800  ω) 4εφω Θέμα 29. Δίνονται οι παραστάσεις Α  2  ημ300  2  συν450  2 3 ημ600 Β  ημ2 300  ημ2 600  ημ2 1200  ημ2 1500  3συν00 α. Να δείξετε ότι Α=3 και Β=5 β. Αν ημω  Α , όπου Α ,Β οι τιμές του ερωτ. α και η γωνία ω Β είναι αμβλεία β1. Να βρείτε το συνω και την εφω β2. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ  5  ημ(1800  ω)  5  συν(1800  ω) 4  εφ(1800  ω) 3

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 30. Να αποδείξετε ότι: α. (ημω  συνω)  (ημω  συνω)  2συν2ω  1 β. συν2φ  συν2ω  συν2φ  ημ2ω  ημ2φ  1 γ. συνω  1  ημω  2εφω 1  ημω συνω δ. συνω  συνω  2 1  ημω 1  ημω συνω ε. 1  ημω    1   ημω  συνω    συνω  συνω  ημω    Θέμα 31. Ε Α Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β Δ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) Γ Φέρνουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ Να δείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ είναι ίσα β. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα γ. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Θέμα 32. Α Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ ΕΔ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ). Αν ΒΔ και ΓΕ Β ΜΓ είναι τα ύψη και Μ μέσο της ΒΓ Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. β. ΑΔ=ΑΕ γ. ΕΜ=ΔΜ

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 33. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) και στις ίσες πλευρές ΑΒ , ΑΓ Α ΕΔ παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα Μ ΑΕ  1 ΑΒ και ΑΔ  1 ΑΓ . Αν Μ το μέσο Β Γ 33 της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι α. Τα τμήματα ΒΕ και ΓΔ είναι ίσα β. Τα τρίγωνα ΒΕΜ και ΜΔΓ είναι ίσα γ. Το τρίγωνο ΔΕΜ είναι ισοσκελές. Θέμα 34. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ Α ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ). Στη βάση ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε ώστε ΒΔ=ΓΕ και φέρνουμε ΔΖ  ΑΒ ,ΕΗ  ΑΓ α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι Ζ Η ισοσκελές ΒΔ ΕΓ β. Να δείξετε ότι ΔΖ=ΕΗ γ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές Θέμα 35. Α Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Πάνω στη πλευρά ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Μ και Ν ώστε ΒΜ=ΓΝ. Φέρνουμε BΔ  ΑM και ΓE  ΑΝ Μ Ν Να δείξετε ότι: ΒΔ Γ Ε

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα α. ΑΜ=ΑΝ β. ΒΔ=ΓΕ γ. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Θέμα 36. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ισοσκελές Α τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Επίσης δίνονται  Δ Ε Ο οι διχοτόμοι ΒΕ , ΓΔ των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα και Ο το σημείο τομής τους. Να αποδείξετε ότι: ΒΖ ΗΓ α. ΒΕ=ΓΔ β. ΔΖ=ΕΗ γ. Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές Θέμα 37. Α Η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΑΓ, ΒΖ=ΓΗ ΔΕ ΖE  ΑΓ , ΗΔ  ΑΒ α. Να αποδείξετε ότι ΗΔ=ΖΕ ΒΓ β. Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές Ζ Θέμα 38. Ε ΖΔ Στο διπλανό σχήμα είναι: Μ μέσον του Α τριγώνου ΑΒΓ, ΑΔ=ΑΒ, ΑΕ=ΑΓ , Ζ το σημείο τομής της προέκτασης της ΜΑ Β ΜΓ με την ΔΕ. Να αποδείξετε ότι

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα α. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ είναι ίσα β. Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΜΓ είναι ίσα γ. Το Ζ είναι μέσο της ΕΔ Θέμα 39. Κ Β Α ΓΛ Στο διπλανό σχήμα έχουμε το ύψος Ε Δ Ζ ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ και ΑΒ=ΒΕ , ΑΓ=ΓΖ. Αν EΚ  ΒΓ , ΖΛ  ΒΓ Να αποδείξετε ότι α. ΕΚ=ΑΔ β. ΕΚ=ΖΛ γ. ΚΒ+ΓΛ=ΒΓ Θέμα 40. Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ//ΒΓ A α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα 6 x ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια Δ Ε β. Να αποδείξετε ότι x=8 3 4 γ. Αν το τρίγωνο ΑΔΕ έχει εμβαδόν 30 τ.μ. B Γ να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΓ δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΔΒΓΕ. Θέμα 41. Β Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ΑΒ=10cm και ύψος ΑΔ=3cm Δ 10 6 Γ α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι όμοια Α

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα β. Να υπολογίσετε το λόγο ΕΑΒΔ ΕΑΒΓ γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Θέμα 42. Στο διπλανό σχήμα αν Ε είναι το εμβαδόν Α του τριγώνου ΑΒΓ ΔΖ//ΒΓ και ΔΗ//ΑΓ. να αποδείξετε ότι για τα εμβαδά Ε1, Ε2, 8 Ε1 Ε3 ισχύουν Δ Ε3 Ζ 4 Ε2 Η Γ α. E1  4E Β 9 β. E2  1E γ. E3  E1 9 Θέμα 43. Στο διπλανό σχήμα το Ο είναι τυχαίο Α σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ Δ και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ Ο Ζ αντίστοιχα. Ε Να αποδείξετε ότι Γ Β α. Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ β. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας είναι ίσο με τα 3 του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ 4

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 44. A Ζ Ε Στο διπλανό σχήμα με πλευρά τη διαγώνιο x ΑΓ του τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς x Δ x σχηματίζουμε το τετράγωνο ΑΓΕΖ B x α. Να υπολογίσετε το λόγο (ΑΓΕΖ) (ΑΒΓΔ) xΓ β. Αν (ΑΓΕΖ)  200 cm2 να υπολογίσετε την πλευρά x Θέμα 45. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ισοσκελές Α τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Στις προεκτάσεις της βάσης ΒΓ παίρνουμε τα σημεία ΔΕ Δ, Ε ώστε ΒΔ=ΓΕ. Αν ΔΚ  ΑΒ, ΒZΓ ΕΛ  ΑΓ και ΑΖ  ΒΓ να αποδείξετε ότι: Κ Λ α. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα β. Τα τρίγωνα ΒΔΚ και ΓΕΛ είναι ίσα γ. Τα τρίγωνα ΒΚΔ και ΑΒΖ είναι όμοια και να γράψετε τους αντίστοιχους λόγους ομοιότητας. Θέμα 46. Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ Α  x και ΕΔΓ είναι ορθογώνια με Α  900 9 Ε 5  3 και ΕΔΓ  900 . Επίσης δίνονται Δ x-3 ΑΒ=9cm ,ΕΔ=3cm, ΕΓ=5cm, ΑΕ=x και Β Γ ΔΓ=x-3. Να αποδείξετε ότι

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα α. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια β. Να υπολογίσετε το x γ. Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ Θέμα 47.  Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (Α  900 ) Από το σημείο Δ της πλευράς ΑΓ φέρουμε Γ ΔΕ κάθετη στη ΒΓ έτσι, ώστε ΔΕ=2cm Ε Αν ΑΒ=6cm τότε: 2 α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΑΒΓ Δ είναι όμοια. β. Να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. Α6 Β γ. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 18 cm2 , να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ Θέμα 48. B Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι 4 Δ  8Ε ορθογώνιο (Α  900 ) με ΑΒ=8cm, ΑΓ=6cm ΒΔ=4cm. Από το Δ φέρνουμε κάθετη στη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ε α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια. Α6 Γ β. Να υπολογίσετε το μήκος ΔΕ γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΕΔΓ

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 49. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Είναι ΜΚ Δ Ζ Γ ΒΜ  1 ΜΓ , ΜΕ  ΑΒ, ΜΔ  ΑΓ Κ μέσο ΒΓ 3 ΚΖ  ΜΕ και (ΑΒΓ)=300τ.μ α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΕΒ και ΜΔΓ E είναι όμοια Β β. Να αποδείξετε ότι (ΜΔΓ)=9(ΜΕΒ) γ. Αν (ΑΕΜΔ)=200 τ.μ. να βρείτε τα εμβαδά των τριγώνων ΜΕΒ και ΜΔΓ δ. Να δείξετε ότι ΒΕ=ΚΖ Θέμα 50. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Επίσης Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΒ, ΑΓ ΛΜ αντίστοιχα. α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΚΛ και Β ω ΚΓΜ είναι ίσα ΚΓ β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΜΓ και ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο λ  1 2   1 να υπολογίσετε γ. Αν ΜΚΓ  ω ( ω  900 ) και συνω  λ  10 την τιμή της παράστασης Α  συνω  ημ(1800  Γ )  εφω ημω

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1 Θεωρία Θέμα 1. A. Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να γίνει σχήμα σε κάθε περίπτωση. Β. Είναι ίσα τα τρίγωνα των παρακάτω σχημάτων; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. β. Θέμα 2. Α. Να συμπληρώσετε τις επόμενες ταυτότητες: (α  β)2  .............................. (α  β)2  ................................ (α  β)  (α  β)  .................... Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α  β)3  α3  3α2 β  3αβ2  β3

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ασκήσεις Άσκηση 1. α. Να κάνετε τις πράξεις (2x  3)2  x  (7  2x)  6 β. Να λυθεί η εξίσωση 2x2  5 x  3  0 γ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο 2x2  5 x  3 Άσκηση 2. α. Να δείξετε ότι το σύστημα:  x xy  5  2y (1) μπορεί να πάρει την μορφή:  2x   3  y 1  3y  x  6  5 10  2x  7y  15 (2) 5 x  16y  4 β. Να λύσετε το σύστημα (2) του παραπάνω ερωτήματος. Άσκηση 3. Δίνετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) Προεκτείνουμε τις ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ. Φέρνουμε ΔΖ ⟘ ε και ΕΗ ⟘ ε, όπου ε είναι η ευθεία της ΒΓ. Να αποδείξετε ότι : α. Τα τρίγωνα ΒΖΔ και ΓΗΕ είναι ίσα. β. Τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από την ευθεία (ε ) της ΒΓ . γ. Οι γωνίες  BAZ και ΓΑΗ είναι ίσες. δ. Το τρίγωνο ΖΑΗ είναι ισοσκελές; Δικαιολογείστε την απάντηση σας.

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 2 Θεωρία Θέμα 1. Α. Τι λέγεται ταυτότητα. Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α  β)3  α3  3α2β  3αβ2  β3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): α. α2  1  (α  1)2 β. (α  2)(α  2)  4  α2 γ. (α  β)3  α3  3α2β  3αβ2  β3 δ. (α  β)2  β2  2βα  α2 Θέμα 2. Α. Να γράψετε το κριτήριο ομοιότητας δύο τριγώνων. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): α. Δύο ισοσκελή τρίγωνα είναι πάντα όμοια. β. Δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι πάντα όμοια. γ. Δύο όμοια τρίγωνα είναι πάντα ίσα. δ. O λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας. Γ. Στο παρακάτω σχήμα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια.   Α Δ Αν γνωρίζετε ότι Α  Ζ και Β  Ε να E συμπληρώσετε τους ίσους λόγους Β ΒΓ  .....  ...... ...... ΔΖ ...... Z Γ

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ασκήσεις Άσκηση 1. Δίνονται οι παραστάσεις: Α  4x  2 και B  x2  25 2x  6 x2  5x α. Να βρείτε τις τιμές της μεταβλητής x για τις οποίες ορίζονται οι αλγεβρικές παραστάσεις Α και Β. β. Να απλοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις Α και Β. γ. Να λύσετε την κλασματική εξίσωση A  B  25 x2  3x Άσκηση 2. Αν 900  ω  1800 και 5ημω=3 Να υπολογίσετε: α. Το ημω β. Το συνω και την εφω γ. Την τιμή της παράστασης Κ  2015  συν(1800  ω)  εφ(1800  ω)  2015 0  (ημ2ω  συν2ω) ημ(1800  ω) Άσκηση 3. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ, το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Επίσης ΒΕ = ΓΖ και το Κ τυχαίο σημείο του ΑΔ. α. Να αποδείξετε ότι ΕΔ = ΔΖ. β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΖ είναι ισοσκελές. γ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΛΕΒ και ΜΓΖ είναι ίσα.

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 3 Θεωρία Θέμα 1. Η γενική μορφή της εξίσωσης β΄ βαθμού είναι : αx2  βx  γ  0 , α  0 Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες : Δ=……………………….. ( όπου Δ η διακρίνουσα ) x1,2  ............................. . ( όπου, x1,2 οι λύσεις της εξίσωσης ) Β. Πως η διακρίνουσα καθορίζει την ύπαρξη και τον αριθμό λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ; Θέμα 2. A. Στο παρακάτω σχήμα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες Μ (x, y). Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: ρ ημω  ............ συνω  ........... εφω  .............. Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: ημ(1800  ω)  .................. ημ2ω  συν2ω  ............ συν(1800  ω)  ................. εφ(1800  ω)  ..................... εφω  ........

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ασκήσεις Άσκηση 1. Δίνεται το κλάσμα : αx  2ay  x  2y α2  5α  4 α. Να παραγοντοποιήσετε τον αριθμητή του κλάσματος. β. Να παραγοντοποιήσετε τον παρονομαστή του κλάσματος. γ. Να απλοποιήσετε το κλάσμα. Άσκηση 2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ . Τα σημεία Δ, Ε, Μ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ , ΔΕ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι: α. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. β. Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΕΓ είναι ίσα Άσκηση 3. α. Να λύσετε το σύστημα  2x  y  2x  1  1  23 (Σ) :  3(x  y)  (2y  x)  10 β. Αν x=5 και y=2 να βρείτε την τιμή της παράστασης Α  (xy 1)(xy 1)  y  3  x 5  ● Να απαντήσετε σε (1) ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε (2) δύο από τα τρία θέματα ασκήσεων. ● Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα.

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέματα Μαθητικών Διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Θέμα 1. Αν ν θετικός ακέραιος, να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α (1)2ν  ( 1)2ν 1  (312  210 )  Β  (2)3 : (2)1  (3)2  (2)4 (4)2 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2001-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 2. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ=λ, ΑΓ=λ+2, ΒΓ=10 και ισχύει: (λ  2)2  λ2  28. Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι  ορθογώνιο με Α  900 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2001-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 3. Αν α   3 και β  3 να βρείτε την τιμή της παράστασης 2 Κ  α3  (1  α)2  4  β  1 1   β  2004 20040  α  α  2  Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2002-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α  2003  6  10x  2(4x  y 3)   1  2y 3(x  z)  3(y z) 2 x  3  αν x  y  2003 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2003-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 5. Δίνονται οι παραστάσεις  3 2  52  32  x (2)3 (1)3       5  x A  και B   0 92 1  (1)2005  Αν Α=6Β να υπολογίσετε την τιμή του x Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2004-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 6. Έστω α  β  2005. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α  3 2(α  2β) 2(3β 2α) 4β  19(α β) Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2005-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 7. Αν α  2β  γ  0 και αβγ  10 να υπολογίσετε την τιμή της 2 παράστασης Α  α2   γ 2  (α  2β)2 α   2  Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2006-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 8. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων Α   (2)8 : ( 4)2  ( 4)2 : ( 2)4 Β  (x 3)  3(y 4)  x(y 2) y(x 3) Για ποιες τιμές του x αληθεύει η ανίσωση Α>Β; Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2007-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 9. Δίνονται οι παραστάσεις  3 4  24  34  x (2)2 (1)2  2     2   x A  0 , B    52 1  (1)2005 Αν Α=Β να προσδιορίσετε την τιμή του x Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2008-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 10. Αν ισχύει 45ν  22ν  900 , όπου ν θετικός ακέραιος να βρεθεί η 6ν τιμή της παράστασης Α  2003 ( 1)ν  ( 1ν)  1  4 ( 1ν) 2 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2008-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 11. Αν ν φυσικός αριθμός διαφορετικός από το μηδέν να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α  4  ( 1)ν  2 (1)2ν1  7 ( 1)3ν 55 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2009-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 12. Αν ισχύει α  2β  1 να βρείτε την τιμή της παράστασης 2 Α  (16α  32β)2  (32α 64β)3    2 4 3 3  : 34   Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Ευκλείδης» 2009-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 13.   4 6   6  4     Αν x  y  3  (2)2 και yw  3    3   να βρεθεί 5  5  η τιμή της παράστασης A  7x  10y  3w  87 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2010-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 14. Να βρείτε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό, αν γνωρίζετε ότι ισχύουν όλα τα παρακάτω: α. Το ψηφίο των μονάδων του είναι πολλαπλάσιο του 4, β. Το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων του γ. Το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι διαιρέτης του 5 δ. Το ψηφίο των χιλιάδων του είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων του μειωμένο κατά 1 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2010-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 15. Αν α  101 : 103 , β  105 : 107 , γ  101  1000 να βρείτε την τιμή της παράστασης Α   6αβγ 2    αβ  βγ  γα  Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2011-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 16. Να βρεθούν οι ακέραιοι που επαληθεύουν και τις δυο ανισώσεις x  x  5  2 και x  3 2x  9 24 2   x 48 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2011-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 17. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης K  x2  y4  z6  2182 αν είναι x  210 , y  48 3  (13  22  33  42  93)1 z  86 και να αποδείξετε ότι είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2012-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 18. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α οι αριθμοί 3 και -3 είναι λύσεις της ανίσωσης 4x  5α  2  α(x  3)  2(α  1) Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2012-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 19. Αν ο πραγματικός αριθμός α είναι η μικρότερη δεκαδική προσέγγιση δέκατου του άρρητου αριθμού 5 να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης A  3  (3α  4, 6)  2  (α  0, 2) Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2013-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 20. Αν ο θετικός ακέραιος β ικανοποιεί τις ανισώσεις 4  1  2β  5 να λύσετε την ανίσωση 2(x  1)  3 (x  1)  x 26 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2013-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 21. α. Να βρείτε την τιμή της παράστασης A   x3  1    x 3  81x2  27y όταν x  32 , y  33    y  y  y2 3  β. Να βρείτε το πλήθος των ψηφίων του αριθμού B  1623  589 όταν αυτός γραφεί στη δεκαδική αναπαράστασή του Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Ευκλείδης» 2013-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 22. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α  x4  1  6 αν x    3 2 (x2  1)(x2  3) 13  4    Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2014-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 23. Το πλήθος των μαθητών σε ένα Γυμνάσιο είναι τουλάχιστον 170 και το πολύ 230. Αν γνωρίζουμε ότι ακριβώς το 4% των μαθητών παίζουν βιολί και ότι το 1 από αυτούς που παίζουν 3 βιολί, παίζει και πιάνο, να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Γυμνασίου. Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2014-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 24. Να βρείτε την τιμή της παράστασης A  α  1  1  α1  3  1 αν α   2 4   α  3 33 2 27  3  Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2015-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 25. Αν α  12ν : 22ν1 , β  102ν1 : 100ν να βρείτε την 3ν αριθμητική τιμή της παράστασης Α  (α3  β)3  α2β  2β  2α2 α2  αβ  10α Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2016-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 26. Αν ο αριθμός ν είναι θετικός ακέραιος να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης  (10)2ν  1 (15 )2ν  1  (2017)2 (8)2ν  1 2ν   22ν  Α   22ν1  (3)2ν1      4   2018  Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2017-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 27. Η αυλή ενός σπιτιού σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου καλύπτεται με δύο ειδών πλάκες, λευκές και μαύρες, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Το 1 του συνολικού πλήθους 3 των πλακών είναι λευκές. Επίσης το εμβαδό κάθε λευκής πλάκας είναι εννεαπλάσιο από το εμβαδό κάθε μαύρης πλάκας. Αν οι μαύρες πλάκες καλύπτουν εμβαδό 80 τ.μ., να βρείτε το εμβαδό της αυλής. Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2017-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 28. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α   (20)11  (25 )11   (2018)2   (8)20   1 20   200  (5 )11    4        411  220 Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2018-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 29. Ο Νίκος αγόρασε 4 μήλα από τα οποία το βαρύτερο ζυγίστηκε πρώτο και ήταν 120 γραμμάρια. Στη συνέχεια ζυγίστηκε το δεύτερο μήλο και ο μέσος όρος του βάρους των δύο πρώτων μήλων ήταν 115 γραμμάρια. Στη συνέχεια ζυγίστηκε το τρίτο μήλο και παρατήρησε ότι ο μέσος όρος του βάρους των τριών μήλων ήταν μικρότερος από τον προηγούμενο μέσο όρο του βάρους των δύο πρώτων μήλων κατά 10 γραμμάρια. Τέλος όταν ζυγίστηκε το τέταρτο μήλο παρατήρησε ότι ο μέσος όρος του βάρους των τεσσάρων μήλων ήταν επίσης μικρότερος κατά 10 γραμμάρια από τον προηγούμενο μέσο όρο του βάρους των τριών μήλων. Να βρείτε πόσα γραμμάρια ήταν καθένα από τα τρία μήλα που ζυγίστηκαν μετά το πρώτο. Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2018-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 30. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ε Α δ ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ Ζ  Ε x και ΒΑΓ  400 . Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ Κ Β Γ

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα και η ευθεία δ μεσοκάθετη της πλευράς ΑΓ  α. Να υπολογίσετε την γωνία ΖΓx β. Να αποδείξετε ότι ΚΑ=ΑΖ Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2007-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 31. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ  α και στη συνέχεια 2 προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ κατά τμήμα ΓΖ=ΑΔ. Αν ΕΑΒΔ και ΕΑΒΔΖ είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ και του τετραπλεύρου ΑΒΔΖ, αντίστοιχα, να βρείτε το λόγο ΕΑΒΔ ΕΑΒΔΖ Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2014-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 32. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α ισόπλευρο πλευράς α. Το σχήμα ΒΔΕΓ είναι α α ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με την πλευρά ΒΔ  α Βα Γ 2 α. Να αποδείξετε ότι ΑΔ=ΑΕ ΔΕ β. Να υπολογίσετε συναρτήσει του α τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΔΓ. Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2017-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 33. Ε Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α  Μ ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ και Α  400 . Για το σημείο Δ ισχύει ότι ΔΑ=ΔΒ=ΔΓ. Αν η ΓΜ είναι παράλληλη στην ΑΔ και το τρίγωνο ΑΒΕ είναι Β Δ Γ ισοσκελές με ΑΒ=ΑΕ να αποδείξετε ότι:  α. Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α  β. ΓΑΕ  1000 γ. Η ΑΜ κάθετη στην ΓΕ Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2018-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 34.  Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ΒΑΓ  ω Η μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ, την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο σημείο Ζ. Η κάθετη από το σημείο Β προς την πλευρά ΑΓ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Κ, το ευθύγραμμο τμήμα ΔΖ στο Λ και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΖ στο σημείο Μ.  Αν είναι ΓΑΖ  360 , να αποδείξετε ότι:  α. ω  360 β. ΑΜ = ΓΖ γ. ΒΛ = ΛΖ Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2015-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 35. Α Στο διπλανό σχήμα το σημείο Μ είναι μέσο Λ 450 κ της πλευράς ΒΓ και η μεσοκάθετη της ΒΓ 300 τέμνει την ΑΓ στο Λ. Επίσης δίνονται: ΜΓ  Β ΜΛΓ  450 , ΑΒΛ  300 και ΛΓ  κ . Να βρείτε:   α. Τις γωνίες Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ β. Τις πλευρές ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ συναρτήσει του κ γ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2004-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 36. Α Εx Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Με διάμετρο την πλευρά ΑΓ γράφουμε κύκλο που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Δ. Φέρνουμε την Αx  ΑΔ που τέμνει τον κύκλο στο Ε. ΒΔ Γ α. Να αποδείξετε ότι το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ β. Να συγκρίνετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ προς το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΔΓΕ Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2003-Γ΄ Γυμνασίου Θέμα 37. Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς α κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΕ είναι ίσα. β. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των τριγώνων ΓΔΕ, ΑΔΕ και ΑΓΕ. Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε «Ο Θαλής» 2001-Γ΄ Γυμνασίου

Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα