Matematica finanziaria

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProMatematica finanziaria Esercizi risolti con FinCalcPro 1a Edizione di Francesco Grassi www.educationalapps.ch© 2015 Francesco Grassi Pagina 1

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro IndiceINTRODUZIONE.......................................................................................................... 3LISTA DEI SIMBOLI................................................................................................... 4RACCOLTA DI FORMULE......................................................................................... 5Capitolo 1 Percentuali.............................................................................................................. 7Capitolo 2 Interessi................................................................................................................... 11 2.1 Interesse semplice........................................................................................................... 11 2.2 Interesse composto..........................................................................................................14 2.3 Interesse infrannuale...................................................................................................... 21 2.4 Interesse continuo........................................................................................................... 28Capitolo 3 Calcolo delle rendite...............................................................................................31 3.1 Rendite anticipate, posticipate e valore attuale............................................................31 3.2 Rendite perpetue............................................................................................................. 38Capitolo 4 Ammortamenti...................................................................................................... 41 4.1 Ammortamenti lineari.................................................................................................... 41 4.2 Ammortamenti degressivi.............................................................................................. 43© 2015 Francesco Grassi Pagina 2

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro INTRODUZIONEIn questo libro viene mostrato come risolvere in modo semplice e veloce esercizi di matematicafinanziaria con l'aiuto della nuova app “FinCalcPro”.- Concetto: per risolvere un'esercizio si deve semplicemente lasciarevuoto il campo di immissione corrispondente alla soluzione cercata.- Gli interessi devono essere immessi nella forma p%, p.es. 2.5 per 2.5%.- L'app é disponibile per iPhone/iPad/iPod touch:https://geo.itunes.apple.com/us/app/fincalcpro/id1002896661?mt=8© 2015 Francesco Grassi Pagina 3

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro LISTA DEI SIMBOLIi =interesseiab= percentuale di ammortamentoieff =interesse effettivoinom=interesse nominaleis=interesse continuoK0=capitale iniziale(valore attuale)Kn=capitale finalem=numero di periodi infrannualin= periodoR =rataR0=valore attuale rendita posticipataRn=valore finale rendita posticipataR '0=valore attuale rendita anticipataR ' n=valore finale rendita anticipataR∞0 =valore attuale rendita perpetuaR(0)=valore oroginario(valore nuovo)R(n)=valore residuo ABBREVIAZIONIp.a. = per annop.m. = per mesep.t. = per trimestre © 2015 Francesco Grassi Pagina 4

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro RACCOLTA DI FORMULEPercentuali1 % = 1 =0.01 100100 %= 100 =1.0 10025.75 %= 25 =0.2575 100valore iniziale⋅(1±variazione percentuale )=valore nuovoInteressiInteresse semplice (interesse lineare) K n= K 0⋅(1+n⋅i )Interesse composto Kn= K0⋅(1+i)n= K0⋅qn dove q=1+iInteresse infrannuale i ( m⋅n) mK n= K 0⋅( 1+ )Interesse continuo K n= K 0⋅e(i⋅n) © 2015 Francesco Grassi Pagina 5

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProCalcolo delle renditeValore finale rendita posticipata Rn= R⋅qqn−−11 dove q=1+iValore finale rendita anticipata R ' n=R⋅qqn−−11⋅qValore attuale rendita posticipata R0 = R⋅qqn−−11⋅q1nValore attuale rendita anticipata R '0=R⋅qqn−−11⋅qn1−1AmmortamentiValore residuo ammortamento lineare R(n)=R (0)⋅(1−iab⋅n)Valore residuo ammortamento degressivo R(n)=R(0)⋅qn dove q=1−iab© 2015 Francesco Grassi Pagina 6

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro Capitolo 1 Percentuali1) Il prezzo di listino di una bicicletta é di 8'423 €. Il cliente ottiene uno sconto del 15.5%. Quanto ha pagato? Soluzione: dati: valore iniziale=8423, percentuale=15.5 % cercato: valore finale (lasciare vuoto il campo di immissione ) Il cliente ha pagato 7'117.43 € Nota: selezionare “Diminuzione”© 2015 Francesco Grassi Pagina 7

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Il prezzo di listino di una bicicletta nuova é di 2'220 €. Il cliente riceve la bicicletta per 1'980 €. A quanto ammonta lo sconto? Soluzione: dati: valore iniziale=2220, valore finale =1' 980 cercato: percentuale (lasciare vuoto il campo di immissione) Lo sconto é del 10.81% Nota: qui non c'é bisogno di selezionare “Diminuzione”, l'app capisce che qui si tratta di una diminuzione.© 2015 Francesco Grassi Pagina 8

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Il piccolo Luigino Cazzino ha pagato la sua nuova bicicletta 300 Fr. Il venditore gli ha fatto uno sconto del 16.20%. Quanto avrebbe pagato Cazzino senza lo sconto? Soluzione: dati: valore finale=300, diminuzione percentuale =16.20 % cercato: valore iniziale Cazzino avrebbe pagato 358 Fr. Nota: qui devi selezionare “Diminuzione”.© 2015 Francesco Grassi Pagina 9

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Il prezzo di un aereo é aumentato da 1'450'000 $ a 1'549'243 $ perché é stato comprato in leasing. A quanto ammonta l'aumento percentuale? Soluzione: dati: valore iniziale=1' 450' 000, valore finale=1' 549' 243 cercato: variazione percentuale L'aumento é del 6.84%.© 2015 Francesco Grassi Pagina 10

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro Capitolo 2 Interessi 2.1 Interesse lineare1) Un capitale di 15'000 £ frutta un interesse semplice del 2.5% p.a. A quanto ammonta il capitale dopo 12 anni? Soluzione: dati: capitale iniziale=K 0=15 ' 000, interesse=i=2.5% p.a. , periodo=n=12 cercato: capitale finale=K n (lasciare vuoto) Il capitale dopo 12 anni é 19'500 £.© 2015 Francesco Grassi Pagina 11

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Un capitale in regime di interesse semplice é raddoppiato in 20 anni. A quanto ammonta l'interesse? Soluzione: dati: capitale iniziale=K 0=( p.es.)1' 000, capitale finale=K n=2 ' 000 cercato: interesse L'interesse é del 5% p.a. Nota: il tasso d'interesse non dipende dal capitale iniziale. Si sarebbe potuto scegliere p.es. 10'000 e 20'000 ottenendo lo stesso risultato.© 2015 Francesco Grassi Pagina 12

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Un capitale di 2'000'000 Fr. viene investito durante 15 mesi con un interesse (lineare) del 3% per trimestre. A quanto ammonta il capitale finale? Soluzione: dati: K0=2 ' 000' 000, i=3 % p.a. , n=15/3=5 cercato: Kn (lasciare vuoto) Il capitale finale ammonta a 2'300'000 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 13

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro 2.3 Interesse composto1) Calcolare il montante ad interesse composto di 123'000 $ all' 1.5% p.a. durante un periodo di 14 anni. Soluzione: dati: K0=123' 000, i=1.5% p.a. , n=14 cercato: Kn (lasciare vuoto) Il capitale finale ammonta a 151'505.95 $© 2015 Francesco Grassi Pagina 14

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Il Signor Felice Della Sega ha investito 750'000 euro al tasso di 7.5% p.a. (interesse composto). Fra quanti anni Della Sega sarà milionario? Soluzione: dati: K0=750' 000, i=7.5 % p.a. , K n=1 ' 000 ' 000 cercato: n Il Dopo circa 4 anni (precisamente 3,98)© 2015 Francesco Grassi Pagina 15

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Quanto tempo impiega un capitale a triplicare con: a) un interesse composto del 7.5% p.a.? b) un interesse composto del 0.15% p.a.? Soluzione a) ca. 15 anni (esattamente 15.19) Soluzione b) ca. 733 anni (esattamente 732.96)© 2015 Francesco Grassi Pagina 16

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Un capitale di 5'000 Fr. viene impiegato per 2 anni ad interesse composto al tasso di 5% p.a. in seguito al tasso di 6% p.a. per 4 anni e infine al tasso di 8% p.a. per 5 anni. Calcolare il tasso di interesse medio. Soluzione:© 2015 Francesco Grassi Pagina 17

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Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProIl tasso di interesse medio é del 6.72% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 20

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro 2.4 Interesse infrannuale1) Un credito di 50'000 € viene offerto ad un tasso di interesse (nominale) del 8% p.a. Gli interessi vengono calcolati e capitalizzati ogni trimestre. a) A quanto ammonta il credito dopo 20 anni? b) Calcolare il tasso d'interesse effettivo. c) Che interesse mensile deve essere scelto per corrispondere all'interesse effettivo calcolato in b) ? Soluzione a) dati: K0=50 ' 000, i =8% p.a. , m=4, n=20 cercato: Kn Il capitale ammonta a 243'771.96 €© 2015 Francesco Grassi Pagina 21

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProSoluzione b)dati: inom=8 % p.a. , m=4cercato: i effInteresse effettivo = 8.2432% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 22

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcProSoluzione c)dati: ieff =8.2432 % p.a. , m=12cercato: i nominteresse nominale = 7.9472% p.a. cioè 7.9472% / 12 = 0.6623% p.m.© 2015 Francesco Grassi Pagina 23

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Che interesse effettivo annuo si ottiene con un interesse semestrale di 0.75% ? Soluzione: dati: inom=0.75 % ⋅2=1.5 % p.a. , m=2 cercato: i eff interesse effettivo = 1.5056% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 24

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Quanti anni impiega un capitale di 6'000 Fr., impiegato al tasso del 5.6% p.a., con capitalizzazione degli interessi trimestrale, per arrivare a 7'706.10 Fr.? Soluzione: dati: K0=6' 000, inom=6 % p.a. , m=4 cercato: n 4.5 anni© 2015 Francesco Grassi Pagina 25

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Quale interesse, applicato mensilmente, offre un interesse effettivo del 12% p.a.? Soluzione: dati: ieff =12 % p.a. , m=12 cercato: i nom 11.3866% / 12 = 0.9489% p.m.© 2015 Francesco Grassi Pagina 26

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro5) Quale capitale deve essere investito al 1.5% p.a. in un periodo di 10 anni, per ottenere un capitale di 12'000 euro, se gli interessi sono capitalizzati ogni trimestre? Soluzione: dati: inom=1.5 % p.a. , m=4, Kn=12 ' 000 cercato: K0 10'331.39 euro© 2015 Francesco Grassi Pagina 27

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro 2.4 Interesse continuo1) Un capitale di 100'000 Fr. É stato investito con un interesse continuo del 5% per un periodo di 15 anni. a) A quanto ammonta il capitale finale? b) Interesse effettivo? Soluzione a) dati: K0=100' 000, inom=5 % p.a. , n=15 cercato: Kn 211'700 Fr. Soluzione b) 5.1271% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 28

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Quale interesse continuo corrisponde ad un interesse effettivo del 7% ? Soluzione: dati: ieff =7 % p.a. cercato: is 6.7659% p.a.© 2015 Francesco Grassi Pagina 29

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Quale interesse effettivo bisogna scegliere, per ottenere un interesse continuo del 4.5% p.a.? Soluzione:© 2015 Francesco Grassi Pagina 30

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro Capitolo 3 Calcolo delle rendite 3.1 Rendite anticipate, posticipate e valore attuale1) Enzo Cazzaniga ha un conto risparmio con un deposito di 45'000 Fr. che gli offre un interesse del 1.5% p.a. Alla fine di ogni anno Cazzaniga versa 13'000 Fr. sul suo conto. Di quanto potrà disporre dopo 7 anni? Soluzione:(montante + valore finale della rendita posticipata) Pagina 3149'943.02 + 95'198.92 = 145'141.94 Fr. © 2015 Francesco Grassi

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Di quale capitale bisogna disporre per poter prelevare 25'000 Fr. alla fine di ogni anno durante 10 anni, se l'interesse é del 2% ? Soluzione:La soluzione é data dal valore attuale della rendita posticipata cioè 224'564.63 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 32

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Un lavoratore indipendente cinquantenne vuole impiegare un capitale per percepire una rendita posticipata di 8'000 euro all' anno al compimento dei suoi 65 anni. Quale capitale deve impiegare il lavoratore se l'interesse annuale é del 4% ? Soluzione:Il lavoratore deve impiegare 36'029.54 euro al compimento dei suoi 50 anni.© 2015 Francesco Grassi Pagina 33

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Un debito deve essere ripagato con rate annuali posticipate di 3'000 euro per un periodo di 10 anni. Con quale capitale si puo' ripagare il debito se l'interesse é del 6% p.a. a) oggi b) Dopo 3 anni (senza pagamenti preventivi) Soluzione a) 22'080.26 euro Soluzione b) 26'297.94 euro© 2015 Francesco Grassi Pagina 34

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro5) Un debito di 150'000 Fr. Deve essere ripagato in 10 anni con rate posticipate (i=9% p.a.). Calcolare la rata. Soluzione: 23'373.10 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 35

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro6) Per ripagare un debito il signor Roberto Cazzone deve versare all'inizio degli anni 2000, 2004 e 2009 un importo di 10'000 €. Cazzone preferisce pagare 12 rate, cominciando dal 1. gennaio 2001. A quanto ammontano le rate (i=7% p.a.) ? Soluzione: valore attuale del debito al 1.1.2001: 10 ' 000⋅1.07+10 ' 000⋅1.07−3+10 ' 000⋅1.07−8=24683.07 => 2'904.24 € per rata© 2015 Francesco Grassi Pagina 36

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro7) Un debito deve essere ripagato con 20 rate di 10'000 Fr./anno (la prima rata tra un anno a partire da oggi). Con quale somma si puo'pagare il debito oggi (i=12% p.a.) ? Soluzione: 74'694.44 Fr. (valore attuale della rendita posticipata)© 2015 Francesco Grassi Pagina 37

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro 3.2. Rendite perpetue1) Una fondazione dona annualmente 12'000 Fr. (rendita perpetua) come premio a giovani poeti. Di quanto deve disporre la fondazione al 01.01.2014 se la prima donazione deve esser fatta al 01.01.2015 ? (i=6% p.a.) Soluzione:© 2015 Francesco Grassi Pagina 38

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Un capitale di 4'000'000 Fr. viene impiegato al 5% p.a. in modo da poter riscuotere una rendita perpetua a partire dal 01.01.2019. A quanto ammonta la rata della rendita perpetua? Soluzione: la rata ammonta a 243'101.25 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 39

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) A quanto ammonta al 01.01.2013 il valore equivalente di una rendita perpetua della quale la prima rata di 700'000 $/anno viene riscossa al 01.01.2020 ? Soluzione: 8'750'000 $ = valore della rendita al 01.01.2019 Il valore della rendita al 01.01.2013 é di 5'513'984.24 $© 2015 Francesco Grassi Pagina 40

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro Capitolo 4 Ammortamenti 4.1 Ammortamento lineare1) Una macchina (costo iniziale 180'000 $) con una durata di vita di 10 anni e un valore di rottamazione del 10% del costo viene ammortizzata linearmente. Si determini la prima rata di ammortamento e il valore residuo dopo 6 anni. Soluzione: Valore di rottamazione = 180'000*0.1 = 18'000 $ Prima rata di ammortamento = 180'000*0.09=16'200 $ Valore residuo dopo 6 anni=82'200 $© 2015 Francesco Grassi Pagina 41

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Un valore nuovo (costo iniziale) R(0)=100'000 £ deve essere ammortizzato nel corso di 20 anni a un valore residuo di 5'000 £. A quanto ammonta il tasso di ammortamento? Soluzione: 4.75%© 2015 Francesco Grassi Pagina 42

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro 4.2 Ammortamento degressivo1) a) Si calcoli il valore residuo di una macchina (costo iniziale 300'000 €), che viene ammortizzata per 7 anni con un tasso del 18% (ammortamento geometrico degressivo). b) Dopo quanti anni si ottiene un valore residuo di 135'636.53 € ? Soluzione a) 74'785.64 € Soluzione b) 4 anni© 2015 Francesco Grassi Pagina 43

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro2) Dopo 5 anni una macchina ha un valore residuo di 10'000 Fr. A quanto ammonta il valore iniziale, se la stessa é stata ammortizzata in modo geometrico degressivo con un tasso del 10% ? Soluzione: R(0)=16'935.09 Fr.© 2015 Francesco Grassi Pagina 44

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro3) Un impianto (valore nuovo = 250'000 Fr.) deve essere ammortizzato in modo geometrico degressivo. Dopo 5 anni il valore é di 75'000 Fr. Calcolare la percentuale di ammortamento. Soluzione: 21.40%© 2015 Francesco Grassi Pagina 45

Matematica finanziaria, esercizi risolti con FinCalcPro4) Dopo quanti anni una macchina del valore iniziale di 400'000 $ ha un valore residuo di 40'000 $ ? Ammortamento geometrico degressivo con tasso del 15%. Soluzione: 14.17 anni© 2015 Francesco Grassi Pagina 46